Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐÌNH DÙNG MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐÌNH DÙNG MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS TRỊNH THANH HẢI THÁI NGUYÊN - 2015 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Cách mô tả dãy số 1.1.3 Giới hạn dãy số 1.2 Một vài dãy số đặc biệt 1.2.1 Cấp số cộng 1.2.2 Cấp số nhân 1.2.3 Dãy Fibonacci 1.2.4 Dãy Farey 1.2.5 Dãy Lucas 3 4 7 9 chương trình Tốn phổ thông Một số dạng toán dãy số 2.1 Dạng toán tìm giới hạn dãy số 2.2 Dạng tốn tìm tổng, tích dãy số 2.3 Dạng dãy truy hồi liên quan số phương 2.4 Một số ứng dụng dãy số 2.4.1 Ứng dụng dãy số hình học 2.4.2 Ứng dụng tính chất dãy số giải phương trình hàm, bất phương trình hàm 2.4.3 Ứng dụng tính chất dãy số chứng minh bất đẳng thức 2.4.4 Một vài ứng dụng khác dãy số 11 11 17 30 34 34 38 42 48 ii Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Mở đầu Trong chương trình Tốn phổ thơng nói chung, dạng tập, đề thi tuyển sinh học sinh giỏi nói riêng tập liên quan đến dãy số phong phú, đa dạng Hiện nhiều học viên cao học chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên khai thác có hiệu vấn đề liên quan đến dãy số, nhiên chưa có học viên sâu tìm hiểu dạng tập chọn học sinh khá, giỏi liên quan đến dãy số chương trình Tốn phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu, học hỏi tích lũy thêm kinh nghiệm để phục vụ cơng tác giảng dạy Toán trường THPT, Em chọn hướng nghiên cứu luận văn thạc sĩ với đề tài: "Một số dạng tốn dãy số ứng dụng" với mục đích: Hệ thống đưa lời giải cách chi tiết cho số dạng toán dãy số ứng dụng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THPT Nhiệm vụ luận văn bao hàm: (i) Hệ thống hóa kiến thức sở dãy số, số tính chất dãy số số ứng dụng dãy số giới thiệu chương trình phổ thơng (ii) Chọn lọc số dạng tập liên quan đến dãy số thường xuất đề thi chọn học sinh giỏi cố gắng đưa lời giải tường minh cho tập mà tài liệu tham khảo chưa đưa lời giải chi tiết Để hoàn thành luận văn này, Em nhận quan tâm, tạo điều kiện Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên mà trực tiếp Khoa Toán- Tin Đặc biệt em nhận bảo, giúp đỡ từ tập thể Thầy, Cơ suốt q trình học tập cao học Nhân dịp này, cho phép Em bày tỏ lòng biết ơn đến Trường ĐHKH, khoa Tốn- Tin tập thể Thầy, Cơ giáo tận tình truyền đạt kiến thức hướng dẫn Em hoàn thành luận văn này, đồng thời cho phép Em bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Trịnh Thanh Hải người tận tình hướng dẫn em suốt q trình làm hồn thành luận văn Do số điều kiện chủ quan khách quan, luận văn với chủ đề "Một số dạng toán dãy số ứng dụng" chưa thực hoàn thiện theo ý muốn Em tha thiết mong Thầy, Cơ giáo bảo để Em hồn thiện luận văn Em xin trân trọng cảm ơn! Học viên Nguyễn Đình Dùng Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Kí hiệu: u : N∗ → R n → u(n) Dãy số thường viết dạng khai triển: u1 , u2 , u3 , , un , u1 số hạng đầu, un = u(n) số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Mỗi hàm số u xác định tập M = 1, 2, 3, , m với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển của dãy số hữu hạn: u1 , u2 , u3 , , um u1 số hạng đầu, um số hạng cuối Dãy số (un ) gọi là: • Dãy đơn điệu tăng un+1 > un , với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu không giảm un+1 ≥ un , với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu giảm un+1 < un , với n = 1, 2, • Dãy đơn điệu khơng tăng un+1 ≤ un , với n = 1, 2, • Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un < M , với n = 1, 2, ; gọi dãy số bị chặn tồn số m cho un > m, với n = 1, 2, ; Một dãy số bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn • Dãy số (un ) gọi tuần hồn với chu kì k un+k = un , với ∀n ∈ N∗ • Dãy số (un ) gọi dãy dừng tồn số N0 cho un = C với n ≥ N0 , (C số, gọi số dừng) 1.1.2 Cách mô tả dãy số (i) Dãy số cho cơng thức số hạng tổng qt Ví dụ 1.1.1 √ 1+ un = √ n √ 1− −√ n (ii) Dãy số cho phương pháp truy hồi Ví dụ 1.1.2 Dãy số (un ) xác định bởi: u1 = 1, u2 = 50 un+1 = 4un + 5un−1 − 1975, với n = 2, 3, (iii) Dãy số cho phương pháp mơ tả Ví dụ 1.1.3 Cho a1 = 