Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi đại học xây dựng

Lý thuyết ñàn hồi là một ngành cơ học nghiên cứu về chuyển dịch, biến dạng và ứng suất xuất hiện trong các vật rắn biến dạng ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển ñộng do tác dụng của các ng

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

Môn cơ học môi trường liên tục ñược ñưa vào giảng dạy nhằm trang bị cho người học những nguyên lý và qui luật cơ học chung, những phương pháp chung nhất ñể giải quyết các bài toán cơ học một cách tổng quát

Lý thuyết ñàn hồi là một ngành cơ học nghiên cứu về chuyển dịch, biến dạng và ứng suất xuất hiện trong các vật rắn biến dạng ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển ñộng do tác dụng của các nguyên nhân ngoài

1.1.1 Cơ học - Cơ học vật rắn tuyệt ñối - Cơ học vật rắn biến dạng

1 Cơ học: Khoa học nghiên cứu về lực, chuyển ñộng và quan hệ giữa chúng

• Chuyển ñộng: của vật thể so với hệ qui chiếu xác ñịnh – chuyển ñộng thẳng của khối tâm

và chuyển ñộng quay quanh khối tâm

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

Cơ học vật rắn biến dạng Lý thuyết ñàn hồi, SBVL, CHKC, CH chất lỏng

Lý thuyết dẻo

Lý thuyết từ biến

Cơ học phá huỷ

Cơ học vật liệu Composite,

1.1.2 Cơ học môi trường liên tục

Thừa hưởng những công cụ của cơ học lý thuyết nhưng không phải tất cả Cơ học môi trường liên tục có hệ tiên ñề hoá riêng của nó, có những phương pháp ñặc thù ñể nghiên cứu tính chất của môi trường và phát triển các phương pháp toán học phục vụ cho nó

CHMTLT nghiên cứu các chuyển ñộng vĩ mô của môi trường ở thể rắn, lỏng, khí (còn xét các môi trường ñặc biệt khác như trường ñiện từ, bức xạ, trọng trường, …)

- Lực: lực tương tác giữa các phần tử vật chất của vật thể

- Chuyển ñộng: chuyển vị của các phần tử vật chất, biến dạng

CHMTLT trang bị những nguyên lý, qui luật cơ học chung, những phương pháp tổng quát nhất ñể giải quyết các bài toán cơ học Trong cơ học môi trường liên tục, vật thể ñược xem như môi trường vật chất lấp ñầy liên tục một miền nào ñấy, hoặc cả không gian

CHMTLT là môn khoa học khá rộng và phân nhánh gồm: lý thuyết ñàn hồi, ñàn nhớt, nhiệt ñàn hồi, dẻo và từ biến, thủy ñộng lực học, khí ñộng lực, lý thuyết plasma, …

Chúng ta chỉ nghiên cứu những khái niệm cơ bản nhất của Cơ học môi trường liên tục

1.1.3 Lý thuyết ñàn hồi

Nghiên cứu trường chuyển vị, biến dạng, ứng suất xuất hiện trong VRBD ở trạng thái cân bằng hoặc chuyển ñộng do tác dụng của lực ngoài hoặc các nguyên nhân khác

Đối tượng nghiên cứu: vật rắn biến dạng và ñàn hồi tuyệt ñối (tuân theo ñịnh luật thứ nhất của

nhiệt ñộng học về sự bảo toàn năng lượng của hệ cô lập)

SBVL: xét ứng suất, biến dạng, chuyển vị của thanh bằng cách ñưa vào các giả thiết có tính

chất kinh nghiệm nhằm ñơn giản hoá cách ñặt các bài toán, các kết quả nhận ñược dễ ứng dụng trong thực tế ( bài toán một chiều)

LTĐH: Nghiên cứu thanh, tấm, vỏ, các vật thể có kích thước hai, ba chiều Cách ñặt vấn ñề

chặt chẽ và chính xác hơn về mặt toán học Xây dựng các phương pháp tổng quát hơn ñể giải quyết các bài toán do lý thuyết ñặt ra

Ứng dụng: cơ sở cho tính toán về ñộ bền, dao ñộng và ổn ñịnh trong chế tạo máy, trong xây

dựng, và các ngành khoa học khác

Lý thuyết ñàn hồi tuyến tính: xây dựng trên quan hệ tuyến tính ứng suất - biến dạng

