Luyện Thi ĐH sử dụng PP đồ thị giải các bài toán phương trình, bất phương trình

Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Chuyên đề SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ Huỳnh Chí Hào I. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể hiện trong các tính chất sau. Xét các hệ thức ( ) ( ) f x g x = (1) ; ( ) ( ) f x g x > (2) ; ( ) ( ) f x g x < (3) Gọi , f g G G lần lượt là đồ thị hàm số ( ) ( ) , y f x y g x = = . Trên cùng một mặt phẳng tọa độ ( ) Oxy vẽ f G và g G . Ký hiệu f g D D D = ∩ là tập xác định của hệ thức, ta có: 1. Nghiệm của phương trình (1) là hoành độ điểm chung của f G và g G 2. Nghiệm của bất phương trình (2) là khoảng các giá trị của x mà trong đó f G nằm ở phía trên g G 3. Nghiệm của bất phương trình (3) là khoảng các giá trị của x mà trong đó f G nằm ở phía dưới g G Nhận xét 1 1. Phương trình (1) có nghiệm ⇔ f G và g G có điểm chung 2. Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ f G và g G không có điểm chung 3. Phương trình (1) có k nghiệm ⇔ f G và g G có k điểm chung 4. Phương trình (1) có k nghiệm phân biệt ⇔ f G và g G có k điểm chung khác nhau. Nhận xét 2 1. Bất phương trình (2) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc f G nằm ở phía trên g G 2. Bất phương trình (2) vô nghiệm ⇔ không có điểm nào thuộc f G nằm ở phía trên g G 3. Bất phương trình (2) luôn đúng với mọi x D ∈ ⇔ toàn bộ f G nằm ở phía trên g G Nhận xét 3 1. Bất phương trình (3) có nghiệm ⇔ có điểm thuộc f G nằm ở phía dưới g G 2. Bất phương trình (3) vô nghiệm ⇔ không có điểm nào thuộc f G nằm ở phía dưới g G 3. Bất phương trình (3) luôn đúng với mọi x D ∈ ⇔ toàn bộ f G nằm ở phía dưới g G Chú ý 1 Đối với hệ thức dạng ( ) 0 f x = (1) ; ( ) 0 f x > (2) ; ( ) 0 f x < (3) thì g G có phương trình 0 y = nên g G là trục hoành. Chú ý 2 Đối với hệ thức dạng ( ) f x m = (1) ; ( ) f x m > (2) ; ( ) f x m < (3) thì g G có phương trình y m = nên g G là đường thẳng vuông góc với trục tung tại điểm có tọa độ ( ) 0; m • Trong trường hợp này ta có thể thay việc vẽ g G trên D bằng việc lập BBT của hàm số ( ) y f x = trên D . Các hệ thức trên còn được gọi là có dạng “tách ẩn” hoặc dạng “cô lập”. Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP II. ÁP DỤNG   Thí dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 2 1 1 x x x x m + + − − + = (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : D = » • Xét hàm số ( ) 2 2 1 1 y f x x x x x = = + + − − + trên » . Phương trình ( ) 1 có nghiệm ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f x = vẽ trên » . • Lập BBT của hàm số ( ) y f x = trên D . Ta có: ( ) 2 2 2 1 2 1 ' 2 1 2 1 x x f x x x x x + − = − + + − + ( ) ( ) ( ) 2 2 ' 0 2 1 1 2 1 1 f x x x x x x x = ⇔ + − + = − + + (2) Bình phương hai vế (2), ta được phương trình hệ quả ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 4 4 1 1 4 4 1 1 0 x x x x x x x x x + + − + = − + + + ⇔ = Thử lại, ta thấy 0 x = không thỏa (2). Vậy ( ) ' 0 f x = vô nghiệm Do ( ) ' 0 f x = vô nghiệm ⇒ ( ) ' f x không đổi dấu trên » , mà ( ) ' 0 1 0 f = > ⇒ ( ) ' 0, f x x > ∀ ∈ » ⇒ ( ) f x đồng biến trên » . Giới hạn: ( ) 2 2 2 lim lim 1 1 1 x x x f x x x x x →+∞ →+∞ = = + + + − + và ( ) lim 1 x f x →−∞ = − Bảng biến thiên x - ∞ + ∞ ( ) ' f x + ( ) f x 1 -1 • Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm ⇔ 1 1 m − < < .  