sử dụng tọa độ để giải các bài toán hình không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ ÔN THI THPT QUỐC GIA CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT NHƯ THANH II Người thực hiện: Lê Thi Đào Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Toán THANH HÓA NĂM 2016 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trang 1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lí luận 3 2.1.1 Hệ trục tọa độ vuông góc không gian 2.1.2 Các công thức cần nhớ 2.2 Thực trạng vấn đề 2.3 Giải pháp thực 2.3.1 Loại 1: Gắn hệ trục tọa độ vào hình không gian có sẵn góc tam diện vuông 2.3.2 Loại 2: Kẻ thêm đường phụ tạo thành góc tam diện vuông để gắn hệ trục tọa độ 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO 5 17 19 19 19 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Hình học không gian nội dung khó chương trình toán phổ thông, đòi hỏi học sinh phải có khả tư trí tưởng tượng tốt Vì vậy, đa phần học sinh thường không hứng thú, có bạn xem phần nỗi ám ảnh mình, đặc biệt học sinh trường Như Thanh II, với đầu vào môn toán thấp, điểm bảy điểm tám đếm đầu ngón tay, điểm hai điểm ba chiếm phần đa Với đối tượng học sinh việc dạy hình không gian công việc khó với thầy cô Một thực tế rằng, đề thi môn toán kì thi Đại học- Cao đẳng trước kì thi THPT Quốc gia gần câu hình không gian, nhiên em học sinh trường THPT Như Thanh II thường hay bỏ qua em mặc định câu khó không làm Chính thế, câu hỏi thường trực làm phải suy nghĩ là: Làm để học sinh tiếp cận môn hình không gian cách dễ dàng nhất, để em học hình không gian dễ hiểu hay chí làm số tập điển hình để thi em không thấy sợ, “mặc định bỏ qua” câu hình không gian Sau bao lần tìm tòi, suy nghĩ tìm phương án, nhận thấy dùng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian có lẽ phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh trường Như Thanh II Bởi lẽ, với phương pháp giảm bớt khả tưởng tượng khả xem “yếu huyệt” em, thay vào tăng khả ghi nhớ công thức hình giải tích Có số toán hình không gian tính khoảng cách, tính góc đường thẳng, mặt phẳng không gian làm theo cách thông thường khó khăn gắn hệ trục tọa độ vào để giải vấn đề lại trở nên đơn giản nhiều Có giải theo phương pháp tọa độ ngắn gọn, dễ hiểu đến “ngỡ ngàng” Một thuận lợi đa số toán hình không gian đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng trước THPT Quốc gia năm vừa sử dụng phương pháp tọa độ để giải cách nhanh chóng Một thực tế chương trình sách giáo khoa nhắc đến, có sách giáo khoa nâng cao 12 có đưa số công thức tập không nhiều, đến đáp án không gian đề thi cách giải phương pháp tọa độ Vì lí nêu trên, viết SKKN “ Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian nhằm nâng cao hiệu ôn thi THPT Quốc gia cho học sinh trường THPT Như Thanh II” nhằm giúp em hoàn thiện phương pháp giải toán hình học không gian, thấy muôn màu muôn vẻ Hình học đồng thời tạo nên hứng thú, hiệu cho em trình học tập ôn luyện môn toán 1.2 Mục đích nghiên cứu + Giúp