skkn một số bài toán cực trị trong không gian

Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN PHỤC VỤ CHO KHEN THƯỞNG THI ĐUA CẤP CƠ SỞ NĂM HỌC 2016 – 2017 Giải pháp : HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN “NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH CỦA HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU” TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Nguyễn Thanh Tài – Cử nhân sư phạm, Giáo viên Châu Đức, năm học 2016-2017 Sáng kiến kinh nghiệm Trang1 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích MỤC LỤC Trang PHẦN MỞ ĐẦU Sự cần thiết hình thành giải pháp …………………………………….1 Mục tiêu giải pháp………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu giải pháp…………………………………2 Giới hạn giải pháp phạm vi áp dụng…………………………… Cơ sở lý luận thực tiễn…………………………………………… 2,3 Kế hoạch thực hiện…………………………………………………… PHẦN NỘI DUNG Thực trạng mâu thuẫn……………………………………… Nội dung…………………………………………………………….4 – 12 Hiệu áp dụng……………………………………………………….13 PHẦN KẾT LUẬN Ý nghĩa đề tài công tác …………………………………….13 Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển…………………………………13 Đề xuất………………………………………………………………….13 Sáng kiến kinh nghiệm Trang2 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích PHẦN MỞ ĐẦU: Sự cần thiết hình thành giải pháp:  Toán học môn học đòi hỏi tư logic, phải biết vận dụng kết hợp nhiều kiến thức lại với Do đó, việc hình thành phương pháp giải dạng toán cho em học sinh cần cần thiết, đặc biệt việc thi trắc nghiệm cần nhanh lẹ xác  Phương pháp tọa độ không gian phân môn toán học quan trọng xuất kì thi THPT Quốc gia tuyển sinh Cao đẳng – Đại học Để lĩnh hội kiến thức phân môn dễ dàng đòi hỏi người học phải tư tốt biết kết hợp tính toán đại số tính chất hình học túy không gian  Đối với toán hình học không gian liên quan đến cực trị, dùng tính toán đại số thường gây khó khăn cho học sinh, dễ sai xót trình tính toán Tuy nhiên, để ý đến tính chất hình học việc giải toán dễ dàng hơn, giảm việc tính toán Vì vậy, đề tài muốn trình bày ‘Hệ thống số toán cực trị không gian’ phương pháp giải để giúp em học sinh nắm phương pháp giải số toán cực trị không gian làm tài liệu tham khảo Mục tiêu giải pháp:  Nhằm hệ thống cho học sinh số dạng toán phương pháp tọa độ không gian góp phần giúp em giải tốt toán hình học giải tích  Giúp em học sinh nâng cao tư kĩ tính toán qua hy vọng cung cấp cho học sinh dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức giúp em bước vào kì thi, đặc biệt kì thi THPT Quốc gia Sáng kiến kinh nghiệm Trang3 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích  Qua đề tài giúp cho thân đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh  Kết hợp định tính định lượng nhằm giúp em hệ thống tố kiến thức học giúp em hứng thú học toán Phương pháp nghiên cứu giải pháp: Cho học sinh nhận xét chứng minh số toán cực trị hình học không gian túy Từ áp dụng vào không gian với hệ trục Oxyz Giới hạn giải pháp phạm vi áp dụng:  Đề tài viết số toán điển hình cực trị phân môn hình học giải tích, chưa nêu hết tất dạng toán Tuy nhiên thông qua toán nhằm giúp cho em nắm chất toán cực trị không gian để từ giải số toán tương tự  Đề tài dạng toán mở rộng chương trình SGK Vì phù hợp với tiết tự chọn tiết dạy chuyên đề ôn thi cho em học sinh Cơ sở lý luận thực tiễn: 5.1 Cơ sở