Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 2 một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ

®¹i häc CƠ CƠ SỞ SỞ CƠ CƠ HỌC HỌC MÔI MÔI TRƯỜNG TRƯỜNG LIÊN LIÊN TỤC TỤC VÀ VÀ LÝ LÝ THUYẾT THUYẾT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com Chương Một số khái niệm đại số ten xơ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com Chương 2: Các khái niệm phép tính tenxơ 2.1 2.1.Hệ Hệthống thốngký kýhiệu hiệu 2.2 2.2.Qui Quiước ướcvề vềchỉ chỉsố số 2.3 2.3.Hệ Hệthống thốngđối đốixứng xứngvà vàphản phảnđối đốixứng xứng 2.4 2.4.Trường Trườngvô vôhướng hướnghay hayten-xơ ten-xơhạng hạngkhông không 2.5 2.5.Vec Vectơtơhay hayten-xơ ten-xơhạng hạngnhất 2.6 2.6 Ten Tenxơ xơhạng hạnghai hai 2.7 2.7 Ten Tenxơ xơhạng hạngnn July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com Chương 2: Các khái niệm phép tính tenxơ M Mởởđầu đầu • Nghiên cứu Cơ học môi trường liên tục Lý thuyết đàn hồi => Cơng cụ tốn học => tenxơ • Thường gặp đại lượng tốn học, vật lý có tính chất khác ⎡a1 ⎤ ⎢ ⎥ Ai = ⎢a2 ⎥ ⎢⎣a3 ⎥⎦ A = [a ] Vô hướng: khối lượng July 2009 Vec tơ: vận tốc ⎡a11 a12 a13 ⎤ ⎢ ⎥ Aij = ⎢a21 a22 a23 ⎥ ⎢⎣a31 a32 a33 ⎥⎦ Tenxơ: ứng suất Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com Chương 2: Các khái niệm phép tính tenxơ - Đại lượng vơ hướng: đại lượng mà với đơn vị đo chọn đặc trưng số như: nhiệt độ, khối lượng, … - Đại lượng vec tơ : đại lượng đặc trưng giá trị theo đơn vị đo, phương chiều không gian xác định, chẳng hạn: lực, vận tốc, gia tốc chất điểm, … - Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho trạng thái xác định vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, … Ten xơ đại lượng tổng quát Các đại lượng ten xơ có đặc điểm chung khơng phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ mô tả chúng Ten xơ bậc cao July 2009 ⎡ a111 a121 ⎢ Aijk = ⎢a211 a221 ⎢⎣ a311 a321 a131 ⎤ ⎥ a231 ⎥ a331 ⎥⎦ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2.1 Ten xơ hệ toạ độ vng góc (Descrates) 2.1.1 Hệ thống ký hiệu Các ký hiệu đặc trưng hay nhiều số, chẳng hạn: , a j , aijk , qui ước: số chữ La tinh lấy giá trị 1, 2, aij biểu thị phần tử a1 , a2 , a3 biểu thị phần tử a11 , a12 , a13 , a21 , a22 , a23 , a31 , a32 , a33 aijk biểu thị 27 phần tử a111 , a112 , , a333 2.1.2 Qui ước số Chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo số từ đến Chỉ số gọi số câm, ta thay chữ số khác bi = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ak bk Chỉ số xuất lần gọi số tự do, chạy từ đến July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2.1 Ten xơ hệ toạ độ vng góc (Descrates) 2.1.3 Hệ thống đối xứng phản đối xứng Trong hệ thống aij thay đổi chỗ hai số cho nhau, thành phần hệ thống không thay đổi dấu giá trị, tức aij = a ji => hệ thống hệ thống đối xứng aij = − a ji => hệ thống phản đối xứng Kí hiệu Kronecker Ký hiệu Levi-Chivita ε ijk July 2009 ⎧0 ⎪ = ⎨1 ⎪−1 ⎩ ⎧1 δ ij = ⎨ ⎩0 i=j i≠ j chi so bat ky bang chieu quay ijk theo thu tu 123 chieu quay ijk theo thu tu 321 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com ⎡1 0 ⎤ δ ij = ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ 2.1 Ten xơ hệ toạ độ vng góc (Descrates) 2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không Trường vô hướng hàm vô hướng ϕ ( x1 , x2 , x3 , t ) ( x1 , x2 , x3 ) : toạ độ điểm miền không gian ; t tham số thời gian Gradient trường vô hướng Ký hiệu ∇ đọc “nabla” ∂ϕ JG ∂ϕ JJG ∂ϕ JG gradϕ = ∇ϕ = e1 + e2 + e3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 