Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng Luận văn Thạc Sĩ Xuất Sắc

Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng vi phân ngẫu nhiên trong thực tế Luận văn thạc sĩ toán học xuất sắc đề tài nghiên cứu về phép tính vi phân, phương trình vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng của các phép tính vi phân trong thực tế. Phép tính vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng vi phân ngẫu nhiên trong thực tế Luận văn thạc sĩ toán học xuất sắc đề tài nghiên cứu về phép tính vi phân, phương trình vi phân ngẫu nhiên và ứng dụng của các phép tính vi phân trong thực tế.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRẦN THỊ ÁNH TUYẾT PHÉP TÍNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Trần Thị Ánh Tuyết MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Lý chọn đề tài 2.Mục tiêu nghiên cứu 3.Nhiệm vụ nghiên cứu 4.Đối tượng phạm vi nghiên cứu 5.Phương pháp nghiên cứu 6.Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài 7.Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1.ĐỘ ĐO VÀ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 1.1.1.Độ đo (measure) 1.1.2.Độ đo xác suất (Probability measure) 1.2.KHÔNG GIAN XÁC SUẤT (PROBABILITY SPACE) 1.2.1.Định nghĩa 1.2.2.Các tính chất 1.2.3.Ghi 1.3.BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 10 1.3.1.Biến ngẫu nhiên 10 1.3.2.Quá trình ngẫu nhiên (stochastic processes) 12 1.4.QUÁ TRÌNH MARKOV 16 1.4.1.Định nghĩa 16 1.4.2.Ví dụ 16 CHƯƠNG PHÉP TÍNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 18 2.1.KHÔNG GIAN L2(Ω, ℱ, P) 18 2.1.1.Định nghĩa 18 2.1.2.Tính chất 19 2.1.3.Định lý (Định lý phép chiếu không gian Hilbert) 19 2.2.PHÉP TÍNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 22 2.2.1.Khái niệm 22 2.2.2.Các mệnh đề 22 2.2.3.Hệ 25 2.3.TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN 27 2.3.1.Các mệnh đề 28 2.3.2.Bài toán 32 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 33 3.1.QUÁ TRÌNH DỪNG BẬC HAI 33 3.1.1.Các vấn đề 34 3.1.2.Thiết lập không gian Hilbert 37 3.2.BIỂU DIỄN PHỔ CỦA QUÁ TRÌNH DỪNG BẬC HAI 41 3.2.1.Định lý Herglotz 41 3.2.2.Định lý Bochner-khintchine 41 3.3.MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ ỨNG DỤNG 46 3.3.1.Ví dụ 46 3.3.2.Ví dụ 46 3.3.3.Ví dụ 46 3.3.4.Ví dụ 47 KẾT LUẬN 48 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phép tính vi tích phân lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học, thành tựu bật giai đoạn cuối kỷ XVII Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Do nhu cầu phát triển kỹ thuật ngành khoa học khác mà phép tính vi phân ngẫu nhiên đời Phép tính vi phân ngẫu nhiên giải nhiều vấn đề lớn ứng dụng khoa học, nông nghiệp, công nghệ, kỹ thuật…với thực tế đại lượng biến đổi ngẫu nhiên, hàm với biến ngẫu nhiên áp dụng kỹ thuật tính toán phép tính vi phân thông thường mà phải sử dụng công cụ hoàn toàn phép tính vi phân ngẫu nhiên Đó lý mà chọn đề tài “ Phép tính vi phân ngẫu nhiên ứng dụng” làm đề tài tốt nhiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu luận văn nghiên cứu phép tính vi phân ngẫu nhiên, xây dựng cách tính vi phân hàm ngẫu nhiên, sau ứng dụng lý thuyết vào việc khảo sát trình ngẫu nhiên Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn hệ thống hóa sở lý thuyếtliên quan đến phép tính vi phân ngẫu nhiên, sau minh họa số toán giải cách tính vi phân cuối ứng dụng lý thuyết việc khảo sát trình ngẫu nhiên trình dừng bậc hai, biểu diễn phổ trình dừng bậc hai, … Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nghiên cứu cách xây dựng phép tính vi phân ngẫu nhiên ứng dụng chúng việc khảo sát trình ngẫu nhiên trình dừng bậc hai, trình Markov, biểu diễn phổ trình dừng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu mà sử dụng thu thập tài liệu liên quan đến luận văn từ sách chuyên khảo, tài liệu cập nhật internet Sau đó, xử lý tài liệu biên soạn lại theo trình tự dự kiến luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn có ý nghĩa khoa học trình bày phép tính vi ngẫu nhiên cách chuẩn xác theo quan điểm đại toán học ngày Phép tính vi phân ngẫu nhiên ứng dụng tốt thực tế sát với thực tế vấn đề xảy phần lớn mang yếu tố ngẫu nhiên Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Trình bày kiến thức sở không gian xác suất, biến ngẫu nhiên trình ngẫu nhiên, trình Markov Chương Trình bày định nghĩa, tính chất, toán phép tính vi phân ngẫu nhiên Chương Trình bày trình dừng bậc hai, biễu diễn phổ trình dừng bậc hai, số ví dụ ứng dụng CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 ĐỘ ĐO VÀ ĐỘ ĐO XÁC SUẤT 1.1.1 Độ đo (measure) a Khái niệm  Đại số 𝝈𝝈 – đại số Đại số Cho tập hợp Ω.ℱ0 lớp tập Ω Ta nói ℱ0 đại số Ω thỏamãn : - Ω thuộcℱ0 - Với A thuộcℱ0thì A ∈ℱ0, ( A = Ω\A) - Với A, B ∈ℱ0thì A ∪ B ∈ℱ0 𝝈𝝈 – đại số Cho tập hợp Ω, ℱlà lớp tập Ω Ta nói ℱ 𝜎𝜎-đại số Ω thỏa mãn : - Ω thuộcℱ - Với A ∈ℱthì A ∈ℱ - Với {A n }n∈ + ⊂ℱthì  A ∈  (Ω, ℱ) gọi n n∈ + không gian đo A thuộcℱ ta nói A tập ℱ - đo  Độ đo Một độ đo μtrên 𝝈𝝈 – đại số H tập hợp cho tương ứng phần tửS σ - đại số H với giá trị μ(S) số thực không âm vô hạn thỏa mãn tính chất sau đây: - Tập hợp rỗng có độ đo không: μ(∅) = 0, - Độ đo σ-cộng tính: E1, E2, tập chứa σ-đại số H,đếm không giao đôi một,và E hợp chúng, độ đo μ(E) tổng ∞ ∑ µ ( Ek), nghĩa là: k =1 ∞ ∞ µ( E k ) =  µ(E k ) = k 1= k Nếu μ độ đo σ-đại số H, phần tử σ-đại số gọi μ-đo được, hay đơn giản đo Một gồm tập hợp Ω, σ-đại số Ω độ đo μ H gọi không gian đo, ký hiệu (Ω, H, μ) Cặp (Ω, H) gọi không gian đo b Các tính chất độ đo (Properties of measures) Tính chất 1.Cho μ độ đo σ-đại sốH Khi ta có: 1/ Nếu E ∈H, F ∈H E ⊂ F μ(E) ≤μ(F) 2/ Nếu E∈H, F ∈H E ⊂ F, F∖E ∈H, | μ(E) | K j =0 40 m + N −1 N −1 K ( j) ( X j , X m ) = Nlim ∑ ∑ (Y, Xm) = Nlim →∞ N →∞ N =j m=j Nếu Y = 0, trung binh cộngcủa K tiếnđến Ngược lại, vế phải có (Y, Xm) = với m Nhưng Y thuộc không gian sinhbởi{Xm}, Y = Chúng ta minh họa nhứng ý tưởng với số ví dụ phần Trong ví dụ (a) không gian M n – chiều.Nếu chọn véc tơ đơn vị theo hướng biến Ainhư sở trực giaocho M, có biểu diễn sau eiλ1t    = X t