19, a2 = 98 Với số nguyên n ≥ 1, xác định an+2 số dư phép chia an + an+1 cho 100 1.1.3 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.1.1 Ta nói dãy số (un ) có giới hạn số thực a hữu hạn với số dương ε (có thể bé tùy ý), ln tồn số n0 ∈ N (n0 phụ thuộc vào ε vào dãy số (un ) xét), cho với số n ∈ N, n ≥ n0 ta ln có |un − a| < ε Khi kí hiệu lim un = a nói n→+∞ dãy số (un ) hội tụ a Dãy số không hội tụ gọi dãy phân kì Định lý 1.1.1 Nếu dãy số hội tụ giới hạn Định lý 1.1.2 (Tiêu chuẩn hội tụ Weierstrass) a) Một dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ b) Một dãy số tăng bị chặn hội tụ c) Một dãy số giảm bị chặn hội tụ Định lý 1.1.3 Nếu (un ) → a (vn ) ⊂ (un ), (vn ) = C (vn ) → a Định lý 1.1.4 (Định lý kẹp giới hạn) Nếu với n ≥ n0 ta ln có un ≤ xn ≤ lim un = lim = a n→+∞ n→+∞ lim xn = a n→+∞ Định lý 1.1.5 (Định lý Lagrange) Nếu hàm số y = f (x) liên tục đoạn [a; b] có đạo hàm khoảng (a; b) tồn c ∈ (a; b) thỏa mãn: f (b) − f (a) = f (c)(b − a) Định lý 1.1.6 (Định lý trung bình Cesaro) Nếu dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn a dãy số trung bình cộng u1 + u2 + + un n có giới hạn a Định lý phát biểu dạng sau: Nếu un = a (Định lý Stolz) n→+∞ n lim (un+1 − un ) = a n→+∞ lim Định lý 1.1.7 Cho f : D → D hàm liên tục, đó: (i) Phương trình f (x) = x có nghiệm tương đương phương trình fn (x) = x có nghiệm (ii) Gọi α, β mút trái, mút phải D Biết lim+ [f (x)−x], lim− [f (x)−x] x→α x→β dương âm Khi phương trình f (x) = x có nghiệm phương trình fn (x) = x có nghiệm fn (x) = f (f ( (f (x) ) n lần Chứng minh i) Nếu x0 nghiệm phương trình f (x) = x x0 nghiệm phương trình fn (x) = x Ngược lại, phương trình f (x) = x vơ nghiệm f (x) − x > f (x) − x < với x ∈ D fn (x) − x > 0hoặc fn (x) − x < với x ∈ D nên phương trình fn (x) = x vô nghiệm ii) Giả sử phương trình f (x) = x có nghiệm x0 nghiệm phương trình fn (x) = x Đặt F (x) = f (x) − x F (x) liên tục (x0 ; β) (α; x0 ) nên F (x) giữ nguyên dấu Nếu lim+ [f (x) − x] lim− [f (x) − x] dương F (x) > khoảng x→α x→β (x0 ; β) (α; x0 ) suy f (x) > x với x ∈ D\{x0 } Xét x1 ∈ D\{x0 } suy f (x1 ) > x1 hay f (f (x1 )) > f (x1 ) > x1 chứng tỏ fn (x1 ) > x1 nên x1 không nghiệm phương trình fn (x) = x Vậy phương trình fn (x) = x có nghiệm x = x0 Nếu lim+ [f (x) − x] lim− [f (x) − x] âm chứng minh tương tự x→α x→β Ta thấy nghiệm phương trình fn (x) = x nghiệm phương trình fn (x) = x, phương trình fn (x) = x có nghiệm phương trình fn (x) = x có nghiệm Định lý 1.1.8 Cho hàm f : D → D hàm đồng biến Dãy (xn ) thỏa mãn xn+1 = f (xn ), ∀n ∈ N∗ , đó: (i) Nếu x1 < x2 dãy (xn ) tăng (ii) Nếu x1 > x2 dãy (xn ) giảm Chứng minh (bằng phương pháp quy nạp) (i) - Với n = 1, ta có x1 < x2 mệnh - Giả sử mệnh đề với n = k(k ≥ 1) tức uk < uk+1 f (uk ) < f (uk+1 ) suy uk+1 < uk+2 (ii) Chứng minh tương tư Định lý 1.1.9 Cho hàm f : D → D hàm nghịch biến Dãy (xn ) thỏa mãn xn+1 = f (xn ), ∀n ∈ N∗ Khi đó: Các dãy (x2n+1 ) (x2n ) đơn điệu, dãy tăng, dãy giảm (i) Nếu dãy (xn ) bị chặn tồn α = lim x2n β = lim x2n+1 n→+∞ n→+∞ (ii) Nếu f (x) liên tục α, β , nghiệm phương trình (1.1) f (f (x)) = x (iii) Nếu phương trình (1.1) có nghiệm α = β lim xn = α = β n→+∞ Chứng minh (i) Vì f (x) hàm nghịch biến nên f (f (x)) đồng biến Áp dụng định lý 1.1.2 ta có điều phải chứng minh (ii) Suy từ i) (iii) Ta có f (f (x2n )) = f (x2n+1 ) = x2n+2 lim f (f (x2n )) = lim x2n+2 = α, n→+∞ lim x2n = α f (x) liên tục nên f (f (α)) = α n→+∞ Chứng minh tương tự ta có f (f (β)) = β Vậy α, β nghiệm phương trình f (f (x)) = x n→+∞ ... Một số dạng tốn dãy số 2.1 Dạng tốn tìm giới hạn dãy số 2.2 Dạng toán tìm tổng, tích dãy số 2.3 Dạng dãy truy hồi liên quan số phương 2.4 Một số ứng dụng dãy số. .. văn thạc sĩ với đề tài: "Một số dạng toán dãy số ứng dụng" với mục đích: Hệ thống đưa lời giải cách chi tiết cho số dạng toán dãy số ứng dụng bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THPT Nhiệm vụ luận văn. .. NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN ĐÌNH DÙNG MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ DÃY SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS.TS