học sinh vận dụng giải tập hình không gian cách đơn giản, dễ hiểu từ nâng cao lực giải toán hình không gian cho học sinh lớp 12 trường THPT Như Thanh II Tạo động lực, tự tin cho em trước kì thi THPT Quốc gia + Nghiên cứu nhằm tích lũy kinh nghiệm cho thân trao đổi với đồng nghiệp trường để nhằm đạt mục đích chung nâng cao hiệu dạy học môn toán Đặc biệt nâng cao chất lượng làm môn toán kì thi THPT Quốc gia em học sinh trường THPT Như Thanh II 1.3 Đối tượng nghiên cứu + Nghiên cứu toán hình không gian sử dụng phương pháp tọa độ để giải Bài toán hình không gian đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng, THPT Quốc gia năm gần + Học sinh lớp 12A3 năm học 2015-2016 trường THPT Như Thanh II 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu tài liệu sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian - Phương pháp quan sát: Quan sát thực tiễn trình học tập, ôn luyện học sinh trường THPT Như Thanh II năm qua - Phương pháp thực nghiệm: So sánh phân tích hai trình dạy học Một bên sử dụng phương pháp tọa độ, bên phương pháp khác để giải toán hình không gian - Phương pháp phân tích thống kê: Sử dụng để xử lí số liệu để kiểm định giả thiết thực nghiệm, phân tích kết thực nghiệm 2.NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Hệ trục tọa độ vuông góc không gian Định nghĩa: Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi vuông góc gọi hệ trục tọa độ vuông góc không gian + Điểm O gọi gốc tọa độ + Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx), đôi vuông góc với gọi mặt phẳng tọa độ + Không gian với hệ tọa độ Oxyz gọi không gian Oxyz Chú ý: i, j , k véc tơ đơn vị trục Ox, Oy, Oz thỏa mãn: 2 i = j = k = 1, i j = j k = k i = Tọa độ véc tơ u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk Tọa độ điểm M = ( x; y; z ) ⇔ OM = xi + y j + zk 2.1.2 Các công thức cần nhớ - Độ dài đoạn thẳng: Nếu A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) AB = AB = (x B 2 − x A ) + ( yB − y A ) + ( z B − z A ) - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Nếu điểm M ( x0 , y0 , z ) mặt phẳng (P) : Ax + By + Cz + D = Ax0 + By0 + Cz0 + D d ( M ,( P )) = A2 + B + D - Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: Cho điểm M ( x, y , z ) M 0M , u  qua M   đường thẳng ∆ :  d ( M , ∆ ) = u vtcp u - Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Nếu hai mặt phẳng ( P ) : Ax + By + Cz + D = 0, ( Q ) : Ax + By + Cz + D ' = song song d (( P ) , (Q )) = D − D' A2 + B + C - Khoảng cách hai đường thẳng song song: Nếu ∆1 / / ∆  d ( ∆1 , ∆ ) = d ( M , ∆ ) , M ∈ ∆1   d ( ∆1 , ∆ ) = d ( M , ∆1 ) , M ∈ ∆ - Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Nếu ∆ / / ( P ) d ( ∆, ( P ) ) = d ( M , ( P ) ) , M ∈ ∆ - Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: Nếu đường thẳng M 1M u1 , u  qua M qua M ∆1 :  ∆ :  chéo d ( ∆1 , ∆ ) = u , u  vtcp u1 vtcp u2   Đặc biệt: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ chúng AC  AB, CD  d ( AB, CD ) =  AB, CD    + Góc hai