hàm legendre và các vấn đề liên quan, hàm legendre toán học, hàm số và các vẫn đề liên quan.Đề tài nghiên cứu hàm legendre và các vấn đề liên quan.Đề tài nghiên cứu hàm legendre và các vấn đề liên quan.hàm legendre và các vấn đề liên quan, hàm legendre toán học, hàm số và các vẫn đề liên quan.Đề tài nghiên cứu hàm legendre và các vấn đề liên quan.Đề tài nghiên cứu hàm legendre và các vấn đề liên quan.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ———————————— PHẠM THỊ NGỌC HÀM LEGENDRE VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ———————————— PHẠM THỊ NGỌC HÀM LEGENDRE VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Học viên Phạm Thị Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu .1 Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 TÍNH CHIA HẾT 1.2 THUẬT TOÁN CHIA 1.3 SỐ NGUYÊN TỐ 1.4 ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT VÀ THUẬT TOÁN EUCLIDE 1.4.1 Ước chung lớn 1.4.2 Thuật toán Euclide 1.5 ĐỊNH LÝ BÉZOUT 1.6 ĐỊNH LÝ CƠ BẢN CỦA SỐ HỌC 11 1.7 QUAN HỆ ĐỒNG DƯ VÀ LỚP THẶNG 13 1.7.1 Quan hệ đồng dư 13 1.7.2 Lớp thặng dư (Residue classes) 15 CHƯƠNG HÀM LEGENDRE VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 18 2.1 HÀM NHÂN TÍNH .18 2.2 HÀM ϕ EULER 22 2.3 ĐỊNH LÝ EULER VÀ ĐỊNH LÝ NHỎ CỦA FERMAT 24 2.4 HÀM FLOOR 28 2.5 HÀM LEGENDRE .29 2.6 SỐ FERMAT .31 2.7 SỐ MERSENNE .34 2.8 SỐ HOÀN HẢO 37 CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA HÀM LEGENDRE VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 39 3.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM LEGENDRE .39 3.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM ϕ EULER 45 3.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ 49 KẾT LUẬN 54 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO .55 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Có thể nói, lý thuyết số ngành toán học lâu đời nhất, hầu hết người sử dụng nhiều mức độ khác từ công việc thường ngày tính toán khoa học Nó ngành toán học lý thuyết nghiên cứu tính chất số nói chung số nguyên nói riêng Những toán số học có mặt đề thi chọn học sinh giỏi toán tất cấp học hấu giới Hàm Legendre hàm bản, đóng vai trò quan trọng toán học mà nhiều ứng dụng lĩnh vực vật lý kỹ thuật Nhằm tìm hiểu hàm Legendre, ứng dụng vấn đề liên quan, chọn đề tài luận văn thạc sĩ “Hàm Legendre vấn đề liên quan” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu sắc hàm Legendre vấn đề liên quan Trên sở tìm cách ứng dụng chúng để giải số toán chương trình phổ thông, phục vụ cho việc giảng dạy toán sau Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu hàm Legendre, hàm ϕ Euler, số nguyên tố, số Fermat, số Mersenne, số hoàn hảo - Tìm hiểu, nghiên cứu ứng dụng mối quan hệ hàm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu luận văn gồm khảo sát hàm Legendre, hàm ϕ Euler ứng dụng chúng đến tập số nguyên tố Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu lý thuyết số có liên quan đến nội dung luận văn, ứng dụng hàm Legendre, hàm ϕ Euler - Nghiên cứu tính chất hàm Legendre, hàm ϕ Euler, số nguyên tố, từ áp dụng cụ thể vào việc giải số toán số học đặc biệt Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Xây dựng giáo trình có tính hệ thống với thời lượng thu gọn, dạy cho học sinh chuyên toán bậc trung học phổ thông Xây dựng hệ thống toán Cấu trúc luận văn Luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Các kiến thức sở Trình bày kiến thức sở liên quan tính chia hết, số nguyên tố định lý số học, quan hệ đồng dư lớp thặng dư, làm sở để xây dựng lý thuyết hàm Legendre vấn đề liên quan Chương Hàm Legendre vấn đề liên quan Chương trình bày đầy đủ lý thuyết hàm nhân tính, hàm ϕ Euler, định lý Euler định lý nhỏ Fermat, hàm Floor, hàm Legendre, số Fermat, số Mersenne số hoàn hảo Trong phần có ví dụ minh họa cụ thể Chương Các ứng dụng hàm Legendre vấn đề liên quan Chương áp dụng lý thuyết chương hai để giải số toán chia làm ba dạng: toán liên quan đến hàm Legendre, toán liên quan đến hàm ϕ Euler toán số nguyên tố CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 TÍNH CHIA HẾT Định nghĩa 1.1 ([7]) Giả sử a, b số nguyên a = Ta nói a chia hết b (hoặc b chia hết cho a a ước b) tồn số nguyên c cho b = ac Nếu a chia hết b, ta kí hiệu a | b b a, a không chia hết b, ta kí hiệu a b b a Ví dụ 1.1 | 20; | 24; −3 | 27; −5 | −60; 73; −46; −6 55; −7 −30 Mệnh đề 1.1 ([7]) Cho a, b, c số nguyên a = Ta có tính chất sau: (a) a | a (tính phản xạ); (b) Nếu a | b b | c a | c (tính bắc cầu); (c) Nếu a | b b = |a| ≤ |b|; (d) Nếu a | b a | c a | (αb + βc) với số nguyên α β ; (e) Nếu a | b a | (b ± c) a | c; (f) Nếu a | b b | a |a| = |b|; (g) Nếu a | b b = ab | b; Chứng minh: (a) Ta có a = 1.a Suy a | a Từ (b) đến (g), với a | b ta biểu diễn b = ka với k ∈ Z (b) Ta có b | c suy c = k1 b với k1 ∈ Z Khi c = k1 (ka) = (kk1 )a, với kk1 ∈ Z hay a | c (c) Ta có b = nên |k| ≥ suy |b| = |k|.|a| ≥ |a| (d) Ta có a | c suy c = k2 a với k2 ∈ Z Khi với số nguyên α β , αb + βc = αka + βk2 a = (αk + βk2 )a hay a | (αb + βc) với số nguyên α β (e) Ta có a | (b ± c) nên b ± c = k3 a với k3 ∈ Z Suy ±c = k3 a − b = k3 a − ka = (k3 − k)a, với k3 − k ∈ Z suy c = ±(k − k3 )a, với ±(k − k3 ) ∈ Z Hay a | c (f) Vì a | b b | a a = b = Do (c) ta có |b| ≥ |a| |a| ≥ |b| Suy |a| = |b| (g) Ta có ab = k = ∈ Z Vậy b = a.k, k = hay k | b Tập hợp số nguyên, ký hiệu Z phân chia thành hai tập hợp con, tập số nguyên lẻ tập số nguyên chẵn: {±1, ±3, ±5, } {0, ±2, ±4, } Tập số nguyên lẻ chẵn tạo nhiều thuận tiện việc giải vấn đề khác lý thuyết số Sau số khái niệm bản: (1) Một số lẻ số có dạng 2k + 1, với k ∈ Z ; (2) Một số chẵn số có dạng 2m, với m ∈ Z ; (3) Tổng hai số lẻ số chẵn; (4) Tổng hai số chẵn số chẵn; (5) Tổng số lẻ số chẵn số lẻ; (6) Tích hai số lẻ số lẻ; (7) Một tích số nguyên chẵn có thừa số số chẵn Ví dụ 1.2 Cho số nguyên n >1 Chứng minh (a) 2n tổng hai số nguyên lẻ liên tiếp; (b) 3n tổng ba số nguyên liên tiếp Chứng minh: (a) Ta có 2n = (2k − 1) + (2k + 1) với k = 2n−2 ta thu 2n = (2n−1 − 1) + (2n−1 + 1) (b) Ta có 3n = (s − 1) + s + (s + 1) với s = 3n−1 ta thu 3n = (3n−1 − 1) + 3n−1 + (3n−1 + 1) 1.2 THUẬT TOÁN CHIA Định lý 1.1 ([1]) Giả sử a, b số nguyên b > Khi tồn số nguyên q r cho a = bq + r, ≤ r < b Ta gọi q thương r phần dư Như a chia hết cho b phần dư phép chia Chứng minh Ta có q∈Z r∈Z q∈Z ⇔ 0≤r gọi số nguyên tố (hoặc nguyên tố) số nguyên d với d > d = p để d|p Định nghĩa 1.3 ([7]) Số nguyên n > không số nguyên tố gọi hợp số 41 Vậy 14! = 211 35 52 72 11.13 Bài toán 3.6 500 Số C1000 có chia hết cho không ? Tại ? Giải 500 = Ta có C1000 1000! (500!)2 1000 1000 1000 + + = 142 + 20 + = 164 72 73 500 500 500 e7 (500) = + + = 71 + 10 + = 82 72 73 e7 (1000) = Suy số mũ phân tích 1000! (500!)2 thừa số nguyên tố 164 nên C 500 1000 Bài toán 3.7 Cho m n hai số nguyên dương Chứng minh m!(n!)m ước (mn)! Giải Giả sử p số nguyên tố x, y số nguyên, không âm thỏa mãn px ||m!.(n!)m py ||(mn)! Ta cần chứng minh x ≤ y Ta có x = ep (m) + mep (n) y = ep (mn) nên ta cần chứng minh i≥1 mn ≥ pi i≥1 m +m pi n pi i≥1 (4) n = (4) i≥1 pi Nếu p ≤ n Gọi s số nguyên dương cho ps ≤ n < ps+1 Do mệnh đề 2.5 (g), ta có Nếu p > n, m i≥1 mn = pi s m i=1 s ≥m i=1 ≥m i≥1 n + pi n + pi n + pi i≥1 i≥1 i≥1 m n pi ps m pi m pi n ps 42 ta suy điều cần chứng minh Bài toán 3.8 Cho k n số nguyên dương Chứng minh (k!)k n +k n−1 + +k+1 |(k n+1 )! Chứng minh Với i, ≤ i ≤ n Theo toán 3.7 với n = k, m = k i ta có n k!|k!, k!(k!)k |(k )!, (k )!(k!)k |(k )!, , (k n )!(k!)k |(k n+1 )! ⇒k!k!(k !)(k !) (k n )!k!k+k ⇒(k!)k n +k n−1 + +k+1 + +k n |k!(k !)(k !) (k n+1 )! |(k n+1 )! Bài toán 3.9 Chứng minh với số nguyên dương n, n! không chia hết cho 2n Giải Gọi k số mũ lớn thừa số nguyên tố n! Theo công thức Legendre ta có k = e2 (n) = n n n + + + m , 2 với n ≥ 2m n < 2m+1 , suy k≤ n n n + + + m = n − m 2 2 , n ≤ n − < n 2m Vậy n! không chia hết cho 2n Bài toán 3.10.[ IMO 1972] Chứng minh với số nguyên không âm m, n số (2m)!(2n)! m!n!