trọng tâm tam giác và mở rộng sang không gian

Trong "t khái quát t hình ph ng n hình không gian" ã c p n v n tr ng tâm c a m t a giác l i tr ng tâm c a a di n l i c ng nh tính ch t c a nó.V n d ng tính ch t ó ta có th xây d ng,m r ng khái quát nh ng toán thú v Ý t ng c a xu t phát t toán r t quen thu c n gi n sau Trong m t ph ng cho o n th ng AB G i G trung i m c a AB , d m t ng th ng b t k i qua G G i H , E l n l t hình chi u c a A, B lên d Ch ng minh r ng AH = BE Vi c ch ng minh n gi n V n t ây toán có m r ng c không m r ng nh th nào?Sau m t th i gian dài suy ngh! ,tìm tòi ã tìm câu tr l i c a Sau ây nh ng toán sau m r ng c a E d G A B H Bài toán Trong m t ph ng cho tam giác ∆ABC , G có tr ng tâm d m t ng th ng thay i b t k i qua G cho d chia m t ph ng thành hai ph n ,m t ph n ch a i m A ph n ch a i m B C Gi s A1, B1, C1 l n l t chân ng vuông góc c a i m A, B, C ng th ng d Ch ng A minh r ng AA1 = BB1 + CC1 Ch ng minh G i M trung i m c a BC M1 hình chi u c a lên ng th ng d ,khi ó ta có: ∆AGA1 ∼ ∆MGM nên MM1 MG = = AA1 AG AA1 = MM (1.1) d C1 G M1 A1 B1 B M C M t khác , MM ng trung bình c a hình thang BCC1B1 ,nên BB1 + CC1 2MM1 = BB1 + CC1 (1.2) T (1.1) (1.2) suy AA1 = BB1 + CC1 ( pcm) Bài toán ch ng minh không m y khó kh"n.Sau ây s# i ch ng minh toán m r ng h n MM1 = Bài toán Trong m t ph ng cho t giác l i ABCD , G tr ng tâm c a t giác (là giao i m c a ng n$i %nh th t v&i tr ng tâm c a tam giác g m ba %nh l i) d m t ng th ng thay i b t k i qua G chia m t ph ng thành hai phía có b d Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t %nh c a t giác n m m t phía (b d ) n ng th ng d b ng t ng kho ng cách t %nh phía l i c a t giác n ng th ng d Ch ng minh Không m t tính t ng quát ta gi s A, D m t phía B, C n m phía l i so v&i ng th ng d G i A1, B1, C1 , D1 l n l t chân ng vuông góc h t %nh A, B, C , D n ng th ng d Ta ph i ch ng minh AA1 + DD1 = BB1 + CC1 Th c v y G i O tr ng tâm c a tam giác ∆BCD O1 chân ng vuông góc t ng ng c a lên d N trung i m c a DC N1 chân ng vuông góc h t N n ng th ng d ' t DN1 CC1 = E A D N1 O1 A1 N O Khi ó ,ta có: ∆AGA1 ∼ ∆OGO1 suy ra, d D1 G B1 B C1 M E C OG = (vì G tr ng tâm c a t giác ABCD ) AG OO1 OG = = 3OO1 = AA1 (2.1) AA1 AG Trong hình thang BNN1B1 k( ng th ng qua N song song v&i B1N1 c)t BB1 , OO1 l n l t t i K P B1 O1 N1 P K O N B ó ta có, OO1 = NN1 + OP OP NO = = BK NB T (2.2) (2.3) ,suy (2.2) OP = OO1 = NN1 + OP = NN1 + BK BB1 − NN1 = 3 (2.3) BB1 − NN1 BB1 + NN1 = 3 (2.4) H n n a,l i có: ∆DNN1 ∼ ∆DCE nên NN1 DN CE = = NN1 = CE DC 2 M t khác, CE = CC1 − EC1 = CC1 − DD1 CE CC1 − DD1 = thay vào (2.4) ta 2 BB + CC1 − DD1 OO1 = T (2.1) (2.7) ta suy T (2.5) (2.6) suy NN1 = (2.5) (2.6) c (2.7) AA1 = BB1 + CC1 − DD1 ⇔ AA1 + DD1 = BB1 + CC1 ( pcm) Ti p t c m r ng ta có toán sau: Bài toán Trong m t ph ng cho ng giác l i ABCDE , G tr ng tâm c a ng giác (là giao i m c a ng n$i %nh th n"m v&i tr ng tâm c a t giác g m b$n %nh l i) d m t ng th ng thay i b t k i qua G chia m t ph ng thành hai phía có b d Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t %nh c a ng giác n m m t phía (b d ) n ng th ng d b ng t ng kho ng cách t %nh phía l i c a ng giác n ng th ng d Ch ng minh Không m t tính t ng quát ta gi s A, E m t phía ng th ng d G i A1, B1, C1 , D1, E1 l n l t B, C , D n m phía l i so v&i chân ng vuông góc h t %nh A, B, C , D, E n ng th ng d Ta ph i ch ng minh AA1 + EE1 = BB1 + CC1 + DD1 Th c v y G i H tr ng tâm c a t giác ∆BCDE H1 chân ng vuông góc t ng ng c a lên d O tr ng tâm c a tam giác ∆CDE , O1 chân ng vuông góc t ng ng c a lên d M trung i m c a DC , M1 chân ng vuông góc h t M n ng th ng d ' t N = EO1 MM E A D1 d G M1 H1 O1 E1 O C1 B1 H A1 N D M B C Vì G tr ng tâm c a ng giác ∆AGA1 ∼ ∆HGH1 , HG = nên AG HH1 HG AA = = HH1 = (3.1) AA1 AG 4 Trong hình thang BOO1B1 ,k( ng th ng qua O song song v&i B1O1 c)t BB1 , HH1 l n l t t i K P B1 K H1 P H B O1 O ó thì, HH1 = OO1 + HP (3.2) H tr ng tâm c a t giác BCDE O tr ng tâm tam giác ∆CDE ,và ∆OHP ∼ ∆OBK nên HP OH BK BB1 − OO1 = = HP = = (3.3) BK OB 4 T (3.2) (3.3) ,suy BB − OO1 BB1 + 3OO1 HH1 = OO1 + HP = OO1 + = (3.4) 4 L i có: ∆EOO1 ∼ ∆EMN nên OO1 EO 2 = = OO1 = MN (3.5) MN EM 3 M t khác, MN = MM − NM (3.6) H n n a ∆EE1O1 ∼ ΝΜ 1O1 ,suy NM1 NO1 EE = = NM1 = (3.7) EE1 EO1 2 T (3.6) (3.7) ta có EE MN = MM1 − NM1 = MM1 − (3.8) Ngoài ra, MM ng trung bình c a hình thang CDD1C1 nên CC1 + DD1 MM1 = (3.9) Thay vào (3.9) vào (3.8) ta c EE CC1 + DD1 EE1 MN = MM1 − = − (3.10) 2 T (3.10) (3.5) ta có CC1 + DD1 − EE1 OO1 = MN = (3.11) 3 Thay (3.11) vào (3.4) ta c BB + 3OO1 BB1 + CC1 + DD1 − EE1 HH1 = = (3.12) 4 T (3.12) (3.4) ta suy AA1 = BB1 + CC1 + DD1 − EE1 ⇔ AA1 + EE1 = BB1 + CC1 + DD1 ( pcm) Không b ng lòng v&i nh ng k t qu t c trên, ti p t c m r ng toán sang không gian tìm cách ch ng minh chúng Nh ng c$ g)ng c a c ng thu c k t qu h t s c thú v Ý t ng b)t u t m t o n th ng AB b t k ,nh ng AB n m không gian ch không ph i m t ph ng Bây gi thay cho ng th ng i qua trung i m c a AB ,ta cho (P) m t m t ph ng thay i b t kì