MINH HỌA ĐỒ THỊ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 2. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 2 m x x x − + = + (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : D = » Khi đó: ( ) 2 2 1 2 2 x m x x + ⇔ = − + (2) • Xét hàm số ( ) 2 2 2 2 x y f x x x + = = − + trên » . Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x ∈ » ⇔ đường thẳng y m = có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số ( ) y f x = vẽ trên » . • Lập BBT của hàm số trên trên D . Ta có: ( ) ( ) 2 2 4 3 ' 2 2 2 2 x f x x x x x − = − + − + ( ) 4 ' 0 3 f x x = ⇔ = Gi ớ i h ạ n: 2 2 lim ( ) lim 1 2 2 x x x f x x x →−∞ →−∞ + = = − − + và 2 2 lim ( ) lim 1 2 2 x x x f x x x →+∞ →+∞ + = = − + Bảng biến thiên x −∞ 4 3 +∞ ( ) ' f x + 0 ̶̶ ( ) f x 10 1 − 1 • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (2) có hai nghi ệ m phân bi ệ t x ∈ » ⇔ 1 10 m< < .  MINH HỌA ĐỒ THỊ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 3. Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 1 x mx x + + = + (1) Lời giải. • Do 0 x = không phải là nghiệm của phương trình (1) nên ( ) 2 2 2 2 3 4 1 1 3 4 1 (2) 1 2 1 1 2 4 4 1 2 2 x x x x mx m x x x x mx x x x  + −   + − = =  ≥ −    ⇔ ⇔ ⇔    ≥ −    + + = + + ≥ −     • Xét hàm số ( ) 2 3 4 1 x x y f x x + − = = trên 1 ; 2 D   = − +∞     . Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt 1 ; 2 x   ∈ − +∞     ⇔ đường thẳng y m = có hai điểm chung khác nhau với đồ thị hàm số ( ) y f x = vẽ trên 1 ; 2   − +∞     . • Lập BBT của hàm số trên trên D . Ta có: ( ) { } 2 2 3 1 1 ' , ; \ 0 2 x f x x x +   = > ∀ ∈ − +∞     Giới hạn: 2 3 4 1 lim ( ) lim x x x x f x x →+∞ →+∞ + − = = +∞ Bảng biến thiên x 1 2 − 0 +∞ ( ) ' f x + + ( ) f x +∞ +∞ 9 2 −∞ • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có hai nghi ệ m phân bi ệ t ⇔ 9 2 m ≥ .  MINH HỌA ĐỒ THỊ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 4. Tìm m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 4 4 2 2 2 6 2 6 x x x x m + + − + − = (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ] 0;6 D = • Xét hàm số ( ) 4 4 2 2 2 6 2 6 y f x x x x x = = + + − + − trên [ ] 0;6 . Phương trình ( ) 1 có nghiệm trên [ ] 0;6 ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f x = vẽ trên [ ] 0;6 . • Lập BBT của hàm số ( ) y f x = trên D . Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 ' 2 6 2 2 2 6 f x x x x x = + − − = − − ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 1 1 , 0;6 2 2 2 6 2 6 x x x x x       = − + − ∀ ∈     −     −   Đặ t ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 4 4 1 1 1 1 , 2 6 2 6 u x v x x x x x = − = − − − . Ta th ấ y ( ) ( ) 2 2 0 u v = = nên ( ) ' 2 0 f = M ặ t khác ( ) ( ) , u x v x cùng d ươ ng trên ( ) 0;2 , cùng âm trên ( ) 2;6 nên ta có Bảng biến thiên x 0 2 6 f’(x) + 0 ̶̶ f(x) 6 3 2 + 4 2 6 2 6 + 4 12 2 3 + • Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình ( ) 1 có nghiệm trên [ ] 0;6 ⇔ 4 2 6 2 6 3 2 6 m + ≤ < + . MINH HỌA ĐỒ THỊ Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( )( ) ( ) 6 2 4 2 2 4 4 2 2 x x x m x x + + − − = + − + − (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ] 1;4 D = • Đặt ẩn phụ 4 2 2 t x x = − + − với [ ] 1;4 x ∈ . Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi [ ] 1;4 x ∈ Ta có: 1 1 2 2 2 4 ' 2 4 2 2 2 4 . 2 2 x x t x x x x − − − + − = + = − − − − , ( ) 1;4 x∀ ∈ ( ) ' 0 2 4 2 2 4 4 2 2 3 t x x x x x = ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = Bảng biến thiên x 1 3 4 ' t + 0 ̶̶ t 3 3 6 Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : ' 3;3 D   =   • Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2 4 4 t t m − + = (2) Phương trình (1) có nghiệm [ ] 1;4 x ∈ ⇔ Phương trình (2) có nghiệm 3;3 t   ∈   • Xét hàm số ( ) 2 4 4 y f t t t = = − + với 3;3 t   ∈   . Phương trình ( ) 2 có nghiệm 3;3 t   ∈   ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f t = vẽ trên 3;3     . • Lập BBT của hàm số ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) ' 2 4 f t t = − ; ( ) ' 0 2 f t t = ⇔ = Bảng biến thiên t 3 2 3 ( ) ' f t ̶̶ 0 + ( ) f t 7 4 3 − 1 0 • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 1;4 x ∈ ⇔ 0 1 m ≤ ≤ .  Chú ý: Khi đặ t ẩ n ph ụ ta ph ả i tìm tập giá trị của ẩn phụ và chuy ể n ph ươ ng trình sang ph ươ ng trình theo ẩ n ph ụ v ớ i t ậ p xác đị nh là t ậ p giá tr ị c ủ a ẩ n ph ụ tìm đượ c. C ụ th ể • Khi đặ t ( ) , t u x x D = ∈ , ta tìm đượ c ' t D ∈ và ph ươ ng trình ( ) ; 0 f x m = (1) tr ở thành ( ) ; 0 g t m = (2) . Khi đ ó (1) có nghi ệ m x D ∈ ⇔ (2) có nghi ệ m ' t D ∈ • Để tìm mi ề n giá tr ị c ủ a t ta nên lập BBT c ủ a hàm s ố ( ) t u x = trên D (có th ể s ử d ụ ng b ấ t đẳ ng th ứ c để đ ánh giá ho ặ c tính ch ấ t c ủ a hàm s ố ) Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP • Nếu bài toán yêu cầu xác định số nghiệm thì ta phải tìm sự tương ứng giữa x và t . Tức là mỗi giá trị ' t D ∈ thì phương trình ( ) u x t = có bao nhiêu nghiệm x D ∈ ? (có thể xem là một bài toán nhỏ về xét sự tương giao)   Thí dụ 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) 2 4 6 3 2 2 3 x x x m x x + − − = + + − (1) Lời giải. • T ậ p xác đị nh c ủ a ph ươ ng trình : [ ] 2;3 D = − • Đặ t 2 2 3 t x x = + + − v ớ i [ ] 2;3 x ∈ − . Tìm t ậ p giá tr ị c ủ a ẩ n ph ụ t khi [ ] 2;3 x ∈ − Ta có: 1 2 3 2 ' 2 2 2 3 2 2. 3 x x t x x x x − − + = − = + − + − ( ) ' 0 3 2 2 3 4 2 1 t x x x x x = ⇔ − = + ⇔ − = + ⇔ = − Bảng biến thiên x -2 -1 3 ' t + 0 ̶̶ t 5 2 5 5 Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : ' 5;5 D   =   • Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: 2 14 t t mt − = ⇔ 14 t m t − = (2) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 2;3 x ∈ − ⇔ Ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m 5;5 t   ∈   • Xét hàm s ố ( ) 14 y f t t t = = − v ớ i 5;5 t   ∈   . Ph ươ ng trình ( ) 2 có nghi ệ m 5;5 t   ∈   ⇔ đườ ng th ẳ ng y m = có đ i ể m chung v ớ i ph ầ n đồ th ị hàm s ố ( ) y f t = v ẽ trên 5;5     . • L ậ p BBT c ủ a hàm s ố trên ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) 2 14 ' 1 0 f t t = + > , 5;5 t   ∀ ∈   Bảng biến thiên t 5 5 ( ) ' f t + ( ) f t 11 5 9 5 5 − • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 2;3 x ∈ − ⇔ 9 5 11 5 5 m − ≤ ≤ .  Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP   Thí dụ 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) 2 2 4 2 2 1 1 2 2 1 1 1 m x x x x x + − − + = − + + − − (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ] 1;1 D = − • Đặt 2 2 1 1 t x x = + − − [ ] 1;1 x ∈ − . Tìm tập giá trị của ẩn phụ t khi [ ] 1;1 x ∈ − Ta có: 2 2 2 2 1 1 ' 1 1 1 1 x x t x x x x x   = + = +   + − + −   , ' 0 0 t x = ⇔ = Bảng biến thiên x -1 0 1 ' t ̶̶ 0 + t 2 2 0 Từ bảng biến thiên ta suy ra tập giá trị của t là : ' 0; 2 D   =   • Với ẩn phụ trên thì phương trình (1) trở thành: ( ) 2 2 2 m t t t + = − + + ⇔ 2 2 2 t t m t − + + = + (2) Phương trình (1) có nghiệm [ ] 1;1 x ∈ − ⇔ Phương trình (2) có nghiệm 0; 2 t   ∈   • Xét hàm số ( ) 2 2 2 t t y f t t − + + = = + với 0; 2 t   ∈   . Phương trình ( ) 2 có nghiệm 0; 2 t   ∈   ⇔ đường thẳng y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f t = vẽ trên 0; 2     . • Lập BBT của hàm số ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) ( ) 2 2 4 ' 0 , 0; 2 2 t t f t t t − −   = ≤ ∀ ∈   + Bảng biến thiên t 0 2 ( ) ' f t ̶̶ ( ) f t 1 2 1 − • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ] 1;1 x ∈ − ⇔ 2 1 1 m − ≤ ≤ .    Thí dụ 8. Tìm m để phương trình sau có nghiệm ( ) ( ) 4 1 1 1 1 1 x x m x x x x   + − + + − =   −   (1) Lời giải. Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP • Tập xác định của phương trình : ( ) 0;D = +∞ • Khi đó: ( ) ( ) ( ) 4 1 1 1 1 1 1 x x m x x x x   ⇔ + − + + − =   −   ( ) 4 1 1 1 1 m x x x x x x ⇔ + + − = − − − ( ) ( ) 4 1 1 1 1 1 x x x m x x ⇔ − + + − = − − 4 1 1 1 x x m x x − ⇔ + = − − (2) • Đặt 4 1 x t x − = , do 1 x > nên 1 0 1 0 1 x t x − < < ⇒ < < . T ậ p giá tr ị c ủ a t là: ( ) ' 0;1 D = • V ớ i ẩ n ph ụ trên thì ph ươ ng trình (1) tr ở thành: 2 2 1 1 1 1 t m m t t t + = − ⇔ = − − + (2) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m ( ) 1;x ∈ +∞ ⇔ Ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m ( ) 0;1 t ∈ • Xét hàm s ố ( ) 2 1 1 y f t t t = = − − + v ớ i ( ) 0;1 t ∈ . Ph ươ ng trình ( ) 2 có nghi ệ m ( ) 0;2 t ∈ ⇔ đườ ng th ẳ ng y m = có đ i ể m chung v ớ i ph ầ n đồ th ị hàm s ố ( ) y f t = v ẽ trên ( ) 0;2 . • L ậ p BBT c ủ a hàm s ố ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) ( ) 2 2 ' 1 0, 0;1 f t t t = − > ∀ ∈ Bảng biến thiên t 0 1 ( ) ' f t + ( ) f t 1 − −∞ • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m ( ) 1;x ∈ +∞ ⇔ 1 m < − .    Thí dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 4 3 1 1 4 1 x m x x − + + = − (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : [ ) 1;D = +∞ • Khi đó: ( ) ( ) 2 4 2 1 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ + = + + 4 1 1 3 2 1 1 x x m x x − − ⇔ + = + + • Đặt 4 1 1 x t x − = + , do 1 x ≥ nên 1 0 1 0 1 1 x t x − ≤ < ⇒ ≤ < + . T ậ p giá tr ị c ủ a t là: [ ) ' 0;1 D = • V ớ i ẩ n ph ụ trên thì ph ươ ng trình (1) tr ở thành: 2 3 2 t t m − + = (2) Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ) 1;x ∈ +∞ ⇔ Ph ươ ng trình (2) có nghi ệ m [ ) 0;1 t ∈ • Xét hàm s ố ( ) 2 3 2 y f t t t = = − + v ớ i [ ) 0;1 t ∈ . Ph ươ ng trình ( ) 2 có nghi ệ m [ ) 0;1 t ∈ ⇔ đườ ng th ẳ ng y m = có đ i ể m chung v ớ i ph ầ n đồ th ị Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP hàm s ố ( ) y f t = v ẽ trên [ ) 0;1 t ∈ . • L ậ p BBT c ủ a hàm s ố ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) ' 6 2 f t t = − + , ( ) 1 ' 0 3 f t t = ⇔ = Bảng biến thiên t 0 1 3 1 ( ) ' f t + 0 ̶̶ ( ) f t 1 3 0 1 − • D ự a vào BBT ta suy ra : Ph ươ ng trình (1) có nghi ệ m [ ) 1;x ∈ +∞ ⇔ 1 1 3 m − < ≤ .    Thí dụ 10. Tìm m để phương trình sau nghiệm 3 1;3 x   ∈   2 2 3 3 log log 1 2 1 0 x x m + + − − = (1) Lời giải. • Tập xác định của phương trình : 3 1;3 D   =   • Đặ t 2 3 log 1 t x = + v ớ i 3 1;3 x   ∈   . Tìm t ậ p giá tr ị c ủ a ẩ n ph ụ t khi 3 1;3 x   ∈   3 1;3 x   ∈   ⇔ 3 1 3 x≤ ≤ ⇔ 2 3 1 log 1 4 x ≤ + ≤ ⇔ 2 3 1 log 1 2 x ≤ + ≤ ⇔ 1 2 t ≤ ≤ ⇔ [ ] 1; 2 t ∈ Tập giá trị của ẩn phụ t khi 3 1;3 x   ∈   là [ ] ' 1; 2 D = • Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: 2 2 2 t t m + − = (2) Phương trình (1) có nghiệm 3 1;3 x   ∈   ⇔ phương trình (2) có nghiệm [ ] 1;2 t ∈ • Xét hàm số ( ) 2 2 y f t t t = = + − với [ ] 1;2 t ∈ . Phương trình (2) có nghiệm [ ] 1;2 t ∈ ⇔ đường thẳng 2 y m = có điểm chung với phần đồ thị hàm số ( ) y f t = vẽ trên [ ] 1;2 . Lập BBT của hàm số ( ) y f t = trên ' D . Ta có: ( ) [ ] ' 2 1 0 , 1;2 f t t t= + > ∀ ∈ Bảng biến thiên t 1 2 ( ) ' f t + ( ) f t 4 0 • Dựa vào BBT ta suy ra: Phương trình (1) có nghiệm 3 1;3 x   ∈   ⇔ 0 2 m ≤ ≤ .  [...]... Lời giải • Tập xác định của phương trình : D = » • Đặt t = 2 x với x ∈ » Tập giá trị của ẩn phụ t khi x ∈ » là D ' = ( 0; +∞ ) • Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: 4t + 1 (2) t 2 + 4t + 1 Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] ⇔ Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mt 2 + 4 ( m − 1) t + m − 1 ⇔ m > mọi t ∈ ( 0; +∞ ) • 4t + 1 với t ∈ ( 0; +∞ ) t + 4t + 1 Bất phương trình. .. nghiệm ⇔ m ≤ 2− 3 2 Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập rèn luyện 1 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm 1) x + 3x 2 + 1 = m 6 3 ĐS: m ≥ 2) 4 x2 + 1 − x = m 3) 4 x 4 − 13 x + m + x − 1 = 0 4) x x + x + 12 = m ( 5− x + 4− x ) ĐS: 0 < m ≤ 1 3 ĐS: m ≥ − 2 ĐS: 2 3 5 − 2 ≤ m ≤ 12 ( ) Bài tập rèn luyện 2 Tìm m để các phương trình sau có nghiệm 1) x 2 + ( m +... 2x + 8 Bảng biến thi n x t' t , -2 + t ' = 0 ⇔ x =1 1 0 3 4 ̶ 0 0 Từ bảng biến thi n ta suy ra tập giá trị của t là : D ' = [ 0;3] • Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: m ≥ t 2 − 4t + 10 (2) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] ⇔ Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi t ∈ [ 0;3] • Xét hàm số y = f ( t ) = t 2 − 4t + 10 với t ∈ [ 0;3] Bất phương trình (2) nghiệm đúng...Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Thí dụ 11 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm 4− x + x+5 ≥ m (1) Lời giải • Tập xác định của phương trình : D = [ −5; 4] • Xét hàm số y = f ( x ) = 4 − x + x + 5 trên [ −5; 4] Bất phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ −5; 4] ⇔ có điểm thuộc đường thẳng y = m nằm phía dưới đồ thị hàm số y = f ( x ) vẽ trên [ −5; 4] • Lập... BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm x ∈ [ −5; 4] ⇔ m ≤ 3 2 Thí dụ 12 Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm mx − x − 3 ≤ m + 1 (1) Lời giải • Tập xác định của phương trình : D = [3; +∞ ) (1) ⇔ m ≤ Khi đó: • x − 3 +1 x −1 (2) x − 3 +1 trên [3; +∞ ) x −1 Bất phương trình (2) có nghiệm x ∈ [3; +∞ ) ⇔ có điểm thuộc đường thẳng y = m nằm phía dưới Xét hàm số y = f ( x ) = đồ thị hàm số y =... 2 + 2 4 x2 − 4 − x + 2 = 2 4 x2 − 4 Bài tập rèn luyện 3 1) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm ( x − 2 − m) x −1 ≤ m − 4 ĐS: m > 1 ĐS: m ≥ 2 2) Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −4;6] ( x + 4 )( 6 − x ) ≤ x 2 − 2 x + m ĐS: m ≥ 6 3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm m x2 + 1 ≤ x + 2 − m ĐS: m ≤ 5 4 ĐS: m ≤ 2 3 4) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm x ∈  0;1 + 3 ... x →+∞ x − 3 +1 =0 x −1 Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học Bảng biến thi n x f '( x) HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP 3 + 4 0 +∞ ̶ 2 3 f ( x) 1 2 • 0 Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) có nghiệm [3; +∞ ) ⇔ m ≤ 2 3 Thí dụ 13 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] −4 ( 4 − x )( 2 + x ) ≤ x 2 − 2 x + m − 18 (1) Lời giải • Tập xác định của phương trình : D = [ −2; 4] • Đặt t = − x 2 +... toàn ở phía trên phần đồ thị hàm số y = f ( t ) vẽ trên [ 0;3] • Lập BBT của hàm số y = f ( t ) trên D ' Ta có: f ' ( t ) = 2t − 4 , f ' ( t ) = 0 ⇔ t = 2 Bảng biến thi n t f '(t ) 0 f (t ) 10 ̶ 2 0 3 + 7 6 Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP • Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ [ −2; 4] ⇔ m ≥ 10 Thí dụ 14 Tìm m để bất phương trình sau nghiệm đúng... = f ( t ) = 2 phía trên phần đồ thị hàm số y = f ( t ) vẽ trên ( 0; +∞ ) • Lập BBT của hàm số y = f ( t ) trên D ' Ta có: f ' ( t ) = −4t 2 − 2t ( ) t 2 + 4t + 1 2 < 0 , ∀t ∈ ( 0; +∞ ) , Giới hạn: lim f ( t ) = 0 t →+∞ Bảng biến thi n t f '(t ) 0 f (t ) 1 +∞ ̶ 0 • Dựa vào BBT ta suy ra: Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi x ∈ » ⇔ m ≥ 1 Thí dụ 15 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm 2  3 2...  2  x + x − y = 1 − 2m  (1) Lời giải • • •  x2 − x ( 2x − y ) = m  Ta có : (1) ⇔  2  x − x + ( 2 x − y ) = 1 − 2m  u = x 2 − x 1 Đặt  Điều kiện của u là u ≥ − 4 v = 2 x − y ( ( ) )  2 uv = m u + ( 2m − 1) u + m = 0 Hệ phương trình trở thành:  ⇔ v = 1 − 2 m − u u + v = 1 − 2m  ( 2) Chuẩn bị cho kỳ thi vào Đại học HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Hệ phương trình (1) có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm . HĐBM TOÁN – ĐỒNG THÁP Chuyên đề SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ - BẢNG BIẾN THIÊN GIẢI CÁC BÀI TOÁN PT – BPT – HPT LIÊN QUAN ĐẾN THAM SỐ Huỳnh Chí Hào I. CƠ SỞ CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cơ. CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI Cơ sở của phương pháp này là ý nghĩa hình học của việc giải phương trình, bất phương trình được thể hiện trong các tính chất sau. Xét các hệ thức ( ) ( ) f x g x = . 0;3 D = • Với ẩn phụ trên thì bất phương trình (1) trở thành: 2 4 10 m t t ≥ − + (2) Bất phương trình (1) nghiệm đúng với mọi [ ] 2;4 x ∈ − ⇔ Bất phương trình (2) nghiệm đúng với mọi [ ] 0;3 t