Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)Phân thức chính quy nhiều biến và các dạng toán liên quan (LV thạc sĩ)
ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC Trần Thị Nhung PHÂN THÚC CHÍNH QUY NHIEU BIEN VÀ CÁC DANG TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THAC SY TOÁN HOC Thái Nguyên - 2017 ĐAI HOC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐAI HOC KHOA HOC Trần Thị Nhung PHÂN THÚC CHÍNH QUY NHIEU BIEN VÀ CÁC DANG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cap Mã so: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THAC SY TOÁN HOC NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA HOC GS.TSKH NGUYEN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2017 i Mục lục MỞ ĐẦU Chương Một so dang đai lượng trung bình bán 1.1 Khai trien Newton 1.2 Định lý ve giá trị trung bình cộng nhân 1.3 Bat thúc AM-GM suy rộng 19 Chương Phân thức quy quy suy rộng 22 2.1 Phân thúc quy 22 2.1.1 Phân thúc quy bien 22 2.1.2 Phân thúc quy nhieu bien 24 2.2 Phân thúc quy suy rông 28 2.2.1 Phân thúc quy suy rộng bien 28 2.2.2 Phân thúc quy suy rộng nhieu bien 30 Chương Các dang toán liên quan 33 3.1 Một so ky thuật vận dung bat thúc AM-GM 33 3.1.1 Đieu lna chon tham so 33 3.1.2 Ky thuật tách, ghép phân nhóm .40 3.2 Các dang toán liên quan 47 3.2.1 Bieu dien so dang đa thúc nhieu bien 47 51 3.2.2 Bat thúc dang phân thúc giua đa thúc 55 KET LUẬN 59 TÀI LIfiU THAM KHÁO 60 MỞ ĐẦU Phân thúc huu tý, đặc biệtt phân thúc quy nhung khái niệm bán cna chương trình Toán ó bậc phổ thông Đặc biệt, ó trưòng THPT chuyên lóp chuyên toán có rat nhieu dang toán liên quan đen hàm phân thúc quy Trong kỳ thi hoc sinh giói Toán nưóc kỳ thi Olympic Toán cna nưóc the giói, có nhieu toán ve dãy so, bat thúc, phương trình, bat phương trình hệ bat phương trình, sinh bói hàm so dang phân thúc the can biet cách vận dung tính đặc thù cna bieu thúc phân thúc cho Hiện tài liệu có tính hệ thong ve van đe chưa đưoc đe cập nhieu Đe đáp úng nhu cau hoc tập giáng day môn Toán ó bậc thông, luận văn Phân thúc quy nhieu bien dang toán liên quan nham hệ thong giái quyet toán liên quan đen phân thúc quy Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương Một so dang đai lưong trung bình bán Chương Phân thúc quy quy suy rộng Chương Các dang toán liên quan Đe hoàn thành luận văn này, trưóc nhat xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành sâu sac tói GS.TSKH Nguyen Văn Mậu dành thòi gian hưóng dẫn, chí báo tận tình giúp đõ suot trình xây dnng đe tài hoàn thành luận văn Tiep theo, xin gúi lòi cám ơn chân thành tói thay cô đoc, kiem tra, đánh giá cho nung ý kien quý báu đe luận văn đưoc hoàn thiện Qua đây, xin đưoc gúi lòi cám ơn tói Ban giám hi¾u, phòng Đào tao, khoa Toán - Tin Trưòng ĐHKH, Đai hoc Thái Nguyên ban đong nghiệp tao đieu ki¾n thu¾n loi suot trình hoc tập tai trưòng Chương M®t so dang đai lưang trung bình bán 1.1 Khai trien Newton Ta nhac lai khai trien Newton (xem [1], [3]) cho c¾p so b® so Đ%nh lý 1.1 (Khai trien nh% thúc Newton) Vói a, b so thnc n so tn nhiên lón bang 2, ta có n (a + b) = n Ckan−kbk n (1.1) k=0 Cnk = n! k!(n − k)! Công thúc (1.1) goi công thúc nh% thúc Newton Đ%nh lý 1.2 (Khai trien Newton) Cho n m so nguyên dương Vói bat kỳ x = (x1, x2, · · · , xn) Rn, ta có (x1 + x2 +· · · + xn )m = α m! x , α! (1.2) |α|=m α α α! = α1!α2! · · · αn! vói α = (α1, α2, · · · , αn) Nn, xα = x x αn x n tong chay qua tat cá α có the có N thóa mãn |α| = α1 + α2 + · · · + αn = m Đ%nh lý 1.3 (Khai trien Taylor) Cho m®t đa thúc f (x) = n j=0 ajxj n Khi đó, h¾ so thú j cna f (x) có the bieu dien đưoc dưói dang aj = (j) f (j) fj! (0), (0) úng vói đao hàm cap j tai ChÚng minh Lay đao hàm lan thú j cna xk, ta đưoc k! xk = xk−j, neu j k d ≤ j (k − j)! dx Ta có j d n f (x) = ak k= dx k d x = 0, neu j > k, .j dx k! n k x = akxk−j, vói bat kì j nam giua n (k − j)! k=j f j (0) = j!aj Khi Suy aj = fj! (0) Đ%nh lý 1.4 Cho n m®t so nguyên dương Ta đ¾t n n x n g(x) = x x +··· + + (j) Khi g(n)(0) = n! ChÚng minh Ta có g(x) = xn n + 1x + · · · + xn−1 = xnh(x), h(x) = + n x + · · · n−1 x n + n Áp dung công thúc Leibniz n (n) g (x) = j=0 = d n j= V¾y nên n! n−j d h(x) xn d (n − j)!j! dx n !n ! j xj (n − j)!j!j! dx j h(x) dx g(n)(0) = n!h(0) = n! 1.2 Đ%nh lý ve giá tr% trung bình c®ng nhân Tiep theo, ta se đe c¾p đen đ%nh lý ve bat thúc giua giá tr% trung bình c®ng trung bình nhân (còn goi bat thúc AM-GM 1) dang bat AM-GM suy r®ng Đ¾c bi¾t, chương trình bày m®t so phương pháp chúng minh bat thúc AM-GM cna nhà toán hoc noi tieng Đ%nh lý 1.5 (xem [1]-[2]) Giá sú x1, x2, , xn so không âm Khi x1 + x2 + · · · + xn “ √n x1 x2 · · · xn n Dau thúc xáy chí x1 = x2 = · · · = xn (1.3) H¾ trnc tiep cna bat thúc AM-GM bat thúc giua trung bình nhân trung bình đieu hòa (goi viet tat bat thúc GMHM.2) H¾ 1.1 (Bat thúc GM-HM, xem [1]) Vói moi b® so dương a1, a2, , an, ta đeu có √n n a1 a2 · · · an 1 + + ··· “ a1 + an a Dau thúc xáy chí a1 = a2 = · · · = an ChÚng minh Sú dung bat thúc AM-GM đoi vói b® so xk := ak (k = 1, 2, , n), ta có bat thúc GM-HM Arithmetic mean value -Trung bình c®ng, Geometric mean value -Trung bình nhân Harmonic mean -Trung bình đieu hòa Cho đen nay, ngưòi ta biet đen hàng trăm cách khác đe chúng minh Bat thúc giua giá tr% trung bình c®ng trung bình nhân Moi cách chúng minh Đ%nh lý 1.5 đeu có nhung đ¾c thù theo ý tưóng muc tiêu riêng cna nhà toán hoc Có nhung cách chúng minh (cna m®t so nhà khoa hoc noi tieng) xuat phát tù nhung ý tưóng tưóng không liên quan trnc tiep tói giá tr% trung bình c®ng trung bình nhân cna b® so dương cho Sau đây, ta se trình bày m®t so cách chúng minh tương đoi sơ cap de hieu giúp ta nhìn nh¾n mó r®ng sau m®t cách h¾ thong có tính lôgic tn nhiên (xem [1]) 1.2.1 Quy nap kieu Cauchy Đây kieu quy nap theo c¾p hưóng (lên-xuong) Cauchy đe xuat vào năm 1821 Tù h¾ thúc b¾c hai u2 + u2 “ 2u1u2, ∀u1, u2 ∈ R, (1.4) ta suy x1 + x2 √ x1x2, ∀x1, x2 không âm (1.5) “ x3 + x4 Thay x1, x2 lan lưot bang bien mói x1 + x2 , tù (1.5) ta đưoc nh¾n 2 x1 + x2 + x3 + “ x4 x + x2 x3 + x4 “ 2 1 √ “ [(x1x2)2 (x3x4)2 ] = x1x2x3x4 (1.6) Tiep tuc trình ta thay bat thúc (1.3) vói n = 2, 4, nói chung, vói n lũy thùa cna Đây quy nap theo hưóng lên Bây giò ta thnc hi¾n quy trình quy nap theo hưóng xuong phía dưói Ta chúng minh rang, bat thúc (1.3) vói n (n > 1) vói n − Thay xn (1.3) bói x1 + x2 + · · · + xn−1 n − = ... Chương Phân thức quy quy suy rộng 22 2.1 Phân thúc quy 22 2.1.1 Phân thúc quy bien 22 2.1.2 Phân thúc quy nhieu bien 24 2.2 Phân thúc quy suy rông 28 2.2.1 Phân thúc quy suy... thong giái quyet toán liên quan đen phân thúc quy Lu¾n văn đưoc chia làm ba chương: Chương Một so dang đai lưong trung bình bán Chương Phân thúc quy quy suy rộng Chương Các dang toán liên quan Đe... ĐAI HOC KHOA HOC Trần Thị Nhung PHÂN THÚC CHÍNH QUY NHIEU BIEN VÀ CÁC DANG TOÁN LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cap Mã so: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THAC SY TOÁN HOC NGƯỜI HƯỚNG DAN KHOA