i qua trung i m c a AB Khi ó ta có k t qu t ng t ,ngh!a kho ng cách t A n (P) b ng kho ng cách t B n ( P ) Vi c ch ng minh hi n nhiên Tr ng h p ba,b$n n"m i m b t k không gian ta có toán sau Bài toán Trong không gian cho tam giác ∆ABC , có G tr ng tâm Gi s ( P ) m t m t ph ng thay i b t k i qua G cho ( P ) chia không gian thành hai ph n ,m t ph n ch a i m A ph n ch a i m B C Gi s A1, B1, C1 l n l t hình chi u vuông góc c a i m A, B, C xu$ng m t ph ng ( P ) Ch ng minh r ng AA1 = BB1 + CC1 Ch ng minh G i M trung i m c a BC M1 hình chi u c a lên m t ph ng ( P ) ,khi ó M1 ∈ ( AA1M ) ( P ) , G ∈ ( AA1M ) ( P ) , A ∈ ( AA1M ) ( P ) ,suy A1, G , M thu c giao n d = ( AA1M ) ( P ) nên chúng th ng hàng T ó ta có: ∆AGA1 ∼ ∆MGM1 nên MM1 MG = = AA1 = MM (4.1) AA1 AG A1 C A C1 G M M1 B B1 T ng t thì, B1, M1, C1 th ng hàng MM1 ng trung bình c a hình thang BCC1B1 nên: BB + CC1 MM1 = BB1 + CC1 = MM1 (4.2) T (4.1) (4.2) suy AA1 = BB1 + CC1 ( pcm) Bài toán Trong không gian cho t di n ABCD , G tr ng tâm t c a t di n ( P ) m t m t ph ng thay i i qua G chia không gian thành hai ph n .Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t %nh c a t di n n m ph n không gian th nh t (b ( P ) ) n m t ph ng ( P ) b ng t ng kho ng cách t %nh ph n không gian l i c a t di n n m t ph ng ( P ) Ch ng minh Không m t tính t ng quát ta gi s A, C ph n không gian th nh t b ( P ) , B, D n m ph n không gian l i G i A1, B1, C1 , D1 l n l t hình chi u vuông góc t %nh A, B, C , D n m t ph ng ( P ) Ta ph i ch ng minh AA1 + CC1 = BB1 + DD1 Th c v y G i O tr ng tâm c a tam giác ∆BCD , O1 chân ng vuông góc t ng ng c a x$ng ( P ) M trung i m c a DB , M chân ng vuông góc h t M n (P) A P B1 A1 M1 G N M D1 O1 D B O C C1 Ta có ,các i m A1, G, O1 th ng hàng chúng thu c giao n c a ( AA1O ) OG = ( P ) ,thêm n a ∆AGA1 ∼ ∆OGO1 (vì G tr ng tâm c a t di n AG ABCD ) suy ra, OO1 OG = = 3OO1 = AA1 (5.1) AA1 AG M t khác, ta l i có: MM1, OO1, CC1 song song v&i vuông góc v&i m t ph ng ( P ) H n n a C , O, M th ng hàng nên MM 1, OO1, CC1 ng ph ng Suy C1, O1, M thu c giao n c a m t ph ng ( CC1MM1 ) ( P ) nên chúng th ng hàng ' t MM1 C1O = N ,Khi ó : ∆C1ΟΟ1 ∼ ∆C1NM1 nên C1O OO1 C O.NM1 = OO1 = (5.2) C1N NM1 C1N Ngoài , ∆CC1Ο ∼ ∆MON nên C1O = 2ON C1O = C1N (5.3) CC1 C1O CO = = =2 2MN = CC1 MN NO MO 2MN = CC1 (5.4) t (5.2) (5.3) suy C O.NM1 OO1 = = NM1 (5.5) C1N NM = MM − MN mà (5.6) CC1 thay vào (5.5) ta c 2 CC CC OO1 = MM1 − = MM − (5.7) 3 Bên c nh ó ,d* dàng th y r ng MM1 ng trung bình c a hình thang BDD1B1 