Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)Định lý Davenport suy rộng đối với đa thức trên trường đóng đại số, đặc số không và ứng dụng (Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————————————– PHẠM QUỐC THỊNH ĐỊNH LÝ DAVENPORT SUY RỘNG ĐỐI VỚI ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐĨNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHƠNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC —————————————– PHẠM QUỐC THỊNH ĐỊNH LÝ DAVENPORT SUY RỘNG ĐỐI VỚI ĐA THỨC TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60 46 0113 Người hướng dẫn khoa học: TS.VŨ HOÀI AN THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 newpage BẢNG KÍ HIỆU f n(f, a) T (f ) K R Hàm hữu tỷ Hàm đếm f điểm a Hàm độ cao f Trường đóng đại số, đặc số không Trường số thực i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Vũ Hồi An Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Thái Nguyên, Tháng năm 2015 ii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Trong [5], Hà Huy Khoái- Phạm Huy Điển đề cập đến Định lý Davenport sau đa thức trường số phức : Định lí A Giả sử f , g đa thức C cho f = g , f g khơng có khơng điểm chung Khi deg f ≤ deg(f − g ) − Khẳng định tương tự Định lí A số nguyên chưa chứng minh Một tổng quát Định lý Davenport hàm nguyên p-adic sau đề cập [7] trình bầy lại [6] Định lí B Cho f1m1 , , fnmn hàm ngun a-dic khơng có khơng điểm chung độc lập tuyến tính Cp ; m1 , , mn số nguyên dương Khi   n 1− i=1 n−1 mi max 1≤i≤n T r, fimi  ≤N r, n i=1 fimi  n (n − 1) − log r + O (1)  Phương pháp chứng minh Định lí B sử dụng hai Định lý lý thuyết phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình p - adic Dưới góc độ lý thuyết phân bố giá trị cho đường cong chỉnh hình p - adic, cơng việc tương tự Định lí B đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng đề cập [1] Mặt khác, Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng có ứng dụng tốn học phổ thông Theo hướng nghiên cứu này, xem xét vấn đề: Định lý Davenport suy rộng đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng ứng dụng Mục đích, nhiệm vụ phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, trình bầy lại giảng [1] Định lý Davenport suy rộng đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng Các kết cơng việc có tựa đề Định lý Davenport suy rộng đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng Đưa ví dụ tốn học phổ thơng thể tương tự Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng với hàm số biến số thực số nguyên Nội dung nghiên cứu Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng Sự tương tự Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng với hàm số biến số thực số nguyên thể qua 21 ví dụ Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, tài liệu tham khảo, luận văn gồm phần sau Chương 1: Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số không 1.1 Phân bố giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc số khơng 1.2 Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng Chương 2: Định lý Davenport suy rộng đa thức trường đóng đại số, đặc số không 2.1 Định lý Davenport suy rộng đa thức trường đóng đại số, đặc số không 2.2 Sự tương tự Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số không với hàm số biến số thực số nguyên Mục lục BẢNG KÍ HIỆU LỜI CẢM ƠN Mở đầu i ii ii ĐỊNH LÝ DAVENPORT ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐĨNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHƠNG 1.1 Phân bố giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc số không 1.2 Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số không 12 ĐỊNH LÝ DAVENPORT SUY RỘNG ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐÓNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHÔNG VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Định lý Davenport suy rộng đa thức trường đóng đại số, đặc số không 2.2 Sự tương tự Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng với đa thức biến số thực số nguyên Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO 16 16 21 40 41 Chương ĐỊNH LÝ DAVENPORT ĐỐI VỚI HÀM HỮU TỶ TRÊN TRƯỜNG ĐĨNG ĐẠI SỐ, ĐẶC SỐ KHƠNG Định lý Davenport phát biểu [5] chưa chứng minh Trong [1], Định lý Davenport xem xét góc độ phân bố giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc số khơng Vì vậy, chương này, trước hết chúng tơi trình bày lại phân bố giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc số khơng Mục 1.1 Nội dung phần đề cập [1] trình bày lại [3] Ở mục 1.2 chúng tơi trình bày lại phát biểu chứng minh Định lý Davenport đề cập [1] Nội dung phần đề cập [1] trình bày lại 1.1 Phân bố giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc số không Một trường K gọi đóng đại số đa thức ẩn khác với hệ số K có nghiệm K Trường số phức C trường đóng đại số đa thức khác thuộc C [x] có nghiệm C Trường Q khơng trường đóng đại số đa thức P (x) = x4 + khơng có nghiệm Q hệ số đa thức thuộc Q Trường R không trường đóng đại số đa thức P (x) = có nghiệm R hệ số đa thức thuộc R √ 3x + không Tiếp theo, ta định nghĩa khái niệm đặc số trường đóng đại số Số gọi đặc số trường K n1 = với số tự nhiên n > Nếu có số tự nhiên n = cho n1 = số nhỏ thỏa mãn tính chất gọi đặc số trường K, ký hiệu char(K) Ví dụ, trường Q có đặc số 0, trường Z11 có đặc số 11 11.1 ≡ 11 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn điều kiện Nếu char(K) = n > nx = với x ∈ K nx = n(1x) = (n1)x = 0x Từ trở đi, ta ln ký hiệu K trường đóng đại số, đặc số không Giả sử f đa thức khác có bậc n K a khơng điểm f Khi ta viết f = (z − a)m P (z) với P (a) = l số nguyên dương Ta gọi m bội khơng điểm a đặt µ0f (a) = m Ký hiệu n(f ) số khơng điểm f tính bội; n(f, d) = n(f − d); q {mi ; l}; f = (z − a1 )m1 (z − aq )mq ; nl (f ) = i=1 n1 (f, d) = n1 (f − d); n0 (f ) = q ; n0 (f, d) = n0 (f − d); T (f ) = deg f Chú ý n1 (f ) số không điểm f mà khơng điểm tính với bội 1, n0 (f ) số không điểm phân biệt f Ta có n1 (f ) = n0 (f ) Ví dụ 1.1 Xét đa thức f (x) = (x + 1)2 (x + 2)3 (x + 4)5 R Ta có -1, -2, -4 khơng điểm phân biệt f với bội 2, 3, Mặt khác n0 (f ) = 3, n6 (f ) = 10, n2 (f ) = 6, n4 (f ) = 9; deg f = 10 Ví dụ 1.2 Xét đa thức f (x) = (x + 1)2 (x + 2)3 (x + 4)5 (x2000 + 1) R Ta có n0 (f ) = = n1 (f ), n6 (f ) = 10, n2 (f ) = 6, n4 (f ) = 9; deg f = 2010; n(f ) = 10 Ví dụ 1.3 Xét đa thức f (x) = (x + 1)2 (x + 2)3 (x + 4)5 (x2000 + 1) C Ta có n0 (f ) = = n1 (f ), n6 (f ) = 2010, n4 (f ) = 2009; deg f = 2010; n(f ) = 2010 = deg f Giả sử f = ff21 hàm hữu tỷ K, f1 , f2 ∈ K[x] khơng có khơng điểm chung K, d ∈ K, ta ký hiệu n(f ) = n(f1 ); n(f, d) = n(f1 − df2 ); n1 (f ) = n1 (f 1); n1 (f, d) = n1 (f1 − df2 ); n0 (f, d) = n0 (f1 − df2 ); n(f, ∞) = n(f2 ) n1 (f, ∞) = n1 (f2 ); n0 (f, ∞) = n0 (f2 ) deg f = deg f1 − deg f2 ;T (f ) = max {deg f1 , deg f2 } Ví dụ 1.4 Xét hàm hữu tỷ sau K (x − 1)4 (x − 5)7 (x − 4)9 (x − 9) f (x) = (x + 1)3 (x + 2)2 (x + 3)5 (x − 3) Ta có không điểm f 1, 4, 5, µ0f (1) = 4, µ0f (5) = 7, µ0f (4) = 9, µ0f (9) = ∞ ∞ Ta có cực điểm f -1, -2, -3, µ∞ f (−1) = 3, µf (−2) = 2, µf (−3) = Lấy l = 9, ta có n9 (f ) = + + +1 = 21, n9 (f, ∞) = + + + = 11 Lấy l = 5, ta có n5 (f ) = 15, n5 (f, ∞) = 11 Lấy l = 1, ta có n1 (f ) = 4, n1 (f, ∞) = 4, n0 (f ) = 4, n0 (f, ∞) = Ta có deg f = (4 + + + 1) − (3 + + + 1) = 10, T (f ) = 21 Định nghĩa 1.1 Đường cong hữu tỷ f : K → P n (K) lớp tương đương (n + 1) đa thức (f1 , , fn+1 ) cho f1 , , fn+1 khơng có khơng điểm chung K Hai (n + 1) đa thức (f1 , , fn+1 ) (g1 , , gn+1 ) tương đương với tồn c ∈ K∗ cho gi = cfi với i = 1, , n + Ký hiệu f˜ = (f1 : : fn+1 ) biểu diễn f Khi ta viết f : K → P n (K) z → f˜(z) = (f1 (z) : : fn (z)) Giả sử f g hai đường cong hữu tỷ từ K vào P n (K) với hai biểu diễn f˜ = (f1 (z) : : fn+1 (z)) g˜ = (g1 (z) : : gn+1 (z)) tương ứng Ta nói f đồng g viết f ≡ g tồn c ∈ K∗ cho gi = cfi với i = 1, , n + Định nghĩa 1.2 Độ cao đường cong hữu tỷ f từ K vào P n (K) với biểu diễn f˜ = (f1 : : fn+1 ) xác định T (f ) = max deg fi , deg fi bậc 1≤i≤n+1 đa thức fi với i = 1, , n + Nhận xét 1.1 Độ cao đường cong hữu tỷ f xác định Thật vậy, f đường cong hữu tỷ với f˜ = (f1 : : fn+1 ) g˜ = (g1 : : gn+1 ) ... 2: Định lý Davenport suy rộng đa thức trường đóng đại số, đặc số không 2.1 Định lý Davenport suy rộng đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng 2.2 Sự tương tự Định lý Davenport đa thức trường đóng. .. Chương 1: Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng 1.1 Phân bố giá trị hàm hữu tỷ trường đóng đại số, đặc số khơng 1.2 Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số không. .. tự Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số khơng với hàm số biến số thực số nguyên Nội dung nghiên cứu Định lý Davenport đa thức trường đóng đại số, đặc số không Sự tương tự Định lý