HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN - Luận văn thạc sĩ

HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN Luận văn toán học Tuyệt diệuLuận văn Tìm hiểu Hàm số học và các bài toán liên quan tới dãy số nguyên.hàm số học, bài toán dãy số nguyên,HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN Luận văn toán học Tuyệt diệu

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

TRẦN THỊ THU VÂN

HÀM SỐ HỌC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS TRỊNH ĐÀO CHIẾN

Đà Nẵng - Năm 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Tác giả

Trần Thị Thu Vân

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU

e(n) Hàm đơn vị

(n) Hàm Mobius

φ(n) Hàm Euler

τ(n) Hàm số các ước dương của n

σ(n) Hàm tổng các ước dương của n

f*g Tính chập Dirichlet của 2 hàm f và g d|n d chia hết n (d là ước của n)

(m,n) Ước chung lớn nhất của m và n

Df(n) Hàm tổng các ước của f

d n

 Lấy tổng theo các ước dương của n

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn khoa học 2

7 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 : HÀM SỐ HỌC 7 7

1.1 HÀM MOBIUS 7

1.2 HÀM EULER 10

1.3 HÀM τ(n) và HÀM σ(n) 13

CHƯƠNG 2 : DÃY SỐ NGUYÊN 16

2.1 DÃY SỐ NGUYÊN DẠNG TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP 2 16

2.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN 27

2.3 HỆ ĐẾM CƠ SỐ LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN 28

2.4 SỐ PHỨC LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN 31

2.5 DÃY SỐ NGUYÊN DẠNG  n 33

CHƯƠNG 3 : CỰC TRỊ TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN 36

3.1 DẠNG TOÁN TÌM CỰC TRỊ, VỚI GIẢ THIẾT TỔNG HOẶC TÍCH KHÔNG ĐỔI 36

3.2 MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 45

KẾT LUẬN 60

DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Dãy số nguyên là một phần quan trọng trong lý thuyết dãy số Ngoài các vấn đề chung như tìm số hạng tổng quát của dãy số, tìm công thức tính tổng n số hạng đầu tiên, … , các bài toán về dãy số nguyên còn liên quan đến tính chất số học của dãy số như chia hết, đồng dư, chính phương, nguyên tố, nguyên tố cùng nhau, …

Các bài toán về dãy số nguyên rất đa dạng Trong nhiều trường hợp, dãy số chỉ là cái vỏ bề ngoài, còn bản chất bài toán là một bài toán số học và các hàm số (nếu có) trong bài toán ấy thường là các hàm số học

Trong chương trình toán học phổ thông nói chung và trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, Olympic Toán quốc tế nói riêng, các bài toán liên quan đến dãy số nguyên thường là các bài toán rất khó

Hiện nay, các tài liệu trong nước và nước ngoài đề cập một số vấn đề liên quan đến dãy số nguyên đã có khá nhiều Tuy nhiên, để lĩnh hội được các

lý thuyết cơ bản về vấn đề này và vận dụng vào giải các bài toán liên quan thì không phải quá dễ dàng Luận văn sẽ đóng vai trò như là một tài liệu tham khảo mang tính tổng hợp tương đối đầy đủ, dành cho giáo viên và các đối tượng học sinh khá giỏi ở phổ thông, đặc biệt đối với hệ phổ thông Chuyên Toán

Do đó, nội dung luận văn có ý nghĩa khoa học và mang tính thực tiễn

2 Mục đích nghiên cứu

Với lý do chọn đề tài nêu trên, luận văn sẽ tập trung nghiên cứu về hàm

số học và các bài toán liên quan đến dãy số nguyên

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Với lý do chọn đề tài nêu trên, luận văn sẽ tập trung nghiên cứu về hàm

số học và các bài toán liên quan đến dãy số nguyên

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn chỉ đề cập với một dung lượng nhỏ về hàm số học, vì đây là khái niệm cơ bản và khó, đã được nhiều giáo trình đề cập Luận văn dành nhiều thời gian cho việc nghiên cứu các bài toán liên quan đến dãy số nguyên,

vì đây là phần rất gần gũi với học sinh hệ phổ thông Chuyên Toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Như trên đã nêu, luận văn thuộc chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, vấn đề nghiên cứu không phải là mới Do đó, nội dung của luận văn là kết quả của một quá trình nỗ lực sưu tầm tài liệu, chọn lọc, phân loại các dạng toán và tổng hợp lại dưới dạng một tài liệu tham khảo tốt về Toán sơ cấp

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Luận văn có thể là một tài liệu tham khảo khá tốt về phương pháp giải các dạng toán liên quan đến dãy số nguyên, dành cho các học viên cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp, các thầy cô giáo, các em học sinh khá giỏi và những bạn đọc yêu toán quan tâm đến vấn đề này

7 Cấu trúc luận văn

Với mục đích nghiên cứu đã nêu, ngoài các phần cơ bản như Mục lục,

Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được chia thành 3 chương như sau:

Chương 2 Dãy số nguyên

Đây là một trong hai nội dung trọng tâm của luận văn, gồm các mục sau:

2.1 Dãy số nguyên dạng truy hồi tuyến tính cấp hai

Xác định dãy số truy hồi sai phân là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết phương trình sai phân Các dạng toán về vấn đề này khá phong phú Luận văn chỉ đề cập một vấn đề nhỏ của lý thuyết này: dãy số nguyên dạng truy hồi tuyến tính cấp hai Đây là dạng toán thường gặp trong chương trình phổ thông, hệ Chuyên Toán, trong đó dãy các nghiệm của Phương trình Pell là một ví dụ cụ thể

Một dãy  xn n0 được gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp hai nếu nó thỏa mãn hệ thức truy hồi

x  ax bx ,  n 1, trong đó a và b là các hằng số cho trước, không phụ thuộc vào n

Luận văn chỉ đề cập đến những dạng toán số học liên quan đến dãy số truy hồi sai phân nêu trên, chẳng hạn bài toán sau đây

“Cho a , b , c là các số thực dương và dãy  an n0 được xác định như sau

2 1

1

n n

2.2 Nguyên lý Dirichlet liên quan đến dãy số nguyên

Nguyên lý Dirichlet là một nguyên lý hết sức đơn giản nhưng lại vô cùng hữu hiệu trong các bài toán chứng minh, đặc biệt là chứng minh sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn một điều kiện nào đó

Luận văn đề cập đến việc sử dụng Nguyên lý Dirichlet trong một số bài toán về dãy số nguyên Chẳng hạn bài toán sau

Xét n số nguyên dương a1   a2 a n 2n sao cho a a i, j 2n ,  i j

(kí hiệu a a i, j chỉ bội số chung nhỏ nhất của a i và a j ) Chứng minh rằng

2.3 Hệ đếm cơ số liên quan đến dãy số nguyên

Hệ đếm cơ số có thể dùng để xây dựng nhiều dãy số có tính chất rất thú

vị Ở một số bài toán số học, nếu nhìn ở hệ đếm thập phân thông thường thì

có thể rất khó phát hiện ra quy luật, nhưng nếu chọn đúng một hệ đếm cơ số phù hợp, bài toán sẽ trở nên đơn giản hơn vì quy luật nào đó đã được tìm thấy

Với b là một số nguyên dương, b 2, thì mọi số nguyên dương N đều

có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng

2.4 Số phức liên quan đến dãy số nguyên

Số phức có những ứng dụng trong toán học nói chung và trong lý thuyết dãy số nói riêng Nhờ số phức, chúng ta có thể thấy được mối quan hệ giữa hàm lượng giác và hàm mũ Nhờ số phức, mọi đa thức bậc n đều có đủ

n nghiệm và vì vậy Định lí Viét mới phát huy được tác dụng Với dãy số nguyên, số phức có những ứng dụng đặc biệt hữu hiệu trong các bài toán tính tổng và dãy truy hồi Đây là một trong những nội dung mà luận văn đề cập