nên 2MM = BB1 + DD1 thay vào (5.7) ta có BB + DD1 − CC1 OO1 = 3OO1 = BB1 + DD1 − CC1 (5.8) T (5.8) (5.1) suy AA1 = BB1 + CC1 − DD1 ⇔ AA1 + DD1 = BB1 + CC1 ( pcm) T (5.4) (5.6) suy NM1 = MM1 − Bài toán Trong không gian cho n"m i n b t kì A, B, C , D, E cho chúng t o thành %nh c a m t sáu di n l i ( m t l i).G i G tr ng tâm c a sáu di n l i (Là giao i m c a ng n$i %nh th n"m v&i tr ng tâm c a t di n g m b$n %nh l i ) Gi s ( P ) m t ph ng thay i i qua G chia không gian thành hai ph n Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t %nh c a sáu di n n m ph n không gian th nh t (b ( P ) ) n m t ph ng ( P ) b ng t ng kho ng cách t %nh ph n không gian l i c a sáu di n n m t ph ng ( P ) Ch ng minh Không m t tính t ng quát ta gi s A, E m t ph n không gian (b ( P ) ) , B, C , D n m ph n không gian l i G i A1, B1, C1 , D1, E1 l n l t chân ng vuông góc h t %nh A, B, C , D, E n m t ph ng ( P ) Ta c n ch ng minh AA1 + EE1 = BB1 + CC1 + DD1 Th c v y G i O tr ng tâm c a t di n ∆ABCD , O1 chân ng vuông góc t ng ng c a lên ( P ) M tr ng tâm c a tam giác ∆BCD , M chân ng vuông góc t ng ng c a lên ( P ) H trung i m c a BC , H1 hình chi u vuông góc h t H xu$ng m t ph ng ( P ) E A P D1 B1 M1 H1 B O1 G A1 N O E1 C1 H D M C Ta có ,các i m E1, G , O1 th ng hàng chúng thu c giao n c a ( EE1O ) OG ( P ) , nên ∆EGE1 ∼ ∆OGO1 = (vì G tr ng tâm c a sáu di n EG ABCDE ) suy ra, OO1 OG = = 4OO1 = EE1 (6.1) EE1 EG M t khác, ta l i có: MM1, OO1, AA1 song song v&i vuông góc v&i m t ph ng ( P ) ,mà A, O, M th ng hàng nên MM1, OO1, AA1 ng ph ng Suy A1, O1, M1 thu c giao n c a m t ph ng ( AA1MM1 ) ( P ) nên chúng th ng hàng ' t MM1 A1O = N ,Khi ó : ∆A1ΟΟ1 ∼ ∆A1NM1 ó A1O OO1 A O.NM1 = OO1 = A1N NM1 A1N Thêm n a , ∆AA1Ο ∼ ∆MON ,b i v y 3ON = OA1 A1O = A1N AA1 A1O AO = = =3 3MN = AA1 MN NO MO 3MN = AA1 t (6.2) (.63) suy A O.NM1 OO1 = = NM1 A1N B i NM1 = MM1 − MN T (6.4) (6.5) suy NM1 = MM1 − AA1 thay vào (6.5) ta 3 AA AA MM1 − = MM1 − 4 Bây gi ,Trong hình thang DHH1D1 OO1 = k( ng th ng qua H song song v&i H1D1 c)t MM 1, DD1 l n l t t i I J Khi ó , MM1 = HH1 + MI (6.8) Do ∆HMI ∼ ∆HDJ nên: MI HM = = DJ HD H1 H M1 I (6.2) (6.3) (6.4) (6.5) (6.6) c (6.7) D1 J M D DJ DD1 − HH1 = thay vào (6.8) ta c 3 DD1 − HH1 DD1 + HH1 MM1 = HH1 + = (6.9) 3 M t khác ,d* th y HH1 ng trung bình c a hình thang BCC1B1 nên 2HH1 = BB1 + CC1 thay vào (6.9) ta có BB + DD1 + CC1 MM1 = (6.10) T (6.10) (6.7) suy MI = BB + DD1 + CC1 AA1 BB1 + DD1 + CC1 − AA1 OO1 = − = 4 4OO1 = BB1 + DD1 + CC1 − AA1 (6.11) T (6.1) (6.11) ta có EE1 = BB1 + CC1 + DD1 − AA1 ( pcm) ⇔ AA1 + EE1 = BB1 + CC1 + DD1 T nh ng k t qu ta có hai toán t ng quát sau Bài toán ( i n t ng t 1) Trong m t ph ng,cho a +,-c l i n − %nh A1 A2 An i G /01 23 ng tâm c a (là giao c a ng th ng n$i %nh th i v&i tr ng tâm c a a giác g m %nh l i ).Gi s ( d ) ng thay i i qua G chia m t ph ng thành hai ph n có b ng th ng ( d ) Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t %nh c a a giác n m ph n m t ph ng th nh t (b ( d ) ) n ng th ng ( d ) b ng t ng kho ng cách t %nh ph n ng th ng ( d ) m t ph ng l i c a a giác n Bài toán ( i n t ng t 2) Trong không gian,cho n i m A1 , A2 , , An cho b t kì b$n i m chúng ng ph ng chúng n − %nh c a m t a di n l i ó i G /01 ng tâm c a a di n l i ó (là giao c a ng th ng n$i %nh th i v&i tr ng tâm c a a di n g m %nh l i ).Gi s ( P ) ng thay i i qua G chia không gian thành hai ph n có b ( P ) Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t %nh c a a di n n m ph n không gian th nh t (b ( P ) ) n m t ph ng ( P ) b ng t ng kho ng cách t %nh ph n không gian l i c a a di n n m t ph ng ( P ) ' ch ng minh hai toán ta dùng ph ng pháp quy n p.N u có i u c trình bày s$ ti p theo c a t p chí Các b n th s c ki n s# ch ng minh hai toàn t ng quát bi t âu b n l i có nh ng ý t ng sáng t o nh ng toán m&i thú v , tìm cách ch ng minh hay g)n g n Chúc b n có nh ng ý t ng sáng t o, thú v vi c gi i toán! 45I LI6U THAM 789O [1] :-ch +,-o khoa ; n +,-o ? c ,2007 [ 2] Phan Huy 7; i,8 n ' i ; c Qu$c Gia 2003 [3] Tuy n @; n theo chuyên 14A-n ; c B01tu i 23(1quy n ,=;01xu t > n +,-o ? c 2008 [ 4] Nguy*n V"n Nho,Tuy n t p 200 >0i vô nh 2A-n ; n +,-o ? c 2004 [5] p @;C1Mathvn trang web mathvn.org [6] Trang web diendantoanhoc.net [7 ] T p chí toán h c tu i tr( [8] Lê Qu$c Hán,Dn sau nh lý Ptôlêmê,Nhà xu t b n giáo d c [9] Nguy*n V"n Nho, B$n m giáo d c ,2000 i n"m Olympic Toán h c Qu$c t ,Nhà xu t b n ... ba,b$n n"m i m b t k không gian ta có toán sau Bài toán Trong không gian cho tam giác ∆ABC , có G tr ng tâm Gi s ( P ) m t m t ph ng thay i b t k i qua G cho ( P ) chia không gian thành hai ph n... không m y khó kh"n.Sau ây s# i ch ng minh toán m r ng h n MM1 = Bài toán Trong m t ph ng cho t giác l i ABCD , G tr ng tâm c a t giác (là giao i m c a ng n$i %nh th t v&i tr ng tâm c a tam giác. .. Trong không gian cho t di n ABCD , G tr ng tâm t c a t di n ( P ) m t m t ph ng thay i i qua G chia không gian thành hai ph n .Ch ng minh r ng t ng kho ng cánh t %nh c a t di n n m ph n không gian