Đang tải... (xem toàn văn)
Ứng suất trên mặt cắt nghiêng 3.3.. Ứng suất trên mặt cắt nghiêng.[r]
(1)Trần Minh Tú
Đại học Xây dựng – Hà nội
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI
Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp
(2)Chương 3
(3)NỘI DUNG 3.1 Định nghĩa ứng suất
3.1 Định nghĩa ứng suất 3.2 Điều kiện cân 3.2 Điều kiện cân
3.3 Ứng suất mặt cắt nghiêng 3.3 Ứng suất mặt cắt nghiêng
3.4 Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.4 Trạng thái ứng suất – Tenxơ ứng suất
3.5 Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
3.5 Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính
3.6 Ứng suất tiếp cực trị 3.6 Ứng suất tiếp cực trị
3.7 Cường độ ứng suất 3.7 Cường độ ứng suất
3.8 Bài tập tự giải
(4)3.1 Định nghĩa ứng suất
Nội lực: Lượng thay đổi lực tương tác
phần tử vật chất vật thể có ngoại lực tác
dụng
Vật thể chịu tác dụng ngoại lực
ΔP
ν
Nội lực: mặt cắt – pháp tuyến ν
Ứng suất:
mặt cắt – pháp tuyến ν điểm P(x1, x2, x3)
0
lim
A
P p
A
ν Δ → Δ =
Δ JG JG
pν - ứng suất tồn phần
(5)Phân tích vec tơ ứng suất p
ν
ν
pν3
pν1 pν2
1
1
pν = p eν + p eν + p eν
JG G G G
pν = σνν +σνη
JG JG JG
2 2
1
pν = pν + pν + pν
2
pν = σνν +σνη
pν
σνη σνν
ν
pν1, pν2, pν3 – thành phần ứng suất
theo phương 1, 2,
σνν – ứng suất pháp σ
i j
σνη – ứng suất tiếp
ph p tuyến phương ư.s
(6)x2 x1 x3
33
σ
22 σ
11
σ
xy
σ
32
σ
12
σ 31
σ
13
σ
23
σ
21
σ
11 12 13
21 22 23
31 32 33
Tσ
σ σ σ
σ σ σ
σ σ σ
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
Tenxơ ứng suất
Qui ước chiều dương ứng suất
- Pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều dương
trục chiều ứng suất hướng theo chiều dương
trục tương ứng
- Pháp tuyến mặt cắt hướng theo chiều âm
trục chiều ứng suất hướng theo chiều âm
trục tương ứng
(7)3.2.1 Đặt vấn đề:
Cho vật thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng ngoại lực gồm:
( )
* * * * , ,
f f f f
• Lực bề mặt có cường độ
( , , )
f f f f
• Lực thể tích có cường độ
V
S
f*
f
3.2 Điều kiện cân bằng
Chia nhỏ vật thể thành phân tố
mặt song song mặt phẳng toạ độ
- Phân tố loại 1- phân tố hình hộp chữ nhật
- Phân tố loại 2- phân tố hình tứ diện
Vật thể trạng thái cân ⇒ Các phân tố thoả mãn điều kiện cân
(8)3.2.2 Phương trình vi phân cân Navier-Cauchy
(Điều kiện cân phân tố loại 1) - Lực tác động lên phân tố gồm:
- Ngoại lực: lực thể tích cường độ f i - Nội lực: thành phần ứng suất σij - Các thành phần ứng suất
mặt lân cận xi, (xi+dxi): x
x
x
σ11+ σ11
x
σ12+ σ12
x
σ13+ σ13
x dx dx dx σ11 σ12 σ13 K M P 1 1 1
11 21 31
1
1
0 u
X f
x x x dt
σ σ σ ⎛ρ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ + + + = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∑
12 22 32
2 2
1
0 u
X f
x x x dt
σ σ σ ⎛ρ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ + + + = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠ ∑ σ σ σ ⎛ρ ⎞ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⇒ + + + = ⎜ ⎟ ∂ ∂ ∂ ⎝ ⎠
∑ 13 23 33
3
1
0 u
X f
x x x dt
là khối lượng riêng
ρ
3.2 Điều kiện cân bằng
(3.7) 2 0 ji i i j u f x dt σ ρ ∂ ⎛ ∂ ⎞ + = ⎜ ⎟ ∂ ⎝ ⎠
• Hệ phương trình cân
Navier-Cauchy
• Hệ phương trình cân
(9)3.2 Điều kiện cân bằng
3.2.3.Định luật đối ứng ứng suất tiếp σij = σ ji (3.8)
3.2.4 Điều kiện biên theo ứng suất
(điều kiện cân phân tố loại 2)
σ22 f1 σ11 σ12 σ13 B C σ23 σ21 * f2 *
f3*
ν x2
x1
x3
A
Xét điều kiện cân phân tố tứ diện
σ σ σ
= ⇒ + + =
∑ *
1 0 11 21 31
X l l l f
σ σ σ
= ⇒ + + =
∑ *
2 0 12 22 32
X l l l f
σ σ σ
= ⇒ + + =
∑ *
3 0 13 23 33 3
X l l l f
(3.9)
* ji jl fi
σ =
•Điều kiện biên:
•Điều kiện biên:
- (3.7) và (3.9): điều kiện cân
của toàn thể môi trường
- (3.9) là điều kiện biên để xác định các số tích phân
( )
cos ,
i i
l = ν x
(10)3.3 Ứng suất mặt cắt nghiêng
3.3 Ứng suất mặt cắt nghiêng
σ22
σ11
σ12 σ13
B C
σ23 σ21
ν
x2
x1
x3
A
p p
p ν1
ν2 ν3
Cosin phương mặt nghiêng:
( )
cos ,
i i
l = νG JJGx
Các thành phần ứng suất mặt nghiêng:
1, 2,
pν pν pν
ν
pν
* 1
pν ≈ f
* 2
pν ≈ f
* 3
pν ≈ f