đường thẳng: Nếu d1 , d có vtcp u1 , u góc ϕ chúng xác định : cosϕ = u1 u u1 u Đặc biệt: Tính góc hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ chúng: AB.CD cosϕ = AB CD + Góc đường thẳng mặt phẳng: Nếu đường thẳng (d) có vtcp u , mặt phẳng (P) có vtpt n góc ϕ chúng xác định : sin ϕ = u.n u n + Góc hai mặt thẳng: Nếu hai mặt phẳng (P1), (P2) có vtpt n1 , n góc ϕ chúng xác định : cosϕ = n1 n n1 n + Diện tích tam giác ABC :  AB, AC   2 + Diện tích hình bình hành ABCD : S= S =  AB, AD  + Thể tích khối tứ diện ABCD : V= 1  AB, AC  AD = S ∆BCD d ( A, ( BCD ) )  6 - Thể tích khối hộp ABCD.A’B’CD’ : V =  AB, AD  AA ' - Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ V =  AB, AC  AA ' 2.2 Thực trạng vấn đề Trước áp dụng SKKN có cho lớp 12A3 làm kiểm tra 45 phút phần tập hình không gian nhằm khảo sát kết học tập phần em Kết sau : Điểm Tần số Tần suất [0;5) 22 78,58% [5;7) 17,85% [7;9) 3,57% [9;10] 0% Tổng 28 100% Thông qua bảng thống kế ta có nhận xét sau: Số học sinh đạt điểm thấp( 5) chiếm tỉ lệ cao: 78,58%, điểm tốt ngược lại, chiếm tỉ lệ thấp Bảng khảo sát cho thấy thực tế khả giải toán hình không gian lớp 12A3 yếu, thực trạng chung học sinh toàn trường 2.3 Giải pháp thực Khi giải toán hình không gian phương pháp tọa độ thường tuân theo ba bước sau đây: + Gắn hệ trục tọa độ thích hợp vào hình không gian + Tính tọa độ điểm đề theo hệ trục tọa độ vừa chọn + Giải toán góc nhìn hình giải tích Thông thường, gắn tọa độ vào hình không gian ta hay dựa vào góc tam diện vuông Tuy nhiên, đề cho lúc xuất góc tam diện vuông mà ta cần kẻ thêm số đường phụ để làm xuất góc tam diện vuông Cụ thể, chia làm hai loại sau 2.3.1 Loại 1: Gắn hệ trục tọa độ vào hình không gian có sẵn góc tam diện vuông a) Dấu hiệu cách gắn: Dấu hiệu để nhận biết toán hình không gian loại đề cho hình như: hình lập phương, hình hộp chữ nhật, hình chóp có đáy hình vuông hình thoi có hình chiếu đỉnh trùng với tâm đáy, cho góc tam diện vuông, cho ba đường thẳng đôi vuông góc với điểm,…Ở dạng toán này, thường chọn hệ trục tọa độ có gốc góc tam diện, trục đường thẳng đôi vuông góc góc tam diện Cụ thể ta xét số hình cho sẵn góc tam diện vuông đây: Hình lập phương hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ chọn hệ trục hình vẽ A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ∈ Ox, D ∈ Oy , A ' ∈ Oz Đối với hình lăng trụ đứng có đáy tam giác vuông A ta gắn hệ trục hình A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ∈ Ox, C ∈ Oy , A ' ∈ Oz Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông hình chữ Hình chóp O.ABC có OA, OB, OC đôi nhật SA vuông góc với mặt đáy vuông góc Chọn hệ trục hình Chon hệ trục tọa độ cho A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ∈ Ox, D ∈ Oy , S ∈ Oz trên: O ( 0;0;0 ) , A ∈ Ox, B ∈ Oy , C ∈ Oz x x Hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông hình thoi tâm O SO vuông góc với đáy Chọn hệ trục hình trên: O(0;0;0),B ∈ Ox, C ∈ OY ∈ y , S ∈ Oz Hình chóp S.ABCD đáy tam giác vuông A SA vuông góc với đáy Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ: A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ∈ Ox, C ∈ Oy, S ∈ Oz b) Bài tập vận dụng Bài tập 1.1 (ĐH Khối D-2012) Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình vuông, tam giác A’AC vuông cân, A’C = a Tính thể tích khối tứ diện ABB’C’ khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD’) theo a Giải Chọn hệ trục tọa độ cho: A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ∈ Ox, D ∈ Oy , A ' ∈ Oz hình a  a a   a  Khi đó, dễ dàng tính : B  ;0;0  , C  ; ;0  , D  0; ;0  , 2  2    a  a  a a a   a  a a  A '  0;0;  , B '  ;0;  , C ' ; ;  , D '  0; ; , 2 2 2 2  2  2 a  a a a a  a  Ta có AB =  ;0;0  , AB '  ;0;  , AC '  ; ; , 2 2  2 2 2 a2   ;0  suy  AB, AB ' =  0; − 2   a3   Do  AB, AB ' AC = − a3   V = AB , AB ' AC = Vậy ABB 'C '  6 24  a a a   a  Lại có BC =  0; ;0  , BD ' =  − ; ;     2 2 a2 a2  a2  ;0;  = 2;0;1 Nên  BC , BD ' =  4 2 Do n = 2;0;1 VTPT mặt phẳng (BCD’) nên (BCD’) có PT : ( ( ) ) a a   x −  + ( z − 0) = ⇔ 2x + z − = 2  a − a Vậy d ( A, ( BCD ' ) ) = = +1 Nhận xét : Với hình ta chọn điểm làm gốc tọa độ Bài tập 1.2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, AC = 4, BD = 2, AC cắt BD O, SO vuông góc với (ABCD), SO = 2 Gọi M trung điểm SC, mặt phẳng (ABM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp S.ABMN Giải Chọn hệ tọa độ Oxyz cho O ( 0;0;0 ) , A ∈ Ox, B ∈ Oy , S ∈ Oz hình vẽ Khi dễ dàng tính : A ( 2;0;0 ) , B ( 0;1;0 ) , C ( −2;0;0 ) , D ( 0; −1;0 ) , S 0;0;2 , M −1;0; ( ) ( ) Vì CD / / AB ⇒ CD / / ( ABMN ) ⇒ CD / / MN đó, N trung điểm SD   nên N  0; − ;  Suy ra, SA = 2;0; −2 , SB = 0;1; −2 ,   ( ) ( ) Nên Vậy : Nhận xét : Ở ta sử dụng cách làm hình học túy không đơn giản Do chọn cách giải hợp lí Bài tập 1.3 ( THPT Quốc Gia -2015) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đường thẳng SB, AC Giải Chọn hệ trục tọa độ cho: A ≡ O ( 0;0;0 ) , D ∈ Ox, B ∈ Oy, S ∈ Oz hình vẽ ( ) Khi B ( 0; a;0 ) , D ( a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , S 0;0; a , SA = AC.tan 450 = a Các véc tơ: Suy Vậ y  SB, AC  SA a3 a   d ( SB, AC ) = = =  SB, AC  a + 2a + a   Nhận xét : Ở ta chọn I B, C, D làm gốc tọa độ Tuy nhiên để gắn hệ trục tọa độ vào ta cần vẽ thêm trục Oz việc tính toán phức tạp hơn, chọn A làm gốc tọa độ phương án tối ưu Bài tập tương tự: Bài tập 1.4 (ĐH Khối D – 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy góc 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) Bài tập 1.5 (ĐH Khối B-2002) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a a Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D b Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB’, CD, A’D’ Tính góc hai đường thẳng MP C’N 2.3.2 Loại 2: Kẻ thêm đường phụ tạo thành góc tam diện vuông để gắn hệ trục tọa độ a) Dấu hiệu cách gắn Loại toán giả thiết thường xuất sẵn hai góc vuông Chúng ta cần kẻ thêm vài đường phụ để chúng thành tam diện vuông ta chọn hệ tọa độ dựa vào góc tam diện vuông Loại thường quy tắc gắn hệ trục rõ ràng mà phụ thuộc vào toán cụ thể Sau đưa số trường hợp điển hình z z S S B B A A x O x C C y y Hình chóp S.ABC, SA vuông góc với đáy Tam giác ABC vuông C Chọn hệ trục cho B ≡ O ( 0;0;0 ) , A ∈ Ox, C ∈ Oy , Oz / / SA Hình chóp S.ABC đáy tam giác Ta chọn hệ trục cho gốc tọa độ O trùng với trọng tâm tam giác ABC Ox ⊥ AC , C ∈ Oy , S ∈ Oz z z S S A B A x O C y Hình chóp S.ABC đáy tam giác cân A, SA vuông góc với đáy Ta chọn hệ trục hình vẽ A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ∈ Ox, Oy ⊥ AB, S ∈ Oz B y C x Hình chóp S.ABC, mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy Tam giác SAC cân S, tam giác ABC cân B Chọn hệ trục hình vẽ Gốc tọa độ O trung điểm AC C ∈ Ox, B ∈ Oy , S ∈ Oz Hình chóp S.ABCD đáy hình chữ nhật hình vuông Tam giác SAB Hình chóp S.ABCD đáy hình chữ cân S, (SAB) vuông góc với đáy nhật tâm O, SO vuông góc với đáy Chọn hệ trục cho gốc tọa độ trùng Chọn hệ trục cho gốc tọa độ với tâm hình chữ nhật Ox ⊥ AB, Oy ⊥ BC , S ∈ Oz trung điểm AB B ∈ Oy , Ox ⊥ AB, S ∈ Oz z S A B x D C y Hình chóp S.ABCD đáy hình thang Hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi vuông A (SAB) vuông góc với tâm I SD vuông góc với mặt đáy (ABCD) Chọn hệ trục hình vẽ Chọn hệ trục hình vẽ Gốc tọa độ A ≡ O ( 0;0;0 ) , B ∈ Ox, D ∈ Oy, trùng với tâm hình thoi Oz ⊥ AB, Oz ⊥ AD D ∈ Ox, C ∈ Oy , Oz / / SD A' z z A' C' B' C' B' A A O y y B B C x Hình lăng trụ đứng đáy tam giác Chọn hệ trục cho gốc tọa độ trung điểm AC C ∈ Ox, B ∈ Oy , Oz / / BB ' x C Hình lăng trụ đứng đáy tam giác cân A Chọn hệ trục cho gốc tọa độ A B ∈ Ox, A ' ∈ Oz , Oy ⊥ AA ',Oy ⊂ ( ABC ) b) Bài tập vận dụng Bài tập 2.1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, AD = 4a , cạnh bên hình chóp 6a Tìm côsin góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) thể tích khối chóp S.ABCD lớn Giải Gọi O giao điểm AC BD; M, N trung điểm AB AD Từ giả thiết suy ra:  SO ⊥ AC ⇒ SO ⊥ ( ABCD ) OA = OB = OC = OD   SO ⊥ BD Do đó, ABCD hình chữ nhật Ta đặt ON=x>0 suy OA = x + 4a ⇒ SO = SA2 − OA2 = 2a − x Thể tích khối chóp S.ABCD : 2 8 ( x + a − x ) 8a 2 VS ABCD = AB AD.SO = ax 2a − x ≤ a = 3 3 Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD lớn x=a, SO=a Chọn hệ trục hình vẽ Khi đó, tọa độ :  SB, SC  = ( 0;4a ; −2a ) = 2a ( 0;2; −1) ,  SD, SC  = ( − a ;4a ;0 ) = a ( −1;4;0 ) ,     Nên ta có n( SBC ) = ( 0;2; −1) , n( SDC ) = ( −1;4;0 ) , ( ) cos ( SBC ) , ( SDC ) = n( SBC ) n ( SDC ) n( SBC ) n( SDC ) = 85 Nhận xét: Trong toán ta thấy rằng, việc tính thể tích khối chóp S.ABCD tìm giá trị lớn ta sử dụng cách giải Hình không gian bình thường sau áp dụng BĐT Côsi Nhưng ý tiếp theo, tính góc hai mặt phẳng (SBC) (SDC) không sử dụng phương pháp tọa độ việc tìm góc khó khăn Một gắn hệ trục tọa độ vào rồi, ta cần tính toán cẩn thận áp dụng công thức tính góc hai mặt phẳng hình giải tích xong Đó ưu điểm phương pháp tọa độ Tuy nhiên, cần lưu ý rằng, toán có cách gắn