Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)

Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức bổ trợ dãy số 1.1 Dãy số, định nghĩa tính chất 1.2 Giới hạn dãy số 1.3 Một vài dãy số đặc biệt 3 Một số phương pháp giải toán xác định dãy số 2.1 Dãy số sinh hàm đa thức 2.2 Dãy số sinh hàm phân thức hữu tỷ 2.3 Dãy số sinh hàm chứa thức 2.4 Dãy số sinh hàm lượng giác siêu việt 10 10 16 22 24 28 28 35 37 42 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số 4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất dãy số 4.2 Một số dạng toán khác 46 46 57 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số 3.1 Sử dụng tính đơn điệu bị chặn để tính giới hạn 3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn dãy số 3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn dãy số 3.4 Xác định giới hạn dãy tổng dãy số Mở đầu Dãy số phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng ngành đại số giải tích tốn học Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học, khơng đối tượng để nghiên cứu mà đóng vai trò cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong chương trình, sách giáo khoa trung học phổ thơng, nội dung đề cập đến dãy số Vì học sinh gặp nhiều khó khăn việc giải toán liên quan đến dãy số tham gia thi học sinh giỏi cấp Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán dãy số đề cập nhiều thường thuộc loại khó Các tốn ước lượng; xác định dãy số tính giá trị tổng, tích; toán cực trị, xác định giới hạn dãy hay tính chất dãy số thường liên quan đến đặc trưng dãy tương ứng Luận văn Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp nhằm nêu số phương pháp xác định dãy số, giới hạn dãy số tốn liên quan Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số Chương trình bày kiến thức liên quan đến dãy số Chương Một số phương pháp giải toán xác định dãy số Chương trình bày tốn liên quan đến xác định số hạng tổng quát dãy số sinh hàm sơ cấp hàm đa thức, hàm phân thức hữu tỷ, hàm lượng giác, hàm số mũ hàm số logarit Chương Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số Chương trình bày số phương pháp xác định giới hạn dãy số phương pháp sử dụng tính đơn điệu bị chặn, phương pháp sử dụng nguyên lí kẹp, phương pháp sử dụng định lí Lagrange xác định giới hạn dãy tổng Chương Các dạng toán khác liên quan đến dãy số Chương trình bày số tốn liên quan đến tính chất dãy số nguyên, dãy số chứa hàm phần nguyên, hàm phần lẻ Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên với hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm hướng dẫn thầy, tới thầy Ban giám hiệu, Phòng đào tạo Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Đồng thời tác giả xin cảm ơn tới Sở Giáo dục đào tạo Yên Bái, Ban giám hiệu thầy cô trường THPT Chuyên Nguyễn Tất Thành tạo điều kiện cho tác giả học tập hoàn thành kế hoạch học tập Thái Nguyên, ngày 25 tháng năm 2016 Học viên Phùng Thị Thu Hà Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số Trong chương này, tơi trình bày khái niệm dãy số gồm số định nghĩa định lý bản, vài dãy số đặc biệt số toán áp dụng 1.1 Dãy số, định nghĩa tính chất Định nghĩa 1.1 Dãy số (thực) hàm số xác định tập tập số tự nhiên Với M ⊂ N, thay cho ký hiệu u:M→R n → u(n) ta thường dùng ký hiệu (un ) hay {un } với n ∈ M Dãy số gọi vô hạn chúng có vơ hạn phần tử Dãy số gọi hữu hạn số phần tử dãy hữu hạn Phần tử ui gọi phần tử thứ i dãy 1.1.1 Dãy số đơn điệu Dãy (un ) gọi đơn điệu tăng un ≤ un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi đơn điệu giảm un ≥ un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi tăng thực un < un+1 , với n = 1, 2, Dãy (un ) gọi giảm thực un > un+1 , với n = 1, 2, Dãy đơn điệu tăng dãy đơn điệu giảm gọi chung dãy đơn điệu Nhận xét 1.1 • Nếu dãy (xn ) tăng, dãy (yn ) tăng dãy (xn + yn ) tăng • Nếu dãy (xn ) giảm, dãy (yn ) giảm dãy (xn + yn ) giảm • Nếu dãy (xn ) tăng dãy (−xn ) giảm, dãy (xn ) giảm dãy (−xn ) tăng • Nếu hai dãy số dương (xn ), (yn ) tăng (giảm) dãy (xn yn ) tăng (giảm) • Một dãy số khơng tăng, khơng giảm Ví dụ dãy số (xn ) với xn = (−1)n , ∀n ∈ N 1.1.2 Dãy số bị chặn Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số M cho un ≤ M, ∀n ∈ N∗ Dãy (un ) gọi bị chặn tồn số m cho un ≥ m, ∀n ∈ N∗ Dãy (un ) gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn nghĩa tồn số M số m cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ 1.1.3 Dãy số Cauchy Định nghĩa 1.2 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi dãy Cauchy ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀m, n > N0 , |un − um | < ε Định lý 1.1 (Tiêu chuẩn Cauchy, xem [5]) Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy Cauchy 1.1.4 Dãy số tuần hoàn Định nghĩa 1.3 (xem [3]) Dãy số (un ) gọi dãy số tuần hồn (cộng tính) tồn số ngun dương l cho un+l = un , ∀n ∈ N (1.1) Số nguyên dương l nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1.1) gọi chu kỳ sở dãy Dãy số (un ) gọi dãy phản tuần hồn (cộng tính) tồn số nguyên dương l cho un+l = −un , ∀n ∈ N (1.2) Số nguyên dương l nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1.2) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.2 a) Dãy tuần hoàn chu kỳ dãy dãy b) Dãy phản tuần hoàn chu kỳ l dãy tuần hoàn chu kỳ 2l Tương tự, ta có định nghĩa dãy tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.4 (xem [3]) Dãy số (un ) gọi dãy tuần hồn nhân tính tồn số ngun dương s (s > 1) cho usn = un , ∀n ∈ N (1.3) Số nguyên dương s nhỏ để dãy số (un ) thỏa mãn (1.3) gọi chu kỳ sở dãy Dãy số (un ) gọi dãy phản tuần hồn nhân tính tồn số nguyên dương s (s > 1) cho usn = −un , ∀n ∈ N (1.4) Số nguyên dương s (s > 1) nhỏ để dãy số (un ) thỏa mãn (1.4) gọi chu kỳ sở dãy Nhận xét 1.3 Dãy phản tuần hồn nhân tính chu kỳ s dãy tuần hồn nhân tính chu kỳ s2 1.2 Giới hạn dãy số Định nghĩa 1.5 (xem [5]) Ta nói dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn a n dần tới vô với ε > 0, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un ε ) cho với n > N0 ta có |un − a| < ε lim un = a ⇔ ∀ε > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un − a| < ε n→+∞ Ta nói dãy số (un ) dần đến vô n dần đến vô với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N0 (phụ thuộc vào dãy số un M ) cho với n > N0 ta có |un | > M lim un = ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃N0 ∈ N : ∀n > N0 , |un | > M n→+∞ Dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Định lý 1.2 (xem [5]) Giả sử tồn lim un = a; lim = b n→+∞ n→+∞ a) lim (un + ) = lim un + lim = a + b n→+∞ n→+∞ n→+∞ b) lim (un − ) = lim un − lim = a − b n→+∞ n→+∞ n→+∞ c) lim (un ) = lim un lim = ab n→+∞ n→+∞ n→+∞ un = n→+∞ d) b = lim lim un a = lim b n→+∞ n→+∞ Định lý 1.3 Nếu un ≤ , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N tồn lim un = a; lim = b n→+∞ n→+∞ a ≤ b Định lý 1.4 (Định lý Weierstrass, xem [5]) a) Nếu dãy (un ) đơn điệu tăng bị chặn M tồn giới hạn hữu hạn lim un = a a ≤ M n→+∞ b) Nếu dãy (un ) đơn điệu giảm bị chặn m tồn giới hạn hữu hạn lim un = a a ≥ m n→+∞ Nói ngắn gọn hơn, dãy số đơn điệu bị chặn hội tụ Định lý 1.5 (Nguyên lý kẹp, xem [5]) Nếu ≤ un ≤ wn , ∀n ≥ N0 , N0 ∈ N lim = lim wn = a lim un = a n→+∞ 1.3 n→+∞ n→+∞ Một vài dãy số đặc biệt 1.3.1 Cấp số cộng Định nghĩa 1.6 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi cấp số cộng tồn d ∈ R cho ∀n ∈ N, un+1 = un + d u1 gọi số hạng đầu, d gọi công sai cấp số cộng Tính chất 1.1 Dãy số (un ) cấp số cộng với cơng sai d i) un = u1 + (n − 1)d với n = 1, 2, ; uk−1 + uk+1 với k = 2, 3, ; iii) Cho cấp số cộng hữu hạn u1 , u2 , , un−1 , un Ta có ii) uk = u1 + un = u2 + un−1 = u3 + un−2 = Một cách tổng quát: u1 + un = uk + un+1−k với k = 2, 3, , n − iv) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Ta có Sn = [2u1 + (n − 1)d]n (u1 + un )n = 2 1.3.2 Cấp số nhân Định nghĩa 1.7 (xem [5]) Dãy số (un ) gọi cấp số nhân tồn q ∈ R cho ∀n ∈ N, un+1 = un q u1 gọi số hạng đầu, q gọi công bội cấp số nhân Tính chất 1.2 Dãy số (un ) cấp số nhân với cơng bội q i) un = u1 q n−1 với n = 1, 2, ; ii) u2k = uk−1 uk+1 với k = 2, 3, ; iii) Đặt Sn = u1 + u2 + · · · + un−1 + un Khi q = ta có Sn = u1 (q n − 1) q−1 Nhận xét 1.4 Nếu |q| < (un ) gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn tính theo cơng thức S = u1 + u2 + u3 + · · · = u1 1−q 1.3.3 Cấp số điều hòa Định nghĩa 1.8 (xem [3]) Dãy số (un ) (un = với n ∈ N) thỏa mãn điều kiện un = gọi cấp số điều hòa 2un−1 un+1 , ∀n ∈ N∗ un−1 + un+1 ... chất dãy số thường liên quan đến đặc trưng dãy tương ứng Luận văn Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp nhằm nêu số phương pháp xác định dãy số, giới hạn dãy số toán liên quan Luận văn gồm... Một số phương pháp giải toán xác định dãy số 2.1 Dãy số sinh hàm đa thức 2.2 Dãy số sinh hàm phân thức hữu tỷ 2.3 Dãy số sinh hàm chứa thức 2.4 Dãy số sinh hàm. .. THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái