Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)

Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)Một số phép biến hình trong không gian và áp dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÙNG CƯỜNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHƠNG GIAN VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN HÙNG CƯỜNG MỘT SỐ PHÉP BIẾN HÌNH TRONG KHÔNG GIAN VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS TRẦN NGUYÊN AN THÁI NGUYÊN - 2015 i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Phương pháp toán sơ cấp với đề tài “Một số phép biến hình khơng gian áp dụng” tơi Các tài liệu trích dẫn đầy đủ Tác giả Nguyễn Hùng Cường ii Lời cảm ơn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Qua tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo khoa sau Đại học, Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên trang bị kiến thức bản, tạo điều kiện tốt cho tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới TS Trần Nguyên An, người tận tình bảo, tạo điều kiện giúp đỡ tác giả có thêm nhiều kiến thức, khả nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Hùng Cường iii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iv Mở đầu Chương Các phép biến hình mặt phẳng 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.2 Phép tịnh tiến 1.3 Phép đối xứng qua đường thẳng 1.4 Phép quay xung quanh điểm 1.5 Phép dời hình 10 1.6 Phép vị tự 13 1.7 Phép đồng dạng 20 1.8 Phép nghịch đảo 22 Chương Các phép biến hình khơng gian 25 2.1 Phép tịnh tiến 25 2.2 Phép đối xứng qua mặt phẳng 29 2.3 Phép quay xung quanh đường thẳng 32 2.4 Phép dời hình 33 2.5 Phép vị tự 38 2.6 Phép đồng dạng 43 2.7 Phép nghịch đảo 46 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 iv Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng số ký hiệu sau ⊥ // ∩ ≡ |v| ∆ABC Tv D∆ DP QαO Qα∆ D VIk D(k) NIk Vng góc Song song Giao Trùng Độ dài véc tơ v Tam giác ABC Phép tịnh tiến theo véc tơ v Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ Phép đối xứng qua mặt phẳng P Phép quay tâm O, góc quay α Phép quay xung quanh đường thẳng ∆, góc quay α Phép dời hình Phép vị tự tâm I, tỉ số k Phép đồng dạng tỉ số k Phép nghịch đảo cực I, phương tích k Mở đầu Các phép biến hình cơng cụ hữu hiệu quan trọng việc nghiên cứu Hình học sơ cấp Ở chương trình phổ thơng, học sinh làm quen với số phép biến hình mặt phẳng phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép quay, phép vị tự, Các phép biến hình giúp ta giải số dạng tốn: Chứng minh, quĩ tích, dựng hình, cực trị, Một cách tự nhiên ta mở rộng phép biến hình mặt phẳng sang phép biến hình khơng gian Mục đích luận văn trình bày số phép biến hình khơng gian đưa số ví dụ áp dụng Để thấy mở rộng từ phép biến hình mặt phẳng sang phép biến hình khơng gian luận văn trình bày hệ thống lại số kết phép biến hình mặt phẳng Ngoài phần mở đầu phần kết luận, luận văn gồm chương: Chương Phép biến hình mặt phẳng Trong Chương 1, chúng tơi trình bày số phép biến hình mặt phẳng 24 tốn sử dụng phép biến hình để giải Chương Phép biến hình khơng gian.Trong Chương 2, chúng tơi trình bày số phép biến hình khơng gian mở rộng 24 tốn hình học phẳng sang tốn hình học khơng gian Chương Các phép biến hình mặt phẳng Chương trình bày số phép biến hình mặt phẳng số ví dụ áp dụng Mục đích việc trình bày chương hệ thống lại phép biến hình mặt phẳng để từ mở rộng tương ứng sang phép biến hình khơng gian 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa (Phép biến hình) Trong mặt phẳng (khơng gian) cho quy tắc f Với điểm M bất kì, theo quy tắc f ta xác định điểm M Khi ta nói M ảnh M qua quy tắc f kí hiệu f : M → M Điểm M gọi tạo ảnh M , f gọi phép biến hình mặt phẳng (phép biến hình khơng gian) 1.2 Định nghĩa (Phép biến hình 1-1) Ta biết ảnh điểm M qua phép biến hình f có nhiều tạo ảnh khác M Nếu ảnh M có tạo ảnh ứng với nó, ta nói f phép biến hình − 1.3 Định