mở rộng bài toán con bướm sang không gian

'( !""#$ %& ) "#*++,#!*-% Trong hình h c ph ng ã bi t m t toán kinh i m n i ti ng có tên toán b m Vi c ch ng minh m r ng toán c r t nhi u ng i quan tâm c bi t, ã có r t nhi u ng i ta tìm cách m r ng toán theo nhi u cách khác song t t c m r ng ó u áp d ng hình h c ph ng Vì v y, báo nên toán m r ng hoàn toàn m i ó là, m r ng toán b m sang không gian ch ng minh Tr c tiên, xin nêu l i toán b m m t ph ng Bài toán b m m t ph ng: Cho ng tròn (O) dây cung AB b t kì I trung m c a AB Qua I v dây CD, EF cho C thu c cung AE; C,E thu c cung AB nh CF ED c t AB l n l t t i M,N Ch ng minh r ng : IM=IN C Vi c ch ng minh toán ã có r t nhi u tài li u vi t nên không nêu l i n a Bây gi , s m r ng toán sang không gian cách ch ng minh nh sau A M E I N B O D F Bài toán b m không gian: Trong không gian, cho m t c u tâm (O) MM1 m t dây cung b t kì, I trung i m c a MM1 Gi s r ng AA1, BB1, CC1 ba dây cung b t kì i qua I cho ba i m A,B,C n m v phía v i m t ph ng vuông góc v i MM1 t i I Các m t ph ng (ABC),(A1B1C1) c t ng th ng MM1 l n l t t i N N1 Ch ng minh r ng : IN=IN1 Ch ng minh : G i (α ) m t ph ng ch a ng th ng MM1 vuông góc v i OI t i I, ó O tâm m t c u Khi ó, giao n c a (α ) , (ABC) (A1B1C1) v i m t c u l n l t ng tròn ( ), ( ) ( ) Gi s E,F giao i m c a ( ) v i ( E1,F1 giao i m c a ( ) v i ( ) Khi ó ta có: EF = (α ) ∩ ( ABC ) , E1 F1 = (α ) ∩ ( A1B1C1 ) ) Suy ra, i m E,N,F th ng hàng chúng u thu c giao n c a hai m t ph ng (α ) (ABC) T ng t! thì, E1 ,N1 ,F1 c"ng th ng hàng t G = AC ∩ EF , G1 = A1C1 ∩ E1F1 B i vì, EF ⊂ (α ) , E1F1 ⊂ (α ) nên G ∈ (α ) G ∈ ( ACA1C1 ) , hay G i m chung c a (α ) ( ACA1C1 ) T ng t!, G1 c"ng i m chung c a (α ) ( ACA1C1 ) H n n a, d# th y I c"ng i m chung (α ) ( ACA1C1 ) Suy G,I,G1 th ng hàng thu c giao n d = (α ) ∩ ( ACAC 1) G i( ) ng tròn giao n c a (ACA1C1) m t c u (O) Q, Q1 hai giao i m c a d v i ( ) Khi ó Q, Q1 thu c ng tròn ( ) Do, (α ) m t ph ng ch a tâm ng th ng MM1 vuông góc v i OI t i I ,vì th I ng tròn ( ) Suy I trung i m c a QQ1 Xét m t ph ng (ACA1C1) ch a ng tròn ( ) ng tròn ( ) có I trung i m c a dây cung QQ1 AA1,CC1 hai dây cung b t kì i qua I Ngoài ra, ng th ng AC, AC1 c t QQ1 l n l t t i G, G1 B i v y, áp d ng toán b m m t ph ng (ACA1C1) $i v i ng tròn ( ), ta c: IG = IG1 Hoàn toàn t t (1) ng t!, H = BC ∩ EF , H1 = B1C1 ∩ E1 F1 Suy H,I,H1 th ng hàng thu c giao n ∆ = (α ) ∩ ( BCB1C1 ) G i( ) ng tròn giao n c a (BCB1C1) m t c u (O) P, P1 hai giao ng tròn ( ) Ch ng minh nh ta suy i m c a ∆ v i ( ) Khi ó P, P1 thu c I trung i m c a PP1 BB1,CC1 hai dây cung b t kì i qua I L i áp d ng toán b m m t ph ng (BCB1C1) $i v i ng tròn ( ), ta thu c: IH = IH1 (2) M t khác, ta có: ∠GIH = ∠G1 IH1 T% (1) , (2) (3) suy ∆GIH = ∆G1 IH1 (3) ( c.g.c ) Do ó, ∠HGI = ∠H1G1 I D# th y ∠GIN = ∠G1 IN1 T% (1) , (4) (5) ta có ∆GIN = ∆G1 IN1 ( g.c.g ) Suy ra, IN = IN1 (4) (5) ( pcm)  ... dây cung b t kì i qua I Ngoài ra, ng th ng AC, AC1 c t QQ1 l n l t t i G, G1 B i v y, áp d ng toán b m m t ph ng (ACA1C1) $i v i ng tròn ( ), ta c: IG = IG1 Hoàn toàn t t (1) ng t!, H = BC... ∆ v i ( ) Khi ó P, P1 thu c I trung i m c a PP1 BB1,CC1 hai dây cung b t kì i qua I L i áp d ng toán b m m t ph ng (BCB1C1) $i v i ng tròn ( ), ta thu c: IH = IH1 (2) M t khác, ta có: ∠GIH =