Nghiên cứu khoa học sư phạm ứng dụng Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊNTRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ ĐỀ TÀI DÙNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN Nhóm nghiên cứu: Phạm Thị Xuân Đoan , Nguyễn Hồng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ YÊN

TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ

ĐỀ TÀI

DÙNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN

Nhóm nghiên cứu: Phạm Thị Xuân Đoan , Nguyễn Hồng Tính

Đơn vị: Trường THPT Trần Phú

Năm học: 2012 – 2013

MỤC LỤC

1 Tóm tắt đề tài trang 1

2 Giới thiệu trang 1

2.1 Hiện trạng trang 12.2 Giải pháp thay thế trang 22.3 Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài trang 22.4 Vấn đề nghiên cứu trang 22.5 Giả thiết nghiên cứu trang 2

3 Phương pháp nghiên cứu trang 2

3.1 Khách thể nghiên cứu trang 23.2 Thiết kế nghiên cứu trang 33.3 Quy trình nghiên cứu trang 33.4 Đo lường và thu thập dữ liệu trang 4

4 Phân tích dữ liệu và bàn luận kết quả trang 4

4.1 Phân tích dữ liệu trang 44.2 Bàn luận kết quả trang 4

5 Kết luận và khuyến nghị trang 5

5.1 Kết luận trang 55.2 Khuyến nghị trang 5

6 Tài lệu tham khảo trang 5

7 Phụ lục trang 6

DÙNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN

Phạm Thị Xuân Đoan, Nguyễn Hồng Tính Trường THPT Trần Phú – Tuy An – Phú Yên

1 TÓM TẮT ĐỀ TÀI

Hình học nói chung và hình học không gian nói riêng là một trong nhữngmôn học đòi hỏi tính tư duy quan sát rất cao mà đặc biệt là trí tưởng tượng hìnhhọc Chính vì thế mà đại số hóa hình học là một phương pháp hữu ích giúp học sinh

có thể giải nhanh một bài toán hình học Giải pháp tôi đưa ra ở đây là sử dụngphương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian,

có nghĩa là gán hệ trục tọa độ Descast trong không gian vào hình vẽ

Nghiên cứu được tiến hành trên hai lớp tương đương: Lớp 12A1 và lớp 12A2trường THPT Trần Phú Lớp 12A1 là lớp thực nghiệm và lớp 12A2 là lớp đốichứng Lớp thực nghiệm được trang bị cách sử dụng phương pháp tọa độ trong cáctiết tự chọn Kết quả cho thấy lớp thực nghiệm có kết quả học tập cao hơn lớp đốichứng Điểm bài kiểm tra của lớp thực nghiệm có giá trị trung bình là 8,1 ; Điểmbài kiểm tra của lớp đối chứng có giá trị trung bình là 7,2 Kết quả kiểm chứng t-test cho thấy p < 0,05 có nghĩa là có sự khác biệt lớn giữa điểm trung bình của lớpthực nghiệm và lớp đối chứng Điều đó chứng minh rằng nếu được trang bị cách sửdụng phương pháp tọa để giải các bài toán hình thì học sinh sẽ có kết quả học tậptốt hơn đối với môn hình học

2 GIỚI THIỆU

2.1 Hiện trạng

Trong khuôn khổ bộ môn Toán học, Descast – người sáng lập ra phươngpháp tọa độ nói : “ Tôi có thể giải mọi bài toán hình học” Vì vậy, việc quy đổi vềđại số hay tọa độ hóa chúng quả thật là rất thuận lợi, đặc biệt là đối với những họcsinh có trí tưởng tượng trong hình học không được phong phú Cho dù biết rằngmỗi bài toán hình học đẹp với bản chất hình học của nó chứ không phải ở bản chấtđại số Giải một bài toán hình học bằng đại số, là chỉ cần tính toán mà không phảicầu kì về hình vẽ Điều này càng chứng minh câu nói của Descast là có căn cứ Ởtrường phổ thông hiện nay, giáo viên cũng đã vận dụng phương pháp tọa độ để giảitoán hình học nhưng chưa nhiều, cần có những nghiên cứu tiếp tục bổ sung gópphần nâng cao hơn nữa chất lượng dạy hoc

Xuất phát từ những điều trên nên chúng tôi nghiên cứu đề tài :

DÙNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH KHÔNG GIAN

nhằm góp phần tích cực hóa hoạt động học tập theo hướng giúp học sinh phát hiện

và giải quyết vấn đề qua việc tổ chức dạy học các tiết luyện tập hình học lớp 12nâng cao

Qua việc thăm lớp, dự giờ trước khi tác động, chúng tôi nhận thấy học sinhrất lúng túng khi giải các bài toán hình học bởi vì học sinh không những phải quansát hình vẽ một cách kỹ càng mà còn phải tư duy logic Để thay đổi hiện trạng trên,

