Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Vành, trường bậc hai và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -* - HỒNG VĂN ĐƠNG VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -* - HỒNG VĂN ĐƠNG VÀNH, TRƯỜNG BẬC HAI VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS LÊ THỊ THANH NHÀN Thái Nguyên - 2015 Môc lôc Môc lôc Lời nói đầu Kiến thức mở rộng vành tr-ờng 1.1 Kiến thức 1.2 Më réng vµnh vµ tr-êng Vµnh vµ tr-êng bËc hai 13 2.1 Tr-êng bËc hai 13 2.2 Vµnh bËc hai vµ vành số nguyên đại số 21 Mét sè øng dụng giải toán sơ cấp 31 3.1 Sử dụng tr-ờng bËc hai 31 3.2 Sư dơng chn vµnh bËc hai 32 3.3 Sư dơng ph©n tÝch nhÊt vµnh bËc hai 36 KÕt luËn 41 Tµi liƯu tham kh¶o 42 Lêi cảm ơn Trong trình học tập nghiên cứu Tr-ờng Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên, đ-ợc nhận đề tài nghiên cứu \Vành, tr-ờng bậc hai vµ øng dơng" d-íi sù h-íng dÉn cđa PGS.TS Lê Thị Thanh Nhàn Đến nay, luận văn đ-ợc hoàn thành Có đ-ợc kết dạy bảo h-ớng dẫn tận tình nghiêm khắc Cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Cô gia đình! Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo Khoa Toán - Tin Tr-ờng Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ trình học tập Tr-ờng thời gian nghiên cứu hoàn thành luận văn Sự giúp đỡ nhiệt tình thái độ thân thiện thày cô giáo, cán thuộc Phòng Đào tạo, Khoa Toán - Tin để lại lòng ấn t-ợng tốt đẹp Tôi xin cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Ninh, đặc biệt Trung tâm HN&GDTX tỉnh - nơi công tác tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành khóa học Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp thành viên lớp cao học Toán K7Q (Khóa 2013-2015) quan tâm, tạo điều kiện, cổ vũ động viên để hoàn thành nhiệm vụ Lời nói đầu Trong lý thuyết số đại số, tr-ờng bậc hai đ-ợc hiểu tr-ờng tr-ờng số phức C đồng thời më réng bËc hai cđa tr-êng sè h÷u tû Q (tức Q-không gian véc tơ chiều 2) Nh- vậy, K tr-ờng bậc hai tồn mét hƯ {α1 , β} ⊆ K (gäi lµ mét sở K) cho phần tử K biểu diễn đ-ợc cách dạng aα + bβ víi a, b ∈ Q Víi suy nghĩ t-ơng tự, ng-ời ta giới thiệu khái niệm vành bậc hai, vành C đồng thêi lµ mét më réng bËc hai cđa vµnh sè nguyên Z Cụ thể, D vành bậc hai tồn hệ {, } D (gọi sở D) cho phần tử D biểu diễn đ-ợc cách nhÊt d¹ng aα + bβ víi a, b ∈ Z Các vành tr-ờng bậc hai đ-ợc quan tâm nghiên cứu cách sâu sắc với nhiều ứng dụng quan trọng toán sơ cấp Chẳng hạn, dùng vành tr-ờng bậc hai để chứng minh dựng th-ớc kẻ compa số thực 2, \cầu ph-ơng hình tròn" (dựng hình vuông có diện tích diện tích hình tròn cho tr-ớc) Mục tiêu luận văn nghiên cứu tr-ờng bậc hai vành bậc hai Mục tiêu làm rõ cấu trúc vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, loại vành bậc hai đặc biệt Chẳng hạn, iđêan có hệ sinh gồm hai phần tử, phần tử có phân tích thành nhân tử bất khả quy Chúng số lớp vành bậc hai có phân tích Mục tiêu thứ ba luận văn áp dụng kết vành tr-ờng bậc hai để giải số dạng toán sơ cấp Luận văn đ-ợc viết chủ yếu dựa theo tài liệu sau Daniel A Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977 J Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998 David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests, GNU Free Documentation License, October, 2007 Victor V Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition) Phần mở rộng vành tr-ờng đ-ợc tham khảo từ tài liệu Khái niệm số kết vành tr-ờng bậc hai đ-ợc tham khảo từ tài liệu Phần ứng dụng giải toán sơ cấp Ch-ơng đ-ợc tham khảo từ tài liệu 3, tài liệu toán sơ cấp PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Luận văn chia làm ch-ơng Ch-ơng trình bày kiến thức vành, tr-ờng, đồng cấu, mở rộng tr-ờng, sở bậc mở rộng vành tr-ờng, số đại số, số nguyên đại số Trong Ch-ơng 2, chóng t«i chØ cÊu tróc cđa tr-êng bËc hai, vành bậc hai, vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, iđêan vành bậc hai, phân tích vành bậc hai Ch-ơng trình bày ứng dụng vành tr-ờng bậc hai việc giải toán sơ cấp Ch-ơng chia làm tiết nhỏ Tiết 3.1 toán giải đ-ợc cách sử dụng tr-ờng bậc hai Tiết 3.2 toán sử dụng chuẩn vành bậc hai Tiết 3.3 dành để trình bày toán sử dụng phân tích vành bậc hai Ch-ơng Kiến thức mở rộng vành tr-ờng 1.1 Kiến thức Để bắt đầu nhắc lại định nghĩa sau 1.1.1 Định nghĩa Một vành tập V với phép toán + (phép cộng) (phép nhân) thỏa mãn điều kiện sau: (i) PhÐp céng kÕt hỵp: ∀x, y, z ∈ V ta cã (x + y) + z = x + (y + z) (ii) Có phần tử không: V cho ∀x ∈ V ta cã + x = x + = x (iii) Cã phÇn tư ®èi: ∀x ∈ V, ∃ − x ∈ V cho x + (−x) = (−x) + x = (iv) PhÐp céng giao ho¸n: ∀x, y ∈ V ta cã x + y = y + x (v) PhÐp nhân kết hợp: x, y, z V ta có (xy)z = x(yz) (vi) Có phần tử đơn vị: ∈ V cho 1.x = x.1 = x, ∀x ∈ V (vii) TÝnh ph©n phèi: ∀x, y, z ∈ V cho x(y + z) = xy + xz Vnh V gọi vành giao hoán phép nhân có tính giao hoán, tức ab = ba víi mäi a, b ∈ V Cho V lµ mét vành Một tập A V đ-ợc gọi vành V phép toán vành V đóng A (tức a + b, ab ∈ A víi mäi a, b ∈ A) A với hai phép toán cảm sinh vành 1.1.2 Ví dụ (i) Tập hợp số nguyên Z với phép cộng phép nhân thông th-ờng vành giao hoán, gọi vành số nguyên T-ơng tự ta có vành số hữu tỷ Q, vành số thực R, vành số phøc C (ii) TËp Zn = {¯ x | x Z} số nguyên modulo n vành với phép cộng phép nhân nh- sau: x + y¯ = x + y vµ x ¯y¯ = xy với x, y Zn Vành Zm đ-ợc gọi vành số nguyên modulo m hay vành lớp thặng d- theo môđun m (iii) Cho V vành giao hoán Kí hiệu V [x] tập đa thức biến x với hệ số V Mỗi phần tử V [x] đ-ợc viÕt d-íi d¹ng f (x) = anxn + + a1 x + a0 víi ∈ V, ∀i Ta còng viÕt f (x) d-íi d¹ng f (x) = xi , ®ã = víi i > n Khi V [x] vµnh víi phÐp céng f (x) + g(x) = ®ã ck = i+j=k (ai + bi )xi vµ phÐp nh©n f (x)g(x) = bj víi f (x) = xi vµ g(x) = c k xk , bi xi Vành V [x] đ-ợc gọi vành đa thøc mét biÕn x víi hƯ sè V 1.1.3 Định nghĩa Cho V vành Tập I V đ-ợc gọi iđêan V điều kiện sau thỏa mãn (i) Phép cộng ®ãng I, tøc lµ x + y ∈ I, x, y I (ii) I chứa phần tử không: I (iii) Có phần tử đối: x I víi mäi ∀x ∈ I (iv) ax, xa ∈ I víi mäi a ∈ I, x ∈ V 1.1.4 Ví dụ (i) = {0} iđêan bé V iđêan lớn V (ii) I iđêan vành Z I cã d¹ng nZ víi n ∈ N Cho V vành Phần tử a V đ-ợc gọi phần tử khả nghịch tồn b ∈ V cho ab = Chó ý r»ng I iđêan V phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (i) I = V ; (ii) I chứa phần tử khả nghịch; (iii) I chứa phần tử đơn vị 1.1.5 Định nghĩa Cho I iđêan vành V Với x V, đặt x + I = {x + a | a ∈ I} Ta gäi x + I lµ líp ghÐp tr¸i cđa I øng víi x Chó ý r»ng x + I = y + I vµ x y I Đặt V /I = {x + I | x ∈ V } lµ tập lớp ghép trái I Khi V /I lµ mét vµnh víi phÐp céng (x + I) + (y + I) = (x + y) + I phép nhân (x + I)(y + I) = xy + I Vành V /I đ-ợc gọi vành th-ơng V ứng với I Chẳng hạn, vành th-ơng Z/mZ vành Z theo iđêan mZ vành Zm số nguyên modulo m 1.1.6 Định nghĩa Một ánh xạ f từ vành V vào vành V đ-ợc gọi đồng cấu vành f bảo toàn phép toán, nghĩa f (x + y) = f (x) + f (y) vµ f (xy) = f (x)f (y) víi mäi x, y ∈ V Mét ®ång cấu từ vành V vào V đ-ợc gọi tù ®ång cÊu cđa V Mét ®ång cÊu ®ång thời đơn ánh (toàn ánh, song ánh) đ-ợc gọi đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) Nếu f tự đồng cấu song ánh ta nói f tự đẳng cấu 1.1.7 Ví dụ (i) Giả sử A vành vành V Khi ánh xạ nhúng iA : A V xác định iA (x) = x đơn cấu, gọi đơn cấu tắc hay đơn cấu nhúng (ii) Giả sử I iđêan vành V Khi ánh xạ p : A V /I xác định bởi: p(x) = x + I lµ mét toµn cÊu, gäi lµ toµn cÊu tắc hay phép chiếu tự nhiên 1.1.8 Định nghĩa (i) Cho V vành giao hoán Phần tử a V đ-ợc gọi -ớc không a = tồn b V, b = cho ab = (ii) Mét vành giao hoán khác {0} -ớc không đ-ợc gọi miền nguyên (ii) Một tr-ờng vành giao hoán khác phần tử khác khả nghịch Cho K tr-ờng T tập khác rỗng K ổn định với hai phép toán K Ta nãi T lµ mét tr-êng cđa K T với hai phép toán cảm sinh từ K tr-ờng Z miền nguyên, Q, R, C tr-ờng Chú ý tr-ờng miền nguyên, miền nguyên hữu hạn tr-ờng Tuy nhiên miền nguyên vô hạn không thiết tr-ờng, chẳng hạn nh- miền nguyên Z Chú ý tr-ờng có hai iđêan {0} Tổng quát hơn, V = {0} vành giao hoán phát biểu sau t-ơng đ-ơng: (i) V tr-ờng; (ii) V có hai iđêan {0} V (iii) Mọi đồng cấu từ V đến vành giao hoán khác {0} đơn cấu 1.2 Mở rộng vành tr-ờng 1.2.1 Định nghĩa (i) Cho F tr-êng vµ K lµ mét tr-êng chøa F Khi F K đ-ợc gọi mở rộng tr-êng vµ ta nãi K lµ mét më réng cđa tr-ờng F Mở rộng tr-ờng F K đ-ợc kÝ hiƯu lµ K/F (ii) Cho A lµ mét vành V vành chứa A Khi A V đ-ợc gọi mở rộng vành vµ ta nãi V lµ mét më réng cđa vµnh A Mở rộng vành A V đ-ợc kí hiệu lµ V /A Chó ý r»ng nÕu A lµ vµnh vành V A = V A không iđêan V Vì không sợ nhầm lẫn kí hiệu më réng vµnh V /A víi kÝ hiƯu cho mét vành th-ơng V 1.2.2 Ví dụ (i) Q ⊂ C, Q ⊂ R, R ⊂ C mở rộng tr-ờng (ii) Z Q, Z R, R C mở rộng vành ... Ch-ơng 2, cấu trúc tr-ờng bậc hai, vành bậc hai, vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, iđêan vành bậc hai, phân tích vành bậc hai Ch-ơng trình bày ứng dụng vành tr-ờng bậc hai việc giải toán sơ cấp... Mục tiêu luận văn nghiên cứu tr-ờng bậc hai vành bậc hai Mục tiêu làm rõ cấu trúc vành số nguyên đại số tr-ờng bậc hai, loại vành bậc hai đặc biệt Chẳng hạn, iđêan có hệ sinh gồm hai phần tử,... vành bậc hai, vành C đồng thời mở rộng bậc hai vành số nguyên Z Cụ thể, D vành bậc hai tồn hệ {, } D (gọi sở D) cho phần tử D biểu diễn đ-ợc cách dạng a + b với a, b Z Các vành tr-ờng bậc hai