JG ei vec tơ đơn vị hệ trục toạ độ Oxi - trường vơ hướng nhiệt độ gradient thông lượng nhiệt (flux of thermal energy) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2.1 Ten xơ hệ toạ độ vng góc (Descrates) Contours (đường) Ý nghĩa hình học: gradient gradϕ vec tơ vng góc với mặt cho phương trình ϕ = const 2 ∂ ϕ ∂ ϕ ∂ ϕ Δϕ = ∇∇ϕ = ∇ ϕ = + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 Ký hiệu Δ gọi “toán tử Laplace” hay Laplacien July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2.1 Ten xơ hệ toạ độ vng góc (Descrates) 2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng a Các thành phần vectơ Các đại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, …đặc trưng trị số hướng, biểu diễn khơng gian ba chiều đoạn thẳng có hướng x3 gọi vec tơ G JG JJG JJG - Biểu diễn vec tơ: a = a1 + a2 + a3 a3 hoặc: G JG JJG JG a = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3 ei – vec tơ đơn vị G - Độ dài vec tơ: a = a = a12 + a22 + a32 = ai2 - cosin phương vec tơ li i=1,2,3 với July 2009 li = / a E3` O a2 a e1 e2 a1 x1 x2 l12 + l22 + l32 = Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10 2.1 Ten xơ hệ toạ độ vng góc (Descrates) b Các phép tính vec tơ a • Nhân vô hướng a ⋅ b = a b cos(a, b) (a,b) b • Nhân có hướng July 2009 i j k a × b = a1 a2 a3 b1 b2 b3 a×b Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com b a 11 2.1 Ten xơ hệ toạ độ vng góc (Descrates) c Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ JG Hệ trục toạ độ vng góc ban đầu Oxi - vec tơ đơn vị ei JG Phép xoay Hệ trục vuông góc Ox - vec tơ đơn vị e ' i ' i Các cosin phương cij góc hợp trục xi' trục cũ xj : JG ⎧ e' ⎫ ⎪ JJG1 ⎪ ⎡ c11 c12 ⎪ '⎪ ⎢ ⎨e2 ⎬ = ⎢ c21 c22 ⎪ JG' ⎪ ⎢ c c ⎪⎩ e3 ⎪⎭ ⎣ 31 32 JJG JJG ⎧e ⎫ ⎧e ⎫ c13 ⎤ ⎪ JJG ⎪ ⎪ JJ1G ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ c23 ⎥ ⎨e2 ⎬ = [C ] ⎨e2 ⎬ JJG ⎪ JJG ⎪ ⎪ ⎪ ⎥ c33 ⎦ e ⎪⎩ ⎪⎭ ⎪⎩e3 ⎪⎭ x3 x3 x1 e3 e3` e1 O e1 e2 x1 e2 x2 x2 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 12 2.1 Ten xơ hệ toạ độ vng góc (Descrates) JJG ⎧e ⎫ ⎡ c ' ⎪ JJ1G ⎪ ⎢ 11 ⎪ ⎪ ' ⎨e2 ⎬ = ⎢c 21 ⎪ JJG ⎪ ⎢ ' ⎪⎩e3 ⎪⎭ ⎢⎣ c31 JG JG ' ⎧ e' ⎫ c13' ⎤ ⎧ e1 ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ JJ G JJ G ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ c '23 ⎥ ⎨e2' ⎬ = [C '] ⎨e2' ⎬ JG ⎪ JG' ⎪ ' ⎥⎪ ' ⎪ c33 ⎦⎥ ⎪ e3 ⎪ ⎪⎩ e3 ⎪⎭ ⎩ ⎭ c12' c 22' c32' x1 e3 −1 = [C ] T 2.1.6 Ten xơ hạng hai: e3` e1 O Ma trận cosin phương [C] [C’] ma trận trực giao [C '] = [C ] x3 x3 e1 e2 x1 e2 x2 x2 Là hệ thống aij gồm 32=9 thành phần: trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng môi trường liên tục, phân bố mô men quán tính trục qua điểm thuộc vật thể rắn, … 2.1.7 Ten xơ hạng n: hệ thống aijkl… gồm 3n thành phần July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 13 July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 14 ... tpnt20 02@ yahoo.com Chương 2: Các khái niệm phép tính tenxơ M Mởởđầu đầu • Nghiên cứu Cơ học mơi trường liên tục Lý thuyết đàn hồi => Cơng cụ tốn học => tenxơ • Thường gặp đại lượng tốn học, vật lý. .. hiệu 2. 2 2. 2.Qui Quiước ướcvề vềchỉ ch? ?số số 2. 3 2. 3.Hệ Hệthống thốngđối đốixứng xứngvà vàphản phảnđối đốixứng xứng 2. 4 2. 4 .Trường Trườngvô vôhướng hướnghay hayten -xơ ten- xơhạng hạngkhông không 2. 5.. .Chương Một số khái niệm đại số ten xơ July 20 09 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt20 02@ yahoo.com Chương 2: Các khái niệm phép tính tenxơ 2. 1 2. 1.Hệ Hệthống