SKKN_MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ (File word tải về để không bị lỗi font)

SKKN_MỐT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ SKKN_MỐT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ SKKN_MỐT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ SKKN_MỐT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG KHÔNG GIAN OXYZ

Trang 1

SKKN: MỘT SÔ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong chương trình Hình học giải tích lớp 12, bên cạnh các dạng toán quen tḥc như: viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng, mặt cầu, tìm tọa đợ điểm… ta còn gặp các bài toán tìm vị trí của điểm, đường thẳng hay mặt phẳng liên quan đến một điều kiện cực trị Đây là dạng Toán khó, chỉ có chương trình nâng cao và đề tuyển sinh Đại học, cao đẳng.

Trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 và nghiên cứu, thấy là dạng toán không chỉ khó mà còn khá hay, lôi cuốn được các em học sinh khá giỏi Nếu ta biết sử dụng linh hoạt và khéo léo kiến thức của hình học túy, véctơ, phương pháp tọa đợ, giải tích có thể đưa bài toán về một bài toán quen thuộc.

Với tinh thần trên, nhằm giúp các em hứng thú hơn, tạo cho các em niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở mợt cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức học, tạo nền tảng cho các học sinh tự học, tự nghiên cứu, tơi trình bày chun đề

“ Mợt sớ bài toán cực trị hình học giải tích lớp 12”.

II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi.

- Học sinh được trang bị kiến thức, các bài tập được luyện tập nhiều.

- Học sinh hứng thú tiết học, phát huy được khả sáng tạo, tự học và yêu thích môn học.

- Có sự khích lệ từ kết quả học tập của học sinh thực hiện chuyên đề

2 Khó khăn.

- Giáo viên mất nhiếu thời gian để chuẩn bị các dạng bài tập

- Nhiều học sinh bị mất kiến thức bản hình học khơng gian, khơng nắm

vững các kiến thức về hình học, vec tơ, phương pháp đợ không gian - Đa số học sinh yếu môn hình học.

III NỘI DUNG.

1.Cơ sở lý luận.

Cung cấp cho học sinh không chỉ kiến thức mà cả phương pháp suy luận, khả tư Từ những kiến thức bản phải dẫn dắt hoc sinh có được những kiến thức nâng cao một cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao).

Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp tọa độ không gian để giải các bài toán được đặt ra.

2. Nội dung.

Trang 2

3 2

2.1 Nhắc lại một số dạng toán hay sử dụng

a. Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên mặt phẳng (α)α))

- Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên (α).).

- Viết phương trình đường thẳng MH(qua M và vng góc với (α).))

- Tìm giao điểm H của MH và (α).)

Nếu yêu cầu tìm điểm M’ đới xứng với M qua mặt phẳng (α).) ta tìm hình chiếu H của M lên (α).), dùng công thức trung điểm suy tọa độ M’.

b Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M lên đường thẳng d:

- Viết phương trình tham sớ của d - Gọi H  dcó tọa độ theo tham số t

- H là hình chiếu vng góc của điểm M lên d khi

- Tìm t, suy tọa độ của H.

2.2 Ca ́c bài toán cực trị liên quan đ ến tìm một điểm thỏa điều kiện cho trước.

Bài toán 1: Cho n điểm A1, A2, An, với n số k1, k2,.,kn thỏa k1+ k2+ ….+kn = k ≠ vàđường thẳng d hay mặt phẳng (α)α)) Tìm điểm M đường thẳng d hay mặt phẳng (α)α))sao cho k MA1 1 k MA2 2   k MAnn

có giá trị nhỏ nhất.PP chung:

 Tìm điểm I thỏa k IA + k IA + + k IA1 1 2 2  n n 0

 Biến đổi k MA + k MA + + k MA = (k + k + + k )MI = k MI1 1  2 2  n n 1  2  n  Tìm vị trí của M MI

đạt giá trị nhỏ nhất.

2 M là hình chiếu vuông góc của I lên đường thẳng d Đường thẳng d có vtcp u = (1; 1; 1) , phương trình tham sớ d: 2) Gọi điểm J(x; y; z) thỏa JA - 4JB = 0 

Ví dụ 1: Cho đường thẳng  d:x- 4 = y+1 = z

111 và hai điểm A 0;1;5 , B 0;3;3 Tìm tọa đợ điểm M đương thẳng d cho:

1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) MA - 4MB có giá trị nhỏ nhất.

Trang 3

MA - 4MB MJ+ JA- 4(MJ JB MJ MJ có giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của J lên đường thẳng d.

JM = ( t+ 4; t - ; t - ) M là hình chiếu vng góc của J lên đường thẳng d  .0

MG có giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu vng góc của G lên mặt phẳng (α).).

Đường thẳng MG nhận n = (2; -2; 1) làm mợt vecto chỉ phương nên phương trình tham số

MA + MB MC có giá trị nhỏ nhất 2) Gọi I(x; y; z) là điểm thỏa 30

MI có giá trị nhỏ nhất M là hình chiếu vng góc của I lên mặt phẳng (α).)

Phương trình tham sớ của đường thẳng MI: 232

Trang 4

Vậy với 5 ; 245; 135)

M( 3

MA -2MBMC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài toán 2: Cho đa giác A1 A2 ….An và n số thực k1, k2, …., kn thỏa k1+ k2+ ….+ kn = k Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (α) hay đường thẳng) cho tổng T =

k IA k IA k IA không đổi, Biểu thức T nhỏ nhất hoặc lớn nhất MI nhỏ nhất hay M là hình chiếu vng góc của I lên mặt phẳng hay đường thẳng.

Chú ý:

- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k > 0, Biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất MI nhỏ nhất- Nếu k1+ k2+ ….+ kn = k < 0, Biểu thức T đạt giá trị lớn nhất MI nhỏ nhất.

Do IA + IB22 không đổi nên MA2 + MB2 nhỏ nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vng góc của I lên (α).) Đường thẳng IM qua điểm I và có vtcp nα).(1; 2; 2)

Phương trình tham sớ MI: 32

, AB2 không đổi nênMA2 + MB2 nhỏ nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vuông góc của Ilên (α)α)).

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α).): x + 2y + 2z + = và ba điểm A(1; 2; -1), B(3; 1; -2),

C(1; -2; 1).

1) Tìm M mặt phẳng (α).) cho MA2 + MB2 có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm M mặt phẳng (α).) cho MA2 - MB2 – MC2 có giá trị lớn nhất.

Trang 5

2) Gọi J(x; y; z) là điểm thỏa JA - JB -JB = 0               

Do JA JB22 JC2 không đổi nên MA2 - MB2 – MC2 lớn nhất MJ nhỏ nhất hay M là hình chiếu của J mặt phẳng (α).).

Đường thẳng JM qua điểm I và có vtcp nα).(1; 2;2)

Phương trình tham số MJ:

Do IA - IB22 không đổi nên MA2 -2 MB2 lớn nhất MI2 có giá trị nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vng góc của I lên d.

Đường thẳng d có vtcp u(1;2;1), phương trình tham sớ d:

M d  M(1 t; 2t; t)   , IM = ( t-3; 2t + ; t - 3) M là hình chiếu vng góc của I lên đường thẳng d  .0

B( 2; -1; 2), C(4; 3; 3) Hãy tìm tọa độ điểm M d cho 1) MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất

2) MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.

Trang 6

Vậy với ( ; ; )1 7 3 3

M MA2 - 2MB2 có giá trị lớn nhất.

Nhận xét:Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số để tìm vị trí của điểm M

Do GA GB22 GC2 không đổi nên MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất MG nhỏ nhất, hay M là hình chiếu vng góc của G lên đường thẳng d.

M MA2 + MB2 + MC2 có giá trị nhỏ nhất.

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) có phương trình:ax + by + cz + d = và hai điểm A,B

không thuộc (α)α)) Tìm điểm M (α)α)) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.PP chung:

1. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+byB+ czB+ d) < A, B nằm về hai phía với (α).) Để MA + MB nhỏ nhất M thuộc AB hay M là giao điểm của (α).) và AB.

Trang 7

2. Nếu (axA+byA+ czA + d)(axB+ byB+ czB+ d) >0 A, B nằm về mợt phía với (α).) Khi đó ta tìm điểm A’ đối xứng với A qua (α).) Do MA + MB = MA’+ MB mà đạt giá trị nhỏ nhất M thuộc A’B hay M là giao điểm của (α).) và A’B.

Thay tọa độ của A và B vào phương trình (α).) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).) Ta có MA + MB có giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của AB và (α).).

Đường thẳng AB qua điểm B, nhận  (1; 1;0)

Phương trình tham sớ của AB:

1) Thay tọa đợ của A và B vào phương trình (α).) ta thấy hai điểm nằm về một phía của (α).) Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua (α).), để MA + MB có giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của A’B với (α).).

Đường thẳng AA’ qua A và vuông góc với (α).), AA’ nhận   (1; 1;2)

phương nên phương trình tham sớ AA’:

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (α).) có phương trình: x – y + 2z = và ba điểm A(1; 2;-1), B(3;

1; -2), C(1; -2; -2) Hãy tìm điểm M d cho 1) MA + MB có giá trị nhỏ nhất

2) MA - MC có giá trị lớn nhất.

Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α).) có phương trình:

x – 2y – 2z + = và hai điểm A(1; 1; 2), B(2; 0; 2) Tìm tọa đợ điểm M mặt phẳng (α).) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

Trang 8

Vậy với (13;1; 4)

M MA + MB có giá trị nhỏ nhất.

2) Thay tọa độ của A và C vào phương trình (α).) ta thấy hai điểm nằm về hai phía của (α).).Vậy nên A’ và C nằm cùng một phía đối với (α).).

Ta thấy MA - MCMA' - MCA'C.

Nên MA - MC đạt giá trị lớn nhất M thuộc A’C phía ngoài đoạn A’C, tức M là giao điểm của A’C và (α).) Đường thẳng A’C có vtcp   ( 1; 3; 3) 

M MA - MC có giá trị lớn nhất.

Bài toán 4: Cho đường thẳng d và hai điểm phân biệt A,B không thuộc d Tìm điểm M

trên đường thẳng d cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất.PP chung:

1. Nếu d và AB vng góc với nhau

Ta làm sau:

- Viết phương trình mặt phẳng (α).) qua AB và vng góc với d - Tìm giao điểm M của AB và (α).)

- Kết luận M là điểm cần tìm.

2. Nếu d và AB khơng vng góc với nhau

Ta làm sau:

- Đưa phương trình của d về dạng tham sớ, viết tọa độ của M theo tham số t - Tính biểu thức MA + MB theo t, xét hàm số f(t) = MA + MB

- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số f(t), từ đó suy t - Tính tọa độ của M và kết luận.

CD = 14 -10 – =  dCD Xét mặt phẳng (P) qua CD và vuông góc với d (P) qua điểm C(-4; 1; 1) và nhận u(2; 2;1) làm vecto pháp tuyến

Phương trình (P): 2(x +4) – 2(y -1) + 1(z -1) = hay 2x – 2y + z + = 0

Điểm M thuộc d thỏa MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất M là giao điểm của d và mp(P) Tọa độ M ứng với t là nghiệm của phương trình:

1 và hai điểm C(-4; 1; 1), D(3; 6; -3) Hãy tìm điểm M d cho MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất.

Trang 9

Vậy M(-3; 2; 1) MC + MD đạt giá trị nhỏ nhất bằng: 2 17

AB OA= (0; 2; 1)(3; 0; 2) = + +2 = nên AB và Ox chéo Phương trình tham sớ của Ox: 0

Ta phải tìm t cho S đạt giá trị nhỏ nhất Trong mặt phẳng tọa độ với hệ Oxy xét các điểm Mt(t; 0)  Ox và hai điểm At(3;2), Bt(2; 1) S = MtAt + MtBt

Ta thấy At, Bt nằm cùng phía với Ox nên ta lấy At’(3; -2) đối xứng với At qua Ox Phương trình đường thẳng At'Bt : 3x + y – = 0

S = MtAt + MtBt nhỏ nhất M là giao điểm của Ox và At'Bt  3t - = hay 7

Cách khác: Ta có thể tìm điểm M bằng phương pháp khảo sát hàm số.

Ta xét hàm số f t   (t -3)2 4(t -2)21 (t R)

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(3; 0; 2), B(2; 1; 0) Hãy tìm điểm M trục Ox cho

MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Trang 10

u AB NA= (-5; 4; 2)(-2; -1; 0) = 10 – =  d và AB chéo nhau.

- Chu vi tam giác MAB là 2p = 2(MA + MB + AB), AB không đổi nên 2p đạt giá trị nhỏ nhất MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét điểm M d M(1 ; t 2+2t;1t), ta phải tìm t để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

1 và hai điểm A(-1; 1; 1), B(1; 4; 0) Hãy tìm điểm M d cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.

Trang 11

Ta thấy f(t) đạt giá trị nhỏ nhất t = 1

3 

Hay với 2 1; ; ) 3 3

M( MA + MB đạt giá nhỏ nhất 2

Nhận xét: Trong dạng toán này nếu ta dùng phương pháp khảo sát hàm số thì việc tìmt sẽ đơn giản

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng d1,d2 chéo Tìm các điểm M d1, N d2 là chânđoạn vuông góc chung của hai đường trên.

PP chung:

- Viết phương trình hai đường thẳng dạng tham sớ - Lấy M d1 và N d2( tọa độ theo tham số) - Giải hệ phương trình   1 0

MN u (u1,

u là các véctơ chỉ phương của d1 và d2 ) - Tìm tọa đợ M, N và kết luận.

Hay d1 và d2 chéo nhau.

2) Md1 và Nd2 cho độ dài MN ngắn nhất và chỉ MN là độ dài đoạn vuông góc chung của d1 và d2

Phương trình tham sớ của hai đường thẳng

Do đó M(7; 3;9) và N(3; 1; 1) đợ dài MN ngắn nhất 21

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng 1: 1) Chứng minh d1, d2 chéo nhau

2) Tìm điểm Md1 và Nd2 cho đợ dài MN ngắn nhất.

Trang 12

M lên AB

nhất MH nhỏ nhất, hay MH là đoạn vuông góc chung của AB và d.

Ta thấy d qua M1(2; 4; -2), có vtcp u(1;1;0) AB qua A(1; 2; 3) và 

AB (0; -2;-2) =2 1 u với 1(0;1;1)

u là véc tơ chỉ phương của AB Phương trình tham sớ AB

- Giả sử mặt cầu (S) có tâm I, bán kính R tiếp xúc với d tại M, tiếp xúc với Ox tại N - Ta thấy 2R = IM + IN ≥ MN, đó mặt cầu (S) có đường kính nhỏ nhất là 2R = MN

khi và chỉ MN nhỏ nhất hay MN là đoạn vuông góc chung của d và Ox Đường thẳng d qua M(0; 0; 2), có vtcp u(0;1; 1) ,

Ox qua O(0; 0; 0), có vtcp i (1;0;0).

[ ,u i ]OM = (0; 0; -1)(0; 0; 2) = -2 0 nên d và Ox chéo nhau.

và hai điểm A(1;2; 3),B(1; 0; 1) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất

Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:

Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d và trục Ox, viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ nhất.

Trang 13

Các bài toán cực trị liên quan đến vị trí của đường thẳng, mặt phẳng.

Bài toán 1: Cho hai điểm phân biệt A,B Viết phương trình mặt phẳng (α)α)) qua A và

cách B một khoảng lớn nhất.

