Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Lý thuyết polya và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HÀ THU LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC BÙI THỊ HÀ THU LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan ii Lời nói đầu 1 Lý thuyết Polya 1.1 Khái niệm nhóm 1.1.1 Quan hệ tương đương 1.1.2 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương 1.1.3 Định lý Lagrange hệ Nhóm phép hốn vị 1.2.1 Nhóm phép hốn vị 1.2.2 Chu trình hốn vị 10 Bổ đề Burnside 15 1.3.1 Tác động nhóm lên tập 15 1.3.2 Vận dụng giải toán tô màu 19 Đa thức xích số 22 1.4.1 Khái niệm đa thức xích số 22 1.4.2 Đa thức xích số Cn , Dn , Sn 23 Định lý Polya 26 1.2 1.3 1.4 1.5 Vận dụng Định lý Polya 28 2.1 Vận dụng Định lý Polya tốn tơ màu 28 2.2 Một vài tốn tơ màu khác 36 Kết luận Đề nghị 37 Tài liệu tham khảo 38 ii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Thái Nguyên, ngày 16 tháng năm 2015 Học viên Bùi Thị Hà Thu Lời nói đầu Luận văn trình bày lại số kết lý thuyết Polya vài vận dụng Luận văn chia làm hai chương Chương gồm năm mục Mục 1.1 trình bày khái niệm nhóm Trong Mục 1.2 tập trung viết nhóm phép hoán vị Mục 1.3 dành để chứng minh lại Bổ đề Burnside Mục 1.4 dành để viết xích đa thức số Trong Mục 1.5 chứng minh Định lý Polya Chương gồm hai mục Mục 2.1 trình bày vài vận dụng Định lý Polya tốn tơ màu Mục 2.2 trình bày vài ví dụ việc vận dụng Định lý Polya tóan tổ hợp Trong thời gian sưu tầm tài liệu, làm đề cương viết luận văn, tơi nhận sử góp ý dẫn tận tình người hướng dẫn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy mình, PGS.TS Đàm Văn Nhỉ Nhân đây, tơi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán- Tin, Khoa Sau đại học Trường Đại học Khoa học- Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện thuận lợi trình học tập tơi Tơi xin cảm ơn nhiệt tình giảng dạy giảng viên suốt thời gian học tập Tôi xin cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Hải An tạo điều kiện tốt cho công tác học tập, để tơi hồn thành nhiệm vụ học tập Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt tới đại gia đình, động viên khích lệ giúp tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên ngày 16 tháng 04 năm 2015 Bùi Thị Hà Thu Chương Lý thuyết Polya 1.1 1.1.1 Khái niệm nhóm Quan hệ tương đương Giả thiết tập X = ∅ Tích đề X × X định nghĩa sau: X × X = {(x, y)|x, y ∈ X} Định nghĩa 1.1.1 Tập S X × X gọi quan hệ hai ngơi X Nếu (x, y) ∈ S ta nói x có quan hệ S với y viết xSy Định nghĩa 1.1.2 Giả thiết X = ∅ S = ∅ quan hệ hai X Quan hệ S gọi quan hệ tương đương X thỏa mãn ba điều kiện sau đây: (1) (Phản xạ) Với x ∈ X có xSx (2) (Đối xứng) Với x, y ∈ X, có xSy có ySx (3) (Bắc cầu) Với x, y, z ∈ X, có xSy ySz có xSz Khi S quan hệ tương đương X ta thường ký hiệu ∼ thay cho S Đặt C(x) = {y ∈ X|y ∼ x} gọi lớp tương đương với x làm đại diện Dễ dàng tính chất sau: Mệnh đề 1.1.3 Với quan hệ tương đương ∼ X = ∅ ta có (1) Với x ∈ X có x ∈ C(x) (2) Với y, z ∈ C(x) có y ∼ z y, z ∼ x (3) Với x, y ∈ X, có C(x) ∩ C(y) = ∅ C(x) = C(y) (4) Tập thương X/ ∼ tập lớp tương đương không giao 1.1.2 Nhóm chuẩn tắc nhóm thương Trước tiên, ta nhắc lại số khái niệm ký hiệu nhóm Định nghĩa 1.1.4 Tập G = ∅ với phép tốn hai ngơi G × G → G, (x, y) → x.y gọi nhóm thỏa mãn ba điều kiện (1) (x.y).z = x.(y.z) với x, y, z ∈ G (2) Có phần tử e ∈ G, gọi đơn vị, thỏa mãn e.x = x.e = x với x∈G (3) Với x ∈ G có phần tử x ∈ G để x.x = x x = e Do tính x cho x nên x ký hiệu qua x−1 gọi phần tử nghịch đảo x Nhóm G gọi nhóm giao hốn hay nhóm abel x.y = y.x với x, y ∈ G Để đơn giản, nhiều thay cho tích x.y ta viết đơn giản xy đơi để biết phép tốn hai ngơi nhóm G ta thường viết (G, ) Đôi người ta thường ký hiệu phần tử đơn vị nhóm G Định nghĩa 1.1.5 Cho hai nhóm (G, ) (G , ◦) Ánh xạ φ : G → G gọi đồng cấu φ(xy) = φ(x) ◦ φ(y) thỏa mãn cho x, y ∈ G Đồng cấu φ gọi đẳng cấu song ánh Định nghĩa 1.1.6 Cho nhóm G Lực lượng G, ký hiệu |G|, gọi cấp G Nếu |G| < ∞ G gọi nhóm hữu hạn Định nghĩa 1.1.7 Tập H khác rỗng nhóm G thỏa mãn x.y ∈ H x−1 ∈ H, x, y ∈ H, gọi nhóm G Nhóm A nhóm G gọi nhóm chuẩn tắc G xax−1 ∈ A với a ∈ A, x ∈ G Giả thiết A nhóm nhóm G Ta ký hiệu hai tập sau: xA = {xa|a ∈ A}, Ax = {ax|x ∈ A} Tập xA gọi lớp ghép trái A X; Tập Ax gọi lớp ghép phải A G Ký hiệu tập thương G A qua G/A = {xA|x ∈ G} Tiếp tục, định nghĩa quan hệ ∼ nhóm G sau: Với x, y ∈ G, quan hệ x ∼ y x−1 y ∈ A Bổ đề 1.1.8 Quan hệ ∼ G quan hệ tương đương Chứng minh: Vì e ∈ A nên x−1 x = e ∈ G Vậy x ∼ x với x ∈ G Giả sử x, y ∈ G thỏa mãn x ∼ y Khi x−1 y ∈ A Vì A nhóm nên y −1 x = x−1 y −1 ∈ A Do y ∼ x Cuối cùng, giả sử x, y, z ∈ G thỏa mãn x ∼ y y ∼ z Khi x−1 y, y −1 z ∈ A ta có x−1 z = x−1 y.y −1 z ∈ A Từ suy x ∼ z Tóm lại, quan hệ ∼ G quan hệ tương đương Hệ 1.1.9 Với x, y ∈ G, xA = yA x−1 y ∈ A Chứng minh: Kết suy từ Bổ đề 1.1.8 Bổ đề 1.1.10 Với quan hệ tương đương ∼ G, lớp C(x) = xA với x ∈ G Chứng minh: Thật vậy, ∼ quan hệ tương đương theo Bổ đề 1.1.8 nên ta có lớp C(x) Lấy y ∈ C(x) Khi x ∼ y ta có x−1 y ∈ A Vậy, tồn a ∈ A để x−1 y = a Từ suy y = xa ∈ xA Do y lấy tùy ý nên C(x) ⊂ xA Lấy y ∈ xA Khi có a ∈ A để y = xa Vậy x−1 y = a ∈ A hay y ∼ x suy y ∈ C(x) Do y lấy tùy ý nên C(x) ⊃ xA Tóm lại C(x) = xA Định lý 1.1.11 Nhóm A nhóm chuẩn tắc nhóm G xA = Ax với x ∈ G Chứng minh: Giả thiết A nhóm chuẩn tắc nhóm G Lấy y = xa ∈ xA Vì A nhóm chuẩn tắc nên xax−1 ∈ A Vậy có b ∈ A để xax−1 = b suy y = xa = bx ∈ Ax Do y lấy tùy ý từ xA nên xA ⊂ Ax Tương tự có xA ⊃ Ax Tóm lại, xA = Ax với x ∈ G Ngược lại, Giả thiết xA = Ax với x ∈ G Với x ∈ G, a ∈ A có xa ∈ xA = Ax vậy, tồn b ∈ A để xa = bx hay xax−1 = b ∈ A Điều A nhóm chuẩn tắc nhóm G Định lý 1.1.12 Với nhóm chuẩn tắc A nhóm G, ánh xạ G/A × G/A → G/A, (xA, yA) → xyA phép toán hai tập thương G/A = {xA|x ∈ G} phép tốn hai ngơi lập thành nhóm Nhóm gọi nhóm thương G A Chứng minh: Ta có kết từ Bổ đề 1.1.10 Định lý 1.1.11 Có nhiều nhóm quan trọng sinh tập G Giả sử A tập khác rỗng nhóm G Chuẩn tắc hóa A G nhóm G định nghĩa NG (A) = {x ∈ G|xax−1 ∈ A, ∀ a ∈ A} Tâm hóa A G nhóm G định nghĩa CG (A) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ A} Tâm G nhóm G định nghĩa Z(G) = {x ∈ G|xa = ax, ∀ a ∈ G} Chú ý rằng, Z(G) = CG (G) Z(G) nhóm chuẩn tắc nhóm G Cấp phần tử x ∈ G số tự nhiên dương nhỏ r để xr = e Nếu ta ký hiệu nhóm cyclic x sinh qua < x > ta có < x >= {e, x, , xr−1 } r = | < x > | Chú ý cấp e 1.1.3 Định lý Lagrange hệ Trong phần chứng minh vài kết quan trọng lý thuyết nhóm Giả sử A nhóm nhóm hữu hạn G Chỉ số A G, ký hiệu qua |G : A| ind(A), định nghĩa |G/A| Định lý 1.1.13 [Lagrange] Với nhóm A nhóm hữu hạn G ta ln có |G| = |A||G : A| Chứng minh: Giả thiết G nhóm hữu hạn cấp n = |G| A nhóm G với m = |A| k = |G : A| Với x ∈ G ta định nghĩa ánh xạ fx : A → xA, a → xa Hiển nhiên, ánh xạ fx toàn ánh Từ xa = xb suy a = b Vậy fx đơn ánh Do vậy, fx song ánh suy m = |A| = |xA| Vì xA = C(x) tách biệt theo Mệnh đề 1.1.3 nên G phân thành k lớp phân biệt lớp chứa m phần tử Do |G| = mk = |A||G : A| Hệ 1.1.14 Cấp phần tử thuộc nhóm hữu hạn G ước số n = |G| Chứng minh: Xét nhóm A sinh phần tử a Cấp a |A| Vì |A| ước |G| theo Định lý 1.1.13 nên cấp phần tử A thuộc nhóm hữu hạn G ước số n = |G| Hệ 1.1.15 [Cauchy] Với nhóm abel hữu hạn G số nguyên tố p chia hết cấp n = |G| ln có phần tử G cấp p Chứng minh: Quy nạp theo cấp n nhóm G Lấy phần tử x ∈ G, x = e Nếu n = p G nhóm cyclic cấp p với phần tử sinh x theo Định lý 1.1.13 Vậy x có cấp p Bây giả thiết n > p tất nhóm G có cấp nhỏ n xét nhóm với cấp chia hết cho p Ta nhóm có phần tử cấp p Trước tiên, xét trường hợp cấp m phần tử x chia hết cho p Khi m = | < x > | = kp Vậy e = xm = (xk )p Từ suy | < xk > | = p xk có cấp p ... thức số Trong Mục 1.5 chứng minh Định lý Polya Chương gồm hai mục Mục 2.1 trình bày vài vận dụng Định lý Polya tốn tơ màu Mục 2.2 trình bày vài ví dụ việc vận dụng Định lý Polya tóan tổ hợp Trong... KHOA HỌC BÙI THỊ HÀ THU LÝ THUYẾT POLYA VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS ĐÀM VĂN NHỈ Thái Nguyên -... lại số kết lý thuyết Polya vài vận dụng Luận văn chia làm hai chương Chương gồm năm mục Mục 1.1 trình bày khái niệm nhóm Trong Mục 1.2 tập trung viết nhóm phép hốn vị Mục 1.3 dành để chứng minh