!" & # $ % '(!)))*++, Bài toán v ng th ng Euler ng tròn Euler tam giác m t toán n i ti ng kinh i n Bài toán nhà toán h c Euler nêu ch ng minh ,vì v y c mang tên ông c bi t ch ng trình hình h c THCS c ch ng minh Bài toán ã v i nhi u cách khác ,song h u h t m i ng i ch quan tâm n vi c tìm cách khác ch ng minh mà không quan tâm n v n m r ng toán.V i ,sau nghiên c u k cách gi i khác ,tôi ã t câu h i ,li u r ng toán có m r ng c hay không ,n u c m r ng theo h ng m r ng n âu.Sau nh ng ngày tháng kiên trì không bi t m t nh c ,tôi ã tìm h ng m r ng m i c a toán ã ch ng minh chúng Sau ây xin c trình bày hai h ng m r ng mà ã thu ck t qu h t s c b t ng , thú v Và nêu m t s h ng m r ng m i ang trình tìm tòi ,ch ng minh Tr c h t,chúng ta nêu ch ng minh l i toán ng th ng Euler , ng tròn Euler Bài toán ( ng th ng Euler ng tròn Euler) Bài toán Cho tam giác ∆ABC G i A1, B1, C1 l n l t trung i m c ch BC , CA, AB A2 , B2 , C2 l n l t chân ng cao h t nh tam giác xu ng c ch BC , CA, AB G i G , O H l n l t tr ng tâm ,tâm ng tròn ngo i ti p tr c tâm tam giác ó a) Ch ng minh r ng i m G , O , H n m m t ng th ng (! ng th ng Euler) b) G i A3 , B3 , C3 l n l t trung i m o n AH , BH , CH Ch ng minh r ng chín i m A1, B1, C1 , A2 , B2 , C2 , A3 , B3 , C3 thu c m t ng tròn ( ng tròn Euler) Ch ng minh a) D" th y, B1C1 / / BC OA1 ⊥ B1C1 , A1C1 / / AC OB1 ⊥ A1C1 A1B1 / / AB OC1 ⊥ A1B1 Suy , O tr c tâm tam giác ∆A1B1C1 E Vì G tr ng tâm tam giác ∆ABC nên: GA1 = − GA Do ó, phép v t V G,− tâm G t s − bi n i m A, B, C t ng ng thành A1, B1, C1 Vì phép v t b o t#n góc nên bi n tr c tâm ∆ABC thành tr c tâm tam giác ∆A1B1C1 Ngh$a là: V (H ) = O A B2 A3 F C2 C , C1 H , B G B3 B B1 A2 O C3 C A1 , A D Hình Hay G , O , H n m m t ng th ng (h.1) (!pcm) Chú ý ! ng th ng i qua ba i m G , O , H c xác nh nh c g i ng th ng Euler b) G i D, E F l n l t i m i x ng c a H qua BC , AC AB Suy 1 HA2 = HD, HB2 = HE , HC2 = HF , 2 ng tròn ngo i ti p tam giác ∆ABC Th c v y Ta s% ch ng minh D, E F thu c ,ta có: ∠BDC = ∠BHC = ∠B2 HC2 Mà ∠B2 HC2 + ∠BAC = 180o ,do ó; G,− ∠BDC + ∠BAC = 180o , Suy ABCD t giác n i ti p , i u ó ch ng t D thu c ng tròn ngo i ti p tam giác ∆ABC (h.1) T ng t ,các i m E , F c&ng thu c ng tròn ngo i ti p tam giác ∆ABC Gi s' A′, B′, C ′ i m i x ng c a A, B, C qua tâm O ,suy A′, B′ , C ′ thu c ng tròn ngo i ti p tam giác ∆ABC D" th y r ng : HBA′C hình bình hành ,do ó HA1 = HA′ 1 T ng t , HB1 = HB′ HC1 = HC ′ 2 Do ó,phép v t V tâm H t s bi n i m A′, B′ , C ′ t ng ng H, 2 thành i m A1, B1, C1 Bi n i m A, B, C , D, E F t i m A3 , B3 , C3 , A2 , B2 C2 Và V ( O ) = O′ H, Vì i m A′, B′ , C ′ , A, B, C , D, E , F thu c ng A1, B1 , C1 , A3 , B3 , C3 , A2 , B2 , C2 thu c phép v t V tâm H t s (h.1) H, ng ng thành ng tròn ( O ) nên i m t ng ng tròn ( O′ ) nh c a ( O ) qua V y chín i m A1, B1 , C1 , A2 , B2 , C2 , A3 , B3 , C3 , A2 , B2 , C2 thu c m t ng ng tròn Euler) ( pcm) tròn ( Chú ý ! ng tròn i qua chín i m c xác nh nh c g i ng tròn chín i m ,hay ng tròn Euler.! ng tròn có bán kính b ng n'a bán kính ng tròn ngo i ti p tam giác ∆ABC Trong ch ng toán ,ta có : V ( O ) = O′ ,suy O′H = O′O H, Ngoài ra, ∆GOA1 #ng d ng v i ∆GHA nên , Và, GO A1O = = GH AH GO = HO ∆HBC = ∆DBC , ∆HAB = ∆FAB, ∆HAC = ∆EAC HC = DC = EC , HB = DB = FB, HA = FA = EA !ó k t qu quan tr ng ta dùng ch ng minh nh ng toán m r ng Sau ch ng minh xong toán trên,tôi b(n kho(n t câu h i toán có m r ng u c không,n u c m r ng theo h ng d ki n c a toán có thay i không?.S kiên trì c a ã thành công ,tôi ã tìm hai h ng m r ng c a toán ó là:M r ng toán m t ph ng m r ng toán sang hình không gian H ng m r ng th nh t.( M r ng toán m t ph ng) Bài toán m r ng u tiên mà ngh$ n ó ,m r ng toán cho t giác Lúc u g p v n ch) ,t giác khái ni m tr c tâm ,nh ng không u hàng ã tìm cách xây d ng cho t giác m t khái ni m m i ó khái ni m tr c tâm Tr c tâm c a t giác ch t#n t i t giác ó t giác n i ti p ng tròn V i m t t giác n i ti p b t kì ,giao c a ng n i nh th i (i = 1, 4) v i tr c tâm c a tam giác g#m nh l i s% #ng quy t i m t i m.!i m #ng quy ó c g i tr c tâm c a t giác ó.Không nh ng a khái ni m tr c tâm c a t giác n i ti p mà a khái ni m tr c tâm c a m t a giác n i ti p ng tròn b t kì v i cách xác nh t ng t nh V i m t a giác n − nh n i ti p b t kì,Giao c a ng n i nh th i (i = 1, n) v i tr c tâm c a ( n − 1) giác g#m nh l i s% #ng quy t i m t i m.!i m #ng quy ó c g i tr c tâm c a a giác ó Khái ni n tr ng tâm c a m t a giác b t kì ã xác nh a "T khái quát t hình ph ng n hình không gian" V i khái ni n tr c tâm c a a giác n i ti p ng tròn nh tr ng tâm c a a giác b t kì s% cho phép m r ng toán h n n a.Sau ây toán ng th ng Euler, ng tròn Euler m r ng cho tr ng h p t giác ng tròn tâm O Gi s' A1, B1, C1, D1 l n Bài toán 2.Cho t giác ABCD n i ti p l t tr c tâm tam giác ∆BCD, ∆CDA, ∆DAB, ∆ABC A2 , B2 , C2 , D2 l n l t tr ng tâm tam giác ∆BCD, ∆CDA, ∆DAB, ∆ABC G tr ng tâm t giác ABCD ng th ng AA1, BB1, CC1, DD1 #ng quy t i m t i m a) Ch ng minh r ng H (H c g i tr c tâm t giác ABCD ) A1, B1, C1, D1 thu c m t ng tròn b) Ch ng minh r ng O, G, H n m m t ng th ng ( ng th ng Euler t giác ) c) G i H1, H , H , H l n l t i m thu c o n HA, HB, HC , HD HH1 HH HH HH cho = = = = Ch ng minh r ng i m A2 , B2 , C2 , D2 HA HB HC HD H1, H , H , H thu c m t ng tròn (! ng tròn Euler cho t giác) d) Ch ng minh r ng ng tròn Euler c a tam giác ∆BCD, ∆CDA , ∆DAB , ∆ABC có bán kính #ng quy t i H e) G i O1, O2 , O3 , O4 l n l t tâm ng tròn Euler c a tam giác ∆BCD, ∆CDA , ∆DAB , ∆ABC Ch ng minh O1, O2 , O3 , O4 thu c m t ng tròn có bán kính b ng bán kính ng tròn ( O1 ) Ch ng minh: a) G i A1′ , B1′ i m i x ng c a A1, B1 qua DC Khi ó theo toán A1′ , B1′ thu c ng tròn ngo i ti p t giác ABCD ,và A1B1B1′ A1′ hình thang cân nên : ∠A1 A1′ B1′ = ∠A1′ A1B1 (2.1) Ngoài ra,ta có : ABA1′ B1′ t giác n i ti p,do ó ∠B1 AB + ∠A1 A1′ B1′ = 180o T (2.1) (2.2) ,suy (2.2) ∠B1 AB + ∠A1′ A1B1 = 180o ,vì th ∠B1 AB = ∠B1 A1B bù v i góc ∠A1′ A1B1 M t khác, AB1 / / BA1 vuông góc v i CD , i u ch ng t ABA1B1 hình bình hành,b i v y o n th ng AA1, BB1 c*t t i trung i m m)i o n (h.2) D1 C1 B F A H C2 B1 G B2 D D2 O A2 A1 C E , A1 , B1 Hình L p lu n t ng t ,ta có: BCB1C1 , CDC1D1 , DAD1 A1 nh ng hình bình hành Suy ,các o n th ng AA1, BB1 , CC1, DD1 ôi m t c*t t i trung i m m)i o n ,ngh$a ng th ng AA1, BB1, CC1, DD1 #ng quy t i m t i m H (h.2) Bây gi ,g i ÖH phép i x ng tâm H ,khi ó ÖH bi n i m A, B, C , D t ng ng thành i m A1, B1, C1, D1 ÖH ( v ) = v′ tâm ng tròn ngo i ti p t giác A1B1C1D1 ,hay A1, B1, C1, D1 thu c m t ng tròn (h.2) pcm b) Theo toán 1,ta có : A1 A2 , B1B2 , C1C2 , D1D2 t ng ng ng th ng Euler c a tam giác ∆BCD , ∆CDA, ∆DAB, ∆ABC chúng #ng quy t i O OA2 OB2 OC2 OD2 = = = = (2.3) OA1 OB1 OC1 OD1 M t khác,trong "T khái quát t hình ph ng n hình không gian" ta ã có k t qu : GA2 GB2 GC2 GD2 = = = (2.4) GA GB GC GD T (2.3) (2.4) ,ta có: GA2 HA OA1 1 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1 GA HA1 OA2 1 Mà ba i m O, G, H l n l t thu c ba c nh A1 A2 , AA1, AA2 c a ∆AA1 A2 ,nên theo nh lý Menelauyt O, G, H th ng hàng.V y O, G, H thu c m t ng th ng ( ng th ng Euler cho tr ng h p t giác n i ti p) (h.2) pcm c) G i A4 , B4 , C4 , D4 l n l t i m i x ng c a A, B, C , D qua tâm O ,khi ó ta có: A4O HA A2 A1 1 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =1 A4 A HA1 A2O 1 Vì A4 , A2 , H l n l t thu c ba c nh AO, AA1, A1O c a tam giác ∆OAA1 ,nên theo nh lý Menelauyt A4 , A2 , H th ng hàng.(h.3) L i áp d+ng nh lý Menelauyt cho tam giác ∆AHA4 v i ba i m th ng hàng A1, A2 , O t ng ng thu c ba c nh c a tam giác ó ta c: A1 A A2 H OA4 AH A2 H 1 ⋅ ⋅ =1⇔ ⋅ ⋅ =1 = HA2 = HA4 A1H A2 A4 OA A2 A4 A2 A4 Nên HA2 = HA4 Ch ng minh t ng t ,ta c: 1 HB2 = HB4 , HC2 = HC4 , HD2 = HD4 3 Do ó, phép v t V tâm H t s s% bi n i m A, B, C , D t ng ng H, 3 thành i m H1, H , H , H V H, bi n i n A4 , B4 , C4 , D4 t ng ng thành i m A2 , B2 , C2 , D2 ,! t: V (O ) = I H, Vì i m A, B, C , D , A4 , B4 , C4 , D4 thu c ,nên i m H1, H , H , H , A2 , B2 , C2 , D2 t ng tròn ngo i ti p t giác ABCD ng ng thu c ng tròn tâm I D1 C1 B F A O3 H1 H2 H O4 D2 C2 C4 B1 H3 G H4 O2 B2 D4 A1 O1 A2 O C E D A4 B4 Hình nh c a O qua phép v t V H, tâm H t s V y ,các i m H1, H , H , H , A2 , B2 , C2 , D2 thu c m t (! ng tròn Euler cho t giác) (h.3) ( pcm) Chú ý ! kính ng tròn Euler c xác ng tròn R ( R bán i qua tám i m ,vì nh nh có bán kính b ng ng tròn ngo i ti p t giác ABCD ).! ng tròn ch không i qua b n tr c tâm c a b n tam giác mà b n tr c tâm l i thu c m t ng tròn khác Nh v y,ta có th xem ng tròn Euler i qua chín i m cho tam giác m t ng tròn tâm bán kính , ó ng tr ng h p c bi t g#m hai tròn i qua ba chân ng cao ng tròn i qua sáu i m l i d) G i O1, O2 , O3 , O4 l n l t tâm ng tròn Euler c a tam giác ∆BCD, ∆CDA , ∆DAB , ∆ABC ,khi ó theo toán O1, O2 , O3 , O4 l n l t ng tròn t ng ng có bán trung i m o n OA1, OB1, OC1, OD1 kính b ng bán kính ng tròn ngo i ti p tam giác ∆BCD, ∆CDA , ∆DAB , ∆ABC b ng R ( R bán kính ng tròn ngo i ti p t giác ABCD ) H n n a,ta có: 1 O1H ng trung bình c a tam giác ∆A1OA ,suy O1H = OA = R 2 T ng t O2 H = O3 H = O4 H = R ng tròn Euler c a tam giác ∆BCD, ∆CDA , ∆DAB , ∆ABC có V y ,các bán kính #ng quy t i H ( pcm) e) Theo câu d, ta có: 1 1 OO1 = OA1 , OO2 = OB1, OO3 = OC1, OO4 = OD1 2 2 s% bi n i m A1, B1, C1, D1 t ng ng Vì th ,phép v t V tâm O t s O, 2 thành i m O1, O2 , O3 , O4 Vì i m A1, B1, C1, D1 thu c ng tròn ngo i ti p t giác A1B1C1D1 ,nên i m O1, O2 , O3 , O4 , t ng ng thu c ng tròn tâm O′′ = V ( O′ ) bán kính O, R ( pcm) Nh n xét: Qua toán không nh ng ta thu c k t qu v ng th ng ng tròn Euler mà thu c k t liên quan khác c&ng không ph n h p d,n M i ch t c a toán ph i tìm c m i liên h v i toán tr c ó s' d+ng tri t ,linh ho t k t qu ã có toán ó b ng Bài toán 3.Cho ng& giác ABCDE n i ti p ng tròn tâm O Gi s' A1, B1, C1, D1 , E1 l n l t tr c tâm t giác BCDE , CDEA, DEAB, EABC , ABCD A2 , B2 , C2 , D2 , E2 l n l t tr ng tâm t giác BCDE , CDEA, DEAB, EABC , ABCD (Tr c tâm tr ng tâm t giác xác nh nh toán 2).G tr ng tâm ng& giác ABCDE (Tr ng tâm ng& giác xác nh nh "T khái quát t hình ph ng n hình không gian" ) a) Ch ng minh r ng ng th ng AA1, BB1, CC1, DD1, EE1 #ng quy t i m t i m H (H c g i tr c tâm ng& giác ABCDE ) A1, B1, C1, D1, E1 