Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 2 một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ

Chương 2Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ... Hệ thống đối xứng và phản đối xứng 2.3.. Ten xơ hạng n Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ... Chương 2: Các khái niệm cơ

Tr ần Minh Tú

Đ ại học Xây dựng – Hà nội

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ

LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

Chương 2

Một số khái niệm cơ bản về đại số ten xơ

2.1 Hệ thống ký hiệu

2.1 Hệ thống ký hiệu

2.2 Qui ước về chỉ số

2.2 Qui ước về chỉ số

2.3 Hệ thống đối xứng và phản đối xứng

2.3 Hệ thống đối xứng và phản đối xứng

2.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không

2.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không

2.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất

2.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất

2.6 Ten xơ hạng hai

2.6 Ten xơ hạng hai

2.7 Ten xơ hạng n

2.7 Ten xơ hạng n

Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ

Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ

• Nghiên c ứu Cơ học môi trường liên tục và Lý thuyết đàn

h ồi => Công cụ toán học => tenxơ

• Thường gặp các đại lượng toán học, vật lý có các tính

chất khác nhau.

V ô hướng: khối lượng Vec t ơ: vận tốc T enxơ: ứng suất

M ở đầu

M ở đầu

]

[a

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

3 2 1

a a

a

Ai

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

33 32

31

23 22

21

13 12

11

a a

a

a a

a

a a

a

Aij

Chương 2: Các khái niệm cơ bản và phép tính tenxơ

- Đại lượng vô hướng : là những đại lượng mà với một đơn vị đo

đã chọn nó được đặc trưng bằng một con số như: nhiệt độ,

khối lượng, …

- Đại lượng vec tơ : là đại lượng được đặc trưng bởi giá trị theo

đơn vị đo, phương và chiều trong không gian xác định, chẳng

hạn: lực, vận tốc, gia tốc của chất điểm, …

- Đại lượng ten xơ: đặc trưng cho một trạng thái xác định nào

đó của vật thể: trạng thái biến dạng, trạng thái ứng suất, …

Ten xơ là một đại lượng tổng quát Các đại lượng ten xơ có đặc điểm

chung là không phụ thuộc vào cách chọn hệ trục toạ độ khi mô tả chúng.

Ten x ơ bậc cao

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

331 321

311

231 221

211

131 121

111

a a

a

a a

a

a a

a

Aijk

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

Các ký hiệu đặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn:

a a a

qui ước: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy các giá trị 1, 2, 3

i

a biểu thị một trong 3 phần tử a a a1, 2, 3

ij

a biểu thị một trong 9 phần tử a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33

ijk

a biểu thị một trong 27 phần tử a111, a112, , a333

2.1.2 Qui ước về chỉ số

2.1.1 Hệ thống ký hiệu

Chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 3 Chỉ số

như vậy gọi là chỉ số câm , ta có thể thay bằng chữ số khác

1 1 2 2 3 3

Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do , nó chạy từ 1 đến 3

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

2.1.3 Hệ thống đối xứng và phản đối xứng

ij ji

a = a

ij

a

Trong hệ thống

nếu thay đổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ

thống không thay đổi dấu và giá trị, tức là

=> hệ thống này là hệ thống đối xứng

δ

ij ji

a = − a => hệ thống phản đối xứng

Ký hiệu Levi-Chivita

2 chi so bat ky bang nhau

ijk

0

ε

⎧

⎪

= ⎨

⎪−

⎩

1 2

3

ij

1 i=j

0 i ≠ j

δ = ⎨ ⎧

⎩

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không

( x x x t1, 2, 3, )

ϕ

1 2 3

( , x x x , )

Trường vô hướng là một hàm vô hướng

: toạ độ các điểm trong miền không gian ; t là tham số thời gian Gradient của trường vô hướng

ϕ = ∇ = ϕ ∂ + ∂ + ∂

JG JJG JG

i

e JG

là vec tơ đơn vị của hệ trục toạ độ Oxi

Ký hiệu ∇ đọc là “ nabla ”

- nếu trường vô hướng là nhiệt độ thì gradient là thông lượng nhiệt (flux of thermal energy)

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

Ý nghĩa hình học:

là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình

2

Δ = ∇∇ = ∇ = + +

Ký hiệu Δ gọi là “ toán tử Laplace ” hay Laplacien

gradient Contours ( đường)

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

2.1.5 Vec tơ hay ten-xơ hạng nhất

Các đại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, …đặc trưng bởi trị số và hướng, biểu diễn trong không gian ba chiều bằng đoạn thẳng có hướng gọi là vec tơ

O

x1

x3

x2

a2

a

a1

a3

1 2 3

a G JG JJG JJG = + a a + a

2 2 2 2

1 2 3 i

a = a G = a + a + a = a

i

l

- cosin chỉ phương của các vec tơ là

/

l = a a

i=1,2,3 với và

- Biểu diễn vec tơ:

1 1 2 2 3 3

a G = a e JG + a e JJG + a e JG

3`

e1

e2

- Độ dài vec tơ:

2 2 2

1

l + + = l l

a Các thành phần vectơ

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

b Các phép tính vec tơ

) ,

b

a ⋅ = a b

a

b

) ,

( b a

× =

a

b b

a ×

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

c Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ

i

e

JG

Hệ trục toạ độ vuông góc ban đầu O xi - vec tơ đơn vị là

'

i

JG

H ệ trục vuông góc mới - vec tơ đơn vị là Phép xoay

x1

x3

x2

e3`

e1

e2

O

x1

x3

x2

e1

e3

e2

Các cosin chỉ phương c ij là góc hợp bởi trục mới

'

i

x và trục cũ xj:

[ ]

'

11 12 13 '

'

31 32 33

⎪ ⎪ = ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ = ⎪ ⎪

2.1 Ten xơ trong hệ toạ độ vuông góc (Descrates)

x1

x3

x2

e3`

e1

e2

O

x1

x3

x2

e1

e3

e2

[ ]

'

Ma trận các cosin chỉ phương [C] và [C’] là

các ma trận trực giao

C = C − = C

2.1.6 Ten xơ hạng hai:

Là hệ thống aij gồm 32=9 thành phần: trạng thái ứng suất, trạng thái biến

dạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quán tính đối với các

trục đi qua điểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, …

2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống aijkl… gồm 3n thành phần