Lý thuyết ñàn hồi phi tuyến: xây dựng trên quan hệ phi tuyến tính ứng suất - biến dạng (phi

tuyến vật lý)

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

1.2 Các khái niệm chung

1.2.1 Môi trường liên tục

Bản chất phân tử của cấu trúc vật chất ñã ñược biết, nhưng trong nghiên cứu về trạng thái của vật liệu, ñiều quan trọng không phải là trạng thái của các phần tử riêng biệt mà là trạng thái ñặc trưng chung cho vật liệu Trong trường hợp này ta giả thiết vật chất phân bố liên tục trên thể tích

và không có lỗ hổng

Như vậy:

Có thể coi các môi trường vật chất thực: rắn, lỏng, khí là những môi trường liên tục

Trường các ñại lượng: ứng suất, biến dạng, chuyển vị, có thể biểu diễn bằng các hàm liên tục

Cần chính xác hoá khái niệm ñiểm, vì nó có thể là ñiểm không gian, và cũng có thể là ñiểm vật chất của môi trường liên tục Để tránh nhầm lẫn ta dùng từ “ñiểm” ñể chỉ vị trí trong không gian cố ñịnh, còn ‘phần tử”, “hạt” hoặc chất ñiểm ñể chỉ vật chất chứa trong phân tố thể tích vô cùng bé của môi trường

1.2.2 Môi trường ñồng nhất và ñẳng hướng

Đồng nhất: có tính chất cơ học như nhau tại mọi ñiểm

Đẳng hướng: tính chất cơ học tại một ñiểm là như nhau theo mọi phương

 Nghiên cứu một phần tử vật chất ñại diện cho môi trường Chọn hệ trục toạ ñộ nghiên cứu một cách tùy ý

m= ∫ ρdV Nếu môi trường có ρ=const: môi trường ñồng nhất

1.2.4 Chuyển vị, biến dạng và sự chảy:

1 Chuyển vị: Khi chịu tác dụng của ngoại lực, môi trường thay ñổi hình dạng, kích thước, các phần tử vật chất của môi trường chuyển dời vị trí - chuyển vị, véctơ chuyển vị u là vec tơ nối vị

trí của phần tử ở thời ñiểm t=0 và thời ñiểm t ñang xét Chuyển vị u có ba hình chiếu u, v, w hoặc

u 1 , u 2 , u 3 lên 3 trục tọa ñộ

Tóm tắt bài giảng - Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

2 Biến dạng:

Là sự thay ñổi hình dáng và kích thước của môi trường ở thời ñiểm t=0 và thời ñiểm t ñang xét khi chịu tác dụng của ngoại lực

Để xác ñịnh mức ñộ biến dạng người ta dùng biến dạng tỉ ñối (biến dạng ñơn vị)

Phân loại biến dạng : biến dạng dài (ε), biến dạng góc (γ), biến dạng thể tích (θ)

ε γ θ << : biến dạng bé → bỏ qua tích các ñạo hàm của nó (bỏ qua VCB bậc cao)

3 Sự chảy

Quá trình trung gian của môi trường tại thời ñiểm ñang xét và thời ñiểm ñầu

1.2.5 Không gian và thời gian

Không gian metric là không gian mà trong ñó khoảng cách giữa các ñiểm là xác ñịnh

Không gian Euclid: trong hệ trục toạ ñộ Descrates x, y, z biểu thức biểu diễn khoảng cách giữa hai ñiểm luôn luôn ñúng

( A B)2 ( A B)2 ( A B)2

l= x −x + y −y + z −z

Thời gian: tuyệt ñối, lý tưởng và như nhau với mọi người quan sát

Một số khái niệm cơ bản về ten-xơ

Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản và các phép tính ñối với ten-xơ ñể làm quen với công cụ toán học này trong khi nghiên cứu các vấn ñề về Cơ học các môi trường liên tục

2.1 Ten xơ trong hệ toạ ñộ vuông góc (Descrates)

2.1.1 Hệ thống ký hiệu

Hệ thống ký hiệu trong phép tính ten-xơ ñóng vai trò quan trọng Các ký hiệu ñặc trưng bởi một hay nhiều chỉ số, chẳng hạn a a a i, ,j ijk, …Ta qui ước như sau: các chỉ số bằng chữ La tinh lấy các giá trị 1, 2, 3 Do ñó

2.1.2 Qui ước về chỉ số

Trong một biểu thức, chỉ số lặp lại hai lần biểu thị tổng theo chỉ số ñó từ 1 ñến 3 Chỉ số như

vậy gọi là chỉ số câm, ta có thể thay bằng chữ số khác

Thí dụ: a b i i =a b1 1+a b2 2+a b3 3 =a b k k

Chỉ số xuất hiện một lần gọi là chỉ số tự do, nó chạy từ 1 ñến 3

Thí dụ, a ilà hệ thống gồm a a a1, ,2 3

2.1.3 Hệ thống ñối xứng và phản ñối xứng

Giả sử ta có hệ thống a ij, nếu thay ñổi chỗ của hai chỉ số cho nhau, các thành phần của hệ

thống không thay ñổi dấu và giá trị, tức là a ij =a ji thì hệ thống này là hệ thống ñối xứng Mở

rộng cho các hệ thống nhiều chỉ số, chẳng hạn a ijk =a ikjthì hệ thống a ijk ñối xứng theo hai chỉ số

j, k Kí hiệu Kronecker là trường hợp ñặc biệt của hệ thống ñối xứng

≠ 0

=

δ

j i víi

j i víi

ij (2.1)

Hệ thống a ij là phản ñối xứng khi a ij = −a ji

Ký hiệu Levi-Chivita e ijk là hệ thống phản ñối xứng với các thành phần như sau:

0 khi hai chỉ số bất kỳ bằng nhau

e ijk = 1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị chẵn của 1, 2, 3 (2.2)

-1 khi hai chỉ số lập thành hoán vị lẻ của 1, 2, 3

2.1.4 Trường vô hướng hay ten-xơ hạng không

Trường vô hướng là một hàm vô hướng ϕ(x x x t1, , ,2 3 ) của toạ ñộ các ñiểm trong miền không

gian x x x1, ,2 3 xác ñịnh của hàm và t là tham số thời gian

Gradient của trường vô hướng là một vec tơ có hướng mà hàm ϕ tăng nhanh nhất và có ñộ

lớn bằng ñạo hàm theo hướng ñó



là vec tơ ñơn vị của hệ trục toạ ñộ Ox i ; Ký hiệu ∇ ñọc là “nabla”

Ý nghĩa hình học: gradϕ là một vec tơ vuông góc với mặt cho bởi phương trình ϕ =const

Vec tơ pháp tuyến ñơn vị ν của mặt này tại một ñiểm nào ñó trên bề mặt sẽ là

Các ñại lượng vật lý: lực, vận tốc, gia tốc, …ñặc trưng bởi trị số và hướng, biểu diễn trong

không gian ba chiều bằng ñoạn thẳng có hướng gọi là vec tơ Vec tơ a bất kỳ trong không gian

(2.7) trong ñó e i



là vec tơ ñơn vị

a= a = a +a +a = a



(2.8) Cosin chỉ phương của các vec tơ là l i; i=1,2,3 với l i =a a i/ và 2 2 2

l +l +l =

2 Các phép tính vec tơ (xem phần phụ lục hoặc giáo trình Toán)

3 Ma trận biến ñổi hệ trục toạ ñộ

Hệ trục toạ ñộ vuông góc ban ñầu x i có các vec tơ ñơn vị là e i

a

Hình 2.3

Các cosin chỉ phương c ij là góc hợp bởi trục mới '

x và trục cũ x j :

' 1

x c11 c11 c13

' 2

x c21 c22 c23

' 3

e '12

e 3

e 1 O

x1x

e

=

θ

Hình 2.4

Khi hệ trục toạ ñộ ban ñầu Ox x x1 2 3 quay một góc θ ngược chiều kim ñồng hồ quanh trục x 3, tạo thành hệ trục toạ ñộ mới ' ' '

1 2 3

Ox x x như trên hình 2.4 lúc ñó '

x ≡x và ma trận biến ñổi hệ trục toạ ñộ có dạng:

Chú ý: Khi biến ñổi hệ trục toạ ñộ bản thân vec tơ a không thay ñổi nhưng các thành phần a i

của nó biến ñổi thành '

i

a trong hệ trục toạ ñộ mới

2.1.6 Ten xơ hạng hai:

Là hệ thống a ij gồm 32=9 thành phần Ta gặp các ten xơ hạng hai khi nghiên cứu về trạng thái ứng suất, trạng thái biến dạng của môi trường liên tục, sự phân bố của mô men quán tính ñối với các trục ñi qua ñiểm bất kỳ thuộc vật thể rắn, …

2.1.7 Ten xơ hạng n: là hệ thống a ijkl… gồm 3n thành phần

2.1.8 Các phép tính ñại số ten xơ: xem phụ lục hoặc tài liệu tham khảo

Có thể phân tích vec tơ ứng suất toàn phần thành ba thành phần theo ba phương của hệ trụ toạ

ñộ xi với các vec tơ ñơn vị ei làpν1,pν2,pν3

p

ν

x x

3

ν1

Hình 3.1 Thông thường ta lấy một trục toạ ñộ trùng với phương pháp tuyến của mặt cắt, thì ứng suất toàn phầnñược phân tích làm hai thành phần: ứng suất pháp σννvà ứng suất tiếp σ : νη

Ứng suất tại một ñiểm phụ thuộc: - Toạ ñộ ñiểm

- Phương pháp tuyến của mặt cắt

Ký hiệu ứng suất: chỉ số 1 – phương pháp tuyến; chỉ số 2 – phương của ứng suất

Qui ước chiều dương của ứng suất khi:

- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều dương của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều dương của các trục tương ứng

- Pháp tuyến ngoài của mặt cắt hướng theo chiều âm của một trục và chiều của ứng suất cũng hướng theo chiều âm của các trục tương ứng

1 1 1

1 1

Tại K(x 1 ,x 2 , x 3 ) trên các mặt cắt ⊥ trục có hệ ứng suất σik =σik(x x x1, 2, 3)

Tại M(x 1 +dx 1 , x 2 +dx 2 , x 3 +dx 3 ) có hệ ứng suất tương ứng

3.2 Điều kiện cân bằng

3.2.1 Đặt vấn ñề: Cho vật thể có thể tích V, diện tích bề mặt S chịu tác dụng của ngoại lực

gồm:

• Lực bề mặt (là lực phân bố trên diện tích) có cường ñộ *

f với hình chiếu lên 3 trục toạ ñộ x x x1, 2, 3 : f ( i* f1*, f2*, f3*)

• Lực thể tích là những lực phân bố trong thể tích vật thể, có cường ñộ f với hình chiếu lên 3 trục tọa ñộ x x x1, 2, 3 là f1 , f2, f3

Khi vật thể ở trạng thái cân bằng ⇒ Các phân tố thoả mãn ñiều kiện cân bằng

Chia nhỏ vật thể thành các phân tố bởi các mặt song song mặt phẳng toạ ñộ, nhận ñược các phân

tố hình hộp chữ nhật (phân tố loại 1 - nằm bên trong S) và các phân tố hình tứ diện (phân tố loại

- Nội lực: các thành phần ứng suất trên 6 bề mặt phân tố

Trên các mặt ñi qua ñiểm M có toạ ñộ x i có các thành phần ứng suất:

3.2.3.Định luật ñối ứng của ứng suất tiếp

Từ phương trình cân bằng mô men với ba trục toạ ñộ ta có ñịnh luật ñối ứng của ứng suất tiếp: σij =σji (3.8)

3.2.4 Điều kiện biên theo ứng suất (ñiều kiện cân bằng của phân tố loại 2)

Mặt nghiêng ABC có pháp tuyến ngoài ν với các cosin chỉ phương li =cos(ν,xi)

3.3 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Cân bằng phân tố tứ diện như ở 3.2.4, chỉ khác là trên mặt cắt nghiêng có các thành phần ứng suất là pν1,pν2,pν3 Pháp tuyến ν của mặt cắt nghiêng có các cosin chỉ phương là l i

3.3.2 Ứng suất pháp và ứng suất tiếp

Ứng suất pháp là tổng hình chiếu của các thành phần pν1,pν2,pν3lên pháp tuyến ν

Ứng suất phụ thuộc vào: vị trí ñiểm ñang xét và phương pháp tuyến của mặt cắt

Trạng thái ứng suất chỉ phụ thuộc vào vị trí ñiểm ñang xét Như vậy trạng thái ứng suất ñặc trưng cho tình trạng chịu lực tại các ñiểm khác nhau của môi trường

3.4.2 Ứng suất khi biến ñổi hệ trục toạ ñộ

Hệ trục x i xoay quanh gốc toạ ñộ và trở thành hệ trục xi', các cosin chỉ phương của góc giữa trục mới xi' và trục cũ xi là cij ứng suất σij' trong hệ trục mới xi':