thu c m t ng tròn ng th ng ( ng th ng b) Ch ng minh r ng O, G, H n m m t Euler ng& giác ) c) G i H1, H , H , H , H l n l t i m thu c o n HA, HB, HC , HD HH1 HH HH HH HH HE cho = = = = = Ch ng minh r ng i m HA HB HC HD HE A2 , B2 , C2 , D2 , E2 H1, H , H , H , H thu c m t ng tròn (! ng tròn Euler cho ng& giác) d) Ch ng minh r ng ng tròn Euler c a t giác BCDE , CDEA, DEAB, EABC , ABCD có bán kính #ng quy t i H e) G i O1, O2 , O3 , O4 , O5 l n l t tâm ng tròn Euler c a t giác BCDE , CDEA, DEAB, EABC , ABCD Ch ng minh O1, O2 , O3 , O4 , O5 thu c ng tròn có bán kính b ng bán kính ng tròn ( O1 ) m t Ch ng minh Bài toán c ch ng minh t ng t nh toán Bây gi ta nêu m t d oán toán khái quát nh t cho toán nh sau Bài toán 4.(Bài toán t ng ng th ng ng tròn Euler t ng quát ) Cho a giác A1 A2 An n i ti p ng tròn tâm O Gi s' H i i = 1, n ,l n l t tr c tâm ( n − 1) giác g#m nh tr ( ( ) ) nh Ai Gi i = 1, n l n l t tr ng tâm ( n − 1) giác g#m nh tr nh Ai (Quy trình xác nh tr c tâm tr ng tâm ( n − 1) giác nh toán 2,3).G tr ng tâm a giác A1 A2 An (Tr ng a giác xác nh nh "T khái quát t hình ph ng n hình không gian" ) a) Ch ng minh r ng ng th ng AH1, i = 1, n #ng quy t i m t i m H ( (H ) ( ) c g i tr c a giác A1 A2 An ) i m H i i = 1, n thu c m t tròn b) Ch ng minh r ng O, G, H n m m t Euler a giác ) ng th ng ( ng th ng ng ( ) c) G i Ki i = 1, n l n l t i m thu c o n HAi cho : HK1 HK HK n = = ⋅⋅⋅ = = HA1 HA2 HAn n − ( ) ( ) Ch ng minh r ng i m Gi i = 1, n Ki i = 1, n thu c m t ng tròn Euler cho a giác giác) d) Ch ng minh r ng ng tròn Euler c a ( n − 1) giác g#m nh Ai có bán kính #ng quy t i H ng tròn (! ( ) e) G i Oi i = 1, n l n l nh tr t tâm ng tròn Euler c a ( n − 1) giác g#m ( ) ng tròn ( Oi ) ( i = 1, n ) nh Ai Ch ng minh Oi i = 1, n thu c m t kính b ng bán kính nh tr ng tròn có bán Cách ch ng minh toán t ng quát theo ph ng pháp quy n p.Vì vi c ch ng minh ph c t p nên không trình bày ây H ng m r ng th hai.( M r ng toán không gian) _ ... C2 thu c m t ng ng tròn Euler) ( pcm) tròn ( Chú ý ! ng tròn i qua chín i m c xác nh nh c g i ng tròn chín i m ,hay ng tròn Euler.! ng tròn có bán kính b ng n'a bán kính ng tròn ngo i ti p tam... c m t (! ng tròn Euler cho t giác) (h.3) ( pcm) Chú ý ! kính ng tròn Euler c xác ng tròn R ( R bán i qua tám i m ,vì nh nh có bán kính b ng ng tròn ngo i ti p t giác ABCD ).! ng tròn ch không... l i thu c m t ng tròn khác Nh v y,ta có th xem ng tròn Euler i qua chín i m cho tam giác m t ng tròn tâm bán kính , ó ng tr ng h p c bi t g#m hai tròn i qua ba chân ng cao ng tròn i qua sáu i