hệ trục, ta chọn hệ trục cho A trùng với gốc tọa độ AB nằm tia Ox, AD nằm tia Oy, tia Oz song song với SO Bài tập 2.2 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân với AB = AC = a, góc BAC = 1200 , cạnh bên BB' = a Gọi E trung điểm CC' Chứng minh tam giác AB'E vuông A tính cosin góc hai mặt phẳng (ABC) (AB'E) Giải Gọi M trung điểm BC, suy Dựng hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Theo ra, dễ dàng tính a a   a a   a a  B ; ;0  , C  − ; ;0  , C '  − ; ;a , 2 2 2        a a a a a  E− ; ;  ⇒ AB ' =  ; ;a , 2 2      a a a AE =  − ; ;  2 2  Suy ra,  a   a 2 a AB ' AE = −   +   + = ⇒ AB ' ⊥ AE 2   2 Vậy, tam giác AB’E vuông A Mặt phẳng (ABC) có VTPT : n( ABC ) = ( 0;0;1)  a 3a 2a  a2  AB ', AE  =  − ; − ; 1;3 3; −2 =−   4 4   Suy ra, mặt phẳng (AB’E) có VTPT là: n ( AB ' E ) = 1;3 3; −2 ( ( ) ) Vậy −2 30 + + 1 + 27 + 12 10 Bài tập 2.3 (ĐH Khối A-2012) Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) điểm H thuộc cạnh AB cho HA = 2HB Góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.ABC tính khoảng cách hai đường thẳng SA BC theo a Giải Gọi M trung điểm AB, ta có a a a MH = MB − HB = − = Theo giả thiết ( ) cos ( AB ' E ) , ( ABC ) = = SH ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ CH ⇒ ( SC , ( ABC ) ) = SCH = 600 Trong tam vuông CMH ta có:  a   a 2 28a a 2 CH = CM + MH =  ⇒ CH =  +  = 36     Và SH = CH tan 600 = a 21 Dựng tia Mz song song với HS Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Điểm M trùng với gốc tọa độ O(0;0;0) Khi đó, tọa độ điểm Do  a a a 21   a a  SC =  − ; ;− ;0   , BC =  − ; 2     Suy  a 21  a 21 a 63  SA, SB  =  0;     ;0  ⇒  SA, SB  = ⇒  SA, SB  SC =   3   Nên: 1 a 63 a   = VSABC =  SA, SB  SC = 6 12 Và ta có:  a 21 a a  4a a3  SA, BC  =  ; ; ,  SA, BC  AB =  ,  SA, BC  =   6   Vậy  SA, BC  AB a 42   d ( SA, BC ) = =  SA, BC    Bài tập 2.4 (ĐH Khối A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vuông A, D AB = AD =2CD = 2a Góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) , tính thể tích khối chóp theo a Giải Từ A dựng tia Az vuông góc với đáy Chọn hệ trục Oxyz hình vẽ Vì (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SI vuông góc với đáy, giả sử SI = h Ta có: B ( 2a;0;0 ) , C ( a; a;0 ) , D ( 0;2a;0 ) , ⇒ I ( 0; a;0 ) , S ( 0; a; h ) SB = ( 2a; − a; − h ) , BC = ( −a; a;0 ) ⇒ n ( SBC ) =  SB, BC  = ( ah; ah; h ) Theo ra, ta có n( SBC ) k a ⇔ = ⇔h=a 2 2 n( SBC ) k 2h + a 1 a ⇒ V = SI S ABCD = h ( a + 2a ) 2a = 3 Nhận xét: Ở ta gắn gốc tọa độ trùng với I D, việc tính toán phức tạp gắn A ( ) cos ( SBC ) , ( ABCD ) = cos 600 ⇔ = Bài tập 2.5 Cho tam giác ABC có cạnh a, I trung điểm BC, D điểm a vuông góc với mặt phẳng (ABC) đối xứng với A qua I Dựng đoạn SD = Chứng minh : a) ( SAB ) ⊥ ( SAC ) b) ( SBC ) ⊥ ( SAD ) Giải Chọn hệ trục Oxyz có gốc O trùng với điểm I , tia Ox, Oy trùng với tia ID, IC tia Oz song song chiều với tia SD Khi Iz cắt SA M, suy a) Mặt phẳng (SAB) có phương trình đoạn chắn 2x y 4z  −2 − a  − + − = ⇒ n( SAB ) =  ; ;  a a a a a 6 Mặt phẳng (SAC) có phương trình đoạn chắn 2x y 4z  −2 a  + + − = ⇒ n( SAC ) =  ; ; ( SAC ) : −  a a a a a 6 −2 −2 a  a  4 + −  + = Ta có n( SAB ) n( SAC ) = a a 2 2 a a Do ( SAB ) ⊥ ( SAC ) b) Ta có  a −a a  a a ; ; 3; −1; = β BC = ( 0; a;0 ) = a ( 0;1;0 ) = aα , CS  =  2  ( SAB ) :− ( ( ) ) Do ( SBC ) có VTPT n ( SBC ) = α , β  = 6;0; − Mặt phẳng (SAD) có VTPT : n( SAD ) = ( 0;1;0 ) Vậy n( SAD ) n( SBC ) = ⇒ ( SAD ) ⊥ ( SBC ) Bài tập tương tự Bài tập 2.6 (ĐH Khối B – 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, có BB’ = a góc đường thẳng BB’ mặt phẳng (ABC) 600 Tam giác ABC vuông C BAC = 600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’.ABC theo a Bài tập 2.7 (ĐH Khối A-2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ AMB cân M tính diện tích tam giác AMB theo a Bài tập 2.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC = 600 Cạnh bên SA ⊥ ( ABCD ) SA = a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC BD b) Tính khoảng cách hai đường thẳng SC AB c) Tính số đo góc hai mặt phẳng ( SAB) (SBD) Bài tập 2.9 (ĐH Khối A – 2007) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Bài tập 2.10 Cho tứ diện ABCD, H chân đường cao tứ diện hạ từ đỉnh D, I trung điểm DH K chân đường vuông góc hạ từ I lên DC Chứng minh đường thẳng IK qua trọng tâm tam giác DAB Bài tập 2.11 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC = a hình chiếu vuông góc 16 đỉnh A’ mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’ Bài tập 2.12 (ĐH Khối Đại A – 2002) Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết (AMN) vuông góc với (SBC) 2.3 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm SKKN tài liệu, sở để vận dụng vào ôn luyện kiến thức hình không gian hình tọa độ cho học sinh chuẩn bị cho kì thi trung học phổ thông quốc gia Khi áp dụng SKKN vào giảng dạy cho học sinh trường THPT Như Thanh II thấy khả mức độ làm toán hình không gian em cải thiện đáng kể, hiệu tăng lên rõ rệt Cụ thể, năm học 2015-2016 có dạy ôn luyện cho lớp 12A3 thường xuyên sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian Sau thời gian ôn tập, vào cuối năm học 2016 cho lớp làm hai kiểm tra với mức độ kiến thức tương đương nhằm mục đích thống kê số điểm so sánh, đánh giá kết điểm số kiểm tra lớp với lúc trước sử dụng phương pháp Đề Câu 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ tích Gọi I, J, K trung điểm cạnh AA’, CD, A’D’ a) Tính thể tích khối tứ diện BIJK b) Biết BK ⊥ ( A ' C ' D ) Tính độ dài cạnh hình hộp chữ nhật Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a, tam giác SAB Gọi M, N, P, K trung điểm BC, CD, SD, SB a) Tính khoảng cách hai đường thẳng MK AP b) Chứng minh (ANP) vuông góc với (ABCD) Kết quả: Điểm [0;5) [5;7) [7;9) [9;10] Tổng Tần số 10 28 Tần suất 25,00% 28,57% 35,72% 10,71% 100% Biểu đồ so sánh tỉ lệ (%) điểm lớp 12A3 trước sau sử dụng phương pháp tọa độ: 17 80% 70% 60% 50% 40% Trước tác động 30% Sau tác động 20% 10% 0% [0;5) [5;7) [7;9) [9;10] Nhìn vào biểu đồ ta thấy sau sử dụng phương pháp tọa độ vào việc giải hình không gian tỉ lệ học sinh có điểm giảm đáng kể, tỉ lệ điểm cao tăng lên rõ rệt Điều khẳng định tính hiệu cách giải toán hình không gian phương pháp tọa độ mà SKKN đưa 3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm trình bày theo hướng cách thức sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian Kết sáng kiến kinh nghiệm là: • Giới thiệu hệ trục tọa độ Oxyz hệ thống lại công thức quan trọng dùng để giải toán hình không gian • Đưa bốn dạng toán sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian • Đối chứng kết thực nghiệm cho thấy tính hiệu SKKN Có thể nói, phương pháp tọa độ phương pháp hữu hiệu để giải toán hình không gian Tuy nhiên, phương pháp nhất, chìa khóa vạn cho toán hình không gian Tính tối ưu phụ thuộc vào toán cụ thể Vì vậy, giải toán hình không gian phải linh hoạt nhằm đạt kết cao 3.2 Kiến nghị • Hiện tài liệu toán nói chung tài liệu môn hình nói riêng thư viện nhà trường hạn chế Vì vậy, đề nghị nhà trường bổ sung thêm tài liệu tham khảo môn toán thư viện nhà trường để Thầy cô có thêm tài liệu tham khảo trình dạy học ôn tập cho học sinh • Đề nghị bạn đồng nghiệp tích cực nghiên cứu loại tài liệu khác nhằm tìm phương pháp dạy học, ôn luyện tối ưu cho đối tượng học sinh để em đạt kết cao kì thi THPT quốc gia Sau nhiều năm công tác từ kinh nghiệm thân học hỏi từ đồng nghiệp lòng tâm huyết với nghề, với em học sinh vùng núi 135 thúc viết SKKN Nhưng, thời gian lực nhiều hạn chế, SKKN không tránh khỏi sai sót Rất mong đóng góp ý kiến bạn đồng nghiệp tất người để SKKN hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 19 tháng năm 2016 Tôi xin cam đoan SKKN mình, không chép nội dung người khác Lê Thị Đào 19 TÀI LIỆU THAM KHẢO Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Trần Đức Huyên , Hình học 12(cơ bản), NXB giáo dục, 2007 Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy, Khu Quốc Anh, Nguyễn Hà Thanh , hình học 11(cơ bản), NXB giáo dục, 2006 Vũ Dương Thụy, Nguyễn Bá Kim, Phương pháp giảng dạy môn toán, NXB giáo dục, 2005 Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Phạm Khắc Ban, Tạ Mân Sách giáo khoa hình học 11(nâng cao), Nhà xuất giáo dục, 2007 Phan Huy Khải, Hình học nâng cao 10-11-12, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, 2003 20 ... + Gắn hệ trục tọa độ thích hợp vào hình không gian + Tính tọa độ điểm đề theo hệ trục tọa độ vừa chọn + Giải toán góc nhìn hình giải tích Thông thường, gắn tọa độ vào hình không gian ta hay dựa... hướng cách thức sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian Kết sáng kiến kinh nghiệm là: • Giới thiệu hệ trục tọa độ Oxyz hệ thống lại công thức quan trọng dùng để giải toán hình không. .. không gian • Đưa bốn dạng toán sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình không gian • Đối chứng kết thực nghiệm cho thấy tính hiệu SKKN Có thể nói, phương pháp tọa độ phương pháp hữu hiệu để giải