3.4.4 Tenxơ lệch ứng suất và tenxơ cầu ứng suất

Tenxơ ứng suất có thể phân tích thành tenxơ lệch ứng suất Dσ và tenxơ cầu ứng suất Tσ0

Tσ

σσσ

Tenxơ cầu ứng suất chỉ gây nên biến dạng thể tích, trong khi ten xơ lệch ứng suất chỉ gây

nên biến ñổi hình dáng

3.5 Mặt chính – Phương chính – ứng suất chính

Mặt chính là mặt có ứng suất tiếp bằng 0

Phương chính: phương pháp tuyến của mặt chính

Ứng suất chính: ứng suất pháp trên mặt chính

Giả sử phương chính ν có các cosin chỉ phương trong hệ toạ ñộ xi là li, ứng suất chính là

σ Vì mặt chính có ứng suất tiếp bằng 0, nên ứng suất toàn phần pν có phương trùng với pháp

tuyến ν và có giá trị bằng σ , do ñó hình chiếu pνitrên các trục của ứng suất toàn phần sẽ là:

pν =σl (3.18) Thay (3.18) vào hệ phương trình ứng suất trên mặt cắt nghiêng

Phương trình (3.22) luôn có ba nghiệm là 3 ứng suất chính, theo qui ước σ1 >σ2 >σ3 Lần

lượt thay các ứng suất chính này vào hai trong ba phương trình (3.19), kết hợp với phương trình

(3.20) ta nhận ñược các cosin chỉ phương của các ứng suất chính tương ứng Chẳng hạn ñể tìm

phương chính tương ứng với ứng suất chính σ1 ta phải giải hệ 3 trong 4 phương trình sau:

i

σ = σ −σ + σ −σ + σ −σ (3.27b)

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

4

Trạng thái biến dạng

4.1 Hệ toạ ñộ và các cách mô tả chuyển ñộng

4.1.1 Ký hiệu hệ trục toạ ñộ - Hệ toạ ñộ ñồng hành và hệ toạ ñộ qui chiếu

Hệ trục toạ ñộ vuông góc Descrates x, y, z có thể biểu diễn dạng x 1 , x 2 , x 3 hoặc x i với i=1, 2,

3 Ở thời ñiểm ban ñầu (t=0) chọn hệ toạ ñộ Descrates X1 X2 X3gắn với môi trường vật chất liên

tục gọi là hệ trục toạ ñộ ñồng hành Điểm vật chất M có tọa ñộ Xi ñược xác ñịnh bởi vectơ bán kính R, Xi là tọa ñộ ñiểm vật chất ban ñầu, không phụ thuộc thời gian t

Khi chịu tác ñộng bên ngoài, môi trường bị biến

dạng , tại thời ñiểm t, ñiểm vật chất M có vị trí mới

M1 trong hệ tọa ñộ tuỳ chọn tương ứng nào ñó x i

(gọi là hệ toạ ñộ qui chiếu, thường gắn với trái ñất,

toa tàu, ) Tại thời ñiểm này ñiểm không gian

M1(x i) ñược xác ñịnh bởi vec tơ bán kính r, x i gọi

là tọa ñộ không gian, x i phụ thuộc thời gian t

X1

X2

X3

,x1,x2

u r

Hình 4.1 Khi nghiên cứu chuyển ñộng của môi trường liên tục, ta hiểu rằng tồn tại hệ qui chiếu của người quan sát và hệ toạ ñộ ñồng hành gắn với môi trường liên tục

o Chuyển vị gây biến dạng: khoảng cách giữa các phần tử vật chất thay ñổi

=> chỉ nghiên cứu chuyển vị gây biến dạng

Trần Minh Tú - Đại học Xây dựng

Vec tơ chuyển vị của ñiểm M:

trong ñó x i - vị trí ñiểm vật chất tại thời ñiểm t ñang xét

X i - vị trí ñiểm vật chất tại thời ñiểm t=0 - toạ ñộ (biến số) Lagrange - toạ ñộ vật chất Vec tơ chuyển vị u=u X t( i, )

Mô tả hiện tượng xảy ra tại ñiểm không gian M1 ở thời ñiểm t - Xác ñịnh phần tử vật chất nào

ở thời ñiểm ban ñầu t=0 có tọa ñộ M(Xi) sau thời gian t sẽ chuyển tới ñiểm không gian M1(x i), nghĩa là cần tìm Xi :

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )