Hướng dẫn giải một số dạng bài tập đơn giản trong đề thi cơ học môi trường liên tục. Để hỗ trợ tài liệu hay bài tập, xin vui lòng liên hệ theo địa chỉ gmail: buddha93ucrgmail.com or địa chỉa web: https:utcvn.academia.eduNORTHSAINT
Trang 1Đề số 01
Câu 1(7,5 điểm): Trạng thái ứng suất của môi trường cho bởi tenxơ
2x x 0, 5x 0, 5x
0, 5x 2x x 0, 5x kN / cm
0, 5x 0, 5x 2x x
Biết môđun đàn hồi E = 2.104kN/cm2; hệ số Poát – xông = 0,25
Yêu cầu:
1 Biểu diễn ứng suất tại K(-2; 1; 2)
Tương ứng với K(-2; 1; 2) thay vào ta có ten-xơ ứng suất 2
8 0, 5 2
T 0, 5 4 2 kN / cm
2 Xác định ten-xơ biến dạng tại điểm K
Dựa trên các phương trình về vật lý ta có
Trang 2
4
4
4
8 0,25 4 4 4.10
4 0,25 8 4 1,5.10
4 0,25 8 4 3,5.10
1 2 0,5 1 0,25 2
0,625.10
1 2 2 1 0,25 2
2,5.10
1 2 2 1 0,25 2
2,5.10
Từ đó ta có ten-xơ biến dạng tại K là 4
4 0,625 2, 5
T 0,625 1,5 2,5 10
2, 5 2, 5 3, 5
3 Xác định giá trị biến dạng chính thứ nhất và phương của nó tại điểm K
Thay vì tính trên ten-xơ biến dạng của bài toán ta đi tính biến dạng chính của ten-xơ sau
4 0,625 2, 5
T ' 0,625 1, 5 2, 5
2,5 2,5 3,5
Ta có biến dạng chính là nghiệm của phương trình 3 2
- J + J - J = 0 Xác định 3 bất biến
1 11 22 33
2
3
4 0,625 4 2,5 1,5 2,5
0,625 1,5 2,5 3,5 2,5 3,5
4 0,625 2,5
J 0,625 1,5 2,5 61,8203
2,5 2,5 3,5
Thay vào phương trình ta có
1 2 3
5,2401
2, 4768 4,7632
+ 2 - 26, 1406 - 61, 8203 = 0
Vậy biến dạng chính của bài toán là
4 1
4 2
4 3
5,2401.10 2,4768.10 4,7632.10
Phương chính của biến dạng chính thứ nhất 1 5,2401.104
Trang 3
thay số vào ta có
9,2401.l 0,625.m 2,5.n 0 l 0,2975.n l 0,2975.n 0,625.l 6,7401.m 2,5.n 0 m 0,3985.n m 0,3985.n
n 0,8954
Vây phương chính là:
l 0,2664 l 0,2664
m 0,3568 ; m 0,3568
n 0,8954 n 0,8954
4 Tính biến dạng dài tại K theo phương v 5 e1 3 e2 7 e3
Cosin chỉ phương véc tơ v
là l, m, n 5 ; 3 ; 7
21 21 21
l m n 2 l.m m n n l
Câu 2(2,5 điểm): Cho đập có mặt cắt ngang như hình vẽ Giả sử hàm của ứng suất
x, y ax bxy cx y dy
Bỏ qua trọng lượng riêng của đập;
= const; a, b, c, d là các hằng số
Yêu cầu:
1 Viết các biểu thức tính ứng suất xx, yy, xy
Ta có xx 22 2bx 6dy; yy 22 6ax 2cy; xy 2 2cx 2by
Trang 42 Viết điều kiện biên
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OA
Cosin chỉ phương l cos 0,766
Lực mặt
*
1x
*
1y
J q.cos 0,766 y
y
Phương trình điều kiện cho OA
*
*
l m J 2bx 6dy 0,766 2cx 2by 0,643 0,643 y
2cx 2by 0,766 6ax 2cy 0,643 0,766 y
2,571b 1,079c 4,596d 0,643
3,858a 1,532b 2,571c 0,766
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OB
Cosin chỉ phương l cos 0,766
Lực mặt
*
2x
*
2y
J y.sin 0,643 y
y
Phương trình điều kiện cho OB
*
*
4
4
l m J 2bx 6dy 0,766 2cx 2by 0,643 0,766 y
2cx 2by 0,766 6ax 2cy 0,643 0,643 y
6,52.10 b 1,079c 4,596d 0,766 3,237a 1,532b 6,52.10 c 0,643
Trang 5Đề số 02
Câu 1(7,5 điểm): Trạng thái biến dạng của môi trường cho bởi tenxơ
2
3 1 2 1 3
2
1 3 2 3 2
x x x x x 10
Biết môđun đàn hồi E = 2.104kN/cm2; hệ số Poát – xông = 0,25
Yêu cầu:
1 Xác định ten-xơ ứng suất tại K(2; -2; 1)
Tương ứng với K(2; -2; 1) thay vào ta có ten-xơ biến dạng 4
Ta có hằng số đàn hồi độc lập
(1 )(1- 2 ) (1 0,25)(1- 0,5) 2(1 ) 2.(1 0,25)
11 22 33 1 4 4 10 9.10
2
2
2
2
12 12
2
23 23
2
31 31
2.v 0,8.9 2.0,8.1 8,8kN / cm 2.v 0,8.9 2.0,8.4 13,6kN / cm 2.v 0,8.9 2.0,8.4 13,6kN / cm
v 0,8 4 3,2kN / cm
v 0,8 2 1,6kN / cm
v 0,8.2 1,6kN / cm
8,8 3, 2 1,6
T 3,2 13,6 1,6 kN / cm
1,6 1,6 13,6
Trang 62 Biểu diễn ứng suất trên phân tố
3 Xác định giá trị ứng suất chính thứ nhất và phương của nó tại điểm K
Ta có ứng suất chính là nghiệm của phương trình 3 2
- I + I - I = 0 Xác định 3 bất biến
2
1 11 22 33
2
3
8,8 3,2 8,8 1,6 13,6 1,6
3,2 13,6 1,6 13,6 1,6 13,6
8,8 3,2 1,6
I 3,2 13,6 1,6 1447, 42kN / cm
1,6 1,6 13,6
Thay vào phương trình ta có
2 1
2 2
2 3
16,71kN / cm 12,18kN / cm 7,11kN / cm
- 36 + 408, 96 - 1447, 42 = 0
Vậy ứng suất chính của bài toán là
2 1
2 2
2 3
16,71kN / cm 12,18kN / cm 7,11kN / cm
Phương chính của ứng suất chính thứ nhất 1 16,71kN / cm2
Trang 72 2 2 2
7,91.l 3,2.m 1,6.n 0 l 0,6911.n l 0,6911.n 3,2.l 3,11.m 1,6.n 0 m 1,2256.n m 1,2256.n
n 0,3356
Vây phương chính là:
m 0, 4113 ; m 0, 4113
4 Tính ứng suất toàn phần tại K trên mặt phẳng có pháp tuyến
Cosin chỉ phương véc tơ v
là l, m, n 5 ; 2; 7
14 14 14
Thành phần ứng suất theo các phương
2
2
2
1
p l m n 8,8 5 3,2 2 1,6 7 7,60kN / cm
14 1
14 1
p l m n 1,6 5 1,6 2 13,6 7 11,18kN / cm
14
ứng suất toàn phần tại K trên mặt phẳng 2 2 2 2
p p p p 15,80kN / cm
Câu 2(2,5 điểm): Cho đập có mặt cắt ngang như hình vẽ Giả sử hàm của ứng suất
x, y ax bxy cx y dy
Bỏ qua trọng lượng riêng của đập;
= const; a, b, c, d là các hằng số
Yêu cầu:
1 Viết các biểu thức tính ứng suất xx, yy, xy
Ta có xx 22 2bx 6dy; yy 22 6ax 2cy; xy 2 2cx 2by
Trang 82 Viết điều kiện biên
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OA
Cosin chỉ phương l cos 0,866
Lực mặt
*
1x
*
1y
J q.cos 0,866 y
y
Phương trình điều kiện cho OA
*
*
l m J 2bx 6dy 0,866 2cx 2by 0,5 0,5 y
2cx 2by 0,866 6ax 2cy 0,5 0,866 y
1,999b 0,577c 5,196d 0,5 1,731a 1,732b 1,999c 0,866
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OB
Cosin chỉ phương l cos 0,766
Lực mặt
*
2x
*
2y
y
Phương trình điều kiện cho OB
*
*
l m J 2bx 6dy 0,766 2cx 2by 0,643 0
2cx 2by 0,766 6ax 2cy 0,643 y
2,571b 1,286c 4,596d 0 1,079a 1,532b 2,571c
Trang 9đề số 03
Câu 1(7,5 điểm): Trạng thái ứng suất của môi trường cho bởi tenxơ
2 3
Biết môđun đàn hồi E = 2.104kN/cm2; hệ số Poát – xông = 0,25
Yêu cầu:
1 Biểu diễn ứng suất tại K(2; -1; -2)
Tương ứng với K(2; -1; -2) thay vào ta có ten-xơ ứng suất 2
4 2, 5 0
T 2, 5 4 0 kN / cm
2 Xác định ten-xơ biến dạng tại điểm K
Dựa trên các phương trình về vật lý ta có
Trang 10
4
4
4
4 0,25 4 12 3.10
4 0,25 4 12 3.10
12 0,25 4 4 7.10
1 2 2,5 1 0,25 2
3,125.10
13
23
1 2 0 1 0,25 2
0
1 2 0 1 0,25 2
0
Từ đó ta có ten-xơ biến dạng tại K là 4
3 3,125 0
T 3,125 3 0 10
3 Xác định giá trị biến dạng chính thứ nhất và phương của nó tại điểm K
Thay vì tính trên ten-xơ biến dạng của bài toán ta đi tính biến dạng chính của ten-xơ sau
3 3,125 0
T ' 3,125 3 0
Ta có biến dạng chính là nghiệm của phương trình 3 2
- J + J - J = 0 Xác định 3 bất biến
1 11 22 33
2
3
3 3,125 0
Thay vào phương trình ta có
1 2 3
7
6,125
3 2
Vậy biến dạng chính của bài toán là
4 1
4 2
4 3
7.10 0,125.10 6,125.10
Phương chính của biến dạng chính thứ nhất 1 7.104
Trang 11
thay số vào ta có
Vây phương chính là:
4 Tính biến dạng dài tại K theo phương v 6 e1 2 e2 3 e3
Cosin chỉ phương véc tơ v
là l, m, n 6 ; 2 ; 3
17 17 17
l m n 2 l.m m n n l
Câu 2(2,5 điểm): Cho đập có mặt cắt ngang như hình vẽ Giả sử hàm của ứng suất
x, y ax bxy cx y dy
Bỏ qua trọng lượng riêng của đập;
= const; a, b, c, d là các hằng số
Yêu cầu:
1 Viết các biểu thức tính ứng suất xx, yy, xy
Ta có xx 22 2bx 6dy; yy 22 6ax 2cy; xy 2 2cx 2by
Trang 122 Viết điều kiện biên
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OA
Cosin chỉ phương l cos 0,866
Lực mặt
*
1x
*
1y
y
Phương trình điều kiện cho OA
*
*
l m J 2bx 6dy 0,866 2cx 2by 0,5 y
2cx 2by 0,866 6ax 2cy 0,5 0
1,999b 0,577c 5,196d 1,731a 1,732b 1,999c 0
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OB
Cosin chỉ phương l cos 0,707
Lực mặt
*
2x
*
2 y
q
J sin 0,354 y
2 q
J cos 0,354 y
2
y
Phương trình điều kiện cho OB
*
*
l m J 2bx 6dy 0,707 2cx 2by 0,707 0,354 y
2cx 2by 0,707 6ax 2cy 0,707 0,354 y
2,828b 1, 414c 4,242d 0,354 4,242a 1, 414b 2,828c 0,354
Trang 13Đề số 04
Câu 1(7,5 điểm): Trạng thái biến dạng của môi trường cho bởi tenxơ
3x x 0, 5x 0, 5x 0,5x 3x x 0,5x 10 0,5x 0, 5x 3x x
Biết môđun đàn hồi E = 2.104kN/cm2; hệ số Poát – xông = 0,25
Yêu cầu:
1 Xác định ten-xơ ứng suất tại K(-1; 2; -1)
Tương ứng với K(-1; 2; -1) thay vào ta có ten-xơ biến dạng 4
0, 5 0,5 6
Ta có hằng số đàn hồi độc lập
(1 )(1- 2 ) (1 0,25)(1- 0,5) 2(1 ) 2.(1 0,25)
11 22 33 3 12 6 10 9.10
2
2
2
2
12 12
2
23 23
31 31
2.v 0,8 9 2.0,8 3 12kN / cm 2.v 0,8 9 2.0,8 12 26, 4kN / cm 2.v 0,8 9 2.0,8.6 2, 4kN / cm
v 0,8.4 3,2kN / cm
v 0,8 0,5 0, 4kN / cm
, 4kN / cm
T 3,2 26, 4 0, 4 kN / cm
0, 4 0, 4 2, 4
Trang 142 Biểu diễn ứng suất trên phân tố
3 Xác định giá trị ứng suất chính thứ nhất và phương của nó tại điểm K
Ta có ứng suất chính là nghiệm của phương trình 3 2
- I + I - I = 0 Xác định 3 bất biến
2
1 11 22 33
2
3
3,2 26, 4 0, 4 2, 4 0, 4 2, 4
I 3,2 26, 4 0, 4 742,912kN / cm
0, 4 0, 4 2, 4
Thay vào phương trình ta có
2 1
2
2 3
2, 42kN / cm
36 214,08 - 742,912 0 11,34kN / cm
27,08kN / cm
Vậy ứng suất chính của bài toán là
2 1
2 2
2 3
2, 42kN / cm 11,34kN / cm 27,08kN / cm
Phương chính của ứng suất chính thứ nhất 2
1 2, 42kN / cm
Trang 152 2 2 2
14, 42.l 3,2.m 0, 4.n 0 l 0,0316.n l 0,0316.n 3,2.l 28,82.m 0, 4.n 0 m 0,0174.n m 0,0174.n
n 0,9994
Vây phương chính là:
l 0,0316 l 0,0316
m 0,0174 ; m 0,0174
4 Tính ứng suất toàn phần tại K trên mặt phẳng có pháp tuyến
Cosin chỉ phương véc tơ v
là l, m, n 5 ; 7; 7
Thành phần ứng suất theo các phương
2
2
2
1
19 1
p l m n 3,2 5 26, 4 7 0, 4 7 17,91kN / cm
19 1
p l m n 0, 4 5 0, 4 7 2, 4 7 1, 42kN / cm
19
ứng suất toàn phần tại K trên mặt phẳng 2 2 2 2
p p p p 19,61kN / cm
Câu 2(2,5 điểm): Cho đập có mặt cắt ngang như hình vẽ Giả sử hàm của ứng suất
x, y ax bxy cx y dy
Bỏ qua trọng lượng riêng của đập;
= const; a, b, c, d là các hằng số
Yêu cầu:
Trang 161 Viết các biểu thức tính ứng suất xx, yy, xy
Ta có xx 22 2bx 6dy; yy 22 6ax 2cy; xy 2 2cx 2by
2 Viết điều kiện biên
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OA
Cosin chỉ phương l cos 1
Lực mặt
*
1x
*
1y
Ta có x0
Phương trình điều kiện cho OA
*
*
2cx 2by 1 0 0
6d
b 0
Điều kiện biên tĩnh học trên cạnh OB
Cosin chỉ phương l cos 0,819
Lực mặt
*
2x
*
2y
J y.sin 0,574 y
y
Phương trình điều kiện cho OB
*
*
l m J 2bx 6dy 0,819 2cx 2by 0,574 0,819 y
2cx 2by 0,819 6ax 2cy 0,574 0,574 y
2,2946b 0,8036c 4,914d 0,819 0,8036a 1,638b 2,2946c 0,574
Trang 17Lời giải được thực hiện bởi K.S Nguyễn Văn Bắc Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi về địa chỉ Email: buddha93uct@gmail.com or Twitter: @northsaint93 or gọi trực tiếp qua số điện thoại
0bac84de564 Các bạn có thể tham khảo tài liệu trên utc-vn.academia.edu/NORTHSAINT Trong đó:
b - il trong ngôn ngữ đại diện cho xứ sở kim chi
a - Sei trong ngôn ngữ đại diện cho quốc gia hình chiếc ủng
c - là nghiệm x của phương trình sau: x3 + 3367 = 2n (x, n nguyên dương)
d - là kết quả của phép tính sau: 4 Pytago
5
e - Tên bộ phim kinh dị của đạo diễn Roman Polanski phát hành năm 1999 trong đó có sự tham gia của diễn viên Johnny Deep
Grazie! Buona fortuna NS!