(m + n)! suy k ≤ n − số nguyên Giải Vì số nguyên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố Nên ta cần chứng minh với số nguyên tố 43 p ep (2m) + ep (2n) ≥ ep (m) + ep (n) + ep (m + n) 2m 2n m n m+n ⇔ + ≥ i + i + , với i ≥ i i p p p p pi (5) Ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề Với số thực a, b 2a + 2b ≥ a + b + a + b Chứng minh Giả sử a = a + x, b = b + y với ≤ x, y < Vì ≤ x + y < nên xảy trường hợp Nếu ≤ x + y < ta có a + b = a + b bất đẳng thức cần tìm là: 2a + 2b ≥ ( a + b ) Ở dạng này, rõ ràng Giả sử ≤ x + y < phải có hai số x y lớn Giả sử x ≥ 12 ta 2a = a + a + b = a + b + Do đó: 2a + 2b = a + + 2b ≥ a + + b ⇒ 2a + 2b ≥ a + b + a + b Với a = m pi , b = n pi suy 2m 2n m n m+n + ≥ + + pi pi pi pi pi Vậy toán chứng minh Bài toán 3.11 Cho n số nguyên dương p số nguyên tố thỏa mãn pp |n! Chứng minh pp+1 |n! 44 Giải Theo công thức Legendre ta có ep (n) = i≥1 n pi Ta chứng minh n ≥ pp Giả sử n < pp ep (n) = i≥1 n n =1, ta xét phân tích tiêu chuẩn m thừa số nguyên tố m = pα1 pα2 pαs s Suy mk = pα1 k pα2 k pαs s k ta có 1 )(1 − ) (1 − ) p1 p2 ps α1 k α2 k αs k p p p 1 = α1 2α2 αss pα1 pα2 pαs s (1 − )(1 − ) (1 − ) p1 p2 ps p1 p2 ps ϕ(mk ) = pα1 k pα2 k pαs s k (1 − α (k−1) α2 (k−1) p2 pαs s (k−1) ϕ(m) (pα1 pα2 pαs s )k−1 ϕ(m) k−1 = p1 = =m ϕ(m) 47 Vậy ϕ(mk ) = mk−1 ϕ(m) Bài toán 3.16 Chứng minh có vô số số nguyên dương n thỏa mãn ϕ(n) = n Giải Đặt n = 2.3m Với m số nguyên dương ta có Ta có hàm ϕ(n) hàm nhân tính ϕ(n) = ϕ(2.3m ) = ϕ(2).ϕ(3m ) = 3m − 3m−1 = 2.3m−1 = n Vậy có vô số số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 3.17 Chứng minh với số nguyên dương n √ n ϕ(n) ≥ Giải √ - Nếu n = ϕ(n) ≥ n - Nếu n > ta viết n dạng tắc n = 2a0 pa11 pa22 pakk , với a0 ≥ pi = 2, ∀i = 1, 2, , k Trường hợp a0 > ta có 1 1− − p1 p2 pk = 2a0 −1 pa11 −1 pa22 −1 pakk −1 (p1 − 1)(p2 − 1) (pk − 1) ϕ(n) = n − 1− Với số nguyên tố p ≥ ta có p−1> √ p Do đó, √ √ √ ϕ(n) > 2a0 −1 pa11 −1 pa22 −1 pakk −1 p1 p2 pk 2a0 a1 −1/2 a2 −1/2 ak −1/2 ⇔ϕ(n) > p p2 pk Với a số nguyên dương ta có a− a ≥ 2 48 Vì ta a /2 a /2 a /2 2a0 /2 p11 p22 pkk ϕ(n) ≥ a1 a2 a p1 p2 pakk ⇔ϕ(n) ≥ √ n ⇔ϕ(n) ≥ Trường hợp a0 = ta có n = pa11 pa22 pakk , với pi = 2, ∀i = 1, 2, , k Tương tự ta thu √ √ n ϕ(n) > n > Bài toán 3.18 Cho n số hoàn hảo chẵn Chứng minh số nguyên n − ϕ(n) bình phương số nguyên Giải Do n số hoàn hảo chẵn nên theo định lý 2.20 ta có n = 2k−1 (2k − 1), 2k − số nguyên tố, k nguyên dương Do đó, n − ϕ(n) = 2k−1 (2k − 1) − ϕ(2k−1 (2k − 1)) (10) Ta có 2k − số nguyên tố, mà 2k − số lẻ nên (2k−1 , 2k − 1) = Suy ϕ(2k−1 (2k − 1)) = ϕ(2k−1 )ϕ(2k − 1) = (2k−1 − 2k−2 )(2k − − 1), (11) Từ (10) (11) ta có n − ϕ(n) = 2k−1 (2k − 1) − (2k−1 − 2k−2 )(2k − − 1) = 2k−1 (2k − 1) − 2k−2 (2k − 2) = 2k−1 (2k − 1) − 2k−1 (2k−1 − 1) = 2k−1 (2k − − 2k−1 + 1) = (2k−1 )2 49 bình phương số nguyên 3.3 CÁC BÀI TOÁN VỀ CÁC SỐ NGUYÊN TỐ Bài toán 3.19 Cho p số nguyên tố Chứng minh có vô số số nguyên dương n thỏa mãn 2n − n chia hết cho p Giải - Với p = 2n − n chia hết cho p với n số nguyên dương chẵn -Với số nguyên tố p > suy p số lẻ Nên (2, p) = theo định lý nhỏ Fermat ta có 2p−1 ≡ (mod p) Suy 2k 2(p−1) ≡ (mod p) mà p − ≡ (mod p) suy (p − 1)2k ≡ (mod p) Nên suy 2k 2(p−1) ≡ (p − 1)2k (mod p) tức 2n − n chia hết cho p với n = (p − 1)2k , k ∈ N∗ Vậy ta suy điều phải chứng minh Bài toán 3.20 Cho p số nguyên tố ≤ k ≤ p − số nguyên Chứng minh k Cp−1 ≡ (−1)k (mod p) Giải Ta chứng minh phương pháp quy nạp Với k = 1 Cp−1 = p − ≡ −1 (mod p) Suy mệnh đề với k = Giả sử mệnh đề với k = i − Ta chứng minh mệnh đề với k = i Ta có i i−1 Cp−1 + Cp−1 = Cpi 50 Theo hệ 1.4, ta có p|Cpi ⇒Cpi ≡ (mod p) i i−1 ⇒Cp−1 + Cp−1 ≡ (mod p) i i−1 ⇒Cp−1 ≡ −Cp−1 (mod p) Từ giả thiết quy nạp ta có i i−1 Cp−1 ≡ −Cp−1 ≡ −(−1)i−1 ≡ (−1)i (mod p) Bài toán 3.21 Chứng minh p số nguyên tố lẻ ta có pp+2 + (p + 2)p ≡ (mod p + 1) Giải Ta có p ≡ −1 (mod 2) pp+2 ≡ −1 (mod 2) ⇒ p + ≡ (mod 2) (p + 2)p ≡ (mod 2) ⇒ pp+2 + (p + 2)p ≡ (mod 2) (12) Mặt khác ta có p ≡ −1 (mod p + 1) pp+2 ≡ −1 (mod p + 1) ⇒ p + ≡ (mod p + 1) (p + 2)p ≡ (mod p + 1) ⇒ pp+2 + (p + 2)p ≡ (mod p + 1) (13) Từ (12) (13) suy pp+2 + (p + 2)p ≡ (mod p + 1) Bài toán 3.22 Cho n số nguyên dương lớn Chứng minh p ước nguyên tố số Fermat Fn p − chia hết cho 2n+1 Giải n Đặt k = ordp Vì p|Fn nên ta có 22 ≡ −1 (mod p), suy n+1 22 ≡ (mod p) n Do mệnh đề 2.4 k|2n+1 , mà k 2n k | 2n −1 ≡ 22 ≡ (mod p), suy p | tức p = 2, vô lý Fn số lẻ với n > Vậy k = 2n+1 Mặt khác, (2, p) = nên theo định lý nhỏ Fermat ta có 2p−1 ≡ (mod 51 p) Suy p − chia hết cho 2n+1 Bài toán 3.23 Cho n, k số nguyên dương, k lẻ Giả sử p = 2n k +1 số nguyên tố lẻ tồn số nguyên dương m cho p|Fm n−1 Chứng minh k − chia hết cho p Giải m Ta có p|Fm nên 22 ≡ −1 (mod p) suy 22 m+1 ≡ (mod p) Theo mệnh đề 2.4 ordp 2|2m+1 Mà ordp 2m ordp | 2m m −1 ≡ 22 ≡ (mod p), suy p | tức p = 2, vô lý p số nguyên tố lẻ Vậy ordp = 2m+1 Mặt khác, (2, p) = nên theo định lý nhỏ Fermat ta có 2p−1 ≡ (mod p) Suy p − = 2n k chia hết cho 2m+1 Vì k lẻ nên n ≥ m + Ta có n−1 n−2 n−3 m m 22 − = (22 + 1)(22 + 1) (22 + 1)(22 − 1) Fm n−1 Do p ước nguyên tố Fm nên 22 n−1 k2 ≡ (mod p) Nhân hai vế với ta có n−1 k2 Suy k n−1 ≡ (2k)2 n−1 ≡ (−1)2 ≡ (mod p) n−1 − chia hết cho p Bài 3.24 Tìm tất số nguyên tố p, q thỏa mãn pq|2p + 2q Giải + Giả sử p = q = Đặt p − = 2l n q − = 2k m với m, n số nguyên dương lẻ Theo định lý nhỏ Fermat ta có 2q ≡ (mod q ) ⇒ 2p + 2q ≡ 2p + (mod q ) mà (2p + 2q ) q (vì pq|2p + 2q ) ⇒ 2p + = 2(2p−1 + 1) q ⇒ (2p−1 + 1) q ⇒ 2p−1 ≡ −1 (mod q ) l hay 22 n ≡ −1 (mod q ) ⇒ (2n )2 l l+1 ≡ (mod q ) mà (2n )2 ≡ −1 (mod q ) suy ordq (2n ) = 2l+1 52 Ta lại có (2n , q) = theo định lý nhỏ Fermat ta có (2n )q−1 ≡ (mod q ) Suy 2l+1 |(q − 1) = 2k m, m số lẻ suy l + ≤ k ⇒ l ≤ k − Tương tự ta k + ≤ l ⇒ k − ≤ l − Suy l ≤ k − ≤ l − (vô lý) + Do đó, hai số p, q phải có số Giả sử q = p|2p + 2q = 2p + 22 Theo định lý nhỏ Fermat 2p ≡ (mod p) ⇒ 2p + 22 ≡ 22 + (mod p) ⇒ ≡ 2p + 22 ≡ (mod p) ⇒ p ⇒ p ∈ {2, 3} Vậy cặp (p, q) cần tìm (2, 2), (2, 3), (3, 2) Bài toán 3.25 Cho p số nguyên tố, a1 , a2 , , an số nguyên không chia hết cho p p1 , p2 , , pn k1 , k2 , , kn số tự nhiên Chứng minh rằng: (p−1)k1 p a1 (p−1)k2 + p a2 n + + pn a(p−1)k p ⇔ p1 + p2 + + pn p n Giải Ta có (a1 , p) = (a2 , p) = = (an , p) = Nên theo định lý nhỏ Fermat ta có ap−1 ≡ (mod p) ap−1 ≡ (mod p) ap−1 ≡ (mod p) n Suy (p−1)k1 ≡ p1 (mod p) (p−1)k2 ≡ p2 (mod p) p a1 p a2 n pn a(p−1)k ≡ pn (mod p) n 53 Suy (p−1)k1 p a1 (p−1)k2 + p a2 n + + pn a(p−1)k ≡ p1 + p2 + + pn (mod p) n (14) Từ (14) suy (p−1)k1 p a1 (p−1)k2 + p a2 n + + pn a(p−1)k p ⇔ p1 + p2 + + pn p n 54 KẾT LUẬN Luận văn "Hàm Legendre vấn đề liên quan" thực nội dung sau: - Hệ thống hóa kiến thức hàm nhân tính, hàm ϕ Euler, định lý Euler định lý nhỏ Fermat, hàm Floor, hàm Legendre, số Fermat, số Mersenne số hoàn hảo - Áp dụng lý thuyết để đưa lời giải hoàn chỉnh cho số toán 55 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Hà Huy Khoái (2006), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán trung học phổ thông Số Học, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) (2008), Một số vấn đề Số học chọn lọc, NXB Giáo dục, Hà Nội [3] Vũ Dương Thụy (chủ biên) (2004), Lý thuyết số định lý tập chọn lọc, NXB Giáo dục, Hà Nội Tiếng Anh [4] Kenneth H.R (1993), Elementary number theory and its applications, Addison – Wesley publishing company [5] Michael Th Rassias (2010), Problem-Solving and Selected Topics in Number Theory , Springer [6] Titu Andreescu, Dorin Andrica (2009), Number Theory: Structures, Examples, and Problems , Birkh¨auser Boston Basel Berlin [7] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Zuming Feng (2006), 104 Number Theory Problems From the Training of the USA IMO Team, Birkh¨auser Boston Basel Berlin Trang web [8] http://www.vietmaths.com/2011/11/sach-so-hoc-cua-nguyen-vuthanh.html [9] http://modular.math.washington.edu/edu/2010/414/projects/tsang.pdf [10] www.diendantoanhoc.net (11-10-2009), Bậc số nguyên nguyên thủy ... Legendre, ứng dụng vấn đề liên quan, chọn đề tài luận văn thạc sĩ Hàm Legendre vấn đề liên quan Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu sâu sắc hàm Legendre vấn đề liên quan Trên sở tìm cách ứng dụng chúng... 37 CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA HÀM LEGENDRE VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN 39 3.1 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM LEGENDRE .39 3.2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM ϕ EULER... thuyết hàm Legendre vấn đề liên quan Chương Hàm Legendre vấn đề liên quan Chương trình bày đầy đủ lý thuyết hàm nhân tính, hàm ϕ Euler, định lý Euler định lý nhỏ Fermat, hàm Floor, hàm Legendre,