PP chung:

Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên mặt phẳng (α).), đó tam giác ABH vuông tại H và khoảng cách d(B; (α).)) = BH ≤ AB Vậy d(B; (α).)) lớn nhất AB A ≡ H, đó (α).) là mặt phẳng qua A và vuông góc với AB.

(α).) cách điểm I(3; -1; -2) một khoảng lớn nhất (α).) là mặt phẳng qua D và vuông góc với DI (α).) nhận (2;

DI 1; -5) làm vectơ pháp tuyến

Phương trình mặt phẳng(α).): 2(x -1) + 1(y +2) – 5(z -3 ) =  2x + y – 5z + 15 = 0

Phương trình mặt cầu (S): (x -2)2 + (y -1)2 + (z – 3)2 = 9.

Bài toán 2: Cho điểm A và đường thẳng ∆ không qua A Viết phương trình mặt

phẳng (α)α)) chứa ∆ cho khoảng cách từ A đến (α)α)) lớn nhấtPP chung:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (α).),

K là hình chiếu vng góc của A lên ∆

Ta có d(A; (α).)) = AH ≤ AK lớn nhất H ≡ K, đó

(α).) là mặt phẳng qua ∆ và vuông góc với AK Hay (α).) qua ∆

và vuông góc với mp(∆, A).

Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng (α).) qua điểm D(1; 2; 3) và cách điểm I(3;

-1; -2) một khoảng lớn nhất.

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(2; 1; 3), B(1; -1; 1), gọi (α).) là mặt phẳng qua A Trong các

mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (α).), viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính lớn nhất.

Trang 14

Mặt phẳng (α).) qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất (α).) qua hai điểm A, B và vuông góc với mp(ABC).

Phương trình (α).): 8(x -2) -11(y -1) -7(z +1) = hay 8x – 11y – 7z – 12 = 0.

Bài toán 3: Cho mặt phẳng (α)α)) và điểm A thuộc (α)α)), lấy B không thuộc (α)α)) Tìm đường

thẳng ∆ nằm (α)α)) qua A và cách B một khoảng lớn nhất, nhỏ nhất.PP chung:

Gọi H là hình chiếu của B lên ∆ ta thấy d(B; ∆) = BH ≤ ABVậy khoảng cách từ B đến ∆ lớn nhất

A ≡ H hay ∆ là đường thẳng nằm trong

(α).) và vng góc với AB.

Gọi K là hình chiếu vuông góc của B lên (α).) đó d(B; (α).)) = BH ≥ BK

Vậy khoảng cách từ B đến ∆ nhỏ nhất khi

K ≡ H hay ∆ là đường thẳng qua hai điểm A, K.

Ví dụ 1: Cho ba điểm A(2; 1; 3), B(3; 0; 2); C(0; -2; 1) Viết phương trình mặt phẳng

(α).) qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất.

Ví dụ 2: Cho hai dường thẳng 1

1) Chứng minh hai đường thẳng song song với nhau.

2) Trong các mặt phẳng chứa d1, viết phương trình mặt phẳng (α).) cho khoảng cách giữa d2 và (α).) là lớn nhất.

Trang 15

2) Ta có: d(B; ∆) lớn nhất ∆ là đường thẳng nằm (α).), qua A và vuông góc AB.

∆ có véctơ chỉ phương                 [, ] (16;11; 10)

Do d(D; ∆) lớn nhất ∆ nằm (α).), qua C và vuông góc với CD.

∆ có véctơ chỉ phương                 [ , ] (1; 8;5) 

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α).): 2x – 2y + z + 15 = và điểm A (-3; 3; -3)

Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α).), qua điểm A và cách điểm B(2;3; 5) một khoảng :

1) Nhỏ nhất 2) Lớn nhất.

Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm C(2; -1; 3), vuông góc với

đường thẳng d:

x-3y+2z +5

và cách điểm D(4; -2; 1) một khoảng lớn nhất.

Ví dụ 3: Cho hai điểm A(2; 1; -1), B(-1; 2; 0) và đường thẳng d:

1) Viết phương trình mặt phẳng (α).) qua d và B.

2) Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆1 lớn nhất.

3) Viết phương trình đường thẳng ∆2 qua B cắt d cho khoảng cách từ A đến ∆2 nhỏ nhất.

Trang 16

(α).) qua B nhận   (1;1;1)

n làm véctơ pháp tuyến nên pt (α).): x + y + z – = 2) Gọi H là hình chiếu của A lên (α).), để d(A, ∆1) nhỏ nhất ∆1 qua hai điểm B,H Phương trình tham sớ AH:

3) Gọi K là hình chiếu của A lên ∆2 ta có d(A, ∆2 ) = AK ≤ AB, để d(A, ∆2 ) lớn nhất K ≡ B hay ∆2 nằm (α).)và vuông góc với AB.

Chú ý : Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số đề giải ý và ý ví dụ 3.

Gọi ∆ là đường thẳng tuỳ ý qua B và cắt d, giả sử ∆ cắt d tại điểm N(1+t, 0;-t), đó ∆ có véc tơ chỉ phương    ( t;2; )t

Trang 17

Từ bảng biến thiên ta thấy:

 d(A;∆) lớn nhất 11 t = -2  N(-1; 0;2); (0;2; 2) 2(0;1; 1)

Bài toán 4: Cho mặt phẳng (α)α)) và điểm A thuộc (α)α)), đường thẳng d không song song

hoặc nằm (α)α)) và không qua A Tìm đường thẳng ∆ nằm (α)α)), qua A saocho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.

PP chung:

Gọi d1 là đường thẳng qua A và song song với d, B là giao điểm của d với (α).).

Xét (P) là mặt phẳng (d1, ∆), H và I là hình chiếu vng góc của B lên (P) và d1.

Ta thấy khoảng cách giữa ∆ và d là BH và BH ≤ BI nên BH lớn nhất I ≡ H, đó ∆ có vtcp                 [ , ]

Xét d1 là đường thẳng qua A và song song với d Phương trình tham sớ đường thẳng d1:

, mặt phẳng (α).): 2x – y – z + = và điểm A( -1; 1; 1).Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm (α).), qua A cho khoảng cách giữa ∆ và d là lớn nhất.

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1= 0, điểm A(1; -1; 2) và đường thẳng ∆

Trang 18

Mặt phẳng (α).) qua A và song song với (P) có pt: x + y – z + 2=  d nằm (α).) Đường thẳng ∆ có vtcp u(2;1;-3), (α).) có vtpt    Xét ∆1 là đường thẳng qua A và song song với ∆ Phương trình tham sớ đường thẳng ∆1:

Bài toán 5: Cho hai đường thẳng ∆1 và ∆2 phân biệt và không song song với Viếtphương trình mặt phẳng (α)α)) chứa ∆1 và tạo với ∆2 một góc lớn nhất.

Lời giải:

Vẽ một đường thẳng bất kỳ ∆3 song song với ∆2 và cắt ∆1 tại M Gọi I là điểm cớ định trên

∆3 và H là hình chiếu vuông góc của I lên mp(α).), kẻ IJ ∆1

Góc giữa (α).) và ∆2 là góc IMH

Trong tam giác vuông HMJ có cosIMH=HM MJ

IMIM không đổi Suy góc IMH lớn nhất MJ = MI hay H ≡ J, đó

IMH =(∆1,∆2) và (α).) là mặt phẳng chứa ∆1 đồng thời vuông

góc với mặt phẳng (∆1,∆2)

và hai điểm A( 3; -4; 2), B( 4; -3; 4).

Viết phương trình mặt phẳng (α).) chứa AB và tạo với d mợt góc lớn nhất.

Trang 19

SKKN: MỢT SƠ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 12

Mặt phẳng (α).) qua điểm A và nhận [ ,  ] (3; 3;0) 3(1; 1;0)   

Phương trình mp(α).): 1(x – 3) - 1(y + 4) = hay x – y – = Khi đó cos((α).),d) = 2 2 3

Oy có véctơ chỉ phương j (0;1;0)nên d và Oy không song song

Theo bài toán nếu (α).) tạo với trục Oy góc lớn nhất (α).) chứa d và vng góc với mp(d,Oy), đó (α).) nhận [nP,[nP, ]]j = -2( 1; 4; 1) làm véctơ pháp tuyến nên pt (α).):

1(x -1) + 4(y -1) +1( z + 1) = hay x + 4y + z – = 0.

Bài toán 6: Cho mặt phẳng (α)α)) và điểm A thuộc (α)α)), đường thẳng d không song song

hoặc nằm (α)α)) Tìm đường thẳng ∆ nằm (α)α)), qua A và tạo với d góc lớnnhất, nhỏ nhất.

PP chung:

Vẽ đường thẳng d1 qua A và song song với d Trên d1 lấy điểm B khác A là điểm cố định, gọi K, H là hình chiếu vng góc của B lên (α).) và ∆.

Ta có góc (d, ∆) = BAH

và sin(d, ∆) = sinBAH=BH AB≥BK

AB Do góc (d, ∆) nhỏ nhất K ≡ H hay ∆ là đường thẳng AK

Góc (d, ∆) lớn nhất 900 ∆d và ∆ có vtcp                [ , ]

(α).) có vectơ pháp tuyến n (2;2; )-1 , d có vectơ ud (1;1;1) qua điểm M(-2; 1; 3) Ta thấy A(α).) mặt khác 

n ud 0 nên d không song song hoặc nằm (α).) 1) ∆1 tạo với d một góc lớn nhất ∆1d

Do đó ∆1 có vectơ chỉ phương  1       [ ,         ]

u u n = (-3; 3; ) = -3(1; -1; 0)

Ví dụ 2: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Trong các mặt

phẳng qua A và vng góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α).) tạo với trục Oy góc lớn nhất.

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng (α).): 2x + 2y – z – = 0, điểm A(1; 2; -2) và đường thẳng d:

Trang 20

Phương trình tham sớ của ∆1:

Đường thẳng d có vectơ ud (2;1;1).

Xét mặt phẳng (α).) qua A và vuông góc với d ∆ nằm (α).)

(α).) nhậnud (2;1;1)làm vectơ pháp tuyến Phương trình (α).): 2x + y + z – = Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên (α).), BH có vectơ ud (2;1;1)

Phương trình tham sớ của BH

Ví dụ 2: Cho hai điểm A(1; 0; 0) , B( 0; -2; 0) và đường thẳng d: x-12 y-21 z -31 Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc với d và tạo với AB một góc nhỏ nhất.

Trang 21

Bài tập áp dụng.

Bài 1: Cho ba điểm A(1; -2; 1), B(-1; 1; 2), C(2; 1; -2) và mặt phẳng (α).) có phương trình

x + 2y – 2z + = 0.

1) Tìm điểm M (α).) cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất 2) Tìm điểm N (α).) cho NA + NC có giá trị nhỏ nhất.

3) Tìm điểm S (α).) cho SA2 + SB2 – 3SC2 có giá trị lớn nhất 4) Tìm điểm P (α).) cho    4

PA +2PB PC có giá trị nhỏ nhất.

Bài 2: Cho đường thẳng  :

x-2y + 1z+2

-1 và hai điểm A(3; 1; 1), B(-1; 2; -3) Hãy tìm điểm M d cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 3: Cho đường thẳng  :

1 và hai điểm A(0; 1; 1), B(1; 2; 3) Tìm điểm M d cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất.

Bài 4: Cho đường hai thẳng d1:

Trong các mặt cầu tiếp xúc với cả hai đường thẳng d1 và d2, viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính nhỏ

, với t   và m là tham số.

1) Chứng minh họ dm qua một điểm cố định và nằm mợt mặt phẳng cớ định.

2) Tìm m để khoảng cách từ dm đến gốc tọa độ lớn nhất, nhỏ nhất 3) Tìm m để khoảng cách từ dm và trục Oy lớn nhất.

4) Tìm m để dm tạo với trục Ox góc lớn nhất, nhỏ nhất.

Bài 7: Cho hai điểm A(1; 3; -1), B( 0; 0; 2) và đường thẳng d có phương trình

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm I(-1; 1; 0), vuông góc với trục Oy và tạo với d một góc

1 Nhỏ nhất Lớn nhất

Trang 22

Bài 8: Cho điểm B(2; -1; -2), mặt phẳng (P): x – y + z + = và đường thẳng d:

Trong các mặt phẳng qua B và vuông góc với (P), viết phương trình mặt phẳng (α).) tạo với d một góc lớn nhất

Bài 9: Cho điểm A(0; -1; 1) và ba đường thẳng ∆:

2) Trong các đường thẳng qua A và nằm (P), viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và ∆ lớn nhất.

Bài 10: Cho tứ diện ABCD với A(1;0;0), B(0; 1; 0),C(0; 0;1) và D(-2;-1;-2).

1) Tìm điểm M cho 

MA + MBMCMD có giá trị nhỏ nhất.

2) Tìm điểm N mặt phẳng (ABC) cho NA2 – NB2 – 2ND2 có giá trị lớn nhất

3) Cho (P) là mặt phẳng qua D và song song với (ABC), các đường thẳng qua D mp(P) Hãy viết phương trình đường thẳng d cho khoảng cách giữa d và trục Oz lớn nhất.

Bài 11: Cho hai điểm A(2; 1; -3), B(1; 2; 0) và đường thẳng d:

Viết phương trình đường thẳng ∆ qua C, nằm mặt phẳng (P): x + y + z -1 = cho khoảng cách từ D đến ∆ là nhỏ nhất.

Bài 13: Cho điểm A(1; 1; -1) và mặt phẳng (α).): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt

phẳng (P) qua A, vuông góc với (α).) và tạo với Oz một góc lớn nhất.

Bài 14: Cho điểm A(2; -1; 0) và hai đường thẳng có phương trình

= = Trong các đường thẳng qua A và cắt ∆1 viết phương trình đường thẳng ∆sao cho khoảng cách giữa ∆và ∆2 là lớn nhất.

Bài 15: Trong các mặt cầu qua điểm E(1; 2; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) 2x – 2y

+ z – = Hãy viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất.

Trang 23

IV KẾT LUẬN.

Chuyên đề này được thực hiện giảng dạy tham gia dạy 12NC và Luyện thi Đại học Trong quá trình học chuyên đề này, học sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng, linh hoạt, sáng tạo các kiến thức học, tạo nền tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu.

Dạng toán cực trị hình học giải tích khơng gian nói chung rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán lại có rất nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức học sẽ làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sự sáng tạo Để đạt kết quả cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm các tài liệu tham khảo liên quan.

Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài tập phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải.

Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải song việc tìm mợt lời giải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc không dễ Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm chắc các kiến thức bản sau đó là cung cấp cho học sinh cách nhận dạng bài toán, thể hiện bài toán từ đó học sinh có thể vận dụng linh hoạt các kiến thức bản, phân tích tìm hướng giải tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu

Tuy nội dung của chuyên đề khá rộng, song khuôn khổ thời gian có hạn người viết chỉ được các ví dụ, bài toán điển hình Rất mong sự đóng góp ý kiến của các bạn quan tâm và đồng nghiệp để chuyên đề này được đầy đủ hoàn thiện hơn.

V TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Hình học 12, Bài tập hình học 12 – nhà XBGD năm 2008.

2 Hình học 12 nâng cao, Bài tập hình học 12 nâng cao – nhà XBGD năm 2008 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ năm 2010.

4. Các dạng Toán LT ĐH của Phan Huy Khải- NXB Hà Nội năm 2002.

Đồng Hới, ngày 12 tháng 05 năm 2013

Người thực hiện

Hoàng Thị Hồng Cầm

Định dạng
Số trang	23
Dung lượng	1,25 MB