Bài giảng cơ sở cơ học môi trường liên tục và lý thuyết đàn hồi chương 8 nhập môn phương pháp phần tử hữu hạn

Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị... Với các bài toán không thể cho nghiệm giải tích, người ta thường tìmcách giải gần đúng – kết quả không phải là hàm giải tích mà là giá

Tr ần Minh Tú

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

CƠ SỞ CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC

VÀ LÝ THUYÊT ĐÀN HỒI

Bộ môn Sức bền Vật liệu Khoa Xây dựng Dân dụng & Công nghiệp

Chương 8

Nhập môn

phương pháp phần tử hữu hạn

NỘI DUNG

8.1 Mở đầu

8.3 Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH

8.2 Khái niệm về Phương pháp PTHH

8.4 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị

8.1 Mở đầu

Trong chương trước, ta đã giải bài toán phẳng theo ứng suất với việc

sử dụng hàm ứng suất Airy dạng đa thức hoặc chuỗi lượng giác –các lời giải này là lời giải giải tích Số bài toán cho nghiệm giải tích làrất ít, đặc biệt là những bài toán không gian

Với các bài toán không thể cho nghiệm giải tích, người ta thường tìmcách giải gần đúng – kết quả không phải là hàm giải tích mà là giá trịcủa các đại lượng cần tìm tại một số điểm nhất định trong vật thể vàtrên biên => Phương pháp số

Phương pháp số:

rạc hóa toán học, đưa các phương trình vi phân về các phương trìnhđại số)

thể - mô hình tương thích, mô hình cân bằng và mô hình hỗn hợp

8.1 Mở đầu

• Ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực

• C á c ứng dụng

8.1 Mở đầu

8.2 Khái niệm về Phương pháp PTHH

Miền xác định V của vật thể chia thành một số hữu hạn các miền con

-phần tử hữu hạn (finite element), liên kết với nhau tại các nút (node).

e

2 3

1

8.2 Khái niệm về Phương pháp PTHH

Trong phạm vi mỗi phần tử, đại lượng cần tìm được lấy xấp xỉ bởi mộthàm đơn giản nào đó gọi là hàm dạng (shape function) hoặc hàm nội suy

(interpolation function) Các hàm này được biểu diễn qua giá trị của hàmtại các điểm nút phần tử Số lượng các giá trị này tại mỗi nút gọi là bậc tự

do của nút Tổng số bậc tự do của các nút trong phần tử là số bậc tự do của phần tử và là ẩn số cần tìm của bài toán

Tùy theo ý nghĩa vật lý của hàm xấp xỉ mà người ta có thể phân tích bàitoán theo các mô hình:

• Mô hình tương thích: ẩn số cơ bản là chuyển vị (được sử dụngrộng rãi hơn)

• Mô hình cân bằng: ẩn số cơ bản là ứng suất

• Mô hình hỗn hợp: ẩn số vừa là ứng suất vừa là chuyển vị

chuyển vị nút và lực nút Lực nút bao gồm lực tương tác giữa các phần

tử và tải trọng nút (tải tập trung tại nút, tải trọng phân bố qui đổi về nút)

8.2 Khái niệm về Phương pháp PTHH

8.3 Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH

Bước 1: Rời rạc hoá miền khảo sát

Bước 2: Chọn hàm xấp xỉ thích hợp

Giả thiết dạng hàm xấp xỉ sao cho đơn giản khi lập trình máy tính nhưngđồng thời phải thỏa mãn điều kiện hội tụ

Bước 3: Xây dựng ma trận độ cứng phần tử [Ke] và vec tơ tải phần tử {Pe}

bằng nhiều cách: trực tiếp, sử dụng nguyên lý biến phân, Phương trình

phần tử có thể biểu diễn dưới dạng

[ ] Ke { } { } q e = P e { } q e- vec tơ các bậc tự do của phần tử

Bước 4: Ghép nối các phần tử để có hệ thống phương trình

[ ] K - ma trận độ cứng tổng thể

{ } q - vec tơ chuyển vị nút tổng thể

{ } P - vec tơ tải tổng thể

8.3 Trình tự phân tích bài toán theo PP PTHH

[ ] K { } { } q = P

8.4 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị

8.4 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị

8.4.1 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị (mô hình tương thích)

• Vec tơ chuyển vị nút: mỗi nút có hai thành phần chuyển vị theo hai

j j

e

j k

k k

u v q

u

v q

u v

Chuyển vị tại điểm bất kỳ bên trong phần tử: u, v

8.4 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị

• Vec tơ lực tương tác tại nút phần tử : Tại các nút đều có lực tương tácgiữa các phần tử ta gọi chúng là các lực nút Tại mỗi nút có 2 thành phầnlực nút theo hai phương x, y là U, V, chúng tạo thành vec tơ lực nút phầntử

j i i j j k k e

• Vec tơ tải trọng nút phần tử : tại các nút có tải trọng tác dụng (tải trọngtập trung hoặc tải trọng phân bố qui đổi về tải trọng tập trung tại nút) mà

2 thành phần theo hai phương là X và Y

i

j i i j j k k e

Khi ghép các phần tử thành vật thể thì theo điều kiện cân bằng, tổngcác lực tương tác phần tử tại mỗi nút sẽ triệt tiêu và chỉ còn tổng cáctải trọng tại từng nút.

Cũng do vật thể ở trạng thái cân bằng nên tại các nút các lực cũngphải cân bằng, và do vậy tại nút thứ i ta có (e là số phần tử tại nút i):

{ } { }i i e

Biểu thức của chuyển vị.

8.4.3 Bi ểu thức biến dạng

,

xx

u x

ε = ∂

v y

8.4 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị

8.4.5 Quan h ệ lực nút - chuyển vị nút - Ma trận độ cứng phần tử

Nguyên lý chuyển vị khả dĩ Lagrange

Ở trạng thái cân bằng nếu hệ có thêm các chuyển vị khả dĩ thì trị tuyệt

đối của công ngoại lực và của công nội lực bằng nhau: A = U

Ở trạng thái cân bằng phần tử có: - vec tơ lực nút { } Fe

- vec tơ chuyển vị nút { } qe

- vec tơ biến dạng { } ε = [ ] B q { }e

- vec tơ ứng suất { } σ = [ ][ ] D B q { }e

Công của ngoại lực { } Fe trên các chuyển vị khả dĩ là:

Ma trận độ cứng phần tử

[ ] [ ] [ ][ ]T e

U U

1

2

{ } d [ ] k { } { } d u [ ] K { } u U

N

e

e e

T e N

e

e

2

1 2

Kích thước ma trận độ cứng tổng thể phụ thuộc vào kích thước của vec

tơ chuyển vị nút tổng thể (DOF)

8.4 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị

8.4.6 Qui đổi tải trọng về các nút:

- Trong phương pháp phần tử hữu hạn người ta giả thiết các tải trọng

giữa ngoại lực và nội lực tại các nút

- Nếu trong phần tử có những tải trọng tập trung không đặt tại các nút,

hoặc là tải trọng phân bố thì cần phải qui đổi chúng về nút một cáchđơn giản theo nguyên lý tương đương tĩnh học

F = ∫ N p tds ds là vi phân chiều dài biên của phần tử

- Nếu tại điểm bất kỳ có toạ độ (x, y) trong phần tử có tác dụng củalực tập trung { } P = { Px Py}

e

F = N P

8.4 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị

Tổng hợp vec tơ lực nút qui đổi và vec tơ tải trọng đặt tại các nút ta

được vec tơ tải trọng nút phần tử

• Nguyên tắc chung để qui đổi dựa trên cơ sở tương đương về công:

chiều đã chọn

trọng phân bố ta có thể tiến hành như tính phản lực của một dầm tựa

đơn, chịu tải trọng phân bố tương ứng

8.4.7 Phương trình chung toàn kết cấu

Sau khi rời rạc hoá kết cấu để thu được phương trình cho từng phần tử, bây giờ ta sẽ ghép nối các phần tử lại để có hệ phương trình chung chotoàn kết cấu

¾ Các chuy ển vị nút phải thoả mãn điều kiện liên tục của biến dạng: chuyển vị ở cùng m ột nút thuộc các phần tử khác nhau phải như nhau Với bài toán phẳng,

n ếu hệ có n nút => 2n ẩn chuyển vị => Vec tơ chuyển vị nút tổng thể (toàn kết

8.4.8 Hệ phương trình để giải

Sau khi ghép nối để nhận được hệ phương trình (8.20), trước khi giải cần

dạng suy biến của ma trận [K]

- Nếu ẩn số chuyển vị qi = 0 bỏ dòng i của vec tơ {Q}, và {P}, đồng thời

gạch bỏ dòng i và cột i c ủa ma trận [K]

8.4 Phần tử tam giác trong phép giải theo chuyển vị

Ví dụ 8.1

1 Thiết lập ma trận độ cứng của một PTHH tam giác phẳng ở trạng tháiứng suất phẳng có toạ độ các đỉnh là (1,2), (1,4), (3,3) Khi tính lấy hệ

số Poisson ν=0.25

Gợi ý các bước thực hiện:

ƒ Biểu diễn toạ độ các đỉnh tam giác trong hệ trục vuông góc xy

ƒ Đánh số các nút theo thứ tự i, j, k ngược chiều kim đồng hồ

ƒ Xác định toạ độ các đỉnh, tính diện tích phần tử theo (6.1)

ƒ Tính các hệ số a, b, c theo (8.10) => Tính ma trận hình học [B] theo (8.12)

ƒ Xác định ma trận đàn hồi [D] theo (8.14)

ƒ Tính ma trận độ cứng phần tử [Ke] theo (8.15)

Ví dụ 8.2

Cho tấm có hình dạng, kích thước, liên kết và chịu tải trọng như hình

vẽ Tính trường ứng suất phát sinh trong tấm Khi tính lấy ν = 0,25

q

q2a

2aa

ννν

k46

Ví dụ 8.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10

-3

-3 4

-32 6 -10 20 4 -12 6 -8

ννν

Ví dụ 8.2

ννν

Bước 3: Xác định ma trận độ cứng toàn kết cấu [K]

[ ] K 10 10× = ⎣ ⎦ ⎡ Kij ⎤ e

ij ij

35 -10 -32 6 -3 4 0 0 0 0 -10 20 4 -12 6 -8 0 0 0 0 -32 4 38 0 0 -10 -6 0 0 6

6 -12 0 28 -10 0 0 -16 4 0 -3 6 0 -10 35 0 -32 4 0 0

Bước 3: Xác định vec tơ tải trọng nút toàn kết cấu

Bước 5: Áp đặt điều kiện biên

X X X

X X X X X X X X X X

1 0

P P P P P P P P P P

3

4

7 8

X X X

0,104 0,042 15

0,104 0,004 0,042

X X

qa X

Et X

xx yy xy

Example 1:

Circular and circle Holes in a Plate Under Uniform Tension (

FEM Mesh and load condition Distribution of x-stress

Ansys application

Example 2:

Circular Disk Under Diametrical Compression

Distribution of x-stress FEM Mesh and load condition

Distribution of x-stress FEM Mesh and load condition

Abaqus application

Example 1:

Circular and ellipse Holes in a Plate Under Uniform Tension

BÀI T ẬP LỚN

hữu hạn đối với các tấm chịu lực cho trên các sơ đồ kèm theo

3 Gọi tên các ẩn số chuyển vị nút, viết véc tơ chuyển vị nút.

4 Xác định ma trận độ cứng của từng phần tử, kèm theo ký hiệu của các thành phần trong ma trận.

5 Tìm ma trận độ cứng chung cho toàn tấm.

Sơ đồ tấm

q q q