Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 9 bài toán phẳng trong hệ toạ độ độc cực

Giải theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung 9.2.. Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên Bài toán Flamant 9.6.. Các phương trình cơ bản r – thành phần ứng suất pháp

Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

Chương 9

NỘI DUNG

9.1 Các phương trình cơ bản

9.3 Giải theo ứng suất - Bài toán chêm chịu lực tập trung 9.2 Hàm ứng suất

9.4 Bài toán đối xứng trục

9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên

( Bài toán Flamant)

9.6 Bài toán Boussinesq

• Trong nhiều trường hợp giải bài toán phẳng, sử dụng toạ độ độc cựcthuận lợi hơn hệ toạ độ vuông góc Chẳng hạn khi nghiên cứu trạng tháiứng suất và biến dạng trong các ống dày, các đĩa quay, …

9.1 Các phương trình cơ bản

Động cơ máy bay và hệ thống rôtor

9.1 Các phương trình cơ bản

9.1.1 Liên hệ giữa hệ toạ độ vuông góc và hệ toạ độ cực

r

2 2

y x

x r

x

r x

sin cos

y r

y

r y

cos sin

9.1 Các phương trình cơ bản

r r r r

x

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

11

cossin

21

1sin

r r r r

y

2 2

2

2 2

2 2

2 2

2

2

11

cossin

21

1cos

r r r r

y

x

2 2

2 2

2

2 2 2

2 2

11

sincos

11

cossin



r

X Y

9.1 Các phương trình cơ bản

9.1.2 Phân tố trong hệ toạ độ cực

Phân tố vật chất vô cùng bé lấy tại K(r, )

là hình phẳng giới hạn bởi tia  và +d và

các bán kính r và r+dr

- r : trục theo hướng bán kính

-  : trục đi qua K và vuông góc với r

- u : chuyển vị theo phương r

- v : chuyển vị theo phương 

9.1 Các phương trình cơ bản

r – thành phần ứng suất pháp theo phương bán kính

r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương bán kính

r – thành phần ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến theo phương tiếp

tuyến (phương vòng)

e – độ dãn dài tỉ đối theo phương bán kính, …

9.1.6 Quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệ trục

• Để có các quan hệ giữa các thành phần ứng suất viết trong hai hệtrục ta có thể dùng ma trận biến đổi hệ trục toạ độ hoặc có thể xét cânbằng các phân tố tam giác chứa điểm K, với hai mặt có pháp tuyến trùngvới trục r, trục  và một mặt có pháp tuyến trùng với phương trục x (nếutính xx ) , hoặc trùng với trục y (nếu tính  yy )

Toạ độ cực  Toạ độ vuông góc

Toạ độ vuông góc  Toạ độ cực

r

X Y

2 2

2 2

y x

2 2

2 2

Toán tử bi-điều hoà

9.2 Hàm ứng suất

Điều kiện biên

r



9.2 Hàm ứng suất

- Xét đoạn nêm phẳng có chiều dày 1 đ.v, góc chắn đỉnh 2 (sơ đồ đậpchắn, chi tiết hình nêm, thanh có tiết diện thay đổi theo qui luật bậcnhất, )

9.3 Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

Chiều dài nêm là lớn, nêm chịu lực tập trung ở đỉnh.

Xác định các thành phần ứng suất tại điểm K(r, )

Nhận xét: Ứng suất tại điểm K phụ thuộc vào các trị số P, r, , ,  Ứngsuất này càng nhỏ khi r càng lớn do đó có thể giả thiết dạng của hàmứng suất:

 

rr

P

k f r

Nghiệm của phương trình này là: f     A cos   B sin   C  cos   D  sin 

9.3 Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung



Ứng suất trên mặt cắt ngang vuông

góc với trục x theo công thức (9.4):

biểu đồ phân bố của thành phần ứng suất sxx

9.3 Giải theo ứng suất - Bài toán nêm chịu lực tập trung

Bài toán đối xứng trục: Các đại lượng là hằng số đối với biến số góc 

9.4 Bài toán đối xứng trục

9.4 Bài toán đối xứng trục



01

2

2 2

2

2 2

r r

Phương trình và nghiệm bài toán theo chuyển vị

Khi thay giá trị của ứng suất trong phương trình vật lý vào phương trình cân bằng ta nhận được phương trình:

Giải phương trình trên, nghiệm tổng quát có dạng:

0

1

2 2

du r dr

u d

Thay chuyển vị vào phương trình định luật Hooke:

2 1

9.4 Bài toán đối xứng trục

Ví dụ1: Ống dày có bán kính trong a, bán kính ngoài b, chịu áp lực trong p a ,

Chú ý: Trong các công thức trên cần phân biệt rõ bài toán ứng suấtphẳng hay biến dạng phẳng Chẳng hạn nếu ống dày chịu áp lực vuônggóc thành ống, khi hai đầu chiều dài ống để tự do thì đây là bài toán ứngsuất phẳng; khi hai đầu chiều dài ống bị ngàm chặt hoặc ống có chiềudài lớn thì đây là bài tóan biến dạng phẳng.

9.4 Bài toán đối xứng trục

Nửa mặt phẳng giới hạn bởi đường thẳng, gọi là biên, chịu lực tập trung Pvuông góc với đường biên

1 Ứng suất tại điểm K(r, ) sẽ là

d - đường kính đường tròn đi qua điểm đặt

=> những điểm nằm trên cùng đường tròn, có giá trị ứng suất srr như nhau

=> Những đường tròn đồng ứng suất, d càng bé thì ứng suất càng lớn

Tuy nhiên chỉ có thể cho nghiệm chính xác khi d đủ lớn (xa miền đặt lực – nguyên lý Saint-Venant)

  rd  cosr 0

Thí nghiệm quang đàn hồi - những đường vân đẳng ứng suất chính

• Dùng công thức chuyển hệ trục toạ độ Ứng suất trong hệ toạ độvuông góc xy

• Trị số của các thành phần ứng suất theo phương thẳng đứng sxx vàứng suất trượt sxy ở khoảng cách x = H kể từ biên của bán phẳng:

3 2

Biểu đồ áp lực theo phương thẳng đứng, phương nằm ngang và áp lực trượt9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

2 Chuyển vị tại các điểm trong bán phẳng

- u - chuyển vị theo phương bán kính r

- v - chuyển vị theo phương vòng q

1 

2sin cos P ln sin P cos

Các hằng số B, C, D xác định từ điều kiện biên

- Giả thiết trên trục x (q = 0 0 ) ở khoảng cách x=H nào đó không có chuyển vị

theo phương thẳng đứng (thích hợp với bài toán nền móng)

- Chuyển vị u đối xứng qua trục x, chuyển vị v trên trục đối xứng x phải bằng 0

9.5 Bài toán bán phẳng chịu lực tập trung trên biên ( Bài toán Flamant)

 1 

2

P H u

3 Chuyển vị tại các điểm trên biên

Các chuyển vị tại các điểm trên biên suy ra từ công thức trên

9.6 Bài toán Boussinesq

Vật thể đàn hồi chiếm phần k

hông gian z>=0 chịu lực tập tr

ung P vuông góc với mặt giới h