nghĩa (Phép biến hình đồng nhất) Ta nói f phép biến hình đồng nhất, f biến điểm M thành M 1.4 Định nghĩa (Phép biến hình ngược) Giả sử f : M → M với điểm M mặt phẳng (khơng gian) Nếu tồn phép biến hình g biến M thành M , ta nói g phép biến hình ngược f f phép biến hình có ngược 1.5 Định nghĩa (Tích phép biến hình) Tích hai (hoặc nhiều) phép biến hình phép biến hình nhận từ việc thực liên thứ tự xác định phép biến hình cho 1.6 Định nghĩa (Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động phép biến hình) Ta nói O điểm bất động (hoặc điểm kép) phép biến hình f , f biến O thành O Ta nói đường thẳng d bất động (hoặc kép hồn tồn) phép biến hình f , điểm thuộc d điểm bất động f Ta nói mặt phẳng (P ) bất động (hoặc kép hồn tồn) phép biến hình f , điểm thuộc (P ) điểm bất động f Ta nói đường thẳng d (mặt phẳng (P )) bất biến phép biến hình f , f biến đường thẳng d (hoặc mặt phẳng (P )) thành Khi đường thẳng d (mặt phẳng (P )) gọi đường thẳng kép (hoặc mặt phẳng kép) 1.7 Định nghĩa (Phép biến hình đối hợp) Phép biến hình f gọi phép biến hình có tính chất đối hợp f (M ) = M , f (M ) = M M ≡ M 1.8 Định nghĩa (Góc định hướng) Góc tạo hai tia Ox, Oy có phân biệt thứ tự tia đầu tia cuối gọi góc định hướng Nếu tia Ox tia đầu, tia Oy tia cuối người ta kí hiệu góc định hướng (Ox, Oy) Thường người ta chọn chiều dương chiều quay ngược chiều kim đồng hồ 1.9 Định nghĩa (Chiều quay tam giác) Chiều quay tam giác ABC chiều quay từ A đến B, tiếp đến C Nếu chiều quay tam giác ABC ngược chiều kim đồng hồ tam giác ABC có chiều thuận (hay chiều dương) 1.10 Định nghĩa (Chiều tứ diện) Tứ diện ABCD gọi có chiều dương nửa khơng gian với biên mặt phẳng (BCD) chứa đỉnh A, tam giác BCD có chiều âm Nếu tam giác BCD xét nửa khơng gian có chiều dương tứ diện ABCD có chiều âm 1.2 Phép tịnh tiến 1.2.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng cho véc tơ v = 0, phép biến hình f : M → −−−→ M cho M M = v f gọi phép tịnh tiến theo véc tơ v, kí hiệu Tv : M → M 1.2.2 Tính chất Phép tịnh tiến phép biến hình - Phép tịnh tiến khơng có điểm kép − Mọi đường thẳng a//→ v a đường thẳng kép Phép tịnh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm Phép tịnh tiến biến điểm A, B, C thẳng hàng thành điểm A , B , C thẳng hàng, biến đường thẳng d thành đường thẳng d song song trùng với d Phép tịnh tiến biến điểm A, B, C không thẳng hàng thành điểm A , B , C khơng thẳng hàng, biến tam giác ABC thành tam giác A B C với − Phép tịnh tiến bảo tồn số đo góc T→ v : α → α = α Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có bán kính 1.2.3 Ví dụ áp dụng Ví dụ 1.2.1 Cho đường tròn (O, R) đường thẳng ∆ cố định, đường tròn (O , R ) ln tiếp xúc với (O, R), R khơng đổi Ở vị trí (O , R ) kẻ tiếp tuyến M x//∆ Tìm tập hợp tiếp điểm M (O , R ) chuyển động Giải a Trường hợp đường tròn (O , R ) tiếp xúc ngồi với (O, R) Vì O M ⊥ M X mà ∆//M X nên ta suy O M ⊥ ∆, ∃Tv : O → M , |v| = R v ⊥ ∆ Tập hợp điểm O đường tròn W (O, R+R ), nên từ ta suy tập hợp điểm M W (O1 , R+R ) − ảnh đường tròn W qua T→ v Vì có hai v (ngược hướng nhau) thỏa mãn điều kiện nên tốn có hai nghiệm hình b Trường hợp đường tròn Hình 1.1 (O , R ) tiếp xúc với (O, R) Tương tự trên, ta có hai tập hợp điểm M tập hợp điểm M hai đường tròn Vì tập hợp O đường tròn λ(O, |R − R |) nên tập ... luận văn trình bày số phép biến hình khơng gian đưa số ví dụ áp dụng Để thấy mở rộng từ phép biến hình mặt phẳng sang phép biến hình khơng gian luận văn trình bày hệ thống lại số kết phép biến hình. .. phẳng (không gian) Nếu tồn phép biến hình g biến M thành M , ta nói g phép biến hình ngược f f phép biến hình có ngược 1.5 Định nghĩa (Tích phép biến hình) Tích hai (hoặc nhiều) phép biến hình phép. .. bày số phép biến hình khơng gian mở rộng 24 tốn hình học phẳng sang tốn hình học khơng gian 2 Chương Các phép biến hình mặt phẳng Chương trình bày số phép biến hình mặt phẳng số ví dụ áp dụng