đề tài nghiên cứu này đã sử dụng giải pháp đại số hóa hình học

2.2 Giải pháp thay thế

Gán hệ trục tọa độ Descast trong không gian vào hình vẽ để giải các bài toánhình không gian bằng phương pháp tọa độ

2.3 Một số nghiên cứu gần đây liên quan đến đề tài

Vấn đề dùng phương pháp tọa độ để giải các bài toán hình không gian đã córất nhiều bài viết Ví dụ :

- “ Rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh phổ thông để giải các bài toánhình học không gian” – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP Hà Nội,năm 2000

- “ Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp sửdụng phần mềm GSP trong dạy học một số chủ đề của hình học không gian” – luậnvăn thạc sĩ của Nguyễn Thị Kim Nhung, ĐHSP Hà Nội, năm 2004

- “ Biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khắc quan trợ giúp dạy học vềphương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 THPT” – luận văn thạc sĩ của NguyễnThị Thu Hằng, K14 ĐHSP Đại Học Thái Nguyên , năm 2008

Trong đề tài nghiên cứu này, chúng tôi muốn trình bày cụ thể hơn, rõ rànghơn việc dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình khônggian

2.4 Vấn đề nghiên cứu

Việc dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài hình không gian

có nâng cao kết quả học tập môn hình của học sinh lớp 12 hay không ?

2.5 Giả thiết nghiên cứu

Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải các bài toán hình không gian sẽnâng cao kết quả học tập môn hình của học sinh lớp 12 trường THPT Trần Phú

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

1 Nguyễn Hồng Tính – Giáo viên dạy toán lớp 12A1 ( Lớp thực nghiệm)

2 Nguyễn Khắc Ngân – Giáo viên dạy toán lớp 12A2 ( Lớp đối chứng)

- Về chương trình học: Hai lớp 12A1 và 12A2 là hai lớp chọn của trường,cùng học chương trình nâng cao.

- Về ý thức học tập: Tất cả các học sinh ở hai lớp này đều tích cực, chủ động

- Về thành tích học tập của năm học trước: Hai lớp tương đương nhau vềđiểm số ở tất cả các môn học

3.2 Thiết kế nghiên cứu.

Chọn hai lớp nguyên vẹn: Lớp 12A1 là lớp thực nghiệm, lớp 12A2 là lớp đốichứng Chúng tôi dùng bài kiểm tra 1 tiết môn toán làm bài kiểm tra trước tác động.Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai lớp có sự khác nhau, do đóchúng tôi dùng phép kiểm chứng t-test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm sốtrung bình của hai lớp trước khi tác động

Kiểm tra trước và sau tác động của hai lướp tương đương được mô tả trong bảng 1

Bảng 2 Thiết kế nghiên cứu:

Ở thiết kế này chúng tôi đã sử dụng phép kiểm chứng t-test độc lập

3.3 Quy trình nghiên cứu.

* Chuẩn bị bài của giáo viên:

- Thầy Tính dạy lớp thực nghiệm: Sưu tầm và sắp xếp từ dễ đến khó các bái toánhình không gian và thiết kế bài giảng theo hướng giải bằng phương pháp tọa độ

- Thầy Ngân dạy lớp đối chứng: Thiết kế bài giảng hình học không gian thuần túy,không sử dụng phương pháp tọa độ

* Tiến hành dạy thực nghiệm:

Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà trường vàtheo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan

3.4 Đo lường và thu thập dữ liệu

Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 1 tiết sau khi học sinh học xong

chương I : “Khối đa diện và thể tích của chúng ” do tổ Toán thống nhất nội dung và

ra đề chung cho toàn khối 12

Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong phần phương pháptọa độ trong không gian do hai giáo viên dạy toán lớp 12A1 và 12A2 cùng thốngnhất và thiết kế Bài kiểm tra sau tác động gồm 1 câu tự luận

* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:

Sau khi thực hiện dạy xong các phần về phương pháp tọa độ trong không gian,chúng tôi tiến hành kiểm tra 1 tiết ( nội dung kiểm tra ở phần phụ lục), sau đó tiếnhành chấm bài theo đáp án đã xây dựng

4 PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ BÀN LUẬN KẾT QUẢ

Theo trên đã chứng minh được rằng kết quả hai lớp trước tác động là tương đương.Sau tác động, kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng t-test cho kết quả p =0,00003 cho thấy sự chênh lệch giữa điểm trung bình lớp thực nghiệm và lớp đốichứng là rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung bình lớp thực nghiệmcao hơn điểm trung bình lớp đối chứng là không ngẫu nhiên mà do kết quả của tácđộng Hơn nữa điều này cho thấy mức độ ảnh hưởng của dạy hình không gian cótrang bị phương pháp tọa độ của lớp thực nghiệm là lớn

Giả thuyết của đề tài “Dùng phương pháp tọa độ trong không gian để giải cácbài toán hình không gian sẽ nâng cao kết quả học tập môn hình của học sinh lớp 12trường THPT Trần Phú ” đã được kiểm chứng

4.2 Bàn luận kết quả

Kết quả bài kiểm tra sau tác động của lớp thực nghiệm là 8,1 ; kết quả bàikiểm tra tương ứng của lớp đối chứng là 7,2 Độ chênh lệch điểm số của hai lớp là0,9 Điều đó cho thấy điểm trung bình của hai lớp đã có sự khác biệt rõ rệt, lớpđược tác động có điểm trung bình cao hơn lớp đối chứng Phép kiểm chứng t-testđiểm trung bình sau tác động của hai lớp là p = 0,00003 < 0,05 Kết quả này khẳngđịnh sự chênh lệch điểm trung bình của hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà

là do tác động

* Hạn chế:

Khi gán hệ tọa độ vào hình vẽ thì cần chọn gốc tọa độ, các trục Ox, Oy, Oz sao chothật sự phù hợp, nếu không, bài toán trở nên “rắc rối ” hơn

5 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ

5.1 Kết luận

Việc trang bị cho học sinh phương pháp tọa độ trong không gian để giải cácbài toán hình không gian đã nâng cao hiệu quả học tập của học sinh, giúp cho họcsinh có thêm một cách nhìn, một cách suy nghĩ và một cách giải quyết các bài toánhình không gian theo hướng đại số hóa hình học Học sinh có thể giải nhanh mộtbài toàn hình không gian bằng các công thức quen thuộc trong phần phương pháptọa độ

5.2 Khuyến nghị

- Đối với học sinh: Cần nắm vững các kiến thức về phương pháp tọa độ trongkhông gian, các công thức tính góc, tính khoảng cách, tính thể tích; nắm được địnhnghĩa và các tính chất của hệ tọa độ trong không gian

- Đối với giáo viên: Không ngừng tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp

vụ, luôn trau dồi kiến thức và phương pháp sư phạm Đặc biệt, biết khai thác thôngtin trên mạng internet, có kĩ năng sử dụng thành thạo các trang thiết bị dạy học hiệnđại và các phần mềm toán học

- Đối với các cấp lãnh đạo: Cần quan tâm về cơ sở vật chất và đội ngũ giáoviên Cụ thể cần trang bị đầy đủ phòng học, đủ các trang thiết bị, giảm số lượng họcsinh trên mỗi lớp Biên chế đủ giáo viên trên từng bộ môn ( có thể dư) để tăng tiếthọc tự chọn ở mổi lớp

6 TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Rèn luyện phương pháp tọa độ cho học sinh phổ thông để giải các bài toánhình học không gian – luận văn thạc sĩ của Nguyễn Đình Phùng, ĐHSP Hà Nội,năm 2000

- Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề kết hợp sửdụng phần mềm GSP trong dạy học một số chủ đề của hình học không gian – luậnvăn thạc sĩ của Nguyễn Thị Kim Nhung, ĐHSP Hà Nội, năm 2004

- Biên soạn hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khắc quan trợ giúp dạy học vềphương pháp tọa độ trong không gian lớp 12 THPT – luận văn thạc sĩ của NguyễnThị Thu Hằng, K14 ĐHSP Đại Học Thái Nguyên , năm 2008

- Tuyển tập 750 bài toán hình học 12- Nguyễn Sinh Nguyên (chủ biên)- Nhàxuất bản Đà Nẵng

- 1234 bài tập tự luận điển hình Hình học, lượng giác- Lê Hoành Phò- Nhàxuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội

- Mạng internet: http://violet.vn ; http://thuvientailieu.bachkim.com

- Về kỹ năng : Vận dụng được các kiến thức về phương pháp tọa đọ để giải toán.

- Về thái độ : Rèn luyện tư duy logic, cẩn thận, chính xác, biết quy lạ về quen

II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:

- Giáo viên : Giáo án, bảng phụ, phấn màu, thước vẽ hình

- Học sinh : Thước kẻ, các kiến thức về phương pháp tọa độ

III Phương pháp: Dùng phương pháp gợi mở vấn đáp xen kẽ hoạt động nhóm.

IV Tiến trình bài học:

Hoạt động 1:

Bài 1 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.

a) Chứng minh rằng A’C  (AB’D’)

b) Gọi M là trung điểm AD, N là trung điểm BB’ Chứng minh rằng A’C  MN

c) Tính côsin của góc giữa hai vecto MN và AC'

d) Tính thể tích của khối tứ diện A’CMN theo a

Hoạt động

của GV

Hoạt động của HS

- Nêu cách chứng minh đường thẳng vuông góc vớimặt phẳng

- Trình bày bài giải

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A,

B  Ox, D  Oy, A’  Oz

Từ đó suy ra: A(0 ; 0 ; 0), B(a ; 0 ; 0), C(a ; a ; 0), A’(0 ; 0 ; a) , B’(a ; 0 ;a) ,

A'

A

D'

D C B

z

y

x

M N

- Trình bày bài giải

- Nêu công thức tính góc giữa hai vecto

- Trình bày bài giải

- Nêu các công thức tínhthể tích khối

tứ diện

- Trình bày bài giải

a AC

Hoạt động 2:

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có SC = CA = AB = a 2 , SC  (ABC) Tam giác ABC vuông tại A Các điểm M SA , NBC sao cho AM = CN = t ( 0 < t < 2a )

a) Tính độ dài đoạn MN Tìm t để đoạn MN ngắn nhất

b) Khi đoạn MN ngắn nhất , chứng minh rằng MN là đoạn vuông góc chung của BC và SA.

- Trình bày bài giải

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A , trục Ox chứa AC , trục Oy chứa AB ,

trục Oz  (ABC)

Khi đó cạnh SC song song trục Oz và ta có :A( 0 ; 0 ; 0), B(0 ; a 2 ; 0) , C(a 2; 0 ; 0), S(a 2 ; 0 ; a 2)

a) Từ giả thiết ta suy ra :

y z

x M

N

MN là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Trình bày bài giải

Hoạt động 3:

Bài 3

Cho hình chóp S.ABCD , SA (ABCD) và ABCD là hình chữ nhật có AB = a ,

AD = b , SA = 2a Gọi N là trung điểm SD

a) Tính d(SB, CN)

b) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SBC)

c) Gọi M là trung điểm SA Tìm điều kiện của a và b để cos CMN = 13

- Trình bày bài giải

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A,

B  Ox, D  Oy, S  Oz

Từ đó suy ra : A( 0 ; 0 ; 0) , S(0 ; 0 ; 2a) , B(a ; 0 ; 0) , C(a ; b ; 0) , D(0 ; b ; 0)

Từ giả thiết ta suy ra : M(0 ; 0 ; a ) , N

(0 ; ; )2

b a

B

C D S

N M

- Trình bày bài giải

- Nêu cách tính

góc CMN

- Trình bày bài giải

Hoạt động 4:

Bài 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = 2a , AA’ = a 2 ;

M là một điểm thuộc đoạn AD , K là trung điểm của B’M

a) Đặt AM = m ( 0 < m < 2a ) Tính thể tích tứ diện A’KID theo a và m, trong đó I là tâm hình hộp

b) Khi M là trung điểm AD, mặt phẳng (B’CK) cắt hình hộp theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó theo a.

- Trình bày bài giải

- Nêu cách tìm

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với D,

A  Ox, C  Oy, D’  Oz

Từ đó suy ra D( 0 ; 0 ; 0), D’(0 ; 0 ; a 2 ),A(2a ; 0 ; 0) , B(2a ; a ; 0) , C(0 ; a ; 0)

C

B C'

- Trình bày bài giải

(B’CM) cắt hai mặt phẳng (BB’C’C) và mặt phẳng (AA’D’D) song song theo hai giao tuyến song song Suy ra B’C // MN

Thiết diện B’CMN là hình thang

Phụ lục 2 : Đề và đáp án kiểm tra sau tác động

Đề kiểm tra sau tác động

Họ và tên :

Lớp :

Đề kiểm tra :

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Xét hai điểm

M AD’, N BD sao cho AM = DN = k ( 0 < k < a 2 ) và P là trung điểm B’C’

a) Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AP và BC

b) Tính thể tích khối tứ diện APBC

c) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn nhất

d) Khi đoạn MN ngắn nhất, chứng minh rằng MN là đường vuông góc chungcủa AD’ và BD

Đáp án bài kiểm tra sau tác động

Chọn hệ tọa độ Oxyz sao cho O trùng với A, B  Ox,

D  Oy, A’  Oz Từ đó suy ra A( 0 ; 0 ; 0), A’(0 ; 0 ; a),

B(a ; 0 ; 0), B’(a ; 0 ;a), C(a ; a ; 0), C’(a ; a ; a),

C' D'

= 3k2 – 2a 2 k + a2 với 0 < k < a 2  MN2 =

2

2 22

36 Nguyễn Thị Bích Tiển 7 9