lý luận:  Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất: ∀  x ∈ D : f ( x) ≤ M  ∃x ∈ D : f ( x ) = M - M giá trị lớn hàm số y=f(x) D  ∀  x ∈ D : f ( x) ≤ m  ∃x ∈ D : f ( x ) = m - m giá trị nhỏ hàm số y=f(x) D   Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vuông góc M lên mặt phẳng (P) Sáng kiến kinh nghiệm Trang4 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) khoảng cách từ điểm M đến hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng (d)  Gọi H hình chiếu M lên mặt phẳng (P) Đoạn MH khoảng cách ngắn nối từ điểm M đến điểm mặt phẳng (P)  Với hai đường thẳng chéo độ dài đọan vuông góc chung khoảng cách ngắn nối hai điểm thuộc hai đường thẳng 5.2 Cơ sở thực tiễn:  Phần lớn em học sinh hay lúng túng gặp không khó khăn giải toán hình học tọa độ không gian Bởi lẻ, để giải toán đòi hỏi em cần phải có kiến thức vững hình học không gian  Trong hệ thống tập chương trình giáo khoa có toán cực trị, lý mà làm cho học sinh có hội tiếp cận với dạng toán Kế hoạch thực hiện: Thời gian Từ tháng 10/2015 đến tháng Nội dung -Nghiên cứu , đề xuất 12/2015 Từ tháng 2/2016 đến tháng - Soạn thảo Áp dụng thử nghiệm, đánh giá rút 5/2016 Từ tháng 2/ 2017 kinh nghiệm Triển khai dạy cho số lớp 12A1, 12A12 (Dự kiến) PHẦN NỘI DUNG: 1/ Thực trạng mâu thuẫn:  Do thời lượng hạn chế nên SGK đề cập đến toán cực trị, nên em học sinh tiếp xúc luyện tập dạng Vì gặp em thường hay lung túng gây nhiều khó khăn cho em Sáng kiến kinh nghiệm Trang5 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích  Tuy nhiên, toán cực trị lại toán hay có phương pháp giải lý thú thường mang lại cảm giác hưng phấn cho học sinh, từ khích lệ khả tìm tòi học hỏi cho em 2/Nội dung: Bài toán 1: Cho hai điểm A, B mặt phẳng ( α ) Tìm điểm M thuộc mp ( α ) cho MA + MB nhỏ Phương pháp: TH: Nếu A, B khác phía mp ( α ) M giao điểm AB với mp ( α ) TH: Nếu A, B phía mp ( α ) : B A + Lấy A’ đối xứng với A qua mp ( α ) Ta có MA’=MA + Do đó, MA + MB nhỏ ⇔ MA’ + MB nhỏ α ⇔ M, A’, B thẳng hàng M A’ ⇔ M = A' B I ( α ) Ví dụ 1: Trong không gian (Oxyz), cho hai điểm A( 1;1;1) , B ( −4; − 10;12) mp(α ): x − 2y − z + = Tìm điểm M thuộc mp(α ) cho MA+MB nhỏ Bài giải: Ta nhận thấy A, B nằm phía mp(α ) Gọi A’ điểm đối xứng A qua mp(α ) ⇒ A'( −1;5;3) + Ta có mp(α ) mặt phẳng trung trực AA’ nên M ∈ (α ) ⇒ MA' = MA Sáng kiến kinh nghiệm Trang6 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích Nên, MA+MB nhỏ ⇔ MA’+MB nhỏ (Vì A’,B khác phía đ/v mp(α ) ) ⇔ M = A' B I ( α ) + Pt đường thẳng (A’B):  x = −1+ t   y = 5+ 5t ( t ∈ R)  z = 3− 3t   x = −1+ t  x = −2  y = 5+ 5t   ⇒  y = ⇒ M ( −2; 0; 6)  z = − t  z =  x − 2y − z + =  + Tọa độ M thỏa hệ Bài toán 2: Cho hai điểm A, B mp ( α ) Tìm M thuộc mp ( α ) cho a.MA2 + b.MB ( a + b > ) nhỏ Phương pháp: uur uur r = (I điểm cố định) + Tìm điểm I thỏa a.IA + bIB 2 2 Khi đó, a.MA + b.MB = ( a + b) MI + a.IA + bIB không đổi nên a.MA2 + b.MB2 nhỏ + Vì a.IA + bIB ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mp ( α ) Sáng kiến kinh nghiệm Trang7 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích 2 Hệ quả: Cho hai điểm A, B mp ( α ) Tìm M thuộc m p ( α ) cho MA + MB nhỏ Phương pháp: A + Gọi I trung điểm AB Khi đó, MI = I B MA2 + MB2 AB2 − ⇒ MA2 + MB2 = 2MI + AB α M 2 + Vì AB không đổi nên MA + MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mp ( α ) Nhận xét: Bài toán mở rộng: Cho n điểm A1, A2, , An cho mp(α ) Tìm M thuộc mp(α ) cho a1.MA12 + a2 MA2 + + an MAn ( a1 + a2 + + an > ) nhỏ Ví dụ 2a: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho A( 3; 1; 0) , B ( 1; 5; − 2) mp Tìm M 2 thuộc mp (α ) cho MA + MB nhỏ Bài giải: + Gọi I trung điểm AB ⇒ I ( 2;3; − 1) Sáng kiến kinh nghiệm Trang8 Một số toán cực trị không gian Ta có: MA2 + MB2 = 2MI + Hình học Giải tích AB2 2 Nên MA + MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mp ( α ) + Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với mp (α ) ⇒ Pt (d):  x = 2+ t   y = 3+ 3t ( t ∈ R)  z = −1− 3t  + Ta có: M = (d) ∩ ( α ) ⇒ M ( 1;0;2) Ví dụ 2b: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho A( −2; − 4; 8) , B ( 3; 1; − 2) mp ( α ) : x − 3y − z+ = Tìm M thuộc mp cho 2MA2 + 3MB2 nhỏ Bài giải: uur uur r + Gọi I điểm thỏa 2IA + 3IB = ⇒ I ( 1; − 1; 2) Ta có uuur uur uuur uur 2MA2 + 3MB2 = MI + IA + MI + IB = 5MI + 2IA2 + 2IB2 ( ) ( ) 2 Do đó, 2MA + 3MB nhỏ ⇔ MI nhỏ ⇔ M hình chiếu I lên mp (α) + Gọi d đường thẳng qua I vuông góc với mp (α ) Sáng kiến kinh nghiệm Trang9 Một số toán cực trị không gian ⇒ Pt (d): Hình học Giải tích  x = 1+ t   y = −1− 3t ( t ∈ R) z = 2− t  + Ta có: M = (d) ∩ ( α ) ⇒ M ( 0;2;3) Bài toán 3: Cho hai điểm A, B đường thẳng (d) Tìm điểm M thuộc (d) cho diện tích ∆MAB có giá trị nhỏ Phương pháp: + Gọi H hình chiếu M lên (d) S∆MAB = d MH AB B M + Vì AB không đổi nên S∆MAB nhỏ ⇔ MH nhỏ ⇔ MH đoạn vuông góc chung AB (d) H A Ví dụ 3: Cho hai điểm A( −2; 1; 2) , B ( 2; 1; 4) đường thẳng (d): x − y z+ = = Tìm điểm M thuộc (d) cho S∆MAB nhỏ Bài giải: Sáng kiến kinh nghiệm Trang10 Một số toán cực trị không gian + Gọi H hình chiếu M lên (d) Hình học Giải tích ⇒ S∆MAB = MH AB Do đó, S∆MAB nhỏ ⇔ MH nhỏ ⇔ MH đoạn vuông góc chung AB (d) + Pt tham số (d) :  x = 1+ t  ( t ∈ R)  y = 2t  z = −2 + t  + Pt tham số (AB): Ta có vtcp d:  x = −2+ 2t'  ( t'∈ R) y =  z = 2+ t '  ur u1 = ( 1; 2; 1) Ta có vtcp AB: uu r u2 = ( 2; 0; 1) Vì M ∈ d nên M ( 1+ t;2t; − + t ) H ∈ ( AB) nên H ( −2+ 2t ';1;2 + t ') uuuur ur  MH u1 = ( −3+ 2t'− t) + 2( 1− 2t) + ( + t'− t) = t = ⇔ u u u u r u u r   ⇔ −3+ 2t'− t) + 4( + t'− t) = t ' = Vậy M(2;2;-1) + Ta có :  MH u2 =  ( Bài toán : Cho mp(α ) mặt cầu (S) điểm chung Tìm hai điểm M, N thuộc mặt cầu (S) mp(α ) cho MN nhỏ Phương pháp : I + Gọi N0 hình chiếu vuông góc I lên mp(α ) M0 giao điểm IN0 với (S) (M0 thuộc đoạn IN) Sáng kiến kinh nghiệm α M N Trang11 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích + Lấy điểm tùy ý M, N thuộc (S),(α ) Khi đó, ta có: IM + MN ≥ IN ≥ IN0 = IM0 + M0N0 Do đó, MN nhỏ M ≡ M0 , N ≡ N0 Ví dụ 4: Trong không gian (Oxyz), cho mp(α ): x − 2y − z+ 20 = mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 − 2x − 2y − 2z − = Tìm hai điểm M, N thuộc mặt cầu (S) mp(α ) cho MN nhỏ Bài giải : Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; ; 1) bán kính R = Ta có: d ( I ,α ) = > R ⇒ mp(α ) mặt cầu (S) không giao Vì  M ∈ (S)   N ∈ (α )  MN  nên N hình chiếu I lên (α ) M = IN ∩ (S) ,(M thuộc đoạn IN)  x = 1+ t   y = 1− 2t ( t ∈ R)  + Pt đt(d) qua I vuông góc với (α ) :  z = 1− t  x = 1+ t  y = 1− 2t  ⇒ t = −3 ⇒ N ( −2;7;4)   z = 1− t  + Tọa độ N thỏa  x − 2y − z+ 20 = Sáng kiến kinh nghiệm Trang12 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích  x = 1+ t  y = 1− 2t t = −1  ⇒  t =  z = 1− t 2  + Tọa độ M thỏa  x + y + z − 2x − 2y − 2z − = = Với t = −1 ⇒ M ( 0;3;2) (loại M nằm đoạn IN) Với t = −1 ⇒ M ( 2; − 1;0) Bài toán 5: Cho đường thẳng ( ∆ ) điểm M nằm đường thẳng ( ∆ ) Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ( ∆ ) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn Phương pháp: Gọi I hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng ( ∆ ) Suy I cố định Giả sử mp(P) chứa ( ∆ ) H hình chiếu M lên mp(P) Ta có: d ( M ; ( P ) ) = MH ≤ MI Do đó, d ( M ;( P) ) (MI không đổi) lớn H trùng với I uuu r MI Tức là, mặt phẳng (P) nhận làm vectơ pháp tuyến Sáng kiến kinh nghiệm M ∆ H I Trang13 Một số toán cực trị không gian Ví dụ 5a: Cho đường thẳng ∆: Hình học Giải tích x −5 y + z +5 = = −1 −3 điểm M(2; 2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa ( ∆ ) cho khoảng cách từ M đến mp(P) lớn Giải: + Gọi I hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng ( ∆ ) Suy I(3; 0; 1) uuu r + Áp dung toán 5, ta có mp(P) nhận MI vectơ pháp tuyến Tóm lại, mp(P) qua I(3; 0; 1) nhận uuu r MI = ( 1; −2;1) làm vectơ pháp tuyến Vậy phương trình mp(P) là: x -2y + z – = Ví dụ 5b: Cho mặt phẳng ( α ) : x + y − mz + m − = điểm M(6; -1; 2) Tìm m để khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( α ) lớn Giải: x = t  ∆ :  y = − 2t z =  + Ta thấy mp ( α ) chứa đường thẳng cố định + Gọi I hình chiếu vuông góc M lên đường thẳng ( ∆ ) Ta tìm I(2;3;1) + Áp dụng toán 5, ta có mp ( α ) nhận Mặt khác, r n = ( 2;1; − m ) Sáng kiến kinh nghiệm uuur IM = ( 4;2;1) làm vectơ pháp tuyến vectơ pháp tuyến mp ( α ) Trang14 Một số toán cực trị không gian Từ đó, uuur IM = ( 4;2;1) r n = ( 2;1; − m ) Hình học Giải tích phương Suy m= −1 Bài toán 6: Cho mặt phẳng ( α ) điểm A thuộc mặt phẳng ( α ) điểm B không thuộc mp ( α ) Xác định đường thẳng ( ∆ ) qua A nằm mp ( α ) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng ( ∆ ) nhỏ Phương pháp: + Gọi H hình chiếu vuông góc B lên mp ( α ) Suy H cố định + Giả sử ( ∆ ) đường thẳng qua A, nằm mặt phẳng ( α ) gọi B K hình chiếu vuông góc B lên đường thẳng ( ∆ ) Ta có: d ( B; ∆ ) = BK ≥ BH (BH không đổi) Suy d ( B; ∆ ) A α K nhỏ K trùng với H Tức là, đường thẳng ( ∆ ) qua H + Vậy đường thẳng ( ∆ ) đường thẳng qua A H Ví dụ 6a: Sáng kiến kinh nghiệm Trang15 H Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích Cho mặt phẳng ( α ) : x − y − 3z + = điểm A(-2; 5; 0) thuộc mp ( α ) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, nằm mp ( α ) cho khoảng cách từ B(1;0;-1) đến đường thẳng ( ∆ ) nhỏ Giải: + Gọi H hình chiếu vuông góc B lên mp ( α ) Suy H(0; 1; 2) + Áp dung toán 6, ta có đường thẳng ( ∆ ) qua A H Tức là, đường thẳng ( ∆ ) qua A(-2;5;0) nhận uuur AH = ( 2; −4;2 ) làm vectơ phương x+ y −5 z = = ∆) ( − Vậy phương trình là: Ví dụ 6b: Cho mặt phẳng (P): x – y – 2z + = điểm A(3; 0; 2), B(1; 2; 3) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua A, song song với mp(P) cho khoảng cách từ B đến đường thẳng ( ∆ ) nhỏ Giải: + Gọi (Q) mặt phẳng qua A song song với (P) B Phương trình mp(Q): x – y – 2z + = Vì ( ∆ ) qua A song song với mp(P) nên ( ∆ ) thuộc mặt phẳng (Q) A Gọi H hình chiếu vuông góc B lên mp(Q) Suy H(2 ; K ; 1) Q + Áp dụng toán 6, Sáng kiến kinh nghiệm Trang16 P H Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích suy ( ∆ ) đường thẳng qua A H x−3 y z −2 = = ∆) ( − 1 Vậy phương trình là: Một số ví dụ tương tự : Bài : Cho mặt phẳng ( α ) : x + y − z − = điểm A(1 ;4 ; 0) B(5;4; -7) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α ) cho MA + MB nhỏ Kết : M(1 ; ; -1) Bài : Cho mp ( α ) : x − y + z − = điểm A(5;1;4), B(2;0 ;3), C(2 ; ;2) Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α ) cho uuur uuur uuuu r MA + MB + MC nhỏ Kết quả: M(1; 1; 2) Bài 3: Cho mặt phẳng ( α ) : x + y + z − = hai điểm A(1; -1 ; 0), B(0;-4 ;-2) 2 Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α ) cho 2MA − MB nhỏ Kết quả: M(1;1;1) Sáng kiến kinh nghiệm Trang17 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích  x = + 2t x y −1 z −1  d1 :  y = t ; d2 : = = z =  Bài 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau: Với A, B điểm thuộc đường thẳng (d2) mà AB không đổi Tìm điểm M thuộc đường thẳng (d1) cho tam giác MAB có diện tích nhỏ Kết quả: M(1; -1; 2)  x = −1 + 3t  ∆ : y = t z = − t  Bài 5: Cho đường thẳng điểm A(1; 3; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ( ∆ ) cho khoảng cách từ A đến mp(P) lớn Kết quả: (P): x – 2y + z – = Bài 6: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + = điểm B(1; 0; 4), A(2; 3;2) Viết phương trình đường thẳng ( ∆ ) qua B, nằm mp(P) cho khoảng cách từ A đến ( ∆ ) lớn Kết : ( ∆) : x −1 y z − = = −1 −1 / Hiệu áp dụng: - Sau áp dụng vào giảng dạy cho em học sinh, đa số em thích thú học tập, hiểu vận dụng tốt - Qua nhận thấy em tự tin việc giải toán phương pháp tọa độ không gian Sáng kiến kinh nghiệm Trang18 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích KẾT LUẬN : Ý nghĩa đề tài công tác :  Đề tài giúp thân có thêm tư liệu để giảng dạy tài liệu nhỏ để em học sinh tham khảo  Các toán sử sụng tính chất cực trị không gian sau vận dụng vào giải Tuy nhiên, toán giải theo cách khác Bài học kinh nghiệm hướng phát triển :  Qua viết này, hy vọng hệ thống cho em số toán nhỏ phân môn hình học giải tích để giúp em học sinh thuận tiện gặp phải  Thông qua tiết dạy theo chuyên đề, mong muốn triển khai rộng rãi cho nhiều khối 12 trường THPT Nguyễn Du Đề xuất:  Bài viết trình bày theo chủ ý cá nhân, chắn nhiều thiếu xót chưa thật hoàn chỉnh, mong góp ý đồng nghiệp em học sinh Tài liệu tham khảo : Hình học Nâng cao 12 (SGK) Học ôn Hình học 12 (Tác giả Lê Hồng Đức- Lê Bích Ngọc) Các đề thi tuyển sinh năm trước Tôi xin cam đoan sáng kiến thân viết, không chép người khác Ngãi Giao, ngày 10 tháng 01 năm 2017 Người viết Nguyễn Thanh Tài Sáng kiến kinh nghiệm Trang19 Một số toán cực trị không gian Hình học Giải tích Xác nhận, đánh giá quan Sáng kiến kinh nghiệm Trang20 ... giải toán dễ dàng hơn, giảm việc tính toán Vì vậy, đề tài muốn trình bày ‘Hệ thống số toán cực trị không gian phương pháp giải để giúp em học sinh nắm phương pháp giải số toán cực trị không gian. .. Đề tài viết số toán điển hình cực trị phân môn hình học giải tích, chưa nêu hết tất dạng toán Tuy nhiên thông qua toán nhằm giúp cho em nắm chất toán cực trị không gian để từ giải số toán tương... toán đại số tính chất hình học túy không gian  Đối với toán hình học không gian liên quan đến cực trị, dùng tính toán đại số thường gây khó khăn cho học sinh, dễ sai xót trình tính toán Tuy