Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Tỉ lệ vàng và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ LINH TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 10/2017 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ LINH TỈ LỆ VÀNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN DANH NAM Thái Nguyên, 10/2017 i Mục lục Lời cảm ơn ii Mở đầu Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 1.1 Tỉ lệ vàng 1.2 Dãy số Fibonacci 18 1.3 Mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 30 Ứng dụng tỉ lệ vàng liên hệ tỉ lệ vàng với thực tiễn 33 2.1 Hình chữ nhật vàng 33 2.2 Hình tam giác vàng 39 2.3 Đường xoắn ốc vàng 47 2.4 Một số ứng dụng tỉ lệ vàng thực tiễn 52 Kết luận 71 Tài liệu tham khảo 72 ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy PGS.TS Nguyễn Danh Nam, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn, cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Đào tạo, thầy giáo dạy cao học chun ngành Phương pháp Tốn sơ cấp trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên giúp đỡ, tạo điều kiện cho suốt trình học tập nghiên cứu khoa học Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè ln động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Thái Ngun, tháng 10 năm 2017 Tác giả luận văn Nguyễn Thị Linh Mở đầu √ 1+ Nó quan Tỉ lệ vàng số vô tỉ xác định tâm nhà toán học, vật lí học, triết học, kiến trúc sư, nghệ sĩ chí nhạc sĩ từ thời cổ đại Euclide - nhà tốn học nói đến tỉ lệ vàng tác phẩm bất hủ ông mang tên "Cơ bản" Theo Euclide, điểm I đoạn AB gọi điểm chia đoạn AB theo tỉ lệ vàng (còn gọi AI AB AI AB điểm vàng) thoả mãn: = Đặt = = x, số x IB AI IB AI gọi tỉ lệ vàng điểm I điểm vàng đoạn AB Ở thời kỳ trung đại, có nhiều phát tồn tỉ lệ vàng hình tự nhiên hình ngơi năm cánh, hình đa giác mười cạnh, dãy số Fibonacci Luca Pacioli (1445 - 1517) xác định tỉ lệ vàng "tỉ lệ thần thánh" tác phẩm Proportione Divina Ở thời kỳ đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ Hy Lạp phi (ϕ) kí hiệu tỉ lệ vàng Như vậy, ngồi tên tỉ lệ vàng gọi phần vàng, cắt vàng, tỉ lệ thần thánh có giá trị 1.61803 Một số vô tỉ biểu diễn tỉ số hữu hạn số nguyên Những số tạo thành tập vô hạn số π (tỉ số chu vi với đường kính đường tròn) e (cơ sở logarit tự nhiên) tiếng có ứng dụng nhiều lĩnh vực Tại tỉ lệ vàng lại thu hút quan tâm sâu sắc ứng dụng √ gì? a+ b Một số vô tỉ thể dạng I = ϕ c xác định giá trị a = 1, b = c = Các số vô tỉ a = 3, b = c = có đối xứng so với tỉ lệ vàng giá trị tương tự 1.57735 Tuy nhiên, tỉ lệ vàng chiếm hữu số tính thú vị tính chất quan trọng làm cho trở lên thu hút tập hợp số vô tỉ Các nghệ sĩ kiến trúc sư bắt đầu tính tốn xây dựng cho tác phẩm họ xấp xỉ tỉ lệ vàng nhà tốn học nghiên cứu tỉ lệ vàng tính độc đáo tính chất lí thú Qua nhiều năm, nghệ sĩ kiến trúc sư nỗ lực tìm kiếm mối quan hệ tỉ lệ vàng với nghệ thuật, kiến trúc, sinh học, thực vật lĩnh vực khác Những số bật nên số cơng trình xây dựng hình học có số tính chất tốn học thú vị Từ dẫn đến u thích người đam mê gán thuộc tính huyền bí đến số dẫn đến tên như: giá trị trung bình vàng tỉ lệ thần thánh Về mặt nguyên lý thiết kế, tỉ lệ vàng yếu tố quan trọng tạo nên tổng thể cơng trình kiến trúc đẹp, khơng gian hài hòa hay sản phẩm mỹ thuật có điểm nhấn sáng tạo Trong toán học nghệ thuật, đại lượng xem tỉ số vàng hay tỉ lệ vàng tỉ số tổng đại lượng với đại lượng lớn tỉ số đại lượng lớn với đại lượng nhỏ tức tồn thể tất có giá trị tương quan 1, 618033987 (con số vàng) Tỉ số người sử dụng hàng kỷ qua tiếp tục có mặt tác phẩm mỹ thuật, kiến trúc, điêu khắc ngày Nó xuất tỉ lệ thể người, biến động thị trường chứng khoán nhiều ảnh hưởng khác tới sống vạn vật Luận văn tìm hiểu tỉ lệ vàng, số ứng dụng tỉ lệ vàng Toán học liên hệ toán học với thực tiễn Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương trình bày nội dung luận văn, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: "Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci" trình bày định nghĩa tỉ lệ vàng, dãy số Fibonacci mối quan hệ chúng Các kiến thức tỉ lệ vàng, kiến thức dãy Fibonacci mối quan hệ tỉ lệ vàng dãy Fibonacci Chương 2: "Ứng dụng tỉ lệ vàng liên hệ Toán học với thực tiễn" trình bày ứng dụng tỉ lệ vàng hình học: hình chữ nhật vàng, hình tam giác vàng, đường xoắn ốc vàng mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy Fibonacci đời sống: tự nhiên, kiến trúc, hội hoạ thiết kế đồ hoạ Chương Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci Chương đưa kiến thức bản, tính chất biểu diễn khác tỉ lệ vàng Các kiến thức dãy Fibonacci mối quan hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 1.1 Tỉ lệ vàng Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [1], [3] [5] Định nghĩa 1.1.1 Trong toán học, hai đại lượng gọi tỉ lệ vàng tỉ số tổng đại lượng với đại lượng lớn tỉ số đại lượng lớn với đại lượng nhỏ Tỉ lệ vàng kí hiệu kí tự ϕ (phi) bảng chữ Hy Lạp Dạng tổng quát tỉ lệ vàng là: Hình 1.1 Cách chia AB tỉ lệ vàng suy rộng Giả sử đoạn thẳng AB chia thành hai đoạn AC CB (Hình 1.1) cho n AB βAC (1.1) a = AC CB a β số thực dương βAC AB AC + CB CB Cho = x a = a =a 1+ CB AC AC AC β = a+ x Như vậy, ta có a+ aβ x = xn xn+1 = ax + b (1.2) đó, aβ = b Trong trường hợp đặc biệt cho n = ta chia AB AB βAC cho a = , ta có: AC CB x2 − ax − b = Hoặc x1 = a+ x2 = a− (1.3) √ a2 + 4b (1.4) √ a2 + 4b (1.5) Ta gọi nghiệm dương phương trình tổng quát hai tham số tỉ lệ vàng ϕ(a, b)   4b 1+ 2 1  a  ϕ(a, b) = a  +  2  Trong trường hợp b = 1, ta có: a ϕa = ϕ(a, 1) = + √ a2 + 4b gọi tỉ lệ vàng tổng quát Cho a = ta có tỉ lệ vàng: √ 1+ ϕ = ϕ1 = ϕ(1, 1) = Hãy xem xét tính chất tỉ lệ vàng Cho a = b ta có:   1+  1  a ϕ = a +  2  Đó cách giải cho phương trình x2 − ax − b = Bây có b thể xem xét tính chất khác tỉ lệ này, ta có: a + = ϕ Khi ϕ đó, tỉ lệ vàng √ tổng quát ϕ (với a = 1) giảm xuống đến tỉ lệ vàng lịch 1+ sử ϕ = có nhiều tính chất ứng dụng nghệ thuật, kỹ thuật, vật lí tốn học Các tính chất tương tự thiết lập trường hợp tổng qt Ví dụ: tổng qt ϕ thể số hạng ϕ = a + Nó mở rộng thành phân số nghiệm ϕ phương trình lồng gọi phân số liên tục hay nghiệm lồng √ ϕ = + + + ϕa = 1+a ϕ(a, b) = 1+a b+a √ + a 1+a b+a √ b + a Sử dụng mối quan hệ số hạng ta nhận phân số liên tục ϕ, ϕa , ϕ(a, b) tương ứng ϕ= 1+ 1+ 1 + ϕa = a + a+ a+ a + b ϕ(a, b) = a + b a+ b a+ a+ b a + Stakhov Rozin đưa số kết từ n = a = b = 1, kết tương tự xác minh với giá trị khác a b Bằng cách sử dụng phân số liên tục khái quát hóa ứng dụng nghệ thuật kiến trúc Đoạn thẳng AB chia thành n phần theo tỉ lệ hệ phương trình tạo cho a có giá trị n, (1.1) mở rộng đến tham số tỉ lệ để tạo tỉ lệ vàng nhiều tham số Ở đây, ta tập trung vào tham số tổng quát ứng dụng tỉ lệ Nếu a = b (1.3)   1+  1  a ϕ(a, a) = a  +   2 Tỉ số tham số tổng quát khác với ϕ(a, 1) Thật vậy, (1.2) xem hàm đặc trưng phương trình khác n với tham số a b Pn+2 (a, b) = aPn+1 (a, b) + bPn (a, b) khái quát thành trường hợp nhiều tham số p Pn+p (a1 , a2 , , ap ) = Pn+p−i (a1 , a2 , , ap ), p = 2, 3, i=1 1.1.1 Các tính chất tỉ lệ vàng Nội dung tham khảo chủ yếu tài liệu [3] [5] Tỉ lệ vàng xuất số mối quan hệ liên quan đến số mà từ nhiều tính chất tỉ lệ vàng phát Một dãy số tổng dãy biểu thức toán học Trong đa số trường hợp sử dụng, biểu thức dãy xây dựng cơng thức hay thuật tốn hay chí số ngẫu nhiên ... tỉ lệ vàng, kiến thức dãy Fibonacci mối quan hệ tỉ lệ vàng dãy Fibonacci Chương 2: "Ứng dụng tỉ lệ vàng liên hệ Toán học với thực tiễn" trình bày ứng dụng tỉ lệ vàng hình học: hình chữ nhật vàng, ... định tỉ lệ vàng "tỉ lệ thần thánh" tác phẩm Proportione Divina Ở thời kỳ đại, Mark Bar (thế kỷ 20) sử dụng chữ Hy Lạp phi (ϕ) kí hiệu tỉ lệ vàng Như vậy, ngồi tên tỉ lệ vàng gọi phần vàng, cắt vàng, ... đầu Tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 1.1 Tỉ lệ vàng 1.2 Dãy số Fibonacci 18 1.3 Mối liên hệ tỉ lệ vàng dãy số Fibonacci 30 Ứng dụng tỉ lệ vàng