Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 7 bài toán đàn hồi phẳng trong hệ toạ độ vuông góc

Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy... Mở đầuBài toán không gian: là bài toán tổng quát, các đại lượng tính toán như ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biế

Trang 1

Tr ần Minh Tú

Đ ại học Xây dựng – Hà nội

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

Trang 2

Chương 7

Bài toán đàn hồi phẳng

trong hệ toạ độ vuông góc

Trang 3

NỘI DUNG

7.1 Bài toán ứng suất phẳng

7.2 Bài toán biến dạng phẳng

7.3 Giải bài toán phẳng theo ứng suất - Hàm ứng suất Airy

Trang 4

Mở đầu

Bài toán không gian: là bài toán tổng quát, các đại lượng tính toán như ứng suất, biến dạng, chuyển vị phụ thuộc vào ba biến số trong toạ độ không gian ba chiều

trong ba biến số toạ độ Loại bài toán này chia làm hai nhóm: bài toán ứng suất phẳng và bài toán biến dạng phẳng

Bài toán ứng suất phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên ứng suất trong một mặt phẳng Chẳng hạn tấm tường mỏng chịu lực phân bố đều trên chiều dày tấm và song song với mặt trung bình

Bài toán biến dạng phẳng: vật thể chịu lực chỉ gây nên biến dạng trong một mặt phẳng Các loại tường chắn, đập nước, vỏ hầm chịu tải trọng không đổi theo chiều dài thuộc lớp bài toán này

Để thuận tiện khi sử dụng đối với bài toán phẳng ta kí hiệu hệ trục trong mặt phẳng trung bình tấm là x, y thay cho x1, x2 và trục vuông góc với mặt trung bình theo phương chiều dày tấm là z.

Trang 5

xy y

x σ τ

y

σ

x

σ

xy

τ

xy

τ

Giả thiết:

- Tải trọng nằm trong mặt phẳng tấm (xy)

- Chiều dày tấm là bé so với các kích thước

còn lại (h<<D)

- Ví dụ: tấm mỏng

y

σ

x

σ

xy

τ

xy

τ ( ) σ z z = h± = 0

( ) τzx z = h± = 0

( ) = h± = 0

z zy

τ

Trang 6

1 Đặc điểm:

0

zx zy zz

σ = σ = σ =

0

γ zx = γ zy =

Giả thiết: (mặt trên và dưới không có tải trọng)=>

; ;

xx yy xy

σ σ σ

; ;

Các ẩn số ứng suất:

Các ẩn số biến dạng:

( )

1

0 1

E

⎛ = − ⎡ + ⎤ = ⎡ + ⎤ ≠ ⎞

μ

2 Phương trình cân bằng:

0

yx xx

x

f

x y

σ

0

xy yy

y

f

x y

Trang 7

3 Phương trình động hình học Cauchy

xx

u x

ε = ∂

v y

ε = ∂

∂

1

2

xy

∂ ∂

4 Phương trình tương thích:

y x x

y

xy yy

xx

∂

=

∂

∂ +

∂

2

2 2

2

1

xx xx yy

E

ε = ⎡ ⎣ σ − νσ ⎤ ⎦

5 Phương trình định luật Hooke:

1

yy yy xx

E

ε = ⎡ ⎣ σ − νσ ⎤ ⎦

2

E

ν

μ

+

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

xy y x

xy y

x

E

γ ε

ε ν

ν

ν ν

τ σ σ

2

1 0 0

0 1

1

zz xx yy

ν

− ν

Trang 8

7.2 Bài toán biến dạng phẳng εy

x

ε

xy

γ

xy

γ

xy y

Chỉ tồn tại biến dạng trong một mặt phẳng

z

1

Đoạn chiều dài 1 đ.v

x

y

σ

x

σ

xy

τ

xy

τ

z

σ

Đập nước

Ống trụ chịu áp lực trong hoặc ngoài,

hai đầu bị ngàm chặt

Trang 10

1 Đặc điểm:

; ;

xx yy xy

σ σ σ

; ;

Các ẩn số ứng suất:

Các ẩn số biến dạng:

x

f

x y

σ

0

xy yy

y

f

x y

Giả thiết: εzx = εzy = εzz = 0 ⇒ σzx = σzy = 0; ( σzz ≠ 0 )

3 Phương trình động hình học Cauchy

xx

u x

ε = ∂

v y

ε = ∂

∂

1

2

xy

∂ ∂

4 Phương trình tương thích:

y x x

y

xy yy

xx

∂

=

∂

∂ +

∂

2

2 2

2

Trang 11

Vì: 1 ( )

0

zz zz xx yy

E

ε = ⎡ ⎣ σ − ν σ + σ ⎤ ⎦ = ⇒ σzz = ν σ ( xx + σ yy )

1

ν

−

Mà:

1 1

1

xx xx yy

1 1

1

yy yy xx

1 1

2

E

+

μ

1/E1 ν1

1

E E

ν

=

−

1

ν ν

ν

=

−

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

− +

=

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

xy y x

xy y

x

E

γ ε

ε ν

ν ν

ν

ν τ

σ σ

2

1 0

0

0 1

2 1 1

σ ν σ σ

5 Phương trình định luật Hooke:

Trang 12

7.3.1 Nhận xét chung về các bài toán phẳng:

¾ Các phương trình cơ bản của bài toán biến dạng phẳng và ứng suất

phẳng về mặt toán học là hoàn toàn giống nhau, chỉ khác nhau ở phương trình vật lý (E và E1, ν và ν1) => Phương pháp giải giống nhau

¾ Bài toán phẳng có 8 ẩn số (3 ứng suất, 3 biến dạng và 2 chuyển vị)

Ta có 8 phương trình để tìm các nghiệm trên (2 pt cân bằng, 3 pt động hình học và 3 pt vật lý)

¾ Các điều kiện biên tĩnh học để xác định các hằng số tích phân:

*

¾ Có cùng phương trình tương thích

2

0

∇ + = (Biphương trình cân bểu diễn biến dạng qua ứng suất kết hợp vớiằng, lực thể tích =const)

Trang 13

7.3.2 Hàm ứng suất Airy cho bài toán phẳng

Airy đề xuất cách giải bài toán đàn hồi phẳng: Thay cho việc xác định

ba ẩn ứng suất dựa vào 3 pt, chỉ cần xác định một hàm duy nhất- hàm ứng suất Airy ϕ(x, y) thỏa mãn:

- Là hàm hai biến độc lập (x, y)

Do giải theo ứng suất nên phải thoả mãn phương trình tương thích =>

Pt điều hoà Levy có dạng:

- Khi bỏ qua lực thể tích:

2

y

xx

∂

σ

2

x

yy ∂

∂

σ xy ∂ x ∂ y

∂

−

4

Trang 14

7.3.4 Đường lối giải bài toán LTĐH

Thông thường hàm ứng suất được chọn: dạng đa thức, chuỗi lượng giác (khi tải trọng tác dụng lên biên không liên tục)

a Đường lối thuận: Từ điều kiện tải trọng và chuyển vị đã cho, giải trực tiếp pt bi điều hòa, từ đó xác định các thành phần ứng suất => Khó khăn khi muốn có lời giải chính xác

b Đường lối ngược: Giả thiết trước hàm ϕ, từ đó tìm ngược lại tải trọng

từ đk bề mặt => Chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản

VD: Khảo sát tấm chữ nhật, tấm tam giác Cho trước đầy đủ dạng hàm ϕ và suy ngược lại tải trọng đặt lên biên của tấm.

a

b

c

b x

y y

x

Trang 15

Các bước giải:

• Kiểm tra điều kiện: 4 4 4 4

• Xác định các thành phần ứng suất

2

y

xx

∂

x

∂

= ϕ

σ

y x

∂

−

•Tìm tải trọng theo điều kiện biên Trên mỗi biên xác định các cosin chỉ phương của pháp tuyến ngoài n

với hai trục x, y: l = cos(n,x) ; m = cos(n, y)

• Biểu diễn tải trọng trên biên (phương, chiều và độ lớn)

Trang 16

c Đường lối nửa ngược: Chọn hàm ϕ chứa một số hệ số dưới dạng ẩn, sau đó tìm biểu thức ứng suất, rồi buộc những biểu thức này thỏa mãn

đk biên, từ đó xác định được các hệ số và các số hạng chưa biết

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	407,62 KB