2.5 Dãy số nguyên dạng n

Dãy số dạng x nn có nhiều tính chất số học khá thú vị (kí hiệu

n

 

  chỉ phần nguyên của số n ) Nếu 1, thì dãy số nn1 là dãy các

số nguyên dương phân biệt có sự biến thiên gần giống một cấp số cộng nhưng không phải là cấp số cộng Dãy số này đặc biệt thú vị khi là số vô tỉ bậc hai

Luận văn sẽ đề cập đến một số tính chất của dãy số nêu trên và một

số dạng toán liên quan

Chương 3 Cực trị trên tập số nguyên

Đây là nội dung trọng tâm thứ hai của luận văn

Cực trị trên tập số nguyên nói chung và cực trị của một dãy số nguyên nói riêng là một vấn đề khá rộng Luận văn chỉ đề cập một số dạng cực trị gần gũi với chương trình phổ thông hệ Chuyên Toán

Ta biết rằng, nếu x x1, , , 2 x n là n số thực dương có tổng bằng S không đổi thì tích x x x1 2 n của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi

Luận văn sẽ đề cập về vấn đề này với 2 dạng toán cơ bản trên tập số nguyên dương và được chia thành 2 mục sau

3.1 Dạng toán tìm cực trị, với giả thiết tổng hoặc tích không đổi

Đó là 2 dạng toán cơ bản sau

- Tìm cực trị của tích x x x1 2 n , với giả thiết tổng x1   x2 x n S

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ HÀM SỐ HỌC THƯỜNG GẶP

Hàm số học là một khái niệm cơ bản và có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết các bài toán về số học nói chung và dãy số nguyên nói riêng Luận văn chỉ đề cập một số vấn đề cơ bản về hàm số học Nội dung chương này chủ yếu tham khảo trong tài liệu [5]

1.1 HÀM MOBIUS VÀ CÔNG THỨC NGHỊCH ĐẢO CỦA MOBIUS

 (n) = {tổng các ước dương của n}, n

Ví dụ: 18 có các ước dương là 1, 2, 3, 6, 9, 18 nên (18) = 39  là hàm số học

Định nghĩa 1.1.2 Hàm Mobius là hàm số học được xác định bởi (1)

Định nghĩa 1.1.4 Cho f và g là các hàm số học, ta gọi tích Dirichlet

được lấy theo bộ ba {d, e, t} chạy qua các số nguyên dương d, e, t sao cho d.e.t = n

5 Với n = 1 thì (µ*I) (1) = µ(1)I(1)= 1.1 = 1 = e(1);

Với n > 1 thì (µ*I) (n) = (Dµ)(n) = 0 = e(n)

Định lý 1.1.3 (công thức nghịch đảo Mobius)

Nếu f là hàm số học thì f = µ * Df

Chứng minh: Ta có µ * Df = µ * I * f = e * f = f

1.2 HÀM EULER

Định nghĩa 1.2.1 Hàm Euler φ (còn gọi là φ – hàm Euler) là hàm xác

định trên tập các số nguyên dương được xác định bởi

φ(n) = {số các số nguyên x , 1 x n  và x nguyên tố cùng nhau với n }

Ví dụ 1.2.1

* φ(1) = 1; φ(2) = 1; φ(3) = 2; φ(4) = 2; φ(5) = 4; φ(6) = 2

* φ(10) = 4, vì chỉ có các số tự nhiên: 1, 3, 7, 9 < 10 và nguyên tố cùng nhau với 10

* Với p là nguyên tố thì ( )p  p 1 Điều này là rõ ràng vì tập các số {1, 2,… , p-1} đều nhỏ hơn p và nguyên tố cùng nhau với p

Từ định nghĩa của φ – hàm Euler, ta thấy φ là hàm số học Hơn nữa ta còn có:

nguyên tố phân biệt Dấu ( 1)i trước mỗi số hạng có dấu luân phiên nhau tuỳ

theo số các nguyên tố có trong d Vì vậy biểu thức trên trở thành ( )

d n

d d

Định nghĩa Cho n là số nguyên dương

Hàm tổng các ước dương của n được cho bởi:

Vì vậy hàm tổng các ước σ là hàm nhân tính

2 Hàm hằng I(n) = 1 là hàm nhân tính, vì với mọi m, n thụôc Z + , (m,n)

Vì vậy hàm số các ước  là hàm nhân tính

Bổ đề 1.3.2 Cho p là số nguyên tố, khi đó

Sử dụng tính chất nhân của hàm số  và  , ta sẽ tìm được công thức tính σ(n) và τ(n) khi n có dạng phân tích chính tắc

Ví dụ 1.3.2 Với n là số nguyên dương cho trước, tìm tất cả các cặp

nghiệm nguyên dương (x,y) của phương trình :

x y n nên có một tương ứng 1-1 giữa các nghiệm (x y, ) và các ước số của

CHƯƠNG 2

DÃY SỐ NGUYÊN

2.1 DÃY SỐ NGUYÊN DẠNG TRUY HỒI TUYẾN TÍNH CẤP HAI

Xác định dãy số truy hồi sai phân là một trong những bài toán cơ bản của lý thuyết phương trình sai phân Các dạng toán về vấn đề này khá phong phú Luận văn chỉ đề cập một vấn đề nhỏ của lý thuyết này: dãy số nguyên

dạng truy hồi tuyến tính cấp hai

Trong mục này đưa ra các tính chất của dãy truy hồi tuyến tính cấp 2

mà dãy các nghiệm của phương trình Pell là một ví dụ cụ thể Ta có định nghĩa sau:

trong đó a, b là các hằng số không phụ thuộc vào n

Dễ thấy rằng, nếu biết trước các giá trị của a, b, x0, x1 thì dãy (x n) sẽ xác định duy nhất Sau đây ta đưa ra cách xác định dãy (x n) thông qua a, b,

2 1 ;

y   y  y0 x1 1 0x .Suy ra: 1 1 2n 0

Ta xét hai trường hợp sau:

Trường hợp 1 :  1 2  Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được : 1

Trường hợp 2 :  1 2 Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được :

và chỉ khi z là một số thực Do đó nếu 1 là một nghiệm phức của f x( ) thì

2  c id rei

Chứng minh.

Xét các cặp số ( ,r r n n1) với n 0 Do r n chỉ nhận nhiều nhất là m giá trị nên có nhiều nhất m2 giá trị cụ thể của các cặp ( ,r r n n1) Theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại hai cặp ( ,r r N N1)và (r N h ,r N h 1) sao cho r N r N h ,r N1r N h 1

Từ đó suy ra r n r n h với mọi n N , tức là dãy (r n, n N ) tuần hoàn

Ví dụ 2.1.1 Xét dãy số ( )a n n1 được xác định bởi các đẳng thức

a a a

n

a c a

Nếu a,b k, là các số nguyên dương, thì a n là số nguyên dương với mọi 1

n  Ngược lại, giả sử a n là số nguyên dương, với n 1, ta có : a a 1; b a 2

là số nguyên dương Ta cần chứng minh k a2 b2 c

 là số nguyên Suy ra q s là ước

của a n+1 Suy ra q s là ước của a n, với n s  1 Ta có

2

2 1

Suy ra c chia hết cho q2( 1)s , với s 1 (mâu thuẫn)

Ví dụ 2.1.3 Xét dãy ( )a n n0 được cho bởi các đẳng thức

Ta xác định ( ) ;x n n0 ( )y n n0 như sau

1 ; 2

Ta chứng minh bằng quy nạp, như sau: với n 0, ta có: 32 = 2.12 +7 (đúng)

Giả sử công thức đúng với n 1 ta có : 2 2

x  y  Khi đó

và

2 2

là một số chính phương Điều phải chứng minh

Ví dụ 2.1.5 Cho dãy ( ,a n n 0), xác định bởi

0 2,

a  a 1 3,a n1 3a na n1,với mọi n 1 Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 5(a  n 2) là số chính phương

Xét n 2k Theo công thức truy hồi ta có:

Ví dụ 2.1.6 Dãy  x n được xác định bởi công thức

1 Không có số nào là ước của số khác,

2 Hai số bất kỳ có ước số chung lớn hơn 1,

3 Không tồn tại số nguyên dương lớn hơn 1 là ước số của tất cả các phần tử của dãy

Vì (6,10) = 2, (10,15) = 5, (6,15) = 3, nên ước số chung của 2 số bất kỳ trong dãy lớn hơn 1

Vì (6,10,15) = 1, nên không tồn tại số nguyên lớn hơn 1 là ước của mọi

số trong dãy

2.2 NGUYÊN LÝ DIRICHLET LIÊN QUAN ĐẾN DÃY SỐ NGUYÊN

Nguyên lý Dirichlet là một nguyên lý hết sức đơn giản nhưng lại vô cùng hữu hiệu trong các bài toán chứng minh, đặc biệt là chứng minh sự tồn tại của một đối tượng thỏa mãn một điều kiện nào đó Sử dụng nguyên lý này, người ta đã chứng minh được nhiều kết quả rất mạnh, ví dụ như Định lý Fermat – Euler về tổng hai bình phương, Định lý Weil về phân bố đều…ở đây

ta nêu ra hai kết quả liên quan đến dãy số:

Định lý 2.2.1 (Định lý Weil, về phân bố đều) Nếu  là số vô tỉ thì

dãy  n n1 phân bố đều trên khoảng (0,1)

Định lý 2.2.2 (Về sự tuần hoàn của các số dư) Cho dãy số nguyên

 x n xác định bởi công thức truy hồi x n k a x1 n k 1  a x k n và k số hạng đầu tiên nguyên Khi đó, với mọi số nguyên dương N, dãy số dư của x n khi chia cho N sẽ tuần hoàn

Tiếp theo ta xét một vài ví dụ về việc sử dụng nguyên lý Dirichlet trong các bài toán dãy số

Ví dụ 2.2.1 Chứng minh rằng nếu 1 a1, a2, , a n1 2n thì tồn tại i j

sao cho a i|a j

Chứng minh Mỗi số a i có thể viết dưới dạng 2 i

a  r, với r i là số lẻ Các số r i chỉ có thể nhận n giá trị từ 1, 3, … , 2n – 1 Vì có n 1 số nên theo nguyên lý Dirichlet, tồn tại i j sao cho r r i  j và tương ứng ta có a i|a j

Ví dụ 2.2.2 Xét n số nguyên dương a1   a2 a n 2n , sao cho

Chứng minh

Nếu a1 2 / 3n , ta xét n 1 số 2 ,a1 3 ,a1 a2, … , a n Các số này đều

không lớn hơn 2n và không có số nào là bội của số nào Điều này mâu thuẫn với kết quả bài toán trên

Ví dụ 2.2.3 Cho A ( , , , )a a1 2 a n là dãy các số nguyên thuộc đoạn

 1000,1000 Giả sử tổng các số hạng của A bằng 1 Chứng minh rằng tồn tại một dãy con (chứa ít nhất 1 phần tử) của A có tổng bằng 0

Chứng minh

Ta có thể giả sử trong A không có phần tử nào bằng 0, vì nếu ngược lại thì bài toán hiển nhiên Ta sắp xếp dãy A thành dãy B ( , ,b1 b2000) bằng cách chọn dần từ các số hạng của dãy A theo quy tắc sau: b1 0,b2 0. Với mỗi i 3 chọn b i là số có dấu ngược với dấu của tổng s i1  b1 b i1 Bằng cách xây dựng như thế, ta được 2000 số s ,1 s ,…,2 s2000 nằm trong đoạn

 999, 1000

Nếu trong số s i có một số bằng 0 thì bài toán đúng

Trong trường hợp ngược lại, theo Nguyên lý Dirichlet tồn tại i j sao cho s i s j Khi đó b i1   b j 0

2.3 HỆ ĐẾM CƠ SỐ VÀ DÃY SỐ NGUYÊN

Hệ đếm cơ số có thể dùng để xây dựng nhiều dãy số có tính chất rất thú

vị Nhìn trên phương diện của một cơ số khác, có thể rất khó nhận ra quy luật, nhưng nếu chọn đúng cơ số thì bài toán trở nên vô cùng đơn giản

Ta nhắc lại rằng với b là số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, thì mọi

số nguyên dương N đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng