Ứng dụng dãy số và giải các bài toán phương trình hàm - Võ Quốc Bá Cẩn

Nhận thấy vai trò rất lớn của dãy số và giới hạn trong các bài toán phương trình, bất phương trình hàm, chúng tôi quyết định thực hiện bài viết này để chia sẻ kinh nghiệm của mình trong [r]

ÁP DỤNG DÃY SỐ VÀO GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM

Đỗ Minh Khoa – Võ Quốc Bá Cẩn

1 Lời dẫn

Các tốn phương trình hàm bất phương trình hàm ln thú vị lơi người làm tốn Từ phương trình đó, vài phép đơn giản, ta tìm tính chất đặc biệt hàm số cho chí cơng thức tổng quát hàm Tuy nhiên, sâu vào vấn đề việc dùng phép để giải chưa đủ, đặc biệt với toán bất phương trình hàm Do vậy, cần có công cụ khác bỗ trợ để tăng cường thêm tính hiệu phương pháp Lúc này, việc sử dụng dãy số giới hạn cách linh hoạt giúp đường trở nên sáng sủa dễ dàng nhiều

Nhận thấy vai trò lớn dãy số giới hạn tốn phương trình, bất phương trình hàm, định thực viết để chia sẻ kinh nghiệm cách sử dụng để học hỏi nhận ý kiến đóng góp từ quý đồng nghiệp gần xa

2 Sử dụng giới hạn tốn phương trình, bất phương trình hàm

Dưới số kỹ thuật sử dụng chặn kẹp dãy số thường sử dụng giải toán: Trong nhiều trường hợp, ta cần tìm cơng thức tổng qt hàm số,

hướng mà ta nghĩ đến thiết lập bất đẳng thức dạng:

anf x/bn;

ở đây.an/; bn/là hai dãy chọn cho bất đẳng thức với mọin(ứng với mỗixcố định) Lúc này, limanDlimbn DL.x/thì cách chuyển sang giới hạn, ta tìm công thức tổng quát củaf x/làL.x/:

Nếu cần suy xét tính chất củaf x/;ta thiết lập bất đẳng thức dạng:

A.f /anB.f /;

trong đóA.f /; B.f /là hai biểu thức củaxvàf x/;còn.an/là dãy chọn cho bất đẳng thức với mọin(ứng với mỗixcố định) Lúc này, dựa hội tụ

an;ta đưa nhiều kết luận choA.f /vàB.f /;từ suy tính chất củaf x/:

Bài tốn Tìm tất hàm sốf WR!Rthỏa mãn: Với mọix2 R;ta có

f 2x/D2f x/ (2.1)

và

ˇ

ˇf x/ x ˇ

ˇ1: (2.2)

Lời giải Từ (2.1), cách sử dụng quy nạp, ta chứng minh

f 2nx/ D2nf x/

với mọix 2Rvà với mọin2N:Bây giờ, ta chứng minhf x/Dvới mọix 2R:Thật vậy, giả sử cóx0 2Rsao chof x0/Ôx0:tf x0/Dx0C"vi"Ô0:Khi ú, ta cú

f 2nx0/D2nf x0/D2nx0C2n" với mọin2N:Suy

ˇ

ˇf 2nx0/ 2nx0

ˇ

ˇD2nj"j

với mọin2N:Do (2.2) nênˇˇf 2nx0/ 2nx0j 1:Kết hợp với đẳng thức trên, ta thu

2nj"j

với mọin2N:Tuy nhiên, kết thỏa mãn với mọin2N:Mâu thuẫn thu cho ta kết vừa khẳng định trên, tứcf x/Dx với mọix2 R:

Bài toán (VMO, 2013-A) GọiF là tập hợp tất hàm sốf WRC !RCthỏa mãn

f 3x/f f 2x/

Cx

với mọix 2RC:Tìm sốAlớn để với mọif 2F và với mọix > 0;ta có

f x/Ax:

Lời giải Từ giả thiết, ta suy

f x/f

f

2x

3

C x

3 (2.3)

với mọix 2RC:Dof

f

2x

> 0nên ta có

f x/ > x

với mọix 2RC:Đặta1 D

1

3:Từ hai bất đẳng thức trên, ta suy

f x/ > a1f

2x

Cx

3 > a

2

2x C

x D

2a21C1

3 x:

với mọix2RC:Bằng cách đặta2 D

2a21C1

3 áp dụng kết vừa thu vào (2.3), ta có

f x/ > a2f

2x

C x

3 > a

2

2x C

x D

2a22C1

với mọix 2RC:Bằng cách lặp lại quy trình đánh giá giống vậy, ta thu

f x/ > anx (2.4)

với mọix 2RCvà với mọin2N;trong đó.an/là dãy truy hồi xác định bởia1 D

1

anC1 D

2a2nC1

3 :

Ta chứng minh được.an/là dãy tăng bị chặn

1

2 nên có giới hạn hữu hạn Từ dễ

dàng tìm limanD

1

2:Bây giờ, (2.4), ta chon! C1thì f x/.liman/x D

1

2x; 8x 2R

C:

Mặt khác, dễ thấy hàm sốf x/D

2xthỏa mãn điều kiện đề VậyAmaxD 2:

Bài tốn (Bulgaria, 2006) Tìm tất hàm sốf WRC !RCthỏa mãn đẳng thức

f x Cy/ f x y/D4pf x/f y/ (2.5)

với số thựcx > y > 0:

Có thể đốn hàm số thỏa mãn phương trình có dạngf x/Dkx2:Một cách tiếp cận thường thấy chứng minhf 2x/D4f x/dựa việc tínhf 5x/bằng hai cách để từ quy nạp lênf nx/Dn2f x/;bước cuối sử dụng tính đơn điệu củaf để suy cơng thức tổng qt cho

Ở đây, giới thiệu cách tiếp cận khác để chứng minhf 2x/D 4f x/:Có thể thấy rằng, ta chứng minh lim

x!0Cf x/D0và limx!xC

0

f x/Df x0/thì từ phương trình đề bài, cách chox!yC;ta thu điều ta cần

Lời giải Trong (2.5), ta thayxbởixCythì

f xC2y/ f x/D4pf xCy/f y/ (2.6) với x; y > 0: Từ đây, dễ dàng suy f tăng ngặt RC: Từ kết dẫn đến

f xCy/ > f y/;và ta suy

f xC2y/ > 4f y/

với mọix; y > 0:Tiếp tục, ta thayxbởixCyvào (2.6) sử dụng bất đẳng thức

f xC3y/Df xCy/C4pf xC2y/f y/ > f y/C4p4f y/f y/D9f y/:

Cứ thế, thế, ta quy nạp lên rằng:

với mọix; y > 0và với mọin2N:Thayy D

n vào bất phương trình trên, ta

f

1 n

< f 1Cx/ n2

với mọix > 0và với mọin2N:Cố địnhxvà chon ! C1;ta thu lim n!C1f

1 n

D0;

từ suy

lim

x!0Cf x/D0:

Bây giờ, (2.6), ta choy < x thu

0 < f xC2y/ f x/ < 4pf 2x/f y/:

Cố địnhxvà choy !0Cthì ta có lim y!0C

f x C2y/ f x/

D0;hay lim

x!x0C

f x/Df x0/:

Đến đây, cách cố địnhytrong (2.5) chox !yC;ta

f 2y/D4f y/

với mọiy > 0:Dựa kết này, ta quy nạp

f nx/Dn2f x/;

với mọix > 0vàn2N:(Chỉ việc choxD2y; 3y; : : : ; nyvào (2.5) được.) Từ suy

f n/Dn2f 1/

và

fm n

D f n m

n

n2 D

f m/ n2 D

m2 n2f 1/

với mọim; n2N:Nói riêng, ta cóf x/D kx2với mọix QC:Dof đơn điệu tậpRC trù mật trongQCnên ta cóf x/Dkx2với mọix > 0:Hàm thỏa mãn yêu cầu đề

Bài toán (Bulgaria, 1998) Chứng minh không tồn hàm sốf WRC !RCthỏa mãn

f2.x/f xCy/

f x/Cy

(2.7)

với cặp số thực dươngx; y:

Lời giải Giả sử tồn hàm sốf Khi đó, ta viết lại giả thiết dạng

f2.x/Cyf x/ yf x/f xCy/

f x/Cy

;

hay

f x/Cy

f x/ f xCy/

Từ đây, ta có

f x/ f xCy/ yf x/

f x/Cy

với mọix; y 2RC:Kết chứng tỏf hàm giảm thực trênRC:Bây giờ, ta cố địnhx0 2RCvà chọn số tự nhiênnsao chonf xC1/1:Khi đó, ta có

f

xC k

n

f

xC kC1

n

f xC k n

1n

f xCkn

C 1n >

f xC1/ 1n

f xC1/C 1n n n n C n D 2n

với mọik 2N; k < n:(Chú ý hàm sốg.t /D t

t Cu vớiu > 0là hàm tăng trênR

C:)

Trong bất đẳng thức trên, choknhận giá trị từ0đếnn 1và cộng tất bất đẳng thức lại theo vế Khi đó, ta thu kết sau

f x/ f xC1/ >

2 (2.8)

với mọix > 0:Bây giờ, chọn số tự nhiênmsao chom2f x/;ta có

f x/ f x Cm/D

f x/ f xC1/

C C

f xCm 1/ f m/

> m

2 f x/;

từ suy raf xCm/ < 0;mâu thuẫn Vậy khơng tồn hàmf thỏa mãn (2.7)

Nhận xét Bài toán xuất đề thi IMC năm 1999 ời giải đáp án Để thiết lập tính chất (2.8) trên, ta sử dụng tổng sai phân Đây phép tốn thú vị giúp ta thu nhiều chất quan trọng tốn có dạng “hiệu” Ngoài cách giải nêu trên, ta có cách khác sử dụng dãy truy hồi sau: Thayy Df x/vào (2.7), ta thu

f xCf x/

f x/

2 (2.9)

với mọix > 0:Trong ta thayxbởixCf x/thì có

f xCf x/Cf xCf x/

f xCf x/

2

f x/ 22 với mọix > 0:Mặt khác, theo (2.9), ta cóxCf x/Cf xCf x/

xCf x/Cf x/

2 :

Từ đó, sử dụng tính nghịch biến hàmf;ta thu

f

xC

1C

2

f x/

f x/

22 (2.10)

với mọix > 0:Từ (2.9) (2.10) kết hợp vớif nghịch biến, cách sử dụng liên tục phép thayxbởixCf x/;ta dễ dàng chứng minh

f

xC

1C1

2 C C 2n f x/ f x/

với mọix > 0vàn2 N:Do1C

2 C C 2n D2

1

2n < 2vàf giảm nên từ trên, ta suy

f xC2f x/ f x/

2nC1

với mọix > 0vàn2N:Trong bất đẳng thức trên, ta chon! C1thì thu

f xC2f x/

0;

mâu thuẫn vìf ln nhận giá trị dương

Bài tốn (Bulgaria, 2008) Tìm tất hàmf WR!Rthỏa mãn

f x Cy2/.yC1/f x/ (2.11)

với cặp số thựcx; y:

Lời giải Thayy D 1và thayx bởix 1vào (2.11), ta thu

f x/0

với mọix 2R:Từ đây, kết hợp với (2.11), ta suy

f xCy/ pyC1f x/f x/

với mọix 2Rvà với mọiy 0:Kết chứng tỏf hàm không giảm trênR: Bây giờ, ta viết lại (2.11) dạng

f x Cy2/ f x/yf x/ (2.12)

với mọix; y 2R;và xét hai dãy.an/; bn/vớia0 Db0 D0;

an D1C

1

22 C C

1

n2; bnD1C

1

2 C C n:

Trong (2.12), ta thayxbởixCak thayybởi

1

kC1 có f x CakC1/ f xCak/

f xCak/

kC1

f x/ kC1

với mọix 2Rvàk2N:Trong bất đẳng thức trên, chok D0; 1; : : : ; n 1và cộng tất bất đẳng thức lại theo vế, ta thu

f x Can/ f x/bnf x/

với mọix 2Rvàn2 N:Mặt khác, ta dễ dàng chứng minh đượcan< 2vàbn! C1(đây hai kết quen thuộc, bạn đọc tự chứng minh) Do đó, từ bất đẳng thức trên, ta có

f x C2/ f x/f xCan/ f x/bnf x/

Nhận xét Ngoài cách sử dụng tổng sai phân thông qua hai dãy.an/; bn/như trên, ta tiếp cận tốn theo cách khác sau: Ta xétx; y thayy py vào bất phương trình (2.11) thu

f xCy/ pyC1

f x/; 8x; y0:

Đến đây, cách sử dụng liên tiếp bất đẳng thức trên, ta có

f xCy/Df

xC n 1/y

n C

y n

ry

n C1

f

xC n 1/y

n

D

r

y n C1

f

xC.n 2/y

n C

y n

r

y n C1

2

f

xC n 2/y

n

r

y n C1

n

f x/

với mọix; y 0vàn2N:Từ đó, ta suy

f x/D0 (2.13)

với mọix 0:Thật vậy, giả sử tồn tạix0 0sao chof x0/ > 0:Thayx D x0vào bất đẳng thức cố địnhy Dy0> 0;sau chon! C1thì có

f x0Cy0/

f x0/ lim n!C1

1C

r

y n

n

D C1:

Mâu thuẫn chứng tỏ khơng tồn sốx0 nói trên, hay nói cách khác, (2.13) Bây giờ, ta xétx < 0và thayy Dp xvào (2.11)

0Df 0/ p xC1f x/0

với mọix < 0:Từ suy raf x/D0với mọix < 0:Tóm lại, ta cóf x/D0với mọix2 R: Đơi khi, ta sử dụng cơng thức nghiệm phương trình sai phân để tìm cơng thức tổng quát cho dãy lặp f x/;rồi từ dựa vào miền giá trị củaf x/ mà suy tính chất đặc biệt hàm số cho

Bài tốn Tìm tất hàm sốf WRC!RCthoả mãn

f f x/D6x f x/ với số thực dươngx:

Lời giải Cố định x > 0và đặtf0.x/ D x; fn.x/ D f fn 1.x/

:Từ giả thiết, cách sử dụng quy nạp, ta chứng minh

fnC2.x/CfnC1.x/ 6fn.x/ D0

với mọin2N:Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp hai nên cách xét phương trình đặc trưng nó, ta tìm cơng thức tổng qt củafn.x/là

fn.x/D

2x f x/

5 3/

n

C3xCf x/

5

với mọin2N:Dofn.x/ > 0nên kết trên, ta suy

2x f x/

3

n

C3xCf x/ >

với mọin2N:Nếu2x f x/ > 0thì cách xétnlẻ,nD2kC1và chok! C1;ta thấy bất đẳng thức khơng thể ln Cịn nếu2x f x/ < 0thì cách xétn

chẵn,nD2kvà chok! C1;ta thu kết luận tương tự Do vậy, ta phải có

f x/D2x:

Hàm thoả mãn yêu cầu tốn

Nhận xét Bài tốn giải phương pháp kẹp dãy số sau: Xét hai dãy số.an/và.bn/được xác định bởia0 D0; b0 D6và

anC1 D

6 1Cbn

; bnC1 D

6 1Can

:

Dễ thấyan; bn> 0với mọin1:Ta có

anC2 D

6

1CbnC1 D

6 1C 1C6an

D 6.1Can/

anC7

;

do

janC2 2j D

4jan 2j

anC7

7jan 2j:

Từ đây, cách sử dụng nguyên lý ánh xạ co, ta chứng minh lima2nDlima2nC1 D2; hay liman D2:Tương tự, ta có limbn D2:

Bây giờ, ta chứng minh quy nạp

anx < f x/ < bnx (2.14)

với mọin 2N:Dof f x/> 0nên6x f x/ > 0;từ ta dễ thấy khẳng định với

nD0:Giả sử khẳng định vớinDk;tức ta có

akx < f x/ < bkx:

Khi đó, thayxbởif x/vào bất đẳng thức sử dụng giả thiết, ta thu

akf x/ < f f x/

< bkf x/; hay

akf x/ < 6x f x/ < bkf x/: Từ đây, ta dễ dàng suy

akC1x D

6 1Cbk

x < f x/ < 1Cak

x DbkC1x:

Như vậy, khẳng định vớinDkC1:Bất đẳng thức (2.14) chứng minh

Bài tốn (APMO, 1989) Tìm tất song ánh tăng thực sựf WR!Rthoả mãn

f x/Cg.x/D2x với mọix 2R;trong đóg.x/là hàm ngược củaf x/:

Lời giải Đặt f0.x/ D xvà fn.x/ D f fn 1.x/

; tương tự chogn.x/:Thay x bởif x/vào phương trình đề bài, ta đượcf2.x/Cx D2f x/:Từ đó, quy nạp, ta chứng minh

fnC2.x/ 2fnC1.x/Cfn.x/D0: Giải phương trình sai phân này, ta tìm

fn.x/DxCn

f x/ x

với mọin2N:Một cách tương tự, ta chứng minh

gn.x/DxCng.x/ xDx nf x/ x:

Dof x/là song ánh tăng ngặt nênfn.x/vàgn.x/cũng hàm tăng thực Do đó, với

x > y;ta cófn.x/ > fn.y/vàgn.x/ > gn.y/:Nói cách khác, ta có

xCnf x/ x> yCnf y/ y,nnf x/ x f y/ yo> y x (2.15)

x nf x/ x> y nf y/ y,nnf x/ x f y/ yo< x y: (2.16)

Nếu f x/ x > f y/ y cách chon ! C1trong (2.16), ta thu điều mâu thuẫn Cịn nếuf x/ x < f y/ ythì cách chon! C1trong (2.15), ta có kết tương tự Do vậy, ta phải có

f x/ xDf y/ y

với mọix > y:Nói cách khác,f x/DxCcvới mọix (ở đâyc số đó) Hàm thoả mãn yêu cầu toán

Nhận xét Bài toán đề dự tuyển IMO năm 1979

Bài tốn (BMO, 2009) Tìm tất hàm sốf WN!Nthoả mãn

f f2.m/C2f2.n/

Dm2C2n2 (2.17)

với cặp số nguyên dươngm; n:

Lời giải Từ giả thiết, dễ thấyf đơn ánh Chú ý với mọin2N;ta có

.nC4/2C2.nC1/2 Dn2C2.nC3/2:

Suy

f f2.nC4/C2f2.nC1/

Df f2.n/C2f2.nC3/

Tạp chí Epsilon, Số 05, 10/2015

Dof đơn ánh nên từ đẳng thức này, ta suy

f2.nC4/C2f2.nC1/Df2.n/C2f2.nC3/:

Đây phương trình sai phân tuyến tính cấp4của dãyf2.n/:Giải phương trình này, ta tìm

f2.n/ DAn2CBnCC CD 1/n (2.18)

với mọin2 N:Bây giờ, ta tìm giá trị cụ thể củaA; B; C; D:Lấy bình phương hai vế (2.17) sử dụng (2.18), ta

AA.m2C2n2/CB.mC2n/C3C CD 1/mC2D 1/n2

CBA.m2C2n2/CB.mC2n/C3C CD 1/mC2D 1/n

CC CD 1/A.m2C2n2/CB.mC2n/C3CCD 1/mC2D 1/n D.m2C2n2/2:

Cố địnhn:Chia hai vế đẳng thức chom4rồi chom ! C1;ta tìm đượcAD1:Do

.m2C2n2/CB.mC2n/C3C CD 1/mC2D 1/n2

CB

.m2C2n2/CB.mC2n/C3C CD 1/mC2D 1/n

CC CD 1/.m2C2n2/CB.mC2n/C3CCD 1/mC2D 1/n D.m2C2n2/2;

hay

2.m2C2n2/B.mC2n/C3C CD 1/mC2D 1/n

C

B.mC2n/C3C CD 1/mC2D 1/n2

CB

.m2C2n2/CB.mC2n/C3C CD 1/mC2D 1/n

CC CD 1/.m2C2n2/CB.mC2n/C3CCD 1/mC2D 1/n D0:

Cố địnhn:Chia hai vế đẳng thức chom3rồi chom! C1;ta tìm đượcB D0:Do đó, đẳng thức viết lại thành

2.m2C2n2/

3C CD 1/mC2D 1/n

C

3C CD 1/mC2D 1/n2

CC CD 1/.m2C2n2/C3CCD 1/mC2D 1/n D0:

Trong đẳng thức trên, xétmchẵn,nchẵn chom; n! C1;ta dễ thấyC CD D0:Tương tự, xétmlẻ,nlẻ chom; n! C1;ta cóC D D0:Do đóC DD D0:Tóm lại, ta cóA D1vàB D C D D D 0:Suy f2.n/ Dn;hayf n/ Dnvới mọin2 N:Hàm thoả mãn u cầu tốn

Đơi khi, ta phải xử lý toán với hàm liên tục Khi đó, tính chất thường sử dụng là:

Nếu hàm sốf liên tục tạix0thì lim x!x0

f x/Df x0/:

Nếu hàm sốf liên tục từ khoảngAvào khoảngB đơn ánh.A; B R/thì hàm đơn điệu thực

Nếu hàm sốf liên tục từ khoảngARvào khoảngB R;vàf x1/Da; f x2/Db (vớix1; x2 2Avàa; b 2B; a < b) thìf nhận giá trị trênŒa; b:

Nếu hàm sốf liên tục từ AvàoB vàf x/ Ô M (A; B R; M l hng s) hai điều sau thoả mãn:

ı f x/ > M với mọix 2AI ı f x/ < M với mọix 2A:

Bài toán Tìm tất hàm liên tụcf WR!Rthoả mãn

f f x/Df x/C2x với số thựcx:

Lời giải Từ giả thiết, dễ thấyf đơn ánh vàf 0/ D 0:Dof liên tục nên hàm đơn điệu thực Tiếp theo, ta chứng minhf toỏn ỏnh Tht vy, gi s tn ti sa2Rf x/Ôa với số thựcx:Khi đó, ta cóf x/ > avới mọix 2Rhoặcf x/ < x với mọix2 R: Giả sửf x/ > avới mọix 2R:Nếuf giảm ngặt ta có

2xCa < 2xCf x/Df f x/< f a/

với mọix;mâu thuẫn Do đóf tăng ngặt Suy ra, với mọix < 0;ta có

f x/ > f x/C2x Df f x/

> f a/:

Dof tăng ngặt nên từ đây, ta cóx > avới mọix < 0;mâu thuẫn

Tương tự, trường hợpf x/ < a với mọix R;ta thu điều mâu thuẫn Như vậy,f tồn ánh song ánh

Bây giờ, đặtf0.x/Dxvàfn.x/Df fn 1.x/

;ta chứng minh

fnC2.x/ fnC1.x/ 2fn.x/D0 với mọin2N:Từ suy

fn.x/D

2x f x/

3 1/

n

CxCf x/

3

n:

Dof song ánh nên tồn hàm ngược Gọig.x/là hàm ngược củaf x/và đặtg0.x/Dx;

gn.x/Dg gn 1.x/

:Thayxbởig.x/vào phương trình ban đầu, ta

2g.x/Cx f x/D0 (2.19)

với mọix 2R:Trong (2.19), ta tiếp tục thayxbởig.x/thì thu

2g2.x/Cg.x/ xD0 với mọix 2R:Từ đó, quy nạp, ta chứng minh

với mọin2N:Suy

gn.x/D

x 2g.x/

3 1/

n

C 2xC2g.x/

3

1

n

:

Từ (2.19) suy ra2g.x/Df x/ x:Do

gn.x/D

2x f x/

3 1/

n

C xCf x/

3

1

2

n

với mọin2N:Xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1:f tăng ngặt.Dễ thấyfn.x/vàgn.x/cũng tăng ngặt Dof 0/ D0nêng.0/D0 vàgn.0/ D0:Với số thựcx > 0;ta cógn.x/ > gn.0/D0nên

2x f x/

3 1/

n

C xCf x/

3

1

n

>

với mọin 2N:Nếu2x f x/ > 0thì cách chonlẻ vàn ! C1;ta thu điều mâu thuẫn Còn nếu2x f x/ < 0thì cách chonchẵn vàn! C1;ta thu kết tương tự Do đó, ta cóf x/D2xvới mọix > 0:

Chứng minh tương tự, ta cóf x/D2xvới mọix < 0:Như vậy, trường hợp này, ta tìm đượcf x/D2x:Hàm thoả mãn yêu cầu toán

Trường hợp 2:f giảm ngặt.Dễ thấyf2n.x/tăng ngặt,f2nC1.x/giảm ngặt vàfn.0/D0:Với mỗix > 0;ta cóf2n.x/ > f2n.0/D0Df2nC1.0/ > f2nC1.x/nên

2x f x/

3 C

xCf x/

3

n

> > f x/ 2x

3 C

xCf x/

3

2nC1

với mọin2N:NếuxCf x/ < 0thì cách chon! C1;bất đẳng thức vế trái thoả mãn Cịn nếuxCf x/ > 0thì cách chon! C1;bất đẳng thức vế bên phải thoả mãn Do vậy, ta phải cóf x/D x với mọix > 0:

Chứng minh tương tự, ta cóf x/D xvới mọix < 0:Tóm lại, trường hợp này, ta cóf x/D xvới mọix:Hàm thoả mãn yêu cầu toán

Bài toán 10 (Chọn đội tuyển ĐH Vinh, 2012) Tìm tất hàm sốf liên tục từ tậpŒ0; C1/ vàoŒ0; C1/thoả mãn đẳng thức

2f x/Df

x x2CxC1

Cf

xC1

với số thực không âmx:

Lời giải Dof liên tục trênŒ0; C1/nên liên tục trênŒ0; 1:Từ suy tồn số

a; b 2Œ0; 1sao cho

f a/D max

x2Œ0; 1f x/DM

f b/D

Do2M D2f a/Df a C1 Cf a

a2CaC1

và

f

aC1

M; f

a a2CaC1

M

(chú ý aC1

2 1và

a

a2CaC1 < 1) nên ta suy

f a C1 DM:

Từ đây, quy nạp, ta chứng minh

f

aC2n 2n

DM

với mọin2N:Trong đẳng thức này, chon! C1;ta đượcf 1/DM:Chứng minh tương tự, ta cóf 1/Dm:Do đóM Dm:Điều chứng tỏf hàm đoạnŒ0; 1:

Giả sửf x/cvới mọix 2Œ0; 1:Khi đó, ta viết lại phương trình ban đầu dạng

f x/D

2f x C1 C 2c:

Từ đẳng thức này, ta chứng minh quy nạp

f x/D

2nf

xC2n 2n C C

22 C C

1 2n

c

với mọin2N:Chon! C1;ta đượcf x/c:Hàm thoả mãn yêu cầu đề

Bài tốn 11 Tìm tất hàm sốf liên tục từRvàoRthỏa mãn điều kiện:

f x Cf yCz/Cf y Cf zCx/Cf zCf xCy/D0 (2.20)

với số thựcx; y; z:

Lời giải Dễ thấyf x/0là nghiệm phương trình nên ta cần xétf x/60:

Thayx; y; zbởi x

2 vào (2.20), ta thu

fx

2 Cf x/

D0

với mọix 2R:Tiếp tục, thayxbởi x

2 Cf x/vào đẳng thức trên, ta f

x

22 C

1 2f x/

D0

với mọix 2R:Từ đây, quy nạp, ta chứng minh

f

x 2nC1 C

1 2nf x/

với mọix 2Rvàn2N:Trong đẳng thức trên, cố địnhxvà chon! C1;sau sử dụng tính liên tục củaf;ta suy raf 0/D0:Từ đây, cách thayx Dy vàz D xvào (2.20), ta có

f f 2x/ xD 2f x/

với mọix 2R:Dof x/60nờn tn tix0sao chof x0/Ô0:Xột dóy.an/c xỏc nh bi

a0Dx0vàanC1 Df 2an/ an:Khi đó, dễ thấy

f an/D 2f an 1/D 2/2f an 2/D D 2/nf x0/ với mọin2N:Nếuf x0/ > 0thì ta có lim

n!C1f a2n/D C1và

lim

n!C1f a2n 1/D 1:

Cịn nếuf x0/ < 0thì ta có kết ngược lại Nhưng hai trường hợp này, ta thấy rằngf x/khơng bị chặn, màf liên tục nên toàn ánh

Đến đây, cách thayy Dz D0vào (2.20), ta có

2f f x/

Cf x/D0

với mọix 2R:Dof tồn ánh nên ta cóf x/D x

2; 8x 2R:Thử lại, ta thấy thỏa mãn

Vậy phương trình cho có hai nghiệm làf x/D0vàf x/D x

2:

Bài toán 12 (IMO, 2013) Cho hàm sốf xác định tậpQCvà nhận giá trị tậpRthỏa

mãn đồng thời điều kiện sau:

(1) f x/f y/f xy/với mọix; y2 QCI (2.21)

(2) f xCy/f x/Cf y/với mọix; y 2QCI (2.22)

(3) tồn số hữu tỉa > 1sao chof a/ Da: (2.23)

Chứng minh rằngf x/Dxvới mọix 2QC:

Lời giải Thayx D avày D 1vào (2.21), ta đượcaf 1/ a;tứcf 1/ 1:Từ đây, cách sử dụng quy nạp kết hợp với (2.22), ta chứng minh

f n/ n

với mọin2N:ThayxD p

q vớip; q 2N

; p; q/D1vày Dqvào (2.21), ta được

f

p q

f q/f p/p > 0:

Màf q/ q > 0nên từ ta có

f x/ >

với mọix QC:Kết hợp với (2.22), ta suy raf x/là hàm tăng thực trênQC:Bây giờ, từ (2.21), sử dụng quy nạp kết hợp vớif a/Da;ta thu

với mọin2N:Ta chứng minh

f x/x (2.24)

với x 1; x QC: Thật vậy, giả sử có x0 cho f x0/ < x0: Khi đó, đặt

f x0/Dx0 "với0 < " < x0:Sử dụng quy nạp kết hợp với (2.21), ta có

f x0n/fn.x0/D.x0 "/n với mọin2N:Mặt khác, dof tăng nên ta có

f x0n/f bx n 0c

bx0nc x n 1: Do đó, kết hợp với bất đẳng thức trên, ta thu

xn0 1.x0 "/n

với mọin 2N:Nhưng, điều rõ ràng bất đẳng thức sai vớinđủ lớn Mâu thuẫn cho ta điều vừa khẳng định, tức (2.24) Tiếp theo, ta chứng minh

f x/Dx (2.25)

với mọix 1; x 2QC:Chọnn2 Nsao choanxC1:Khi đó, ta có

anf an/Df an x/Cx f an x/Cf x/.an x/Cx Dan:

Do vậy, dấu đẳng thức đánh giá phải xảy (2.25) ThayxD p

q vớip; q 2N

; p; q/D1vày Dq vào (2.21), ta suy ra

f x/x

với mọix 2QC:Từ (2.22) sử dụng phương pháp quy nạp, ta có

f nx/nf x/

với mọix 2QCvàn2N:Từ đó, chox D

p

q vớip; q 2N

; p; q/D1vànDq;ta được

f x/x

với mọix 2QC:Vậyf x/Dxvới mọix 2QC:Ta thu kết cần chứng minh

Bài tốn 13 Tìm tất hàm sốf WR!Rthỏa mãn đồng thời điều kiện:

(1) f xC1/f x/C1với mọix 2RI (2.26)

(2) f xy/f x/f y/với mọix; y2 R: (2.27)

Lời giải Thay x D y vào (2.27), ta đượcf x2/ f2.x/ 0: Từ suy raf x/ với x 0:Do đó, cách thayx D 0vào (2.26), ta có f 1/ f 0/C1 1:Tiếp tục, thayx Dy D1vào (2.26), ta cóf 1/ f2.1/;tức0f 1/ 1:Kết hợp với trên, ta

f 1/D1và đóf 0/ D0:Từ (2.26) (2.27), quy nạp ta có

với mọix 2R; n2N;và

f xn/fn.x/ (2.29) với mọix 0vàn2N:Sử dụng (2.28), với mỗix > 0;ta có

f x/Df fxg C bxc

f fxg

C bxc bxc> x 1:

Từ đây, kết hợp với (2.29) (2.27), với mỗix > 1và với mỗin2N;ta thấy

.xn 1/fn

1

x

f xn/f

1

xn

f 1/D1:

Do vậy, ta có

f

1

x

pn

xn 1

với mọix > vàn N:Trong bất đẳng thức trên, cố địnhx > 1và chon ! C1;ta thu đượcf

x

x;hay nói cách khác (chú ý rằngf 0/ D0vàf 1/D1),

f x/x (2.30)

với mọix 2Œ0; 1:Mặt khác, (2.26) nên ta chứng minh quy nạp

f x n/f x/ n

với mọin2N:Với mỗix < 0;ta cóbxc< 0nên

f x/Df fxg C bxc

f fxg

C bxc fxg C bxc Dx: (2.31) Trong (2.27), ta thayx Dy Dt vớit 2Œ 1; 0thì có

f2.t /f t2/t2

nên suy rat f t / t:Kết hợp với kết trên, ta thu đượcf t / Dt với mọit 2Œ 1; 0:

Bây giờ, với mỗix < 1;sử dụng kết trên, ta có

1 x2f

2

.x/Df2.x/f2

1

x

f x2/f

1

x2

f 1/D1

nênf2.x/x2;suy rax f x/ x:Kết hợp kết với (2.31), ta đượcf x/Dx với mọix 0:Tiếp tục, thayy D 1vào (2.27) xétx > 0thì có

xDf x/f x/f 1/D f x/;

suy raf x/ x với x > 0:Kết hợp kết với (2.30), ta đượcf x/ D x với

x 2.0; 1/:Cuối cùng, xétx > 1;ta có

1

xf x/Df x/f

1 x

f 1/D1

Bài tốn 14 (MOSP, 2007) Tìm tất hàm sốf WR!Rthỏa mãnf 1/D1và

f

yf x/C x

y

Dxyf x2Cy2/ (2.32)

với cặp số thựcx; y y Ô0/:

Li gii Thay x D 0vo (2.32), ta cf yf 0/ D 0:Nu f 0/ Ô cách chọn

y D

f 0/;ta đượcf 1/D0;mâu thuẫn với giả thiết Do đó, ta phải cóf 0/D0:

Bây giờ, giả sử tồn tia1 Ô0sao chof a1/ D0:Thayx D a1 vy D 1vo (2.32), ta đượcf a21C1/D0:Từ đó, ta xây dựng dãy.an/vớianC1 Dan2C1thỏa mãn

f an/D0 với mọin2N:ThayxD1vào (2.32), ta

f

yC

y

Dyf y2C1/

vi miy Ô0:Tip tục, thayxbởixC

x vào (2.32) sử dụng kết trên, ta có

f

xyf x2C1/C x

C1 xy

D y.x

C1/

x f

.x2C1/2Cx2y2 x2

vi mix; y Ô0:Thayybi y

x vào phương trình trên, ta

f

yf x2C1/C x

C1 y

D y.x

C1/ x2 f

.x2

C1/2Cy2 x2

với mix; y Ô0:Mt khỏc, s dung (2.32), ta cng cú

f

yf x2C1/C x 2C1

y

Dy.x2C1/f x2C1/2Cy2

:

Kết hợp với đẳng thức trên, ta

y.x2C1/ x2 f

.x2C1/2Cy2 x2

Dy.x2C1/f x2C1/2Cy2

;

hay

f

.x2C1/2Cy2 x2

Dx2f x2C1/2Cy2

(2.33)

nên tồn tạim2Nsao choam > b:Bây giờ, với ý rằngb > >

b am C

12

;ta chọn

x2D b

am

vày2Db b am

C12

để có

8 ˆ < ˆ :

.x2C1/2Cy2 Db x2C1/2Cy2

x2 Dam

Thay số vào (2.33), ta thu đượcf am/D

b am

f b/;hayf b/D0;mâu thuẫn Và thế, ta chứng minh đượcf x/D0khi khix D0:

Bây giờ, vi mix Ô0;ta cú th chny choyf x/C x

y Dx

2

Cy2(đây phương trình bậc ba ẩny nên ln có nghiệm thực) Thay vào (2.32), ta

.1 xy/f x2Cy2/D0:

Tuy nhiờn, theo chng minh trờn thỡf x2Cy2/Ô0:Do ú, ta phải cóy D

x:Suy

xf x/Cx

2

Dx2C

x2; từ ta dễ dàng tìm đượcf x/D

x vi mix Ô0:Ta i n kt lun: f x/D

8 ˆ < ˆ :

0 nếux D0

x nux Ô0

Hm ny tha cỏc yêu cầu toán

3 Một số bất phương trình hàm xây dựng các tập rời rạc

Bài toán 15 Với hàmg W ZC ! ZC; g.1/ D 1cho trước, chứng minh tồn tại

hàm sốf WZC!ZCthoả mãn

f n/ > g.n/ với mọin2 ZC;và

f mn/Df m/f n/ với cặp số nguyên dương nguyên tố nhaum; n:

Lời giải Ta xây dựng hàmf thoả mãn điều kiện Xét dãy faigi2ZC D.2; 3; 4; 5; 7; 8; 9; 11; : : :/

là dãy tăng luỹ thừa số nguyên tố Các số dãy có dạngp˛j

i xếp theo thứ tự tăng dần Ta có nhận xét rằng, hàmf WZC !ZCcó tính chấtf mn/Df m/f n/ khi.m; n/ D1thì giá trị xác định dựa dãyf ai/:

Chọnf a1/ > g.a1/:

Giả sử sốf a1/; f a2/; : : : ; f ak 1/đã xác lập Xét tất số dạngg.s/; vớis tích số khác từ tậpfa1; a2; : : : ; akg:Ta chọn số bất kỳf ak/lớn tất số dạngg.s/:

Ta chọn dãy giá trịf ai/và thêm điều kiện nhân tính.f mn/Df m/f n//sẽ xác lập nên hàmf WZC!ZC:Hàmf thiết lập thoả mãn yêu cầu đề Thật vậy, với mọin2ZC;ta biểu diễnnDai1ai2 aip vớii1< i2< < ip:Do

f n/Df ai1ai2 aip/Df ai1/f ai2/ f aip/f aip/ > g.ai1ai2 aip/Dg.n/:

Bài toán chứng minh xong

Bài toán 16 (Trung Quốc, 1993) Cho hàm sốf WRC !RCthoả mãn

f xy/f x/f y/ (3.1)

với mọix; y > 0:Chứng minh với mọix > 0vàn2ZCthì

f xn/f x/pf x2/p3

f x3/ pn

f xn/: (3.2)

Lời giải Ta chứng minh quy nạp theon:Dễ thấy khẳng định vớinD1:Giả sử khẳng định (3.2) với số1; 2; : : : ; n:Khi đó, ta có

f xk/f x/pf x2/p3

f x3/ qk

f xk/ vớikD1; 2; : : : ; n:Nhânnbất phương trình lại, ta thu

fn.x/f n21.x2/ f

n.xn/f x/f x2/ f xn/:

Nhân hai vế bất phương trình vớif x/f x2/ f xn/;ta

fnC1.x/f nC21.x2/ f nC1

n xn/f2.x/f2.x2/ f2.xn/:

Mặt khác, sử dụng (3.1), ta lại có

VPD n

Y

iD1

f xi/f xnC1 i/

fn.xnC1/:

Kết hợp với đánh giá trên, ta suy

fnC1.x/f nC21.x2/ f nC1

n xn/fn.xnC1/:

Nhân hai vế bất phương trình cuối chof xnC1/và lấy bậcnC1hai vế, ta suy khẳng định (3.2) vớinC1:Theo nguyên lý quy nạp, ta có khẳng định với mọin:

Nhận xét Bằng cách đặtanDlnf xn/;ta phát biểu tốn lại dạng dãy số sau: Choa1; a2; : : :là dãy số thực thoả mãnaiCj Caj với mọii; j D1; 2; : : : Chứng minh với mọin2 ZCthì

a1C

a2

2 C C an

n an:

Bài tốn 17 Tìm tất sốa > 0sao cho tồn sốK > 0và hàmf WR!Rthoả

mãn

f x/Cf y/

2 f

x

Cy

CKjx yja

với cặp số thựcx; y:

Lời giải Từ giả thiết, ta suy

f xC2y

Cf y/

2 f

xC3y

C K

2ajx yj a;

f x/Cf xC2y

2 f

3x

Cy

C K

2ajx yj a

; f 3x4CyCf xC43y

2 f

x

Cy

C K

2ajx yj a

:

(3.3)

(3.4)

(3.5)

Lấy (3.3)C(3.4)C2(3.5);ta

f x/Cf y/

2 f

x

Cy

C K

2a 2jx yj a

:

Từ đây, cách lặp lại quy trình trên, ta chứng minh quy nạp

f x/Cf y/

2 f

xCy

C K

2n.a 2/jx yj a

với mọin 2N:Nếua < 2thỡ bng cỏch choxÔy vn! C1;ta thu c iu mâu thuẫn Do đóa2:Ta chứng minh tập hợp tất số thựcathoả mãn yêu cầu đề Thật vậy, vớia2;xétf x/D jxjavàK D

2a;ta chứng minh bất đẳng thức đầu thoả mãn với cặp số thựcx; y;tức

jxja C jyja

2

ˇ ˇ ˇ ˇ

xCy ˇ ˇ ˇ ˇ a Cˇˇ

ˇ x y ˇ ˇ ˇ a : (3.6)

Đặtf x; y/DVT(3.6) VP(3.6);ta có

f x; y/Df x; y/Df x; y/Df x; y/:

Do đóf x; y/là hàm chẵn vớixvà vớiy:Vì vậy, khơng tính tổng quát, ta giả sử

x 0vày 0:Khi đó, bất đẳng thức (3.6) viết lại dạng

xaCya

2

x

Cy

a

Cˇˇ ˇ x y ˇ ˇ ˇ a :

VớixCy D0;ta cóxDy D0nên bất đẳng thức hiển nhiên

Xét trường hợpxCy > 0:Khi đó, bất đẳng thức có dạng đối vớix; y nên ta chuẩn hốxCy D2:Theo đó, ta phải chứng minh

xaCya

2 1C

Do0ˇˇ ˇ

x y

2

ˇ ˇ ˇ

xCy

2 D1nên 1C

ˇ ˇ ˇ

x y

2

ˇ ˇ ˇ

a

1C x y/

4 D

x2Cy2

2 :

Mặt khác, theo bất đẳng thức trung bình luỹ thừa, ta lại có

xaCya

2

x2Cy2

a2

x 2Cy2

2 :

Do (3.7) chứng minh Bài tốn giải xong

4 Một số tập tự luyện

Để kết lại viết này, xin nêu thêm số toán để bạn đọc tự nghiên cứu thêm

Bài tập 4.1 (Bulgaria, 2008) Chof WRC !RClà hàm số thoả mãn

2f x2/xf x/Cx

với mọix > 0:Chứng minh rằngf x3/x2với mọix > 0:

Bài tập 4.2 (IMO Shortlist, 2005) Tìm tất hàm sốf WRC !RCthoả mãn

f x/f y/D2f xCyf x/

với cặp số dươngx; y:

Bài tập 4.3 (KHTN, 2010) Tìm tất hàm sốf WRC!RCthoả mãn

f xC2y/ f x y/D3f y/C2pf x/f y/

với cặp số dươngx > y:

Bài tập 4.4 Tìm tất hàmf WRC !RCthoả mãn

ff f x/

Cf f x/

D2xC5

với số thực dươngx:

Bài tập 4.5 (Brazil, 2012) Tìm tất toàn ánhf WRC!RCthoả mãn

2xf f x/

Df x/hxCf f x/i

với số thực dươngx:

Bài tập 4.6 (Việt Nam TST, 2007) Tìm tất hàm liên tụcf WR!Rthoả mãn

f x/Df

x2C x

3 C

Bài tập 4.7 Tìm tất hàm liên tụcf WR!Rthoả mãn

f 2xC1/Df x/

với số thựcx:

Bài tập 4.8 Tìm tất hàm liên tụcf WR!Rthoả mãn

f xCy f y/

Df x/Cf y f y/

với cặp số thựcx; y:

Bài tập 4.9 (Hà Nội, 2013) Tìm tất hàm liên tụcf WRC !RCthoả mãn đồng thời điều kiện sau

(1) f 2x/D2f x/với mọix > 0I (2) ff3.x/ ef x/

Dx2.ex 1/f x/với mọix > 0I (3) f e 1/D.e 1/f 1/I

(4) f k/2Nvới mọik2N:

Bài tập 4.10 (Turkey, 2013) Tìm tất hàmf W R ! RC thoả mãn đồng thời điều kiện

(1) f x2/Df2.x/ 2xf x/với mọix2 RI (2) f x/Df x 1/với mọix 2RI (3) f tăng thực trên.1;C1/:

Bài tập 4.11 (THTT, 2002) Tìm tất hàmf WR!Rthoả mãn

f x f y/

Df xCy2002/Cf f y/Cy2002

C1

với cặp số thựcx; y:

Bài tập 4.12 Tìm tất hàmf WR!Rthoả mãn

f x2/C4y2f y/ D

f xCy/Cy2

f x y/Cf y/

với cặp số thựcx; y:

Bài tập 4.13 (Tổng quát IMO 1992) Với số tự nhiênn2cho trước, tìm tất hàm sốf WR!Rthoả mãn đẳng thức

f xnCf y/DyCfn.x/

với cặp số thựcx; y:

Bài tập 4.14 (Saudi Arabia, 2014) Tìm tất hàmf WN!Nthoả mãn

f nC1/ > f n/Cf f n/

2

Bài tập 4.15 (Romania, 2004) Tìm tất đơn ánhf WN !Nthoả mãn

f f n/

nCf n/

2

với số nguyên dươngn:

Bài tập 4.16 (IMAR, 2009) Chứng minh với hàm sốf W RC ! RC tồn cặp số dươngx; ysao cho

f x Cy/ < yf f x/

:

Bài tập 4.17 (IMO, 2011) Cho hàm sốf WR!Rthoả mãn

f xCy/yf x/Cf f x/

với mọix; y 2R:Chứng minh rằngf x/D0với mọix 0:

Bài tập 4.18 (IMO Shortlist, 2009) Chứng minh không tồn hàmf WR!Rthoả mãn

f x f y/

yf x/Cx

với cặp số thựcx; y:

Bài tập 4.19 Cho hàm sốf WŒ0; 1 !Œ0; C1/thoả mãn

f x/Cf y/

2 f

x

Cy

C1

với mọix; y 2Œ0; 1:Chứng minh với mọia; b; c Œ0; 1; a < b < cthì

c b

c af a/C

b a

c af c/f b/C2:

Bài tập 4.20 Cho hàm sốf; gWŒ0; 1!Œ0; 1;trong đóf tăng nghiêm ngặt, thoả mãn

f g.x/Dx

với mọix 2Œ0; 1:Chứng minh với mọin2Nthì n

X

kD1

f

k

n

Cg

k

n

< n n:

Tài liệu tham khảo

[1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên),Một số chuyên đề toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Khoá bồi dưỡng giáo viên chuyên toán THPT, 2004

[2] Nguyễn Văn Mậu,Phương trình hàm với đối số biến đổi, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2015

[3] Nguyễn Trọng Tuấn,Các toán hàm số qua kỳ thi Olympic, NXB Giáo Dục, 2004 [4] Christopher G Small,Functional Equations and How to Solve Them, Springer, 2007 [5] An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities, Birkhauser, 2009 [6] Titu Andreescu, Iurie Boreico, Oleg Mushkarov, Nicolai Nikolov,Topics in Functional