Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 6 lý thuyết đàn hồi tuyến tính

Vật liệu đàn hồi dị hướng Phần lớn các vật liệu dị hướng đều có cấu trúc đối xứng, các tính chấtđối xứng hình học làm giảm đi số lượng các hằng số độc lập của ma trận độ cứng hay ma trận

Tr ần Minh Tú

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

Chương 6

Lý thuyết đàn hồi tuyến tính

NỘI DUNG

6.1 Định luật Hooke

6.1 Định luật Hooke

6.2 Biểu thức nội năng

6.2 Biểu thức nội năng

6.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

6.5 Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.5 Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

Tính chất vật lý: Quan hệ ứng suất

-biến dạng ???

Chương 3:

Chương 4:

ε ε ε ε ε ε

σ σ

3 4

5 6

33 32

31

23 22

21

13 12

11

γ γ γ ε ε ε

ε ε

ε

ε ε

ε

ε ε

ε

2 1

3 4

5 6

12 6

13 5

23 4

33 3

22 2

11 1

2 2

2

ε γ

ε γ

ε γ

ε ε

ε ε

ε ε

66 65

64 63

62 61

56 55

54 53

52 51

46 45

44 43

42 41

36 35

34 33

32 31

26 25

24 23

22 21

16 15

14 13

12 11

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

C C

Dị hướng: ứng suất đơn có thể gây nên biến dạng dài và biến dạng góc

Tương tác kéo - cắt

T ương tác cắt - cắt

6.1 Định luật Hooke

Vật liệu dị hướng: (a) vật liệu cán, (b) gỗ, (c) sợi thủy tinh trong nền

epoxy, và (d) a tinh thể khối lập phương

6.2 Biểu thức nội năng

6.2 Biểu thức nội năng

6.2 Biểu thức nội năng

Khi phân tố biến dạng, các nội lực (ứng suất) trên các mặt của phân tố

sẽ thực hiện các công (A) trên các chuyển vị đường và chuyển vị góc

tương ứng của phân tố

Vật thể đàn hồi lý tưởng: năng lượng sinh ra khi biến dạng được bảo

toàn do vậy công của nội lực trên phân tố sẽ hoàn toàn chuyển hoá

thành thế năng biến dạng đàn hồi (W) tích lũy trong trong phân tố:

Công thức Clapeyron xác định thế năng biến dạng đàn hồi

6.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

6.3.1 Vật liệu đàn hồi dị hướng

Phần lớn các vật liệu dị hướng đều có cấu trúc đối xứng, các tính chấtđối xứng hình học làm giảm đi số lượng các hằng số độc lập của ma trận độ cứng hay ma trận độ mềm => 21 hằng số

Trục đối xứng đàn hồi:

Trong hệ trục toạ độ Ox1x2x3 và Ox’1x’2x’3

(x3≡x’3) tại 1 điểm xác định nếu các hằng

số đàn hồi Cij không thay đổi khi chuyển

từ hệ trục này sang hệ trục khác bằng phép

quay => x3 (x’3) là trục đối xứng đàn hồi

Mặt phẳng đối xứng đàn hồi:

Nếu phép biến đổi là đối xứng gương của

các trục đối với một mặt phẳng nào đó thì

mặt phẳng này gọi là mặt phẳng đối xứng

đàn hồi (mặt phẳng x1x2)

6.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

Ma trận biến đổi hệ trục toạ độ:

6.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

Mặt phẳng đối xứng đàn hồi:

Nếu tồn tại một mặt phẳng đối xứng đàn

hồi (mặt phẳng vuông góc với e3) thì gọi

là vật liệu đơn nghiêng, khi đó số các

6.3.3 Vật liệu trực hướng (orthotropic)

Vật liệu có 3 mặt phẳng đối xứng đàn hồi vuông góc với nhau từngđôi một, khi đó ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn 9 hằng số độc lập

6.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

c a

0

01

0

001

100

010

00

1

100

010

001

6.3.4 Vật liệu đẳng hướng ngang

Nếu một trong các mặt phẳng đối xứng đàn hồi của vật liệu trực

hướng là đẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng ngang

Ma trận độ cứng và ma trận độ mềm chỉ còn lại 5 hằng số độc lập

) (

23 22

22 23

12

23 22

12

12 12

11

0 0

0 0

0

0 0

0 0

0

0

0 2

1 0

0 0

0 0

0

0 0

0

0 0

0

C C

C C

C C

C

C C

C

C C

0

0 cos

sin

0 sin

cos ]

θ θ

Q

6.3.5 Vật liệu đẳng hướng

Nếu mọi mặt phẳng đối xứng vật liệu trong vật liệu trực hướng đều làđẳng hướng thì gọi là vật liệu đẳng hướng Tính chất của vật liệu theomọi phương là như nhau, lúc này số các hằng số độc lập chỉ còn 2

1

2 C −C = μ

λ, μ - hằng số Lamé

6.3 Sự thu gọn các hằng số đàn hồi

Định luật Hooke cho vật thể đàn hồi đẳng hướng có thể viết dưới dạng sau:

00

00

00

0

000

00

0002

0002

0002

γ γ γ ε ε ε

μ μ μ

μ λ

λ λ

λ μ

λ λ

λ λ

μ λ

Dạng biểu diễn biến dạng qua ứng suất của định luật Hooke

00

00

00

10

00

00

01

00

01

00

01

τ τ τ σ σ σ

μ μ

μ

ν ν

ν ν

ν ν

E / E

/ E

/

E / E

/ E

/

E / E

/ E

6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng

6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

6.4.1 Các phương trình cơ bản

Vật thể đàn hồi tuyến tính có thể tích V, mật độ vật chất ρ bề mặt

mặt có cường độ f* trên phần S1 của mặt giới hạn, và của cácchuyển vị cưỡng bức cho trước u0 trên phần S2 của mặt giới hạn

Phương hướng giải quyết:

• Các phương trình cân bằng: quan hệ giữa các ứng suất với nhau, giữacác ứng suất và các ngoại lực

• Các phương trình hình học: quan hệ giữa các biến dạng và chuyển vị, các quan hệ giữa các biến dạng với nhau

• Các phương trình vật lý: quan hệ giữa các ứng suất và các biến dạng(định luật Hooke)

• Tìm cách giải hệ thống các phương trình kể trên

6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

Các phương trình cơ bản

a Hệ phương trình cân bằng Navier-Cauchy (3.7)

1 11

1

u x

ε = ∂

∂

2 22

2

u x

∂

3 33

3

u x

c Hệ phương trình tương thích Saint-Venant (4.33-4.34)

d Hệ phương trình vật lý (Định luật Hooke) (5.13a-5.13b)

Điều kiện biên ???

6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

6.4.2 Điều kiện biên

a Điều kiện biên theo ứng suất (điều kiện biên tĩnh học)

b Điều kiện biên theo chuyển vị (điều kiện biên động học)

b Điều kiện biên theo chuyển vị (điều kiện biên động học)

Trên phần bề mặt S2 chịu các chuyển vị hoặc

các đạo hàm của chuyển vị cưỡng bức

usi = u0i ; vsi = v0i(hoặc các đạo hàm của chuyển vị)

u0, v0 là các thành phần chuyển vị đã biết trên bề mặt

c Nguyên lý Saint-Venant

Khi giải các bài toán biên, để giảm bớt khó khănkhi

tính toán người ta thường sử dụng một nguyên lý nổi

tiếng là nguyên lý Saint-Venant:

Nếu trên một miền nhỏ của vật thể đàn hồi có

Áp dụng nguyên lý này, ta có thể thay thế các điều

kiện biên vi phân viết theo ứng suất bằng các điều

kiện biên tích phân viết theo hợp lực

6.4 Bài toán đàn hồi tuyến tính đẳng hướng – Các phương trình cơ bản

Saint-Venant’s Principle

6.5 Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.5 Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

Nếu giải cùng lúc 15 phương trình trên để nhận được 15 ẩn số: cồngkềnh về mặt toán học

Thu gọn về một số phương trình để tìm một số hàm ẩn chính - cácphương trình để giải của bài toán

Các ẩn số còn lại sẽ tìm được sau khi đã xác định được các ẩn số chính

6.5 Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.5 Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

6.5.1 Cách giải theo chuyển vị

Ẩn số là các thành phần chuyển vị u i , để xác định chúng cần 3 phương trình

Từ 3 phương trình cân bằng, biểu diễn ứng suất qua biến dạng, rồi biến

dạng qua chuyển vị ta nhận được hệ phương trình Lamê

6.5.2 Cách giải theo ứng suất

chuyển động) và điều kiện biên không đủ xác định trạng thái ứng suất

một cách duy nhất

=> Bài toán siêu tĩnh => Cần bổ sung phương trình : biến đổi phương

trình tương thich biến dạng

Từ các pt tương thích, biểu diễn biến dạng qua ứng suất nhờ các pt địnhluật Hooke, chú ý đến 3 pt cân bằng ta nhận đượchệ pt Beltrami-Michel

2 2

(1+ ∇v) σ + ∂ S = 0

2 2

6.5.3 Các phương pháp giải - Lời giải giải tích và lời giải số

Bài toán thuận: xác định ứng suất, biến dạng xuất hiện trong vật thể

có hình dáng cho trước, chịu tác dụng của lực ngoài cho trứơc =>

kiện biên và điều kiện ban đầu

Bài toán ngược: cho biết trước biến dạng hay ứng suất, cần phải xácđịnh lực ngoài tác dụng lên vật thể để sinh ra biến dạng đó

¾ Phương pháp thuận: Tích phân trực tiếp các phương trình, các hằng

số xác định theo điều kiện biên Khó khăn về mặt toán học

¾ Phương pháp ngược: Cho nghiệm, thử các điều kiện của bài toán Nếu đúng thì nghiệm ban đầu cho là đúng, nếu sai thì chọn lạinghiệm khác Khó khăn về mặt thời gian (chỉ dùng trong một số bàitoán đơn giản)

6.5 Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

¾ Phương pháp nửa ngược (Saint-Venant): Cho dạng nghiệm, dạng này

có thể đã thoả mãn một vài điều kiện nào đó của bài toán nhưng dạngnghiệm còn chứa một số hằng số hoặc hàm số chưa xác định Nhữnghàm số, hằng số này có thể tìm được từ những điều kiện còn lại của bàitoán (đa số các bài toán sử dụng phương pháp này)

Phần lớn các bài toán quan trọng của kỹ thuật đều giải bằng phươngpháp nửa ngược

™Các dạng lời giải:

tích - biết nghiệm tại mọi điểm của vật thể => Phương phápgiải tích

của vật thể => Phương pháp số

• Cùng với sự phát triển của công cụ tính toán, phương pháp

trong việc giải quyết các bài toán thực tế kỹ thuật (phương

6.5 Các cách giải bài toán lý thuyết đàn hồi

AB（y = 0）：

) ( 0

) 1 (

0 )

1 ( 0

x p

yx y

xy x

−

=

⋅ +

⋅

τ σ

sin (

cos

0 cos

) sin

(

=

−

⋅ +

⋅

=

⋅ +

−

⋅

β τ

β σ

β τ

β σ

yx y

xy x

v v

u u

s s s

|x=l = v x=l =

u

0 ,

u