U= t X0           iλn t  e  eiλ2t  || A1 ||  || A ||          || An ||  Nếu, ví dụλ1 = nhưngλ2, λn ≠ 0, véc tơ bất biến làcác vectơcó thành phần khác Bằng phép tính trực tiếp đơn giản, suy luật số lớn  || A1 ||  0    n −1     Xj lim = = ∑ n →∞ n    j =0     || An || 0 || A1 ||   =  Y       Và Y thật phép chiếu X0 lên không gian bất biến.Trong ví dụ (c) xét không gian N trải dài bởi{ξn} ; không gian trùng với M chứa M vector d ∈ n biểu diễn dãy khả tổng bình phương {dn} theo cách : ∞ D= ∑d ξ −∞ n n 41 Toán tử unita U định nghĩa N ∞ Ud = ∑d −∞ ξ n +1 n Vì U tác động lên dãy {dn} toán tử dịch chuyển “Zero” dãy khả tổng bình phương mà dịch chuyển bất biến, luật số lớn cho trình trung bình trượt luôn có Y = Để trình dừng với tham số thời gian liên tục ta có luật số lớn tương tự luật số lớn cổ điển 3.2 BIỂU DIỄN PHỔ CỦA QUÁ TRÌNH DỪNG BẬC HAI 3.2.1 Định lý Herglotz Đặt K(n), n ∈ Z, xác định không âm Khi K biểu diễn π ∫π e K(n) = inλ dF (λ ) , (1) − Trong đó, F hàm không giảm bị chặn bị chặn trên đoạn [0, 2π] 3.2.2 Định lý Bochner-khintchine ChoK(t) hàm xác định không âm liên tục R1 Khi ∞ K(t) = ∫ eitλ dF(λ) (2) −∞ Trong F hàm số không giảm bị chăn R1 Khi hàm hiệp phương sai xác định, suy hiệp phương sai trình dừng luôn biểu diễn dạng (1) (2) (nếu T = R1) Hàm F hai trường hợp xác định K; xác hơn, độ đo kết hợp với F Nó gọi độ đo phổ trình 42 Chứng minh (1) Chúng ta phải có độ đo không âm dF mà có {K(n)} hệ số Fourier Chúng ta biết n 0≤ n −1 ∑ K ( j − k )e = ∑ − iλ ( j − k ) j ,k = K (m)e−imλ (n− | m |) m =− n +1 Do K xác định không âm Do xác định n −1 2πfn(λ) = Khi fn(λ) ≥ π ∫ ∑ K (m)e − imλ (1 − m= − ( n −1) |m| ) n f n (λ)dλ = K(0) Bây xét fnnhư mật độ độ đo −π không âm dFn [-π, π] Do độ đo bị chặn đoạn [ −π, π] Compact, chọn dãy {n’} cho dãy độ đo{dFn’} hội tụ yếu đến giới hạn dF Độ đo giới hạn thỏa mãn biểu diễn (1) Để thấy điều này, xem hệ số Fourier fn(λ): π imλ λ )d λ K (m)(1 − ∫ e fn (= −π |m| ) n Với n ≥ |m|, với m cố định Do m ∈ Z π lim n →∞ ∫π e it λ dFn (λ ) = K (m) − Nhưng định nghĩa hội tụ yếu, có π lim n '→∞ ∫π e imλ dFn ' (λ ) = − π ∫π e imλ dF (λ ) − So sánh biểu thức này, có (1) Để chứng minh tính nhất, giả sử F1 F2 thỏa mãn (1) với n có π π ∫π g (λ )dF (λ ) = ∫π g (λ )dF (λ ) − − 43 Với tất hàm liên tục tuần hoàn g, hàm g xấp xỉ đa thức lượng giác Điều dẫn đến độ đo dF1 dF2 Định lý Herglotz có hệquả thú vị Định nghĩa hàm xác định không âm K(j, k) Z x Z yêu cầu dãy tùy ý số phức; trường hợp dừng, điều kiện cho cho tính xác định không âm trở thành N N ∑∑ K ( j − k ) z =j = k j zk ≥ Tuy nhiên, chứng minh (1) sử dụng tính chất xác định dương trường hợp zj = eiλj ≥ Do đó, điều kiện nói yếu điều kiện: N N ∑∑ K ( j − k ) eiλje-iλk ≥ k =j = Định lý Bochner-Khintchine, xử lý với trường hợp liên tục, thường hiểu lý thuyết xác suất điều kiện cho hàm số ϕ(t) hàm đặc trưng phân bố xác suất Bây rẽ sang dạng phổ trình dừng dựa tích phân ngẫu nhiên Chúng ta sử dụng ký hiệu trường hợp liên tục T = R1; thay đổi trường hợp rời rạctầm thường hiển nhiên Ý tưởng thiết lập phép đẳng cự không gian Hilbert M (một không gian L2(Ω, F, P)) tạo biến ngẫu nhiên {Xt} không gian L2(R1, dF), dF độ đo phổ Chúng ta bắt đầu với tập hợp M tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn Xt’svà với tập hợp đa thức lượng giác định nghĩa tương ứng chúng cách đặt: n n Ψ( ∑ c j X t j ) = ∑ c j e =j =j it j λ 44 Cho tj∈ T, cj ∈ℂ.Điều dễ dàng kiểm tra cách sử dụng (2) ψ phép đẳng cự n || ∑ c j xt j ||2M = ∑ c j ck E ( X t j X tk ) j =1 ∞ = ∑c c ∫ e i ( t j − tk ) λ j k −∞ n = || ∑ c j e iλ t j j =1 ∞ dF (λ ) = ∫ | ∑ c j e it j λ | dF (λ ) −∞ ||2dF Khi theo cách thông thường ψ mở rộng đến phép đẳng cự bao đóng tập đa thức lượng giác – L2(R1,dF) – bao đóng M M1 Chúng ta có ψXt = eitλ, toán tử unita Ut M đặc trưng UtX0 = Xt đưa vào tính nhân hàm eitλ Hàm ϕ(-∞, a] (.) L2(R1,dF) phải tương ứng phần tử M – giả sử Za Dễ dàng thấy biến ngẫu nhiên {Za} tạo thành trình với gia số trực giao; thật vậy, a< b ≤ c < d có ∞ E[(Zb – Za)( Z d − Z c )] = ∫φ ( a ,b ] (λ )φ( c ,d ] (λ )dF (λ ) = −∞ Trong ∞ (λ ) F (b) − F (a ) E[| Zb − Z a | ] = ∫ φ( a,b] (λ )dF= −∞ Do tích phân ngẫu nhiên ∞ ∫ f (a )dZ a xác định cách xác cho −∞ hàm f L2(R1,dF), tích phân biến ngẫu nhiên M Dễ dàng để nhận thấy tích phân nghịch đảo phép đẳng cự ψ: ∞ ψ( ∫ −∞ f (a )dZ a ) = f(λ) (3) 45 Điều theo định nghĩa f có dạng Φ (a,b] , rõ ràng chứa tổ hợp tuyến tính hàm số Nếu fn dãy ∞ hàm số hội tụ đến f L2(R ,dF), ∫ ∞ f n dZ a → −∞ ∫ fdZ a theo định nghĩa −∞ tích phân ngẫu nhiên Do ψ ψ-1 liên tục nên (3) chứng minh trường hợp tổng quát.Bây xét trường hợp đặc biệt f(λ) = eitλ Chúng ta biết hàm số tương ứng với biến ngẫu nhiên Xt; điểm bắt đầu việc xác định ψ Tuy nhiên, từ (3), có biểu diễn tích phân cho ψ-1f có ∞ Xt= ∫e ita −∞ dZ a , t ∈ R (4) Công thức (4) biểu diễn phổ {Xt}.Nó kiểu ngẫu nhiên tương tự (2) Thực tế, có (4) cho trình {Za} với gia số trực giao hàm số F bị chặn cho F(b) – f(a) = E(|Zb – Za|2), (2) rõ ràng Trong trường hợp riêng T = Z trình {Za} chọn để có tập hợp tham số[-π, π] biểu diễn phổ có dạng π Xn = ∫π e ina dZ a , n ∈ Z (5) − π Nếu X = ∫ f (a )dZ a biến ngẫu nhiên M, có −π công thức π UX = ∫π f (a)e ia dZ a − Do U tương ứng với phép nhân eiλ L2(dF) (6) 46 3.3 MỘT SỐ VÍ DỤ VÀ ỨNG DỤNG 3.3.1 Ví dụ Ví dụ (a) mục 3.1.1 có dạng phổ; hàm phân bố phổ biểu diễn sau: ∑ E (| A | ) λ λ F(λ) = i i≤ Ngược lại, rõ ràng F(λ) hàm bước nhảy trình {Xt} diễn tả (a); tần số λI tổng tương ứng với điểm gián đoạn F (nhìn chung, số lượng điểm đếm vô hạn) Bất kỳ độ đo hữu hạn dF xấp xỉ độ đo nguyên tử tôpô hội tụ yếu Trong nghĩa đó, trình ví dụ (a)- chí với nhiều tần số hữu hạn – trù mật lớp tất trình dừng 3.3.2 Ví dụ Một độ đo hữu hạn độ đo phổ trình dừng Đặt dF độ đo vậy, giả sử chuẩn hóa Đặt Ω = R1 ([-π, π] T = Z), T trường Borel P = dF, {Φ(-∞,a](.)} đóng vai trò trình {Za} với gia số trực giao hàm số {eit ( ) } biến ngẫu nhiên {Xt} Phổ tương ứng ψ trường hợp đơn giản phép đồng Nó dễ dàng để xác minh thiết lập xác định trình dừng với tính chất mô tả Nếu dF không chuẩn hóa có tổng khối lượng F∞, đặt P = dF/F∞ nhân tất biến ngẫu nhiên với F∞1/ 3.3.3 Ví dụ Đặt {ξn} dãy trực giao Khi K(n) = δn0, rõ ràng Π K(n) = ∫e −Π inλ dz ; độ đo phổ 2Π 47 3.3.4 Ví dụ Đặt {Xn} chuỗi dừng bất kỳ, với phép đo quang phổ dF biểu diễn phổ π Xn = ∫−π einλ dZ λ N Quá trình lọc Yn = ∑cX j j=− N π Yn = ∫ n− j N ∑ −π n = − N Trong đóc(λ) = N ∑c e −N − ijλ j biểu diễn π ∫e λ c jei(n − j)= dZ λ inλ c(λ)dZ λ −π Với độ đo phổ dG {Yn} ta có: dG(λ) = |c(λ)|2dF(λ) Công thức giá trị N = ∞, với điều kiện c(.) ∈L2(dF) Đặc biệt, áp dụng lọc tuyến tính ví dụ đến dãy trực giao {ξn} ví dụ 3, có trình trung bình trượt ví dụ (c), phần 1.Với trình π Xn = ∫e inλ c(λ)dZ λ = −π ∞ ∑cξ j= −∞ j n− j Và hàm hiệp phương sai K(m) = π ∞ ck ck −m ∑= ∫e j= −∞ Với điều kiện ∑| c j |2 < ∞ c(λ) = imλ | c(λ)2 −π ∞ ∑c e −∞ k − ijλ dZ 2π ∈ L2([-π, π]) Do độ đo phổ liên tục tuyệt đối trường hợp này, với mật độ | c(λ ) |2 2π Ngược lại đúng: dF liên tục tuyệt đối {Xn} biểu diễn trình trung bình trượt 48 KẾT LUẬN Luận văn trình bày theo hướng tổng quan kiến thức sở phép tính vi phân ngẫu nhiên ứng dụng liên quan - Trình bày kiến thức sở liên quan đến phép tính vi phân ngẫu nhiên - Tiếp theo trình bày không gian L2 , phép tính vi phân ngẫu nhiên, tính chất phép tính vi phân ngẫu nhiên tích phân ngẫu nhiên - Trình bày số ví dụ minh họa ứng dụng phép tính vi phân ngẫu nhiên, đặc biệt trọng đến trình dừng bậc hai biểu diễn phổ trình dừng bậc hai Tác giả mong muốn luận văn phụ vụ thiết thực ứng dụng khoa học, công nghệ, kỹ thuật với thực tế đại lượng biến đổi ngẫu nhiên, hàm với biến ngẫu nhiên áp dụng kỹ thuật tính toán phép tính vi phân thông thường mà phải sử dụng công cụ hoàn toàn phép tính vi phân ngẫu nhiên 49 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bộ Giáo dục Đào tạo – Hội Toán Học Việt Nam (2004), Tuyển tập 30 năm tạp chí Toán học & Tuổi trẻ, NXB Giáo Dục Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến (2007), Lý thuyết xác suất, ĐH Quốc gia Hà Nội [3] Đỗ Đức Thái, Nguyễn Tiến Dũng (2010), Xác suất Thống kê, NXB Hà Nội [4] Trần Hùng Thao (2000), Phép tính vi phân ngẫu nhiên (Giáo trình sau đại học viện toán học Việt Nam) [5] Trần Hùng Thao (2003), Tích phân ngẫu nhiên phương trình vi phân ngẫu nhiên, NXB Giáo dục Hà Nội [6] Đặng Hùng Thắng (2007), Quá trình ngẫu nhiên tính toán ngẫu nhiên, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [7] Đặng Hùng Thắng (2007), Xác suất ứng dụng, NXB Giáo dục Hà Nội Tiếng Anh [8] Eugene wong, Bruce Hajek (1984), Stochastic processes in engineering Systems, Springer – Verlag [9] Rudin W (1991), Functinal analysic, Newyork [10] Stroock D.W (1994), Probabilyty theory an analytic view, Combridge university press ... ngẫu nhiên Đó lý mà chọn đề tài “ Phép tính vi phân ngẫu nhiên ứng dụng” làm đề tài tốt nhiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu luận văn nghiên cứu phép tính vi phân ngẫu nhiên,... định để tạo kết ngẫu nhiên Ví dụ, biến ngẫu nhiên mô tả kết việc chọn ngẫu nhiên người đo chiều cao người Ví dụ3 Tốc độ