Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)

Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Cát tuyến trong tam giác và các bài toán liên quan (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thanh Thúy CÁT TUYẾN TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thanh Thúy CÁT TUYẾN TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Lời mở đầu Danh sách hình vẽ Cát tuyến tam giác 1.1 Khái niệm định lý 1.2 Các tính chất cát tuyến tam giác 11 1.2.1 Cát tuyến qua trọng tâm tam giác 11 1.2.2 Cát tuyến qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác 12 1.2.3 Các đường thẳng Gauss, Simson, Steiner 13 1.2.4 Cát tuyến qua tâm Euler 19 1.3 Đường thẳng Euler suy rộng 22 1.4 Các đường thẳng Céva 23 1.4.1 Các tính chất chung đường thẳng Céva 23 1.4.2 Đường thẳng Céva hàng điều hòa 31 1.4.3 Đường thẳng Céva diện tích tam giác 33 Một số ứng dụng đường thẳng Céva 35 1.5.1 Một số toán liên quan đến cevian 35 1.5.2 Một số toán liên quan đến độ dài cevian 36 1.5 Các đường thẳng Céva đặc biệt 41 2.1 Các đường đối trung 41 2.2 Đường thẳng đẳng giác 48 2.2.1 48 Tính chất đường thẳng đẳng giác ii 2.2.2 Các toán liên quan đến cevian đẳng giác 51 2.3 Đường đối phân giác 54 2.4 Các đường thẳng bậc n 57 2.4.1 Tính chất đường thẳng bậc n 58 2.4.2 Một số kết liên quan đến điểm Kn 60 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 Lời mở đầu Trong hình học phổ thông ta biết đường thẳng tam giác đường cao, trung tuyến, đường phân giác, thêm đường thẳng Euler, đường thẳng Simson Luận văn muốn nghiên cứu cách hệ thống cát tuyến đặc biệt tam giác, tính chất có ích để hiểu biết tam giác Ngoài luận văn đề cập đến nhiều ứng dụng, toán nảy sinh nghiên cứu cát tuyến tam giác Mục đích đề tài Trình bày cát tuyến Céva, tức ba đường thẳng qua đỉnh đồng qui số cát tuyến đặc biệt tam giác Từ khái niệm, tính chất cát tuyến xây dựng hệ thức liên quan tam giác, hệ thức trình bày chi tiết sách giáo khoa Hình học giáo trình Hình học sơ cấp Ứng dụng khái niệm, tính chất, hệ thức thu để hiểu biết thêm Hình học tam giác giải toán thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Nhiều phần có ý tưởng sáng tạo toán Phạm vi đề tài phát triển kiến thức hình học phẳng Hình học sơ cấp, đặc biệt ý đến toán thi học sinh giỏi, thi Olympic nước Quốc tế, thi vào Trung học phổ thông chuyên đề thi Đại học Ngoài phần mở đầu danh mục tài liệu tham khảo nội dung luận văn chia làm hai chương Chương dành để trình bày kết Hình học sơ cấp nói chung, chủ yếu định lý: Menélaus, Céva, hệ quả, tính chất chung cát tuyến tam giác Nội dung ứng dụng đường thẳng Céva trình bày song song với nội dung lý thuyết Chương với tiêu đề "Các đường thẳng Céva đặc biệt" trình bày chi tiết đường đối trung, đường thẳng đẳng giác, đường đối phân giác đường thẳng bậc n Mỗi chương có phần giới thiệu chung lý thuyết cần dùng đến chương Nội dung có nêu tài liệu trích dẫn, nội dung thi tác giả chứng minh chi tiết chặt chẽ Ý tưởng tác giả lưu ý suốt luận văn Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phòng Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K8B (2014 - 2016) Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho hoàn thành khóa học Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho suốt trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, tháng năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Thanh Thúy Danh sách hình vẽ 1.1 Cát tuyến 1.2 Định lý 1.1.3 1.3 Đường thẳng Carnot 1.4 Định lý 1.1.5 1.5 Tính chất iv 1.6 Tính chất v 10 1.7 Tính chất 1.2.1.1 11 1.8 Tính chất 1.2.2.2 12 1.9 Đường thẳng Gauss 14 1.10 Đường thẳng Simson 15 1.11 Đường thẳng Steiner 18 1.12 Đường tròn Euler 20 1.13 Định lý Van Aubel 24 1.14 Định lý Van Aubel mở rộng 28 1.15 Mệnh đề 1.4.1.11 29 1.16 Tính chất 1.4.2.1 31 1.17 Tính chất 1.4.2.2 32 1.18 Mệnh đề 1.5.2.3 39 2.1 Tính chất 2.1.3 42 2.2 Tính chất 2.1.5 43 2.3 Mệnh đề 2.1.10 45 2.4 Mệnh đề 2.1.11 46 2.5 Tính chất 2.2.1.1 48 2.6 Bài toán 2.2.2.1 51 2.7 Tính chất 2.3.3 55 2.8 Tính chất 2.3.5 56 2.9 Tính chất 2.4.1.1 58 2.10 Tính chất 2.4.1.2 59 2.11 Mệnh đề 2.4.2.3 61 2.12 Mệnh đề 2.5 62 Chương Cát tuyến tam giác 1.1 Khái niệm định lý Định nghĩa 1.1.1 Một đường thẳng cắt hình gọi cát tuyến hình Nếu hình đa giác cát tuyến cắt cạnh mà phần kéo dài cạnh Các định lý sau coi tính chất cát tuyến tam giác Đã có nhiều phép chứng minh chúng, ta chọn phép chứng minh đơn giản Định lý 1.1.2 (Định lý Menélaus, Menélaus-Nhà toán học cổ Hy lạp, Thế kỷ I sau công nguyên) Nếu có đường thẳng cắt cạnh AB, BC, CA hay cạnh kéo dài tam giác điểm C1 , B1 , A1 C1 A B1 C A1 B = C1 B B1 A A1 C Chứng minh Giả sử có cát tuyến C1 A1 B1 cắt cạnh ∆ABC Vẽ đường thẳng P Q từ đỉnh tam giác vẽ đường thẳng song song với cát tuyến C1 A1 B1 , cắt P Q tương ứng điểm Hình 1.1: Cát tuyến A , B , C , gọi O giao (C1 B1 ) với (P Q) Theo định lý đoạn thẳng bị chắn đường thẳng song song C1 A OA B1 C OC A1 B OB = ; = ; = C1 B OB B1 A OA A1 C OC Sau nhân đẳng thức vế với vế, ta có C1 A B1 C A1 B OA OC OB = = C1 B B1 A A1 C OB OA OC Hệ thức Menélaus nói viết dạng tích tỷ số đơn (C1 AB).(B1 CA).(A1 BC) = Chú ý rằng, cát tuyến cắt cạnh kéo dài cắt hai cạnh cạnh thứ ba kéo dài Trong trường hợp thứ nhất, tỷ số dương, trường hợp thứ hai, hai tỷ số âm tỷ số dương Định lý 1.1.3 (Định lý Menélaus đảo) Nếu điểm A1 , B1 , C1 tương ứng nằm cạnh BC, CA, AB cho (C1 AB).(B1 CA).(A1 BC) = ba điểm thẳng hàng 52 Chứng minh Gọi BE, CF cevian đẳng giác Gergaune cevian Gergaune BB , CC Áp dụng định lý Steiner ta có a2 CB CE = B A.EA c hay a2 CE p − c = EA p − a c Bởi vậy, CE a2 (p − a) CE a2 (p − a) = ⇔ = EA c (p − c) EA + CE c (p − c) + a2 (p − a) a2 (p − a) ba2 (p − a) CE = ⇒ CE = ⇒ a c (p − c) + a2 (p − a) c2 (p − c) + a2 (p − a) ca2 (p − a) Tương tự BF = b (p − b) + a2 (p − a) Mặt khác, áp dụng định lý cô sin vào tam giác BCE ta có BE = CE + a2 − 2a.CE cos C hay b2 + a2 − c2 BE = CE + a − CE b 2 Suy ba2 (p − a) BE = c (p − c) + a2 (p − a) 2 ba2 (p − a) b + a2 − c +a − c (p − c) + a2 (p − a) b Hoàn toàn tương tự, ca2 (p − a) CF = b (p − b) + a2 (p − a) 2 ca2 (p − a) c + a2 − b +a − b (p − b) + a2 (p − a) c Cho BE = CF biến đổi đại số ta thu b = c Bài toán 2.2.2.2 Nếu hai cevian đẳng giác Nagel tam giác tam giác cân Chứng minh Chứng minh tương tự toán 2.2.2.1 53 Có toán tương tự liên quan đến cevian đẳng giác là: "Nếu hai cevian đẳng giác trực tâm tam giác tam giác tam giác cân" Theo công thức tính đường phân giác lb = khác, hp = a+c c.a.p(p − b) Mặt p(p − a)(p − b)(p − c) 2S = Vậy, b b p(p − a)(p − b)(p − c) hb (a + c) = lb b c.a.p(p − b) (a + c) (p − a)(p − c) √ b ca (a + c) (p − a)(p − c) √ ⇒ cos B BN = b ca = Mặt khác, cos B BN = BE = hb Do đó, BE hb cos2 B BN − 1 2S = √ b (c+a) (p−c)(p−a) √ b ca −1 2S b2 ca = b 2(c + a)(p − c)(p − a) − b2 ca 2abcS = 2(c + a) (p − c)(p − a) − b2 ca Tương tự ta có CF = 2abcS 2(a + b)2 (p − a)(p − b) − c2 ab Theo giả thiết BE = CF nên ta có 2(c + a)(p − c)(p − a) − b2 ca = 2(a + b)2 (p − a)(p − b) − c2 ab ⇔ (p − a)[2(c + a)2 (p − c) − 2(a + b)2 (p − b)] − abc(b − c) = ⇔ (p − a)[(a + c)2 (a + b − c) − (a + b)2 (a + c − b)] − abc(b − c) = 54 ⇔ (b + c − a)[−ac2 − c3 + bc2 + b2 a + b3 − cb2 ] − 2abc(b − c) = ⇔ (b + c − a)[(b3 − c3 ) + a(b2 − c2 ) + bc(c − b)] − 2abc(b − c) = ⇔ (b − c)[(b + c − a)(b2 + c2 + ab + ac) − 2abc] = Có hai trường hợp a b = c Khi tam giác ABC cân đỉnh A b T = [(b + c − a)(b2 + c2 + ab + ac) − 2abc] = b3 + bc2 + cb2 + c3 − a2 b − a2 c = (b3 + c3 ) + (bc2 + cb2 ) − a2 (b + c) = (b + c)(b2 + c2 − bc + bc − a2 ) = 2bc(b + c) cos A T = ⇒ cos A = ⇒ A = 900 Lúc hai cevian đẳng giác trùng trùng với cạnh huyền tam giác vuông Cuối ta kết luận được: hai cevian đẳng giác trực tâm tam giác tam giác vuông tam giác cân Bài toán 2.2.2.3 Cho ∆ABC có phân giác AA1 , BB1 , CC1 Gọi F = CC1 ∩A1 B1 ; E = BB1 ∩C1 A1 Chứng minh BE = CF tam giác ABC tam giác cân 2.3 Đường đối phân giác Định nghĩa 2.3.1 Đường đối phân giác đường thẳng nối đỉnh tam giác điểm đối xứng chân đường phân giác qua trung điểm cạnh đối diện Nói cách khác, đường đối phân giác đường thẳng qua đỉnh tam giác, chia cạnh đối diện thành đoạn thẳng tỷ lệ nghịch với cạnh kề 55 Tính chất 2.3.2 Các đối phân giác tam giác đồng quy điểm, điểm gọi tâm đối phân giác Chứng minh Áp dụng định lý Céva Tính chất 2.3.3 Đường đối phân giác quỹ tích điểm mà khoảng cách chúng đến hai cạnh tam giác tỷ lệ nghịch với bình phương cạnh Chứng minh + Phần thuận Giả sử AD đường đối phân giác Hình 2.7: Tính chất 2.3.3 Khi Vậy SABD BD b c−1 = = = −1 , SADC DC c b SABD AD.c sin α c sin α = = SADC AD.b sin β b sin β c sin α c−1 = b−1 b sin β hay sin α c−2 = −2 sin β b + Phần đảo Nếu KN KM (khoảng cách từ điểm K đến KN c−2 cạnh AB AC) có chiều dài cho = −2 AK đối phân KM b giác Thật vậy, KN c−2 AK sin α sin α SABD AD.c sin α c−1 = −2 = = ; = = −1 KM b AK sin β sin β SADC AD.b sin β b 56 BD BD c−1 SABD = nên = −1 Vậy AD đối phân giác Nhưng SADC CD CD b Bài toán 2.3.4 Dựa vào định lý chứng minh đường đối phân giác đồng quy điểm Tính chất 2.3.5 Khoảng cách từ tâm đối phân giác đến cạnh tam giác a−1 a−1 + b−1 + c−1 hb b−1 hc c−1 db = −1 ; d = c a + b−1 + c−1 a−1 + b−1 + c−1 da = Chứng minh Giả thiết P giao đường đối phân giác da , db , dc khoảng cách từ P đến cạnh BC, CA, AB tam giác ABC Hình 2.8: Tính chất 2.3.5 Theo chứng minh trên, db dc da = −2 = −2 −2 a b c Do đó, bdb cdc ada + bdb + cdc 2SABC ada = = = = a−1 b−1 c−1 a−1 + b−1 + c−1 a−1 + b−1 + c−1 Suy 2a−2 SABC a−1 da = −1 = −1 a + b−1 + c−1 a + b−1 + c−1 57 Tương tự, db = hc c−1 hb b−1 ; d = c a−1 + b−1 + c−1 a−1 + b−1 + c−1 Ta viết theo cách khác da bc a−1 = = −1 a + b−1 + c−1 bc + ca + ab ac dc ba db = ; = hb bc + ca + ab hc bc + ca + ab Tính chất 2.3.6 Các đoạn thẳng cạnh tam giác kẹp đường thẳng qua tâm đối phân giác, song song với cạnh Chứng minh Gọi P tâm đối phân giác Khi DL DL da a−1 = = = −1 a BC a + b−1 + c−1 ⇒ = a−1 + b−1 + c−1 DL abc ⇒ DL = bc + ca + ab Các đoạn thẳng HE, F K có độ dài Hệ 2.3.7 Nghịch đảo số đo đoạn thẳng tạo đoạn thẳng song song với cạnh, qua tâm đối phân giác tổng nghịch đảo số đo cạnh tam giác đó, tức 1 1 1 = = = + + DL HE FK a b c 2.4 Các đường thẳng bậc n Định nghĩa 2.4.1 Đường thẳng Céva qua đỉnh tam giác, chia cạnh đối diện thành đoạn tỷ lệ với lũy thừa bậc n cạnh kề gọi đường thẳng bậc n 58 Theo định nghĩa, trung tuyến đường thẳng bậc 0, đường phân giác đường thẳng bậc 1, đường đối phân giác đường thẳng bậc −1 tam giác 2.4.1 Tính chất đường thẳng bậc n Tính chất 2.4.1.1 Ba đường thẳng bậc n xuất phát từ đỉnh tam giác đồng quy điểm (gọi điểm Kn ) Hình 2.9: Tính chất 2.4.1.1 Chứng minh Giả sử AD, BE, CF đường thẳng bậc n Khi BD cn CE an AF bn = n; = n; = n, DC b EA c FB a hay DB cn EC an F A bn = − n; = − n; = − n b EA c FB a DC DB EC F A Ta suy = −1 theo định lý Céva ta suy điều cần DC EA F B chứng minh Tính chất 2.4.1.2 Đường thẳng bậc n chia góc đỉnh mà qua thành phần có sin tỷ lệ với lũy thừa bậc (n − 1) cạnh kề, tức sin α cn−1 = n−1 sin β b 59 Chứng minh Giả sử AD đường thẳng bậc n chia góc A thành góc α, β Hình 2.10: Tính chất 2.4.1.2 Khi DB cn SBAD c.AD sin α SBAD = = n; = SDAC DC b SDAC b.AQD sin β Từ đó, c sin α cn sin α cn−1 = n hay = n−1 b sin β b sin β b Tính chất 2.4.1.3 Đường thẳng bậc n quỹ tích điểm mà khoảng cách chúng đến cạnh tam giác tỷ lệ với lũy thừa bậc (n − 1) cạnh Chứng minh Tính chất hệ tính chất Một số trường hợp đặc biệt tam giác: + Trung tuyến chia đôi góc đỉnh xuất phát làm hai phần mà sin α c−1 sin tỷ lệ nghịch với cạnh kề = −1 sin β b + Đường đối trung chia góc đỉnh xuất phát làm hai phần mà sin α c sin tỷ lệ với cạnh kề = sin β b 60 + Đường phân giác đường thẳng bậc 1, đường đẳng giác với đường thẳng bậc (2 − 1) = 1, tức nó; đường đối trung đường thẳng bậc 2, đường đối phân giác đường thẳng bậc −1; đường đẳng giác với đường thẳng bậc (2 − (−1)) = tam giác 2.4.2 Một số kết liên quan đến điểm Kn Ta ký hiệu khoảng cách từ giao điểm đường thẳng bậc n đến y x cạnh a, b, c x, y, z; S = diện tích ∆ABC Khi đó, n−1 = n−1 = a b z Suy cn−1 ax + by + cz n−1 2San−1 x= n a = n a + bn + cn a + b n + cn 2Sbn−1 2Scn−1 Tương tự, y = n ; z= n a + bn + cn a + bn + cn Các trường hợp đặc biệt 2S = Đây khoảng cách từ a(1 + + 1) trọng tâm tam giác, điểm K0 , đến cạnh a i Cho n = ta x = 2S S 2S = = = r Đây khoảng a+b+c 2p p cách từ tâm đường tròn nội tiếp, điểm K1 , đến cạnh a ii Cho n = 1ta x = 2Sa a2 iii Cho n = ta x = = Đây khoảng a + b + c2 a + b2 + c2 cách từ điểm Lemoine, điểm K2 , (giao đường đối trung) đến cạnh a 2Sa−2 aha a−2 iv Cho n = −1 ta x = −1 = −1 Đây a + b−1 + c−1 a + b−1 + c−1 khoảng cách từ tâm đối phân giác, điểm K−1 , (giao đường đối phân giác) đến cạnh a Rõ ràng tam giác xét tam giác đường đối phân giác, phân giác, trung tuyến, đường cao tương ứng với cạnh 61 trùng x y z = = = hb hc Bài toán 2.4.2.1 Chứng minh trường hợp điểm Lemoine K2 2 2 a AK2 + b BK2 + c CK2 3a2 b2 c2 = a + b + c2 Bài toán 2.4.2.2 Chứng minh trường hợp điểm Lemoine K2 bBK2 cCK2 aAK2 = = ma mb mc Định hướng: Áp dụng định lý Van Aubel công thức tính độ dài đường đối trung Mệnh đề 2.4.2.3 Đường thẳng đẳng cự đường thẳng bậc n đường thẳng bậc −n cn BD = n Đường thẳng Chứng minh Nếu AD đường thẳng bậc n DC a AD đẳng cự với AD chia đoạn BC theo tỷ số BD DC an c−n = = n = −n DC BD c a Như AD đường thẳng bậc −n Hình 2.11: Mệnh đề 2.4.2.3 62 Mệnh đề 2.4.2.4 Đường thẳng đẳng giác đường thẳng bậc n đường thẳng bậc (2 − n) Chứng minh Giả sử AD đường thẳng bậc n Hình 2.12: Mệnh đề 2.5 Ta vẽ đường AD đẳng giác AD, tức AD AD tạo với đường phân giác góc A hai góc Đường AD chia góc đỉnh A theo sin BAD cn−1 tỷ số sin = n−1 , suy b sin DAC cn−1 = = n−1 b sin D AC sin BAD sin BAD sin DAC −1 c1−n = 1−n b Từ ta kết luận đường thẳng AD đường thẳng bậc (2 − n) Từ mệnh đề, tính chất nói ta có cách chuyển bậc đường thẳng Trước hết dựng đường thẳng bậc −n đẳng cự với đường thẳng bậc n, sau dựng đường thẳng đẳng giác với đường ta thu đường thẳng bậc − (−n) = + n Như vậy, cách dựng đường thẳng đẳng cự đẳng giác đường thẳng bậc n ta dựng đường thẳng bậc cao Từ đường thẳng bậc (phân giác) đường thẳng bậc (đối trung), ta dựng đường thẳng bậc 2, 5, −1, −3, (tức đường thẳng bậc n với n lẻ), bậc −2, 4, 6, (tức đường thẳng bậc n với n chẵn) 63 Mệnh đề 2.4.2.5 Ba đoạn thẳng cạnh tam giác, gồm đoạn thẳng song song với cạnh kẻ từ điểm Kn , tỷ lệ với lũy thừa bậc n + cạnh tương ứng tam giác Chứng minh Gọi chiều cao ∆ABC hạ từ A, da chiều cao ∆Kn P N hạ từ Kn Do hai tam giác đồng dạng nên 2San−1 an n n n n n n PN dn = a +b +c = a +b +c = hn ha a an+1 bn+1 Từ đó, P N = n Tương tự, QE = n ; a + bn + cn a + bn + cn cn+1 Vậy, an + bn + cn PN QE DM = = an+1 bn+1 cn+1 DM = (2.2) Mệnh đề 2.4.2.6 Ba đường thẳng song song với cạnh, kẻ từ điểm Kn , cắt cạnh tam giác thành ba đoạn thẳng tỷ lệ với lũy thừa bậc n cạnh tương ứng tam giác Chứng minh AKn đường thẳng bậc n nên DKn ADn cn BP = = = Kn E AE n bn NC Từ BP NC BP + N C a − PN a = = = = cn bn b n + cn bn + cn an + b n + c n Bởi vậy, BP = acn abn , N C = an + bn + cn an + bn + cn PN BP NC = n = n = n a c b an a + bn + cn (2.3) Bài toán 2.4.2.7 Cho ∆ABC vuông A đường thẳng DE, M N, P Q kẻ qua điểm Kn , thứ tự song song với BC, CA, AB Chứng minh 64 i Nếu n = (tâm nội tiếp) P N = M D + QE ii Nếu n = (trọng tâm) P N + QE + M D = QE + M D2 2p ; P N = iii Nếu n = −1 (tâm đối phân giác) P N = QE = M D iv Nếu n = (điểm Lemoine) P N QE M D + + = a b c Định hướng: Áp dụng mệnh đề 2.4.2.5 định lý Pitago Bài toán 2.4.2.8 (Thi vô địch Liên xô, 1990) Qua điểm tùy ý tam giác ta kẻ ba đường thẳng song song với cạnh tam giác, chia cạnh thành đoạn thẳng a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 , c1 , c2 , c3 Chứng minh a1 b1 c1 = a2 b2 c2 = a3 b3 c3 Với điều kiện có a a2 = b2 = c2 ? b c1 = c2 = c3 ? Định hướng: Áp dụng tam giác đồng dạng dùng mệnh đề 2.4.2.6 a2 = b2 = c2 đường thẳng song song với cạnh kẻ qua tâm đối phân giác Kết thu chương Hệ thống lại cát tuyến Céva đặc biệt tam giác: đường đối trung, đường thẳng đẳng giác, đường đối phân giác, đường thẳng bậc n Các khái niệm bổ sung làm rõ toán phong phú hình học tam giác Giải toán liên quan đến cát tuyến Céva đặc biệt, cung cấp thêm hệ thức tam giác 65 Kết luận Luận văn nghiên cứu toán cát tuyến nói chung, cát tuyến Céva cát tuyến Céva đặc biệt tam giác Các vấn đề bổ sung thêm tính chất sâu sắc hình học tam giác Phương pháp giải vấn đề tổng hợp đặc biệt lưu ý đến phương pháp véc tơ phương pháp diện tích Các ứng dụng đề tài trình bày trực tiếp vào vấn đề lý thuyết, toán thường dạng gợi ý định hướng để tránh cho nội dung đỡ dài dòng Rất mong góp ý đồng nghiệp để nội dung đề tài phong phú 66 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng (1996), Hình học tam giác, NXB Giáo dục [2] Nguyễn Bá Đang (2016), Những Định lý chọn lọc hình học phẳng toán ứng dụng, NXB Giáo dục Việt Nam [3] Lê Đình Phi, Nguyễn Minh Chương (1963), Hình học sơ cấp, NXB Giáo dục [4] Đoàn Quỳnh (2010), Tài liệu chuyên toán Hình học 10,NXB Giáo dục Việt nam [5] Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hoành Phò (2002) Tuyển tập dự tuyển Olympic toán học quốc tế 1991- 2001, NXB Giáo dục [6] Bottema Q (2002), Topics in Elementary Geometry [7] Konnhiagin X.V., Sarugin I.F (2013), Các đề thi vô địch Toán nước (19 nước), Bản tiếng Việt, NXB Hải Phòng [8] Dechen X.J (1963), Hình học tam giác, Bản tiếng Việt, NXB Giáo dục [9] Tuyển tập đề thi Olympic Matcova, Nhà xuất Mir, 1969 [10] Nhiều tác giả (2011), Tuyển tập toán hình học-tạp chí Toán học tuổi trẻ, NXB Giáo dục ... sách hình vẽ Cát tuyến tam giác 1.1 Khái niệm định lý 1.2 Các tính chất cát tuyến tam giác 11 1.2.1 Cát tuyến qua trọng tâm tam giác 11 1.2.2 Cát tuyến qua tâm... HỌC KHOA HỌC Nguyễn Thị Thanh Thúy CÁT TUYẾN TRONG TAM GIÁC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học:... muốn nghiên cứu cách hệ thống cát tuyến đặc biệt tam giác, tính chất có ích để hiểu biết tam giác Ngoài luận văn đề cập đến nhiều ứng dụng, toán nảy sinh nghiên cứu cát tuyến tam giác Mục đích