Đang tải... (xem toàn văn)
Bất đẳng thức vi phân. Nghiên cứu và tìm hiểu bất đẳng thức vi phân và phương pháp giải một số bài toán bất đẳng thức vi phân trong toán học. Bất đẳng thức vi phân. Nghiên cứu và tìm hiểu bất đẳng thức vi phân và phương pháp giải một số bài toán bất đẳng thức vi phân trong toán học. Bất đẳng thức vi phân. Nghiên cứu và tìm hiểu bất đẳng thức vi phân và phương pháp giải một số bài toán bất đẳng thức vi phân trong toán học.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN NGỌC HOAN BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN DUY THÁI SƠN Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng Các kết quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Hoan MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 HÀM ĐƠN ĐIỆU 1.1.1 Bổ đề Zygmund 1.1.2 Điều kiện cần đủ cho tính đơn điệu hàm liên tục 1.1.3 Điều kiện đủ để hàm đơn điệu 10 1.2 NGHIỆM CỰC ĐẠI VÀ NGHIỆM CỰC TIỂU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG 11 1.2.1 Một số kí hiệu định nghĩa 11 1.2.2 Định nghĩa nghiệm cực đại nghiệm cực tiểu phương trình vi phân thường 12 1.2.3 Bổ đề bất đẳng thức vi phân thường theo nghĩa mạnh 17 1.2.4 Một số khái niệm định lí phương trình vi phân thường 19 1.2.5 Sự tồn địa phương nghiệm cực đại bên phải 23 1.2.6 Sự tồn toàn cục nghiệm cực đại nghiệm cực tiểu 25 1.2.7 Sự phụ thuộc liên tục nghiệm cực đại nghiệm cực tiểu vào kiện đầu vế phải phương trình 34 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP MỘT 41 2.1 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP MỘT 41 2.2 ĐIỀU KIỆN V+ (V- ) TRONG BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 45 2.3 MỘT SỐ BIẾN THỂ CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN 47 2.4 HỆ SO SÁNH 49 2.5 ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 57 CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP CAO 64 3.1 MỞ ĐẦU 64 3.2 NGHIỆM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP n 66 3.3 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP n 67 3.4 PHƯƠNG TRÌNH SO SÁNH CẤP n 71 3.5 ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 72 3.6 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 75 KẾT LUẬN 79 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Có thể nói: lý thuyết bất đẳng thức vi phân “thường” nghiên cứu cách hệ thống năm 1930 Chaplygin, Kamke, Wazewski Lý thuyết có nhiều ứng dụng, đặc biệt vấn đề như: đánh giá nghiệm phương trình vi phân, khoảng tồn nghiệm này, hiệu hai nghiệm; vấn đề tiêu chuẩn nhất, tính ổn định nghiệm phương trình vi phân; vấn đề sai số nghiệm xấp xỉ… Nhận thức tầm quan trọng lý thuyết bất đẳng thức vi phân, gợi ý TS Nguyễn Duy Thái Sơn, chọn đề tài: “BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN” để hoàn thành luận văn Thạc sĩ Toán học Mục tiêu nghiên cứu Trình bày cách hệ thống khép kín vấn đề lý thuyết bất đẳng thức vi phân thường Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu bất đẳng thức vi phân thường cấp số bất đẳng thức vi phân thường cấp cao Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu bất đẳng thức vi phân thường cấp số bất đẳng thức vi phân cấp cao Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu nguồn tài liệu, phân tích giải thích cặn kẽ chứng minh, tìm ví dụ minh họa, tổng hợp kiến thức thu trình nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Sau cho phép bảo vệ, góp ý thầy cô hội đồng, luận văn dùng làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học quan tâm đến lĩnh vực Do thời gian nghiên cứu không nhiều nên số nội dung hay mà luận văn chưa đề cập đến Tôi tiếp tục nghiên cứu bổ sung thường xuyên để nội dung luận văn phong phú Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành ba chương : Chương 1: Các kiến thức liên quan Trình bày có hệ thống khái niệm, tính chất, định lí liên quan đến nghiệm cực đại, cực tiểu phương trình vi phân, sở lí thuyết để giải vấn đề hai chương sau Chương 2: Bất đẳng thức vi phân thường cấp Trình bày có hệ thống khép kín bất đẳng thức vi phân thường cấp một, số biến thể bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức vi phân hệ so sánh Chương 3: Bất đẳng thức vi phân thường cấp cao Trình bày có hệ thống khép kín bất đẳng thức vi phân thường cấp cao, bất đẳng thức vi phân phương trình so sánh cấp n số bất đẳng thức tích phân CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Toàn kết chương tham khảo tài liệu [3] 1.1 HÀM ĐƠN ĐIỆU 1.1.1 Bổ đề Zygmund Một hàm số thực ( t ) xác định khoảng gọi tăng khoảng với hai điểm t1 , t2 mà t1 t2 suy (t1 ) (t2 ) Hàm ( t ) gọi tăng ngặt khoảng với hai điểm t1 , t2 mà t1 t2 suy (t1 ) (t2 ) Một cách tương tự việc định nghĩa hàm giảm giảm ngặt Với hàm số (t ) xác định lân cận điểm t0 , ta kí hiệu D ( t ) , D ( t ) , D ( t ) , D ( t ) đạo hàm (theo định nghĩa) Dini phía bên phải, phía bên trái, phía bên phải, phía bên trái điểm t D ( t ) l i m s u p ( t0 h ) ( t0 ) h D ( t ) l i m s u p ( t0 h ) ( t0 ) h D ( t ) l i m i n f ( t0 h ) ( t0 ) h D ( t ) l i m i n f ( t0 h ) ( t0 ) h h h h h (không loại trừ giá trị ) Ta kí hiệu (t ) , (t ) đạo hàm bên trái đạo hàm bên phải hàm (t ) điểm t Bất đẳng thức a có nghĩa a hữu hạn, dương a Các bất đẳng thức a , a , a xác định cách tương tự Ví dụ 1.1 Xét hàm số t t (t ) = 0 t \ Ta chứng minh (0) không tồn tại, điều có nghĩa ta giới hạn sau không tồn lim h 0 (0 h ) (0) ( h) lim h 0 h h Thậy vậy, chọn dãy (tn ) n1 : tn 0, tn 0, tn (0 tn ) (0) (t ) lim n () n n t tn n lim Mặt khác, chọn dãy (un ) n1 : un 0, un 0, un \ (0 un ) (0) ( un ) lim ( ) n n un un lim Từ () ( ) suy lim h 0 (0 h) (0) (h ) lim không tồn tại, hay h 0 h h (0) không tồn Mặc dù vậy, đạo hàm Dini phía bên phải đạo hàm Dini phía bên phải điểm t0 tồn tại, cụ thể (0 h) (0) h 0 h (h) lim inf 0 h h D (0) lim inf (0 h ) (0) h h 0 (h ) limsup 1 h h 0 D (0) lim sup Bổ đề Zugmund Cho ( t ) hàm liên tục khoảng đặt Z {t : D (t ) 0} Khi tập ( \ Z ) không chứa khoảng (t ) giảm khoảng Chứng minh Giả sử phản chứng ( t ) không giảm khoảng , tồn t1 , t2 thuộc mà t1 t2 cho (t1 ) (t2 ) Khi ( \ Z ) không chứa khoảng ( (t1 ), (t2 )) , lúc có y0 ( (t ), (t )) cho (1.1) y0 ( \ Z ) Do (t ) liên tục nên theo tính chất Darboux tập hợp E {t (t1 , t2 ) : (t ) y0 } không rỗng Đặt t0 cận bé E Ta có t0 (t1 , t2 ) (1.2) ( t0 ) y0 (1.3) ( t ) y0 với t0 t t2 Từ (1.1) (1.2) suy t0 Z (1.4) D ( t0 ) Mặt khác theo (1.2) (1.3) suy D ( t ) l im i n f h 0 ( t0 h ) ( t0 ) h Kết mâu thuẫn với (1.4), suy ( t ) giảm khoảng Vậy bổ đề chứng minh Nhận xét 1.1 Từ (1.2) (1.3) suy D ( t ) , tập Z Bổ đề Zugmund thay tập Z {t : D ( t ) 0} Nhận xét 1.2 Tập Z Bổ đề Zugmund thay tập Z {t : D (t ) 0} (hoặc tập Z {t : D (t ) 0} ) Việc chứng minh bổ đề sau thay tập Z tập Z (hay Z ) thực tương tự trên, ta thay đổi việc lấy t0 cận lớn E 1.1.2 Điều kiện cần đủ cho tính đơn điệu hàm liên tục Định lí 1.1 Cho ( t ) hàm liên tục khoảng Điều kiện cần đủ để (t ) giảm tập \ Q không đếm được, với Q {t : D (t ) 0} Chứng minh a) Điều kiện cần Giả sử (t ) giảm , với t thuộc h >0 cho t t h ta có (t ) ( t h ) dẫn đến (t h ) (t ) 0 h suy D φ ( t ) lim in f h φ (t h ) φ (t ) 0, t Δ h nên Δ \ Q tập rỗng (tập rỗng tập không đếm được) b) Điều kiện đủ Giả sử Δ \ Q tập không đếm Lấy ε tùy ý, đặt ψ ( t ) φ( t ) εt φ(t ) hàm liên tục khoảng nên ψ ( t ) liên tục Δ , suy Dψ (t ) D φ(t ) εt Dψ (t ) 0, t Q Đặt Z {t Δ : Dψ (t ) 0} Q Z Δ \ Z Δ \ Q Do Δ \ Q không đếm nên Δ \ Z không đếm ψ (Δ \ Z ) không đếm Theo tính chất tập không đếm ψ (Δ \ Z ) không chứa khoảng nào, áp dụng Bổ đề Zugmund suy 66 (j=0, 1,…, n-1) vế phải phương trình (3.1) gọi thỏa điều kiện W Y D Rõ ràng, trường hợp vế phải hệ (3.3) thỏa điều kiện W (như mục 2.1) ĐIỀU KIỆN W Vế phải phương trình (3.1) gọi thỏa điều kiện W vế phải phương trình chuyển đổi (3.8) thỏa điều kiện W Điều có nghĩa với hai điểm (t ,Y ) ( t , y0 , , yn 2 , y n1 ) D (t ,Y ) ( t, y , , y n 2 , yn1 ) D cho ( 1)i yi ( 1)i y i (i=0, 1,…, n-2) bất đẳng thức sau ( 1) n ( t , Y ) ( 1) n ( t , Y ) 3.2 NGHIỆM CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG CẤP n 0 Một nghiệm (t ; t0 , Y0 ) ( t; t0 , y , , y n 1 ) ( (t; t0 , Y0 )) phương trình (3.1) thỏa điều kiện ban đầu (3.2) xác định khoảng t0 , gọi nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên phải (3.1) qua (t0 , Y0 ) nghiệm tương ứng hệ (3.3) với điều kiện ban đầu (3.4) nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên phải (3.3) qua ( t0 , Y0 ) Sự liên quan nói nghiệm y(t) (3.1) thỏa điều kiện đầu (3.2) xác định khoảng t0 , bất đẳng thức sau thỏa mãn với t y ( j ) (t ) (t , t0 , Y0 ) ( j) ( j) ( y ( j ) (t ) (t , t0 , Y0 ) ) (j=0,1,…,n-1) 0 Một nghiệm ( t; t0 ,Y0 ) (t ; t0 , y , , y n 1 ) ( (t ; t0 , Y0 )) ( (t ; t0 , Y0 )) phương trình (3.1) thỏa điều kiện ban đầu (3.2) xác định khoảng ( , t0 ] gọi nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên trái (3.1) qua 67 (t0 , Y0 ) qua ánh xạ (3.6) chuyển đổi thành nghiệm cực đại ( cực 0 tiểu) phía bên phải hệ chuyển đổi (3.8) qua ( t0 , y , y ,( 1) n 1 y n 1 ) Sự tương đương nói nghiệm y(t) (3.1) thỏa điều kiện đầu (3.2) xác định khoảng ( , t0 ] bất đẳng thức sau thỏa mãn với t ( 1) j y ( j ) ( t ) ( 1) j ( t ; t0 , Y0 ) ( j) ( j) ( ( 1) j y ( j ) ( t ) ( 1) j ( t ; t0 , Y0 ) ) (j=0,1,…,n-1) Ta nhận định lí sau kết trực tiếp Định lí 1.9 với cách định nghĩa nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên phải phương trình vi phân cấp n Định lí 3.1 Cho vế phải phương trình (3.1) liên tục thoả điều kiện W Y ( y0 , y1 , , y n1 ) miền mở D Khi đó, qua điểm (t0 , Y0 ) D có nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên phải (3.1) tiếp cận biên D tận phía bên phải Tương tự, định lí sau kết trực tiếp Định lí 1.10 với cách định nghĩa nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên trái phương trình vi phân cấp n Định lí 3.2 Cho vế phải phương trình (3.1) liên tục thoả điều kiện W Y ( y0 , y1 , , yn1 ) miền mở D Khi đó, qua điểm (t0 , Y0 ) D có nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên trái (3.1) tiếp cận biên D tận phía bên trái 3.3 CÁC ĐỊNH LÍ CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC VI PHÂN THƯỜNG CẤP n Nhận xét 3.1 Xét bất đẳng thức vi phân cấp n có dạng (3.11) D ( n1) ( t ) ( t , (t ), (t ), , ( n1) ( t )) 68 với bất đẳng thức đầu (3.12) ( j ) ( t0 ) y j ( j 0,1, , n 1) với ( t ) C n 1 (lớp hàm liên tục khả vi cấp n-1) Rõ ràng (t ) nghiệm (3.11) thoả (3.12) ( ( t ), , n 1 (t )) xác định công thức (3.13) j ( t ) ( j ) (t ) ( j 0,1, , n 1) nghiệm hệ (3.14) d i (t ) i 1 ( t ) (i 0,1, , n 2) dt D n 1 ( t ) ( t , ( t ), ( t ), , n 1 ( t )) với bất đẳng thức đầu (3.15) j ( t0 ) y j ( j 0,1, , n 1) Qua nhận xét kết mục 3.1, 3.2 ta nhận định lí sau từ Định lí 1.11 1.12 áp dụng hệ (3.14) Định lí 3.3 Cho vế phải phương trình (3.1) liên tục thoả điều kiện W 0 Y ( y0 , y1 , , yn 1 ) miền mở D Lấy ( t , Y ) ( t , y , , y n 1 ) D xét nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên phải (t; t0 , Y0 ) ( ( t; t0 , Y0 )) (3.1) qua ( t , Y ) xác định khoảng t0 , tiếp cận biên D tận phía phải Giả sử ( t ) C n 1 xác định t0 , (t , ( t ), ( t ), , ( n1) ( t )) D Với giả thiết đó, (3.16) ( j ) (t0 ) y j ( ( j ) ( t0 ) y j ) ( j 0,1, , n 1) (3.17) D ( n 1) (t ) (t , ( t ), ( t ), , ( n1) ( t )), t ( D ( n1) ( t ) ( t , (t ), (t ), , ( n 1) (t )) ) 69 ta có ( j ) ( t ) [ (t ; t0 , Y0 )]( j ) ( j 0,1, , n 1), t ( ( j ) (t ) [ ( t; t0 ,Y0 )]( j ) ) Nhận xét 3.2 Ta giải thích Định lí 3.3 phải yêu cầu (t ) C n 1 khoảng Với mục đích đó, ta đưa kí hiệu sau, hàm (t ) D(0) (t ) (t ), t D( j 1) ( t ) D ( D( j ) (t )), t D( j ) (t ) xác định Bây thay xét (3.17) ta xét bất đẳng thức vi phân (3.18) D ( n1) ( t ) ( t , (t ), D(1) ( t ), , D( n 1) (t )), t với bất đẳng thức đầu (3.19) D( j ) ( t0 ) y j , ( j 0,1, , n 1) hàm có tất đạo hàm D( j ) ( j 0,1, , n 1) xác định Hiển nhiên ( t ) nghiệm (3.18) thỏa (3.19) ( ( t ), , n 1 (t )) , xác định công thức j ( t ) D( j ) (t ), ( j 0,1, , n 2) nghiệm hệ (3.20) D i (t ) i 1 ( t ) (i 0,1, , n 2) D n1 ( t ) (t , ( t ), 1 ( t ), , n1 (t )) với bất đẳng thức đầu (3.15) Nó kéo theo biến thể mạnh Định lí 10.1 thay (3.17) (3.18) tương đương với Định lí 1.11 hệ (3.19) Nhưng Định lí 1.11 yêu cầu hàm j ( t ) ( j 0,1, , n 1) phải liên tục khoảng Do đó, tính liên tục đạo hàm D( j ) ( t ) với 70 ( j 0,1, , n 1) cần thiết biến thể Định lí 3.3; từ Hệ 1.2 liên tục D( j ) (t ) suy tồn liên tục ( j ) (t ) Bây giờ, ý ta sử dụng ánh xạ (3.6) đặt ( ) ( ) , bất đẳng thức đầu (3.16) chuyển đổi thành ( 1) j ( j ) ( t0 ) ( 1) j [( 1) j y j ] ( j 0,1, , n 1) bất đẳng thức vi phân (3.17) chuyển đổi thành ( 1)n D ( n 1) ( ) (1)n [(1)n ( , ( ), ( ), ,( 1) n1 ( n1) ( ))] Do đó, sử dụng ánh xạ (3.6) kết 3.1, 3.2 ta nhận định lí từ Định lí 3.3 Định lí 3.4 Cho vế phải phương trình (3.1) liên tục thoả điều kiện W Y miền mở D Lấy ( t , Y ) D xét nghiệm cực đại (cực tiểu) phía bên trái ( t; t0 , Y0 ) ( (t ; t0 , Y0 )) (3.1) qua ( t , Y ) xác định khoảng ( , t0 ] tiếp cận biên D tận phía bên trái Giả sử (t ) C n 1 xác định ( , t0 ] (t , ( t ), ( t ), , ( n1) ( t )) D Với giả thiết đó, 0 (1) j ( j ) (t0 ) (1) j y j ( (1) j ( j ) (t0 ) ( 1) j y j ) ( j 0,1, , n 1) ( 1) n D ( n 1) (t ) ( 1) n ( t, (t ), (t ), , ( n 1) (t )), t (( 1) n D ( n1) ( t ) ( 1) n (t, ( t ), ( t ), , ( n1) ( t )) ta có ( 1) j ( j ) ( t ) ( 1) j [ ( t; t0 ,Y0 )]( j ) (( 1) j ( j ) (t ) ( 1) j [ (t ; t0 , Y0 )]( j ) ) ( j 0,1, , n 1), t 71 3.4 PHƯƠNG TRÌNH SO SÁNH CẤP n Phương trình (3.1) gọi phương trình so sánh cấp n hệ tương ứng (3.3) hệ so sánh loại I, tức vế bên phải (t , y0 , y1 , , yn1 ) hệ (3.3) không âm, liên tục thỏa điều kiện W Y miền Q : t 0, y j 0, ( j 0,1, , n 1) , Từ Mệnh đề 2.1 ta suy kết sau Qua điểm (0, H ) (0,0 , ,n 1 ) có nghiệm cực đại bên phải phương trình so sánh cấp n, kí hiệu ( t; H ) khoảng cực đại tồn nghiệm ( H ) [0, ( H )) Hơn nữa, ta có ( H ) ( H ) hữu hạn n 1 lim ( t; H ) lim t t [ ( j) (t ; H )]2 j 0 Định lí so sánh Cho phương trình so sánh cấp n có dạng (3.1) (t ) C n1 khoảng [0, ) giả sử ( j ) (t ) ( j 0,1, , n 1) Nếu ( j ) (0) j ( j 0,1, , n 1) D ( n1) ( t ) ( t , (t ), , ( n1) (t )) với t ( j ) ( t ) ( j ) (t ; H ) ( j 0,1, , n 1) với t ( H ) , (t ; H ) nghiệm cực đại phía bên phải (3.1) qua điểm (0, H ) (0, 0 , , n 1 ) Định lí kết trực tiếp Định lí 3.3 72 3.5 ƯỚC LƯỢNG GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Nhận xét 3.3 Cho phương trình so sánh cấp n có dạng (3.1) xét bất đẳng thức vi phân hàm ( x ) C n1 D ( n1) ( x ) ( x x0 , ( x ) , ( x ) , , ( n 1) ( x ) (3.21) Ta thấy ( x ) nghiệm (3.21) ( ( x ), , n1 ( x )) xác định công thức j ( x) ( j ) ( x) ( j 0, , n 1) nghiệm hệ di i1 dx (3.22) ( j 0,1, , n 2) Dn1 ( x x0 , 0 , , n1 Từ Nhận xét 3.3 Định lí 2.8 ta nhận định lí sau Định lí 3.5 Cho phương trình so sánh cấp n có dạng (3.1) giả sử hàm ( x ) C n1 khoảng x x0 Khi đó, ( j ) ( x0 ) j ( j 0, , n 1) D ( n1) ( x ) ( x x0 , ( x ) , ( x) , ( n1) ( x) , x x0 ta có bất đẳng thức ( j ) ( x) ( j ) ( x x0 ; H ) ( j 0, , n 1) với x x0 ( ,0 (H)) , ( t; H ) nghiệm cực đại phía bên phải (3.1) qua (0, H ) (0,0 , ,n 1 ) , xác định khoảng [0, ( H )) Từ Định lí 2.9 ta nhận định lí sau Định lí 3.6 Dưới giả thiết Định lí 3.5 giả sử thêm phía bên phải phương trình so sánh cấp n có dạng (3.1) thỏa điều kiện W ( j ) (x0 ) j (( j ) (x0 ) j 0) ( j 0, , n 1) 73 Khi đó, ta có (3.23) ( j ) ( x ) 2 j ( j ) ( x x0 ; H ) ( ( j ) ( x ) 2 j ( j ) ( x x0 ; H ) ( j 0,1, , n 1) khoảng x x0 ( ,0 ( H )) Như hệ trực tiếp Định lí 3.6 ta có kết sau Định lí 3.7 Dưới giả thiết Định lí 3.6, giả sử j j ( j j 0) ( j 0,1, , n 1) Kí hiệu t j nghiệm nhỏ phương trình (3.24) 2 j ( j ) (t; H ) j (2 j ( j ) (t; H ) j ) nghiệm tồn khoảng t , không tồn ta đặt t j Dưới giả thiết đó, ta có (3.25) ( j ) ( x ) j ( ( j ) ( x ) j ) ( j 0,1, , n 1) khoảng (3.26) x x0 min( , , t0 , , tn 1 ) Chứng minh Ta có 2 j ( j ) (0; H ) j j Mặt khác, ( j ) ( t ; H ) hàm tăng nên 2 j ( j ) ( t; H ) hàm giảm, kết hợp với cách định nghĩa t j , ta nhận 2 j ( j ) (t ; H ) j (j=0,…,n-1) khoảng t min( , , t0 , , tn1 ) Rõ ràng 2 j ( j ) ( x x0 ; H ) j (j=0, ,n-1) khoảng x x0 min( , , t1 , , tn ) Do đó, từ (3.24) ta nhận (3.25) khoảng (3.26) Ví dụ 3.1 Cho hàm ( x ) C khoảng 74 x x0 (3.27) Giả sử (x ) thỏa bất đẳng thức ban đầu ( x0 ) 0 ; ( x0 ) 1 bất đẳng thức vi phân D ( x ) ( x ) ( 0) Phương trình so sánh cấp hai y (t ) y ( t ) nghiệm thỏa điều kiện đầu y (0) 0 , y (0) 1 , (t ) 1 t ( e 1) 0 Theo Định lí 3.5 ta nhận ( x) 1 x x (e 1) 0 , ( x ) 1e x x 0 khoảng (3.27) Hơn nữa, giả sử ( x0 ) 0 0, ( x0 ) 1 , theo Định lí 3.6 ta có ( x ) 0 1 t ( e 1) , ( x ) 21 1e x x khoảng (3.27) Cuối giả sử thêm 0 0 0, 1 1 0, Khi đó, phương trình (3.24) có dạng 0 1 t (e 1) 0 , 21 1et 1 75 Các nghiệm phương trình t0 (0 0 ) ln , t1 ln 1 1 1 Từ Định lí 3.7, ta có ( x ) 0 , ( x ) 1 khoảng x x0 min( , t0 , t1 ) 3.6 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Mệnh đề 3.1 Cho i (t , y1 , , yn ) (i 1, , n) liên tục miền mở D 0 (t0 , Y0 ) ( t0 , y , , y n ) D Giả sử (t ) (1 ( t ), , n ( t )) liên tục khoảng [t0 , ) (t , ( t )) D Dưới giả thiết đó, (3.28) (t0 ) Y0 D i (t ) i (t , y1 , , yn ), (3.29) t [t0 , ), (i 1, , n) (3.30) t (t )i yi i ( ,1 ( ), ,1 ( ))d , t [t0 , ), (i 1, , n) t0 Chứng minh Xét hàm chuyển đổi Picard (t ) t i (t ) i (t ) i ( , ( ))d (i 1, , n ) 0 Hàm i (t ) liên tục [t , ) từ (3.29) ta có D i (t ) Di (t ) i ( , ( )) 0, t [t0 , ) Theo Nhận xét 1.3 i (t ) hàm giảm [t , ) từ (3.28) ta nhận i ( t ) i (t0 ) y i , t [t0 , ), (i 1, , n ) điều tương đương với (3.30) Mệnh đề chứng minh 76 Nhận xét 3.4 Với giả thiết Mệnh đề 3.1, giả sử i ( t , Y ) thỏa điều kiện W Y D, theo Định lí 1.11 từ bất đẳng thức (3.28) (3.29) ta nhận (3.31) (t ) (t ; t0 , Y0 ), t0 t min( , ) với (t; t0 , Y0 ) nghiệm cực đại bên phải hệ (1.8) qua (t , Y0 ) , tiếp cận biên D tận phía bên phải, xác định [t , ) Tiếp theo, ta chứng tỏ (3.31) yếu so với bất đẳng thức (3.30), với điều kiện thay điều kiện W điều kiện mạnh W Trên thực tế, ta có kết sau Định lí 3.8 Cho i (t , y1 , , yn ) (i 1, , n) liên tục miền mở D D (t , Y ) : a t b, Y tùy ý 0 thỏa điều kiện W Lấy (t0 ,Y0 ) (t0 , y1 , , y n ) D Giả sử (t ) (1 (t ), , n (t )) liên tục khoảng [t0 , ) (t , ( t )) D Dưới giả thiết đó, t (3.32) i (t ) yi i ( ,1 ( ), ,1 ( ))d , t [t0 , ), (i 1, , n) t0 (t ) ( t; t0 ,Y0 ), t t min( , ) (3.33) (t ; t0 , Y0 ) nghiệm cực đại phía bên phải hệ (1.8) qua (t0 ,Y0 ) xác định [t0 , ) Chứng minh Đặt t i (t ) yi i ( ,1 ( ), ,1 ( ))d , t [t0 , ), (i 1, , n) t0 Từ (3.32) từ điều kiện W , ta có i(t ) i ( ,1 (t ), ,1 (t ) i ( , 1 (t ), , n (t ) t [t0 , ), (i 1, , n) 77 Hơn nữa, i(t0 ) y i ; từ Định lí 1.11, ta nhận i (t ) i (t ; t0 , Y0 ), t t min( , ), (i 1, , n) (3.34) Từ (3.32) cách đặt i (t ) suy i (t ) i ( t ), t [t0 , ), (i 1, , n ) (3.35) Từ (3.34) (3.35) dẫn đến i ( t ) i (t ; t0 , Y0 ), t t min( , ), (i 1, , n ) Định lí chứng minh Từ Định lí 3.8 ta nhận hệ sau: Hệ 3.1 Dưới giả thiết Định lí 13.1, ta giả sử t (3.36) i (t ) i (t ) i ( ,1 ( ), , n ( ))d , t [t0 , ), (i 1, , n) t0 với (t ) ( ( t ), , n (t )) liên tục [t0 , ) Khi ta có (t ) (t ) v (t ), t0 t min( , ) (3.37) v (t ) nghiệm cực đại phía bên phải qua (t0 ,0, ,0) hệ dyi i (t , (t ) y1 , , n (t ) yn ) dt xác định [t0 , ) Chứng minh Đặt i (t , Y ) i (t , (t ) Y ) (i 1, , n) Các hàm i ( t , Y ) liên tục thỏa điều kiện W miền D Nếu ta viết i (t ) i (t ) i (t ) (i 1, , n) thì, từ (3.36) ta có t i (t ) i ( ,1 ( ), ,n ( ))d , (i 1, , n) t0 78 (t ), (t , Y ) (i 1, , n ) thỏa mãn tất giả thiết Do đó, ta thấy i Định lí 3.8 miền D với (t0 , Y0 ) ( t0 ,0, ,0) Khi ta có (t ) ( t ), t t min( , ) v 0 điều tương đương với (t ) (t ) v (t ), t0 t min( , ) Hệ chứng minh 79 KẾT LUẬN Dưới hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Duy Thái Sơn, hoàn thành luận văn tiến độ đạt mục đích đề Luận văn “Bất đẳng thức vi phân” thu kết sau: Chương 1: Trình bày có hệ thống khái niệm, tính chất, định lí liên quan đến nghiệm cực đại, cực tiểu phương trình vi phân, sở lí thuyết để giải vấn đề hai chương sau Chương 2: Trình bày có hệ thống khép kín bất đẳng thức vi phân thường cấp một, số biến thể bất đẳng thức vi phân, bất đẳng thức vi phân hệ so sánh Chương 3: Trình bày có hệ thống khép kín bất đẳng thức vi phân thường cấp cao, bất đẳng thức vi phân phương trình so sánh cấp n Với phạm vi đề tài thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả kính mong nhận bảo, góp ý quý thầy cô bạn đọc quan tâm để đề tài hoàn thiện 80 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] Alexiewicz, A (1951), On a theorem of Wazewski, Ann Soc Pol Math 24 [2] Chaplygin, S A (1954), Collected papers on mechanics and mathematics, Moscow [3] Jacek Szarski (1967), Differential Inequalities, Polish Scientific Publishers, Warszawa Tiếng Pháp [4] Wazewski, T (1950), Systèmes des équations et des inégalités différentielles ordinaires aux deuxièmes membres monotones et leurs applications, Ann Soc Pol Math 23 [5] Wazewski, T (1954), Une modification du théorème de l’Hôpital, liée au problème du prolongement des intégrales des équations différentielles, Ann Soc Pol Math Tiếng Đức [6] Kamke, E (1932), Zur theorie gewõhnlicher differentialgleichungen II, Acta Math 58 [7] Kamke, E (1930), Differentialgleichungen reeller funktionen, Leipzig Akad Verlagsgesellschaft ... quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa công bố công trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Ngọc Hoan MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm