Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)

Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)Lưới tọa độ và số bài toán liên quan (LV thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THANH MAI LƯỚI TỌA ĐỘ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - NGUYỄN THỊ THANH MAI LƯỚI TỌA ĐỘ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS Nguyễn Việt Hải THÁI NGUYÊN - 2017 i Danh mục hình 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 Lưới tọa độ nguyên Lưới tọa độ mặt phẳng lưới tọa độ nguyên với hbh sở Hình vẽ a Hình vẽ b Ngũ giác lục giác Hình vng hình bát giác Đa giác đều-cạnh Đa giác đều-góc Tam giác hầu nội tiếp lưới Đa giác đơn đa giác không đơn Một số toán liên quan 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 Cộng nhân điểm nguyên a.Các điểm nguyên (2 + 3i); b Các điểm nguyên liên F(R) N(R) r(4)=4;r(25)=12 n=8, n=6 n=12 3.1 4 10 12 14 15 17 19 23 kết 34 36 39 41 43 43 Hình chữ nhật 20 × 12 55 ii Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu 1 Lưới tọa độ đa giác 1.1 Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất 1.1.1 Lưới tọa độ mặt phẳng 1.1.2 Lưới tọa độ nguyên đa giác 1.1.3 Đa giác nửa nội tiếp lưới nguyên 1.2 Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên 1.3 Công thức Picard 1.3.1 Tam giác đơn nguyên thủy 1.3.2 Công thức Picard 1.3.3 Một số tốn áp dụng cơng thức Picard 1.4 Một số ứng dụng lưới tọa độ nguyên 1.4.1 Giá trị vô tỷ hàm lượng giác 1.4.2 Các toán ô vuông Lưới tọa độ nguyên đường tròn 2.1 Điểm nguyên nguyên tố 2.1.1 Sự chia hết điểm nguyên 2.1.2 Định lý điểm nguyên 2.2 Đường tròn lưới tọa độ nguyên 2.2.1 Số biểu diễn số tự nhiên thành hai bình phương tổng 3 12 16 19 19 20 22 25 25 27 33 33 35 36 38 41 i 42 46 46 47 Các toán khác 3.1 Điểm nguyên đường cong phẳng 3.2 Một số toán thi học sinh giỏi thi Olympic 49 49 51 Tài liệu tham khảo 59 2.3 2.2.2 Đường tròn Sinhsel Một số ứng dụng vào số học 2.3.1 Bộ ba Pythagoras 2.3.2 Các dạng điểm nguyên nguyên tố ii Lời cảm ơn Để hoàn thành luận văn cách hồn chỉnh, tơi ln nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng Tơi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân điều thầy dành cho Tôi xin chân thành cảm ơn ban lãnh đạo phòng Đào tạo sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B2 (2015 - 2017) Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho tơi hồn thành khóa học Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người ln động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Thị Thanh Mai Mở đầu Mục đích đề tài luận văn - Nghiên cứu toán lưới tọa độ nguyên: Đa giác lưới, đường tròn lưới, tốn số học, hình học tổ hợp, lượng giác lưới vấn đề liên quan - Trình bày sở khoa học vận dụng kiến thức số học, đại số, hình học, nguyên tắc nguyên tắc Dirichlet, nguyên tắc cực hạn, nguyên tắc bất biến vào việc giải toán với lưới nguyên - Các phương pháp tư đặc trưng số kết trình bày cách hệ thống nâng cao qua tốn hay khó kỳ thi Olympic Quốc gia Quốc tế - Người nghiên cứu có thêm kiến thức lực bồi dưỡng học sinh giỏi vấn đề khó, hay gặp Toán học Nội dung đề tài, vấn đề cần giải Trình bày hệ thống số toán lưới tọa độ nguyên dựa báo [3], [5] [2] Phát biểu chứng minh kết liên quan đến số học hình học Đề tài gồm chương: Chương Lưới tọa độ đa giác Bài toán đặt là: Dựng không dựng đa giác lưới tọa độ nguyên mà đỉnh trùng với nút lưới? Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất, Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên, Công thức Picard ứng dụng lưới ngun vào tốn hình học, số học, tổ hợp, lượng giác, vấn đề nghiên cứu chương Chương có mục sau: 1.1 Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất 1.2 Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên 1.3 Công thức Picard 1.4 Một số ứng dụng lưới tọa độ nguyên Chương Lưới tọa độ ngun đường tròn Lưới tọa độ ngun vành Gauss nên nội dung chương khai thác vấn đề số học số nguyên: Điểm nguyên nguyên tố, Đường tròn lưới tọa độ nguyên, số ứng dụng vào số học toán liên quan đến ba Pythagoras, Chương bao gồm mục sau: 2.1 Điểm nguyên nguyên tố 2.2 Đường tròn lưới tọa độ nguyên 2.3 Một số ứng dụng vào số học Chương Các toán khác Liên quan đến lưới tọa độ ngun có toán điểm nguyên đường cong phẳng, Các toán thi học sinh giỏi thi Olympic 3.1 Điểm nguyên đường cong phẳng 3.1 Các toán thi học sinh giỏi thi Olympic Tác giả Chương Lưới tọa độ đa giác 1.1 1.1.1 Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất Lưới tọa độ mặt phẳng Trên mặt phẳng ta xét lưới tạo hai họ đường thẳng song song chia mặt phẳng thành hình bình hành Hình 1.1: Lưới tọa độ nguyên Tập hợp tất đỉnh hình bình hành gọi lưới tọa độ, thân đỉnh gọi nút lưới Mọi hình bình hành tạo họ đường thẳng song song gọi hình bình hành sở phân hoạch hay hình bình hành sinh lưới Chú ý lưới nhận từ họ đường thẳng khác nhau: Trên Hình 1.1 biểu diễn lưới tọa độ nguyên, tức tập hợp điểm có tọa độ Descartes số nguyên Lưới tọa độ nguyên lưới tạo tất đường thẳng song song với hai trục tọa độ, coi tờ giấy kẻ vng vơ hạn (hình bình hành sở hình vng cạnh 1) Lưới tọa độ ngun nhận từ "đường xiên" (khi hình bình hành sở hình bình hành ABCD Hình 1.2) Hình 1.2: Lưới tọa độ mặt phẳng Như vậy, khái niệm hình bình hành sở khơng gắn với thân lưới mà gắn với họ đường thẳng sinh lưới Ta có tính chất đơn giản lưới sau: Hình 1.3: lưới tọa độ nguyên với hbh sở i Mọi phép tịnh tiến song song biến điểm nút thành điểm nút khác bảo toàn lưới (biến lưới thành nó) ii (Bổ đề đỉnh thứ tư hình bình hành) Nếu đỉnh hình ... 1.1 Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất 1.2 Đa giác hầu nội tiếp lưới nguyên 1.3 Công thức Picard 1.4 Một số ứng dụng lưới tọa độ nguyên Chương Lưới tọa độ nguyên đường tròn Lưới tọa độ nguyên... thống số toán lưới tọa độ nguyên dựa báo [3], [5] [2] Phát biểu chứng minh kết liên quan đến số học hình học Đề tài gồm chương: Chương Lưới tọa độ đa giác Bài tốn đặt là: Dựng khơng dựng đa giác lưới. .. ii Mở đầu 1 Lưới tọa độ đa giác 1.1 Lưới tọa độ nguyên mặt phẳng tính chất 1.1.1 Lưới tọa độ mặt phẳng 1.1.2 Lưới tọa độ nguyên đa giác 1.1.3 Đa giác nửa nội tiếp lưới nguyên