Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 6 lý thuyết đàn hồi tuyến tính

®¹i häc CƠ CƠ SỞ SỞ CƠ CƠ HỌC HỌC MÔI MÔI TRƯỜNG TRƯỜNG LIÊN LIÊN TỤC TỤC VÀ VÀ LÝ LÝ THUYÊT THUYÊT ĐÀN ĐÀN HỒI HỒI Trần Minh Tú Đại học Xây dựng – Hà nội Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 1(39) Chương Lý thuyết đàn hồi tuyến tính July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 2(39) NỘI DUNG 6.1 6.1.Định Địnhluật luậtHooke Hooke 6.2 6.2.Biểu Biểuthức thứcnội nộinăng 6.3 6.3.Sự Sựthu thugọn gọncác cáchằng hằngsố sốđàn đànhồi hồi 6.4 6.4.Bài Bàitoán toánđàn đànhồi hồituyến tuyếntính tínhđẳng đẳnghướng hướng 6.5 6.5.Các Cáccách cáchgiải giảibài bàitoán toánlýlýthuyết thuyếtđàn đànhồi hồi July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 3(39) 6.1 Định luật Hooke 6.1 6.1.Định Địnhluật luậtHooke Hooke Chương 3: Tĩnh Tĩnhhọc: học:trạng trạngthái tháiứng ứngsuất suất Chương 4: Hình Hìnhhọc: học:trạng trạngthái tháibiến biếndạng dạng Tính Tínhchất chấtvật vậtlý: lý:Quan Quanhệ hệứng ứngsuất suất-biến biếndạng dạng??? ??? July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 4(39) 6.1 Định luật Hooke Tổng quát: ứng suất biểu diễn hàm biến dạng σ ij = f (ε ij ) Đối với vật liệu đàn hồi= tuyến tính bỏ qua mát nhiệt năng, quan hệ ứng suất – biến dạng quan hệ tuyến tính ⎧σ 11 ⎫ ⎪σ ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪⎪σ 33 ⎪⎪ ⎨ ⎬= ⎪σ 12 ⎪ ⎪σ 23 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩σ 13 ⎪⎭ July 2009 ⎡ C11 ⎢C ⎢ 21 ⎢ C31 ⎢ ⎢ C41 ⎢ C51 ⎢ ⎣ C61 C16 ⎤ ⎧ε 11 ⎫ C12 C13 C14 C15 C22 C23 C24 C25 C33 C34 C35 C42 C43 C44 C45 C52 C53 C45 C55 C46 ⎥ ⎪ε 12 ⎪ C56 ⎥ ⎪ε 23 ⎪ C62 C63 C64 C65 C66 ⎦ ⎩ ⎪ε 13 ⎭⎪ C32 ⎪ ⎪ ⎥ ⎨ ⎬ C26 ⎥ ⎪ε 22 ⎪ ⎥ C36 ⎥ ⎪ ⎪ε 33 ⎪⎪ ⎥ ⎪ [Cij]6x6 ma trận số đàn hồi – 36 phần tử ⎪ Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 5(39) 6.1 Định luật Hooke ⎡σ11 ⎢σ ⎢ 21 ⎢⎣σ 31 July 2009 ⎡σ1 ⎤ ⎢σ ⎥ σ12 σ13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢σ ⎥ ⎥ σ 222 σ 23 ⎥ ⇒ ⎢ ⎥ σ4 ⎥ ⎢ σ 32 σ 33 ⎥⎦ ⎢σ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣⎢σ ⎦⎥ σ1 = σ11 σ = σ 22 σ = σ 33 σ = σ 23 σ = σ13 σ = σ12 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 6(39) 6.1 Định luật Hooke ε ⎡ 11 ⎢ε ⎢ 21 ⎢⎣ε 31 July 2009 ⎡ ε1 ⎤ ⎢ε ⎥ ε12 ε13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ε ⎥ ⎥ ε 22 ε 234⎥ ⇒ ⎢ ⎥ γ4⎥ ⎢ ε 32 ε 33 ⎥⎦ ⎢γ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣γ ⎥⎦ ε1 = ε11 ε = ε 22 ε = ε 33 γ = 2ε 23 γ = 2ε13 γ = 2ε12 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com γ = 2ε 7(39) 6.1 Định luật Hooke Dị hướng: ứng suất đơn gây nên biến dạng dài biến dạng góc ⎛ σ ⎞ ⎛ C11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ ⎟ ⎜ C21 ⎜σ ⎟ ⎜ C ⎜ ⎟ = ⎜ 31 ⎜ σ ⎟ ⎜ C41 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ σ ⎟ ⎜ C51 ⎜σ ⎟ ⎜ C ⎝ ⎠ ⎝ 61 C12 C13 C14 C15 C22 C23 C24 C25 C32 C42 C33 C43 C34 C44 C35 C45 C52 C62 C53 C63 C54 C64 C55 C65 C16 ⎞⎛ ε ⎞ ⎟⎜ ⎟ C26 ⎟⎜ ε ⎟ C36 ⎟⎜ ε ⎟ ⎟⎜ ⎟ C46 ⎟⎜ ε ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ C56 ⎟⎜ ε ⎟ C66 ⎟⎠⎜⎝ ε ⎟⎠ Tương tác kéo - cắt Tương tác cắt - cắt Tương tác kéo - kéo July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 8(39) Vật liệu dị hướng: (a) vật liệu cán, (b) gỗ, (c) sợi thủy tinh epoxy, (d) a tinh thể khối lập phương July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 9(39) 6.2 Biểu thức nội 6.2 6.2.Biểu Biểuthức thứcnội nộinăng Khi phân tố biến dạng, nội lực (ứng suất) mặt phân tố thực công (A) chuyển vị đường chuyển vị góc tương ứng phân tố Vật thể đàn hồi lý tưởng: lượng sinh biến dạng bảo tồn cơng nội lực phân tố hồn tồn chuyển hố thành biến dạng đàn hồi (W) tích lũy trong phân tố: A = W ⇒δ A = δW Mà: δ A = σ 11δε 11 + σ 22δε 22 + σ 33δε 33 + σ 12δε 12 + σ 13δε 13 + σ 13δε 13 = σ ijδε ij Mặt khác biến dạng đàn hồi hàm thành phần biến dạng W = W (ε ij ) July 2009 ⇒ δW = ∂W δε ij ∂ε ij Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 10(39) 6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình c Hệ phương trình tương thích Saint-Venant (4.33-4.34) ∂ 2ε 11 ∂ 2ε 22 ∂ 2ε 12 ∂ 2γ 12 + =2 = ∂x22 ∂x12 ∂x1∂x2 ∂x1∂x2 ∂ 2ε 13 ∂ 2γ 13 ∂ 2ε 11 ∂ 2ε 33 + =2 = 2 ∂x ∂x1 ∂x1∂x3 ∂x1∂x3 ∂ 2ε 23 ∂ 2γ 23 ∂ 2ε 22 ∂ 2ε 33 + =2 = 2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂ x ∂x (5.18) ∂ 2ε 11 ∂ ⎛ ∂ε 23 ∂ε 31 ∂ε 12 ⎞ = + + ⎜− ⎟ ∂x2 ∂x3 ∂x1 ⎝ ∂x1 ∂x2 ∂x3 ⎠ ∂ 2ε 22 ∂ ⎛ ∂ε 31 ∂ε 12 ∂ε 23 ⎞ = + + ⎜− ⎟ ∂x3 ∂x1 ∂x2 ⎝ ∂x2 ∂x3 ∂x1 ⎠ ∂ 2ε 33 ∂ ⎛ ∂ε 12 ∂ε 23 ∂ε 31 ⎞ = + + ⎜− ⎟ ∂x1∂x2 ∂x3 ⎝ ∂x3 ∂x1 ∂x2 ⎠ July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 24(39) 6.4 Bài tốn đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình d Hệ phương trình vật lý (Định luật Hooke) (5.13a-5.13b) σ 11 = 2με11 + λθ σ 12 = με12 σ 22 = 2με 22 + λθ σ 13 = με13 σ 33 = 2με 33 + λθ σ 23 = 2με 23 ε 22 = +ν ε12 = σ 12 E +ν ε13 = σ 13 E ε 33 ε 23 = ε11 = ⎡⎣σ 11 −ν (σ 22 + σ 33 ) ⎤⎦ E ⎡⎣σ 22 −ν (σ 11 + σ 33 ) ⎤⎦ E = ⎡⎣σ 33 −ν (σ 11 + σ 22 ) ⎤⎦ E July 2009 +ν σ 23 E Hệ gồm 15 phương trình vi phân đại số: • phương trình (5.16) • phương trình (5.17) (5.19a) (5.18) • phương trình (5.19a) (5.19b) 15 hàm ẩn: ứng suất + biến dạng + chuyển vị (5.19b) Điều kiện biên ??? Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 25(39) 6.4 Bài tốn đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình 6.4.2 Điều kiện biên a a.Điều Điềukiện kiệnbiên biêntheo theoứng ứngsuất suất(điều (điềukiện kiệnbiên biêntĩnh tĩnhhọc) học) Trên bề mặt S1 vật thể * chịu lực bề mặt cường độ f i σ 11l1 + σ 21l2 + σ 31l3 = f1* σ 12 l1 + σ 22 l2 + σ 32 l3 = f2* σ 13l1 + σ 23 l2 + σ 33l3 = f3* July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 26(39) b ều kikiện ện biên ển vvị ị ((điều điều kikiện ện biên ộng hhọc) ọc) b.Đi Điều biêntheo theochuy chuyển biênđđộng Trên phần bề mặt S2 chịu chuyển vị đạo hàm chuyển vị cưỡng usi = u0i ; vsi = v0i (hoặc đạo hàm chuyển vị) u0, v0 thành phần chuyển vị biết bề mặt July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 27(39) 6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình c.c.Ngun NguyênlýlýSaint-Venant Saint-Venant Khi giải toán biên, để giảm bớt khó khănkhi tính tốn người ta thường sử dụng nguyên lý tiếng nguyên lý Saint-Venant: Nếu miền nhỏ vật thể đàn hồi có tác dụng hệ lực trạng thái cân , nơi đủ xa miền đặt lực đó, trạng thái ứng suất biến dạng phụ thuộc vào hợp lực đặt vào, mà không phụ thuộc vào hình thức phân bố lực Áp dụng nguyên lý này, ta thay điều kiện biên vi phân viết theo ứng suất điều kiện biên tích phân viết theo hợp lực July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 28(39) Saint-Venant’s Principle July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 29(39) 6.5 Các cách giải toán lý thuyết đàn hồi 6.5 6.5.Các Cáccách cáchgiải giảibài bàitoán toánlýlýthuyết thuyếtđàn đànhồi hồi Nếu giải lúc 15 phương trình để nhận 15 ẩn số: cồng kềnh mặt toán học Thu gọn số phương trình để tìm số hàm ẩn - phương trình để giải tốn ƒ Cách giải theo chuyển vị: chọn ẩn thành phần chuyển vị ƒ Cách giải theo ứng suất: chọn ẩn thành phần ứng suất ƒ Cách giải hỗn hợp: Chọn phần ẩn chuyển vị, phần ẩn ứng suất Các ẩn số cịn lại tìm sau xác định ẩn số July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 30(39) 6.5 Các cách giải toán lý thuyết đàn hồi 6.5.1 Cách giải theo chuyển vị Ẩn số thành phần chuyển vị ui , để xác định chúng cần phương trình Từ phương trình cân bằng, biểu diễn ứng suất qua biến dạng, biến dạng qua chuyển vị ta nhận hệ phương trình Lamê ⎛ d 2u1 ⎞ ∂θ μ∇ u1 + ( μ + λ ) + f1 = ⎜ ⎟ ∂x1 ⎝ dt ⎠ θ= ⎛ d u2 ⎞ ∂θ + f2 = ⎜ ⎟ μ∇ u2 + ( μ + λ ) ∂x2 ⎝ dt ⎠ ⎛ d 2u3 ⎞ ∂θ μ∇ u3 + ( μ + λ ) + f3 = ⎜ ⎟ ∂x3 ⎝ dt ⎠ ∇ = 2 Giải (5.21) July 2009 ui Pt quan hệ cvị-bdạng ∂u1 ∂u2 ∂u3 + + ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂2 ∂x12 + ∂2 ∂x22 + ∂2 ∂x32 Nabla kép (5.21) εi Định luật Hooke Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com σi 31(39) 6.5 Các cách giải toán lý thuyết đàn hồi 6.5.2 Cách giải theo ứng suất Sáu ẩn ứng suất cần phương trình Ba phương trình cân (hoặc chuyển động) điều kiện biên không đủ xác định trạng thái ứng suất cách => Bài toán siêu tĩnh => Cần bổ sung phương trình : biến đổi phương trình tương thich biến dạng Từ pt tương thích, biểu diễn biến dạng qua ứng suất nhờ pt định luật Hooke, ý đến pt cân ta nhận đượchệ pt Beltrami-Michel ∂2S ∂2S =0 (1 + v)∇ σ 11 + = (1 + v)∇ σ 12 + ∂x1∂x2 ∂ x1 ∂2S ∂2S 2 =0 (1 + v)∇ σ 22 + = (1 + v)∇ σ 13 + ∂x1∂x3 ∂ x2 (1 + v)∇ 2σ 33 + July 2009 ∂ S =0 ∂ x3 ∂2S (1 + v)∇ σ 23 + =0 ∂x2 ∂x3 S = σ 11 + σ 22 + σ 33 hàm tổng ứng suất (5.22) Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 32(39) 6.5 Các cách giải toán lý thuyết đàn hồi 6.5.3 Các phương pháp giải - Lời giải giải tích lời giải số Bài toán thuận: xác định ứng suất, biến dạng xuất vật thể có hình dáng cho trước, chịu tác dụng lực cho trứơc => Tích phân phương trình vi phân cân hay chuyển động với điều kiện biên điều kiện ban đầu ¾ Phương pháp thuận: Tích phân trực tiếp phương trình, số xác định theo điều kiện biên Khó khăn mặt tốn học Bài tốn ngược: cho biết trước biến dạng hay ứng suất, cần phải xác định lực tác dụng lên vật thể để sinh biến dạng ¾ Phương pháp ngược: Cho nghiệm, thử điều kiện tốn Nếu nghiệm ban đầu cho đúng, sai chọn lại nghiệm khác Khó khăn mặt thời gian (chỉ dùng số toán đơn giản) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 33(39) 6.5 Các cách giải toán lý thuyết đàn hồi ¾ Phương pháp nửa ngược (Saint-Venant): Cho dạng nghiệm, dạng thoả mãn vài điều kiện tốn dạng nghiệm chứa số số hàm số chưa xác định Những hàm số, số tìm từ điều kiện cịn lại toán (đa số toán sử dụng phương pháp này) Phần lớn toán quan trọng kỹ thuật giải phương pháp nửa ngược ™Các dạng lời giải: • Lời giải giải tích: cho kết nghiệm hàm số giải tích - biết nghiệm điểm vật thể => Phương pháp giải tích • Lời giải số: cho kết nghiệm số số điểm vật thể => Phương pháp số • Cùng với phát triển cơng cụ tính tốn, phương pháp số ngày ứng dụng rộng rãi tỏ hữu hiệu việc giải toán thực tế kỹ thuật (phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn ) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 34(39) Bài toán phẳng p(x) l (σ x ) s + m(τ xy ) s = f x* m(σ y ) s + l (τ xy ) s = f y* Ví dụ (điều kiện biên ứng suất ) AB（y = 0）： l = 0, m = −1 x f x* = 0, f y* = − p ( x) = − p0 l σ x ⋅ + τ xy ⋅ (−1) = σ y ⋅ (−1) + τ yx ⋅ = − p( x) July 2009 p0 A B β x h y τ xy σy l y =0 y =0 C =0 x = p ( x ) = p0 l Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 35(39) Biên AC p0 p(x) l = cos( N , x) = cos(90 + β ) = − sin β m = cos( N , y ) = cos β y D A B β x h l C σx ⋅ (−sinβ) +τxy ⋅ cosβ = σ y ⋅ cosβ +τ yx ⋅ (−sinβ) = July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 36(39) Điều kiện biên chuyển vị p0 p(x) ⎧ us = u ⎪ ⎨ vs = v ⎪w = w ⎩ s A B β x h y l C u | x =l = 0, v | x =l = BC（x = l）： July 2009 ∂u ∂y x =l ∂v = 0, ∂x =0 x =l Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 37(39) July 2009 Tran Minh Tu – University of Civil Engineering – Ha noi Email: tpnt2002@yahoo.com 38(39) ... 6. 3 6. 3.Sự Sựthu thugọn gọncác cáchằng hằngsố s? ?đàn đànhồi hồi 6. 4 6. 4 .Bài Bàitoán tốnđàn đànhồi hồituyến tuyếntính tính? ?ẳng đẳnghướng hướng 6. 5 6. 5.Các Cáccách cáchgiải giảibài bàitoán toánlýl? ?thuyết. .. 20(39) 6. 4 Bài tốn đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình 6. 4 6. 4 .Bài Bàitốn tốnđàn đànhồi hồituyến tuyếntính tính? ?ẳng đẳnghướng hướng 6. 4.1 Các phương trình Vật thể đàn hồi tuyến tính. .. 29(39) 6. 5 Các cách giải toán lý thuyết đàn hồi 6. 5 6. 5.Các Cáccách cáchgiải giảibài bàitoán toánlýl? ?thuyết thuyếtđàn đànhồi hồi Nếu giải lúc 15 phương trình để nhận 15 ẩn số: cồng kềnh mặt toán học