Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Hàm sinh bởi các ước số và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẰNG HÀM SINH BỞI CÁC ƯỚC SỐ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THÚY HẰNG HÀM SINH BỞI CÁC ƯỚC SỐ VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 i Mục lục Mục lục i Mở đầu 1 Hàm đếm ước số d(n) 1.1 Một số kiến thức số học 1.1.1 Phép chia tập số nguyên 1.1.2 Ước số chung lớn (ƯSCLN) 1.1.3 Số nguyên tố 1.2 Hàm đếm ước 2 5 Giá trị trung bình vài hàm số ước số 2.1 Giá trị trung bình vài hàm số ước số 2.1.1 Định lí Ramanujan 2.2 Số hoàn hảo số liên quan học sinh 14 học sinh 14 14 19 Một số tốn áp dụng 3.1 Tổng hiệu tích cặp số 3.2 Tập bội số tập hợp cho trước 3.3 Tập số thừa 24 24 34 38 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 Mở đầu Trong toán học đặc biệt lý thuyết số, hàm sinh ước số hàm số học liên quan đến tính tốn ước số nguyên Hàm gắn với phép đếm số ước số số nguyên dạng toán liên quan đến biểu diễn ước số Các kết gắn với nghiên cứu gần nhà toán học Ấn Độ Ramanujan Luận văn nhằm mục đích tìm hiểu chi tiết tính chất hàm sinh ước số xét ứng dụng việc giải tốn liên quan số học Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia thành ba chương đề cập đến vấn đề sau đây: Chương trình bày ước số tính chất liên quan Chương trình bày giá trị trung bình hàm sinh ước số Chương trình bày số tốn ứng dụng số học Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc Phó Giáo sư, Tiến sĩ Nông Quốc Chinh, người thầy trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu truyền đạt kinh nghiệm nghiên cứu cho Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo khoa Tốn - Tin, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Hòn Gai bạn bè đồng nghiệp giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi hồn thành luận văn Chương Hàm đếm ước số d(n) 1.1 1.1.1 Một số kiến thức số học Phép chia tập số nguyên Định nghĩa 1.1 Cho hai số nguyên a b , với b = Nếu có số nguyên q cho a = bq ta nói b chia hết a hay a chia hết cho b b ước a ký hiệu b | a hay a b Tính chất 1.1 ±1 | a với a ∈ Z a với a ∈ Z, a = a a với a ∈ Z, a = b | a a | b a = ±b b | a c | b kéo theo c | a Với i ∈ {1; 2; ; n}, ∀xi ∈ Z, b | a kéo theo b | n x j i=0 Định lý 1.1 (Định lý chia Euclid) Với số nguyên a b, b = 0, tồn số nguyên q, r cho a = bq + r; ≤ r < |b| (1.1) Chứng minh a) Sự tồn tại: Gọi M tập hợp bội số b không vượt a: M = {bx | x ∈ Z, bx ≤ a} Ta có M ⊂ Z M = ∅ chẳng hạn −|b|.|a| ∈ M M bị chặn trên, có số lớn nhất, ta gọi bq Số nguyên bq + |b| bội b bq + |b| ∈ / M , ta có bq ≤ a < bq + |b|, từ suy ≤ a − bq < |b| Đặt r = a − bq ta a = bq + r, ≤ a − bq < |b| b) Tính nhất: Giả sử có q, r q1 , r1 thỏa mãn điều kiện trên, tức a = bq + r, a = bq1 + r1 , ≤ r < |b|, ≤ r1 < |b|, Khi ta bq + r = bq1 + r1 ⇒ r − r1 ≤ b(q − q1 ) Nhưng |r − r1 | < |b|, |b||q − q1 | < |b|, nghĩa |q − q1 | < Hệ thức buộc q − q1 = nghĩa q = q1 , từ suy r = r1 (điều phải chứng minh) 1.1.2 Ước số chung lớn (ƯSCLN) Định nghĩa 1.2 Cho hai số nguyên a, b số khác Số dương d gọi ƯSCLN a, b ký hiệu d := (a, b) d | a d | b ( d ước số chung a b) Nếu c | a c | b c | d Nói cách khác, d ƯSCLN hai số a b d ước chung a b đồng thời d số lớn ước số chung a b Nếu (a, b) = ta nói hai số a b nguyên tố Nhận xét 1.1 Trong trường hợp a, b có số hiển nhiên ƯSCLN chúng số Tính chất 1.2 (ac, bc) = (a, b).c với c = a b (a, b) ; = với c ước chung a,b c c c Nếu (a, b) = (ac, b) = (c, b) Nếu (a, b) = b ac b c (b, a1 ) = (b, a2 ) = ⇒ (b, a1 a2 ) = Nếu a c1 , a c2 mà (c1 , c2 ) = a c1 c2 Thuật tốn tìm ƯSCLN hai số nguyên Chú ý 1.1 Nếu số nguyên a, b, q, r có hệ thức a = bq + r ta có (a, b) = (b, r) a) Cho a, b ∈ Z Nếu hai số ước số kia, chẳng hạn b | a hiển nhiên b) Nếu khơng xảy trường hợp ta có hệ thức sau biểu thị dãy phép chia có dư: a = bq0 + r1 , < r1 < |b| b = r1 q1 , < r2 < r1 r1 = r2 q2 + r3 , < r3 < r2 rn−2 = rn−1 qn−1 + rn , < rn < rn−1 rn−1 = rn qn Dãy phép chia có dư liên tiếp gọi thuật toán Euclid thực hai số a, b Dãy phải dãy hữu hạn thuật toán Euclid phải kết thúc với số dư rn+1 = Theo ý ta có (a, b) = (b, r1 ) = = (rn−1 , rn ) = rn Như vậy, ƯSCLN hai số a, b số dư cuối khác thuật toán Euclid thực hai số a, b 1.1.3 Số nguyên tố Định nghĩa 1.3 Số nguyên tố số tự nhiên lớn khơng có ước khác ngồi Định lý 1.2 Ước nhỏ khác số tự nhiên lớn số nguyên tố Định lý 1.3 Cho a số tự nhiên p số nguyên tố, a nguyên tố với p, a chia hết cho p Định lý 1.4 Nếu số nguyên tố p ước tích nhiều số phải ước thừa số Định lý 1.5 Nếu số nguyên tố p ước tích nhiều số nguyên tố p phải trùng với số nguyên tố Định lý 1.6 (Về phân tích tắc số tự nhiên) Mọi số tự nhiên lớn phân tích thành tích thừa số nguyên tố phân tích (khơng kể thứ tự thừa số) Chú ý 1.2 Nói chung, thừa số ngun tố phân tích lặp lại, gọn, thừa số lặp lại viết dạng lũy thừa: a = pα1 pα2 pαk k (1.2) Trong pi = pj , ∀i = j, αi ∈ N, αi ≥ 1, ≤ i ≤ k Và (1.2) gọi phân tích tiêu chuẩn số tự nhiên a 1.2 Hàm đếm ước Định nghĩa 1.4 Hàm số học hàm số có miền xác định tập số nguyên dương miền giá trị tập số phức Ví dụ 1.1 a) Hàm d(n) đếm ước khác số tự nhiên n ≥ hàm số học b) Hàm phi-Euler ϕ(n) hàm số học n = c) Hàm δ : Z+ → C, δ(n) = hàm số học n ≥ d) Hàm O : Z+ → C, O(n) = hàm số học Định nghĩa 1.5 Một hàm số học f gọi hàm nhân tính với cặp số m, n nguyên tố nhau, ta có f (n.m) = f (n).f (m) Trong trường hợp đẳng thức với m, n (không thiết nguyên tố nhau) hàm f gọi hàm nhân tính mạnh Ví dụ 1.2 Ta có µ(1) = 1, µ(8) = 0, µ(6) = 1, µ(4) = 0, µ(2) = −1, µ(7) = −1, µ(5) = −1, µ(9) = 0, µ(3) = −1 µ(10) = Định nghĩa 1.6 Hàm số học xác định số ước dương số nguyên dương n gọi hàm đếm ước kí hiệu d(n) Như d(1) = d(6) = 4, d(2) = d(7) = 2, d(3) = d(8) = 4, d(4) = d(9) = Giả sử pνp (n) n= p|n Mọi ước n có dạng: pap , d= p|n với ap số nguyên thỏa mãn: ≤ ap ≤ νp (n) Luận văn đầy đủ file: Luận văn full ... học đặc biệt lý thuyết số, hàm sinh ước số hàm số học liên quan đến tính tốn ước số nguyên Hàm gắn với phép đếm số ước số số nguyên dạng toán liên quan đến biểu diễn ước số Các kết gắn với nghiên... ước khác số tự nhiên n ≥ hàm số học b) Hàm phi-Euler ϕ(n) hàm số học n = c) Hàm δ : Z+ → C, δ(n) = hàm số học n ≥ d) Hàm O : Z+ → C, O(n) = hàm số học Định nghĩa 1.5 Một hàm số học f gọi hàm nhân... vài hàm số ước số 2.1 Giá trị trung bình vài hàm số ước số 2.1.1 Định lí Ramanujan 2.2 Số hoàn hảo số liên quan học sinh