LÝ THUYẾT các hệ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC và GIẢI TAM GIÁC

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông. Cho tam giác ABCABC vuông góc tại đỉnh AA (ˆA=900A=900), ta có: 1. b2=ab′;c2=a.c′b2=ab′;c2=a.c′ 2. Định lý Pitago : a2=b2+c2a2=b2+c2 3. a.h=b.ca.h=b.c 4. h2=b′.c′h2=b′.c′ 5. 1h21h2 = 1b21b2 + 1c21c2 1. Định lý cosin Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosincosin của góc xen giữa chúng. Ta có các hệ thức sau: a2=b2+c2−2bc.cosA(1)b2=a2+c2−2accosB(1)c2=a2+b2−2bccosC(3)a2=b2+c2−2bc.cosA(1)b2=a2+c2−2accosB(1)c2=a2+b2−2bccos⁡C(3) cosA=b2+c2−a22bccos⁡A=b2+c2−a22bc cosB=a2+c2−b22accos⁡B=a2+c2−b22ac cosC=a2+b2−c22abcos⁡C=a2+b2−c22ab Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác: Cho tam giác ABCABC có các cạnh BC=a,CA=bBC=a,CA=b và AB=cAB=c. Gọi ma,mbma,mb và mcmc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh A,B,CA,B,C của tam giác. Ta có ma2ma2 = 2.(b2+c2)−a242.(b2+c2)−a24 mb2mb2 = 2.(a2+c2)−b242.(a2+c2)−b24 mc2mc2 = 2.(a2+b2)−c242.(a2+b2)−c24 2. Định lí sin

LÝ THUYẾT CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC

Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông

Cho tam giác ABCABC vuông góc tại đỉnh AA (ˆA=900A^=900), ta có:

1 b2=ab′;c2=a.c′b2=ab′;c2=a.c′

2 Định lý Pitago : a2=b2+c2a2=b2+c2

3 a.h=b.ca.h=b.c

4 h2=b′.c′h2=b′.c′

5 1h 21h2 = 1b 21b2 + 1c 21c2

1 Định lý cosin

Định lí: Trong một tam giác bất kì, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosincosin của góc xen giữa chúng

Ta có các hệ thức sau:

a2=b2+c2−2bc.cosA(1)b2=a2+c2−2accosB(1)c2=a2+b2−2bccosC(3)a2=b2+c2−2bc.cosA(1)b2=a 2+c2−2accosB(1)c2=a2+b2−2bccos⁡C(3)

cosA=b 2 +c 2 −a 2 2bccos⁡A=b2+c2−a22bc cosB=a 2 +c 2 −b 2 2accos⁡B=a2+c2−b22ac

cosC=a 2 +b 2 −c 2 2abcos⁡C=a2+b2−c22ab

Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác:

Cho tam giác ABCABC có các cạnh BC=a,CA=bBC=a,CA=b và AB=cAB=c

Gọi ma,mbma,mb và mcmc là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các

đỉnh A,B,CA,B,C của tam giác Ta có

ma2ma2 = 2.(b 2 +c 2 )−a 2 42.(b2+c2)−a24

mb2mb2 = 2.(a 2 +c 2 )−b 2 42.(a2+c2)−b24

mc2mc2 = 2.(a 2 +b 2 )−c 2 42.(a2+b2)−c24

2 Định lí sin

Định lí: Trong tam giác ABCABC bất kỳ, tỉ số giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác, nghĩa là

asinA=bsinB=csinC=2RasinA=bsinB=csinC=2R

với RR là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Công thức tính diện tích tam giác:

Ta kí hiệu ha, hb và hc là các đường cao của tam giác ABCABC lần lượt vẽ từ các

đình A,B,CA,B,C và SS là diện tích tam giác đó

Diện tích SS của tam giác ABCABC được tính theo một trong các công thức sau

S=12absinC=12bcsinA=12casinBS=12absin⁡C=12bcsin⁡A=12casin⁡B ( 1)

S=abc4RS=abc4R (2)

S=prS=pr (3)

S=√ p(p−a)(p−b)(p−c) S=p(p−a)(p−b)(p−c) (công thức Hê - rông) (4)

3 Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc

Giải tam giác : Giải tam giác là tìm một số yếu tố của tam giác khi đã biết các yếu tố khác của tam giác đó

Muốn giải tam giác ta cần tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho với các yếu tố chưa biết của tam giác thông qua các hệ thức đã được nêu trong định lí cosin, định lí sin và các công thức tính diện tích tam giác

Các bài toán về giải tam giác: Có 3 bài toán cơ bản về gỉải tam giác:

a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí sin để tính cạnh còn lại

b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính cạnh thứ ba

c) Giải tam giác khi biết ba cạnh

Đối với bài toán này ta sử dụng định lí cosin để tính góc

cosA=b 2 +c 2 −a 2 2bccos⁡A=b2+c2−a22bc

cosB=a 2 +c 2 −b 2 2accos⁡B=a2+c2−b22ac

cosC=a 2 +b 2 −c 2 2abcosC=a2+b2−c22ab

Chú ý:

1 Cần lưu ý là một tam giác giải được khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố

độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2)

2 Việc giải tam giác được sử dụng vào các bài toán thực tế, nhất là các bài toán đo đạc