THÔNG TIN TÀI LIỆU
MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………… 1.1 Lí chọn đề tài…………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu……………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2 NỘI DUNG ……………………………………………………… 2.1 Cơ sở lý thuyết………………………………………………… 2.2 Một số toán thường gặp……………………………………… 2.3 Các ví dụ minh họa……………………………………………… 2.4 Hiệu đề tài………………………………………………… 19 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Đối với học sinh học toán trường trung học phổ thông, học sinh chuẩn bị thi TN THPT quốc gia thường gặp toán vận dụng cao liên quan đến tốn cực trị khơng gian Oxyz Khi giảm tải chương trình dạng tốn chưa đề cập đầy đủ, học sinh khó rèn luyện tốt phần Với việc sử dụng kết đánh giá hình học đại số , học sinh phát triển cách phong phú giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu dạng tốn Đó lí để tơi chọn đề tài : “ Một số toán cực trị khơng gian Oxyz” 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề trình bày đề tài hỗ trợ cho em học sinh trung học phổ thông ôn thi TN THPT quốc gia có nhìn tồn diện cách tiếp cận tốn cực trị khơng gian Oxyz 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng toán đánh giá GTLN GTNN số toán cực trị Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số, giải tích hình học chương trình trung học phổ thơng 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh kiến thức lý thuyết giá trị lớn giá trị nhỏ nhất, cách đánh giá cực trị đại số hình học Thơng qua ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy mạnh việc sử dụng kiến thức từ rèn luyện tư kĩ để học sinh giải tốt tập vận dụng cao Các ví dụ minh họa đề tài lọc từ tài liệu tham khảo đề thi THPT quốc gia năm gần 1.5 Những điểm Với đề tài giúp giáo viên định hướng xây dựng hệ thống tập vận dụng cao với số lượng lớn mà xuất phát từ các toán đơn giản 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý thuyết Kết Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn Kết Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn Như hình vẽ ta ln có AM �AH Kết Với ba điểm A, B, C ta ln có bất đẳng thức AB BC �AC Tổng quát ta có bất đẳng thức đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 , An ta ln có A1 A2 A2 A3 An1 An �A1 An x y �2 xy Kết Với hai số không âm x, y ta ln có Đẳng thức xảy x y rr r r r r a.b �a b a, b Kết Với hai véc tơ r r ta ln có Đẳng thức xảy a kb, k �� 2.2 Một số toán thường gặp Bài toán Cho điểm A cố định điểm M di động hình H ( H đường thẳng, mặt phẳng) Tìm giá trị nhỏ AM Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên hình H Khi đó, tam giác AHM vng M ta có AM �AH M �H Do AM nhỏ M hình chiếu A Đẳng thức xảy lên H Bài toán Cho điểm A mặt cầu S có tâm I , bán kính R, M điểm di động S Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn AM Lời giải Xét A nằm mặt cầu ( S ) Gọi M , M giao điểm đường thẳng AI với mặt cầu ( S ) AM AM ( ) mặt phẳng qua M đường thẳng AI Khi ( ) cắt ( S ) theo đường tròn lớn (C ) Ta có �MM 90�, M AMM � � nên AMM AM 1M góc tù, nên tam giác AMM ta có AI R AM �AM �AM AI R Tương tự với A nằm mặt cầu ta có R AI �AM �R AI AM | AI R |, max AM R AI Vậy Bài toán Cho măt phẳng ( P) hai điểm phân biệt A, B Tìm điể M thuộc ( P) cho MA MB nhỏ | MA MB | lớn Lời giải Ta xét trường hợp sau - TH 1: Nếu A B nằm hai phía so với ( P) Khi AM BM �AB Đẳng thức xảy M giao điểm AB với ( P) � - TH 2: Nếu A B nằm phía so với ( P) Gọi A đối xứng với A qua ( P) Khi AM BM A�M BM �A�B � Đẳng thức xảy M giao điểm A B với ( P) Ta xét trường hợp sau - TH 1: Nếu A B nằm phía so với ( P) Khi | MA MB |�AB Đẳng thức xảy M giao điểm AB với ( P) - TH 2: Nếu A B nằm khác phía so với ( P) Gọi A ' đối xứng với A qua P , Khi | MA MB | MA� MB �A�B � Đẳng thức xảy M giao điểm A B với ( P) Bài toán Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A cách B khoảng lớn Lời giải Gọi H hình chiếu B lên mặt phẳng ( P), d( B, ( P )) BH �BA P Do mặt phẳng qua A vng góc với AB Bài toán Cho số thực dương , ba điểm A, B, C Viết phương trình măt phẳng ( P) qua C T d( A, ( P )) d( B,( P)) nhỏ Lời giải Xét A, B nằm phía so với ( P) - Nếu AB / /( P) P ( )d( A, ( P)) �( ) AC r r IB ID - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) I Gọi D điểm thỏa mãn E BD trung điểm Khi IB P d( A, ( P)) � � d( D,( P)) 2 d( E ,( P)) �2( ) EC ID � Xét A, B nằm hai phía so với ( P) Gọi I giao điểm AB ( P ), B điểm đối xứng với B qua I Khi P d( A, ( P)) d B �, ( P ) Đến ta chuyển trường hợp So sánh kết ta chọn kết lớn Bài tốn Trong khơng gian cho n điểm A1 , A2 , �, An diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A tổng khoảng cách từ điểm Ai (i 1, n ) lớn Lời giải - Xét n điểm A1 , A2 ,�, An nằm phía so với ( P) Gọi G trọng tâm n điểm cho Khi n �d A , ( P) nd(G, ( P)) �nGA i 1 i - Trong n điểm có m điểm nằm phía k điểm nằm phía khác (m k n ) Khi đó, gọi G1 trọng tâm m điểm, G2 trọng tâm k điểm G3 đối xứng với G1 qua A Khi dó P md G3 , ( P ) kd G2 ,( P ) Đến ta chuyển toán Bài tốn7.Viết phương trình mặt phẳng P qua đường thẳng cách A khoảng lớn Lời giải Gọi H , K hình chiếu A lên mặt phẳng ( P) đường thẳng Khi d( A, ( P)) AH �AK ( P) mặt phẳng qua K vng góc vói AK Do Oxyz, cho điểm A1 , A2 , �, An Xét véc tơ Bài tốn Trong khơng gian uuuu r uur uur r w 1 MA1 M A2 L n M An Trong 1 ; n số thực cho trước thỏa mãn 1 n �0 Tìm điểm r M thuôc măt phẳng ( P) cho | w | có dài nhỏ G điểm thỏa mãn Lời rgiải Gọi r r r 1GA1 2GA2 L n GAn (điểm uGuurhoànr tồn rxác định) Ta có MAk MG GAkr vói k r1; 2;�; nr, nên uu r uuuu r r w 1 � n MG 1GA1 2GA2 L n GAn 1 � n MG Do r r | w | 1 L n � | MG | r Vi 1 L n số khác khơng nên | w | có giá trị nhỏ MG nhỏ nhất, mà M �( P) nên điểm M cần tìm hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn Trong khơng gian Oxy z, cho diểm A1 , A2 ,�, An Xét biểu thức: T 1MA12 MA22 L n MAn2 Trong 1 , ,�, n số thực cho trước Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) cho T giá trị nhỏ biết 1 � n T có giá trị lớn biết 1 � n G điểm thỏa mãn Lời rgiải Gọi r r r 1GA1 2GA2 L n GAn uuur r r MAk MG GAk Ta có với k 1; 2;�; n, nên uuuu r uuuu r r r MAk2 MG GAk MG 2MG � GAk GAk2 Do T 1 � n MG 1GA12 2GA22 L nGAn2 2 Vì 1GA1 2GA2 L nGAn khơng đổi nên • với 1 � n T đạt giá trị nhỏ MG nhỏ • với 1 � n T đạt giá trị lớn MG nhỏ Mà M �( P) nên MG nhỏ điểm M hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn 10 Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d mặt phẳng ( P) cắt Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa d tạo với mặt phẳng ( P) góc nhỏ Lời giải Gọi I giao điểm đường thẳng d với mặt phẳng ( P) lấy điểm M d , M I Gọi H , K lầ lượt hình chiếu M lên ( P) giao tuyến ( P) (Q) � Đặt góc ( P) (Q), ta có MKH , HM HM � HK HI Do (Q) mặt phẳng qua d vng góc với mặt phẳng ( MHI ), nên r r r nP �ud �ud (Q) M tan qua nhận làm véc tơ pháp tuyến Chú ý Ta giải tốn phương pháp đai số sau: r 2 - Goi n ( a; b; c), a b c véc tơ pháp tuyến mặt phẳng (Q) r r ud Khi n � từ ta rút a theo b, c (hoặc b theo a, c c theo a, b ) - Gọi góc ( P) (Q), ta có r r n� n cos r rP f (t ) |n |� nP b t , c �0 c Khảo sát f (t ) ta tìm max f (t ) với � Bài toán 11 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d d chéo � Viết phương trinh mặt phẳng ( P) chứa d tạo với d góc lớn Lời giải Trên đường thẳng d , lấy điểm M dựng đường thẳng qua M � � song song với d Khi góc ( P) góc d ( P) Trên đường thẳng , lấy điểm A Gọi H K hình chiếu A lên ( P) d , góc ( P) HM KM cos � � AM AM Khi AMH Suy ( P) mặt phẳng chứa d vng góc với mặt phẳng ( AMK ) Do dó r r r ( P) qua M nhận ud �ud � �ud làm véc tơ pháp tuyến Chú ý Ta giải toán phương pháp đại số sau: r 2 - Goi n ( a; b; c), a b c véc tơ pháp tuyến măt phẳng ( P) r r ud Khi n � từ ta rút a theo b, c (hoặc b theo a, c c theo a, b ) � - Gọi góc ( P) d , ta có r r n� u� sin r rd f (t ) | n |� ud � b t , c �0 c Khảo sát f (t ) ta tìm max f (t ) với Bài tốn 12 Trong khơng gian Oxyz, cho n +2 điểm đường thẳng Tìm điểm M thỏa mãn: A1 , A2 , , An , A, B a b c d uuuu r uuuur uuuur T k1.MA1 k2 MA2 kn MAn đạt giá trị nhỏ P k1.MA k2 MA kn MA 2 Q MA MB H MA MB Lời giải a Chuyển Vậy đạt giá trị nhỏ đạt giá trị nhỏ đạt giá trị lớn phương trình tham số, gọi M có tọa độ theo tham số t, ta tính Tmin n 4A T At Bt C t B �M 2A A 0 b Ta gọi tọa độ M theo tham số t , ta tính Pmin Do 4A t , B �M 2A P At Bt C c Ta gọi tọa độ M theo tham số t , ta tính được: Q m1t m2t m3 h1t h2t h3 , cách khảo sát trực tiếp hàm Q t (có thể dùng bất đẳng thức véc-tơ)ta tìm GTNN Q suy điểm M d Ta gọi tọa độ M theo tham số t, ta tính H m1t m2t m3 h1t h2t h3 , sau dùng bất đẳng thức véc-tơ ta tìm GTLN H 2.3 Các ví dụ minh họa Ví dụ Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A 2;1;0 Điểm I a ; b ; c nằm mặt phẳng P : x y z cho IA IB nhỏ Tính giá trị biểu thức T a b c A B C 2 D 3 Lời giải B 3;0;1 Xét vị trí tương đối A B so với mặt phẳng P : Ta có: 2.1 2.0 6.4 24 � A, B nằm phía so với P IB nhỏ Gọi A�là điểm đối xứng A qua P Khi đó: IA IB IA� A� , I , B thẳng hàng A lên P Gọi M uu làur hình chiếu uuur uMA n P 1; 2; 1 Ta có: (do AM P ), MA qua A 2;1;0 Phương trình đường thẳng �x t � MA : �y 2t �z t � M t 2; 2t 1; t � Lại có M � P � t 2t 1 t � 6t � t 1 � M 1; 1;1 � � Do M u làuurtrung điểm AA � A 0; 3; uuur � B qua B 3;0;1 Ta có: u A�B A B 3;3; 1 , A� Phương trình đường thẳng Lại có �x 3t � A� B : �y 3t � I 3t 3;3t ; t 1 �z t � I � P � 3t 2.3t t 1 � 10t � t �9 � � I � ; ; �� T a b c 5 �5 5 � Ví dụ (THPT Cẩm Giàng 2019) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A 10; 5;8 , B 2;1; 1 , C 2;3; mặt phẳng P : x y z Xét M 2 điểm thay đổi P cho MA 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ Tính MA2 2MB 3MC A 54 B 282 C 256 D 328 Lời giải uu r uur uur r I x; y; z IA Gọi điểm thỏa mãn IB 3IC uu r uur uur IA 10 x; 5 y;8 z IB x;1 y; 1 z IC x;3 y; z Ta có , , � 10 x x x �x � 5 y y y � � � �y � �z z 1 z z � � I 0;1;1 Khi đó, � P Với điểm M thay đổi , ta có uuu r uu r uuu r uur uuu r uur MI IA MI IB MI IC MA MB 3MC uuu r uu r uur uur MI IA2 IB 3IC 2MI IA IB 3IC uu r uur uur r MI IA2 IB 3IC (Vì IA IB 3IC ) 2 2 2 Ta lại có IA IB 3IC 185 2.8 3.9 228 2 Do đó, MA 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ � MI đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu vng góc I P Khi đó, MI d I , P 2 Vậy giá trị nhỏ MA 2MB 3MC MI 228 6.9 228 282 2 Giá trị nhỏ MA 2MB 3MC đạt M hình P chiếu vng góc I P Gọi đường thẳng qua I vng góc với Phương trình : �x t � �y 2t �z 2t � Ta có M � P Xét phương trình t 2t 2t � 9t � t � M 1;3; 1 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng P : x y z ba điểm A 3;1;1 , B 7;3;9 uuur uuur uuuu r MA MB 3MC C 2; 2; 2 Điểm M a; b; c đạt giá trị nhỏ Tính 2a 10b c P cho 27 B 62 A 46 C 43 D Lời giải uu r uur uur r I x; y; z + Gọi điểm thỏa mãn IA IB 3IC uu r �IA x;1 y ;1 z � �uur �IB x ;3 y ;9 z �uur IC x ;2 y ;2 z Ta có � � 23 �x � � 13 23 x � �y � uu r uur uur r � � IA IB 3IC � � 13 y � 25 �23 13 25 � �I� ; ; � z � � 25 z � �6 6 � � + uuur uuur uuuu r uuu r uu r uur uur uuu r MA MB 3MC MI IA IB 3IC MI MI uuur uuur uuuu r MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ � M hình chiếu I lên mặt phẳng P d + Gọi đường thẳng qua Ta có d I P vng góc �23 13 25 � uu r I� ; ; � n p 1;1;1 6 � � qua nhận làm véc tơ phương � 23 �x t � 13 d :� �y t � � 25 �z t � Suy phương trình 13 25 � �23 M � d � M � t ; t ; t � 6 �6 � 13 2 16 � 23 13 25 43 � M � � ; ; � M � P � t t t � t 18 �9 9 � � 13 a � � � 2 b � � � 16 62 c 2a 10b c � Do � � Ví dụ (THPT Lê Q Đơn Đà Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(8;1;1) , B(2;1;3) C (6; 4; 0) Một điểm M di động không gian uuur uuuu r uuur uuur MA MB cho MA.MC MA.MB 34 Cho biết đạt giá trị lớn điểm M trùng với điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) Tính tích số x0 y0 z0 A 16 B 18 C 14 D 12 Lời giải Gọi M (a; b; c) uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuu r uuur uuur uuur MA.MC MA.MB 34 � MA MC MB 34 � MA.BC 34 Ta có uuur uuur MA ( a ;1 b ;1 c ) Mặt khác , BC (4;3; 3) Suy 4(8 a) 3(1 b) 3(1 c) 34 � 4a 3b 3c 66 Vậy M �( P) có phương trình 4 x y z 66 Ký hiệu f ( M ) f ( x; y; z ) 4 x y 3z 66 , với M ( x; y; z ) Ta có f ( A) f ( B) (4(8) 3.1 3.1 66)((4.2 3.1 3.3 66) (34).(68) 2312 Suy điểm A(8;1;1) điểm B(2;1;3) nằm phía so với mặt phẳng ( P) MA MB �AB MA MB Khi (tính chất cạnh tam giác) suy đạt giá trị lớn M , A, B thẳng hàng M nằm đoạn thẳng AB hay M giao điểm đường thẳng AB với ( P ) uuur Đường thẳng AB có véc tơ phương AB (10; 0; 2) qua điểm B(2;1;3) nên �x 5t � �y �z t � có phương trình Suy 4(2 5t ) 3.1 3(3 t ) 66 � 17t 68 � t 4 Vậy M (18;1; 1) hay x0 y0 z0 18 Ví dụ Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC với ( ) A ( 2;1;3) , B ( 1;- 1;2) , C ( 3;- 6;0) , D 2;- 2;- (P ) : x - y +z +2= Điểm M ( x;y;z) thuộc mặt phẳng 2 2 , cho S = MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ 2 Tính giá trị biểu thức P = x + y + z A P = B P = C P = Lời giải Với điểm I ta có uur uur uur uur S = 2NA + NB + NC = NI + IA + NI + IB ( ) ( uur uur uur uur = 4NI + 2NI 2IA + IB + IC + 2IA + IB + IC ( D P = - uur uur + NI + IC ) ( ) ) uur uur uur r IA + IB + IC = I Chọn điểm cho uur uur uur r uur uuur uuur r 2IA + IB + IC = � 4IA + AB + AC = Suy tọa độ điểm I I ( 0;1;2) 2 2 Khi S = 4NI + 2IA + IB + IC , S nhỏ N hình chiếu P I lên mặt phẳng ( ) P Phương trình đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng ( ) � x = 0+t � � � y = 1- t � � � z = 2+t � � Tọa độ điểm N ( t;1- t;2 + t ) �( P ) � t - 1+ t + + t + = � t = - � N ( - 1;2;1) Ví dụ (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz uuur uuur A 4; 2;6 B 2; 4; M � : x y z cho , , cho MA.MB nhỏ Tọa độ M �29 58 � � ; ; � A �13 13 13 � Lời giải 4;3;1 B 1;3; C �37 56 68 � ; � � ; 3 � � D Gọi I trung điểm phẳng Ta có AB � I 3;1; Gọi H hình chiếu uuur uuur uuu r uu r uuu r uur uuu r uu r uur MA.MB MI IA MI IB MI MI IA IB IA2 MI IA2 uuur uuur MI IA Do không đổi nên MA.MB nhỏ MI nhỏ � Gọi đường thẳng qua I xuống mặt I IH M H vng góc với mặt phẳng Khi �x t � �y 2t uuur �z 3t n 1; 2; 3 nhận làm vectơ phương Do có phương trình � H � � H t ;1 2t ; 3t H � � t 2t 3t � t � H 4;3;1 Vậy M 4;3;1 Ví dụ (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba A 8;5; 11 , B 5;3; 4 , C 1; 2; 6 điểm S : x 2 y z 1 uuur uuur uuuu r MA MB MC A Lời giải 2 Gọi điểm M a; b; c mặt cầu S điểm cho đạt giá trị nhỏ Hãy tìm a b B C D uuur uuur uuur r N 2;0;1 N Gọi điểm thỏa mãn NA NB NC , suy Khi đó: uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r MA MB MC MN NA MN NB MN NC NA NB NC MN MN Suy uuur uuur uuuu r MA MB MC I 2; 4; 1 S nhỏ MN nhỏ Mặt cầu có tâm , suy ra: �x 2t � NI �y 2t uur �z 1 t NI 4; 4; 2 2; 2; 1 � Phương trình Thay phương trình NI S vào phương trình ta được: 2t �t 2 2t t � t � � t 1 � S Suy NI cắt hai điểm phân biệt N1 4;6; 2 , N 0; 2; M 0; 2;0 Vì NN1 NN nên MN nhỏ M �N Vậy điểm cần tìm Suy ra: a b Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng S x 3 y z 729 cầu : d: x 1 y z mặt A 2; 2; 7 B Cho biết điểm , điểm thuộc giao tuyến mặt cầu mặt phẳng điểm M di động đường thẳng d giá trị nhỏ biểu thức S P : x y z 107 Khi MA MB A 30 Lời giải B C 29 27 D 742 S I 3; 4; 5 Mặt cầu có tâm bán kính R 27 Đường thẳng d có véc-tơ phương r u 2;3; � d P P Gọi K giao điểm mặt phẳng đường thẳng d Vì I �d nên tâm đường tròn giao tuyến KB d Ta có uu r IA 1; 2; 2 � IA Ta tính K uu rr IA u � IA d IK d I , P 3 4 5 107 22 32 29 KB R IK Do M di động đường thẳng d (trục đường tròn giao tuyến) B thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức MA MB nhỏ M AB �d MI IA Khi đó, ta có MK KB MI MK IK 29 Suy MI 29 , MK 29 AM IA MI 30 Ta có � BM AM 30 Vậy giá trị nhỏ MA MB AM BM 30 30 30 Cách2: S có tâm I 3; 4; 5 bán kính R 27 , I 3; 4; 5 P Dễ thấy d qua vng góc với Ta có P cắt S theo đường trịn có bán kính r M �d � M 2t ; 3t ;3 4t 2 Ta có T MA MB MA MH r MH d ( M ;( P)) Lại có 29t 87 29 29t 29 T 29t 116t 125 29 t 3 29 t 2 29 29 t 3 29 Suy Xét r � �r � � r r � � u � t 2; v t ; 5; � � �� u v � � 29 � � 29 � � � 29 � , r r r r T 29 u v � 29 u v 50 Do Ví dụ (THPT Chun Thái Bình 2018) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z , đường thẳng d : x 15 y 22 z 37 2 2 mặt cầu S : x y z x y z Một đường thẳng thay đổi cắt mặt cầu S hai điểm A, B cho AB Gọi A� , B�là hai điểm thuộc mặt phẳng P cho AA� , BB�cùng BB�là song song với d Giá trị lớn biểu thức AA� 30 A 24 18 B 12 C 16 60 D Lời giải Mặt cầu S có tâm I 4;3; 2 bán kính R � Gọi H trung điểm AB IH AB IH nên H thuộc mặt cầu S tâm I bán kính R� B AA� BB� HM , M nằm mặt phẳng Gọi M trung điểm A�� P d I; P Mặt khác ta có sin d ; P sin R nên P cắt mặt cầu S 3 Gọi K hình chiếu H lên P HK HM sin BB�lớn HK lớn Vậy để AA� � HK qua I nên HK max R� d I; P 43 3 �4 3 �3 24 18 2� � � � 5 � � � � AA BB Vậy lớn Ví dụ 10 (THPT-Yên Định Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho �x t � �y t �z t A 6;0;0 B 0;3;0 đường thẳng d có phương trình � ba điểm , , C 0;0; M a; b; c d Gọi điểm thuộc cho biểu a b c P MA 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhất, A 3 B C D Lời giải 2 thức M t ; t ; t Vì M �d nên giả sử 2 2 2 Ta có: MA 3t 14t 29; MB 3t 4t 2; MC 3t 10t 21 � P MA2 MB 3MC 18t 36t 96 18 t 1 78 �78 2 2 Do P MA 2MB 3MC đạt giá trị nhỏ t 1 , đó: M 2;1;1 � a b c Ví dụ 11 (THPT Chu Văn An-HàNội 2018) Trong không gian Oxyz , cho x y 1 z 1 hai điểm A 1; 2; 5 , B 1;0; Biết điểm M đường thẳng thuộc cho biểu thức MA MB đạt giá trị lớn Tmax Khi đó, Tmax : bao nhiêu? B Tmax A Tmax 57 C Tmax D Tmax Lời giải Do M thuộc nên M t ;1 t; t MA 3t 6t 27 t 24 MB 3t Khi , Do Xét hai véc tơ Ta có t 24 3t MA MB r u t ; 24 r r r r u v �u v r v nên Tmax r u Dấu xảy 2.4 Hiệu đề tài t ; 24 3t; r v 3t; ngược hướng hay t Sau toán thực hành lớp kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu vận dụng tốt Khi sử dụng vào đề ôn tập cho học sinh hệ thống tập nâng cao kĩ ứng dụng đánh giá vào việc xử lý toán cực trị không gian Oxyz KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Qua toán vừa nêu ta thấy ưu điểm việc ứng dụng đánh giá vào hệ thống tập đa dạng sử dụng cho học sinh ôn thi TN THPT quốc gia 3.2 Kiến nghị Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm viết đề tài, đồng thời kết hợp với giảng dạy lớp để kiểm nghiệm thực tế, nhiên trình viết khó tránh khỏi khiếm khuyết mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài có ý nghĩa thiết thực bổ ích nhà trường Giúp em học sinh có thêm hệ thống tập ôn luyện đạt kết cao kì thi TN THPT quốc gia Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA HIỆU Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2021 TRƯỞNG CAM KẾT KHÔNG COPY Giáo viên Nguyễn Văn Chinh TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi THPT quốc gia từ năm 2016 đến 2021 Báo Toán học tuổi trẻ Tuyển tập chun đề luyện thi đại học mơn tốn-hình giải tích Tác giả: Trần Phương-Lê Hồng Đức Chun đề hình học giải tính Tác giả: Nguyễn Văn Nho-Nguyễn Văn Thổ SGK, sách Bài tập hình học lớp 10 - NC SGK, sách Bài tập hình học lớp 11 - NC SGK, sách Bài tập giải tích lớp 12 - NC Tạp chí Epsilon, Số 17, 04/2020 ... tốn cực trị khơng gian Oxyz 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu dạng toán đánh giá GTLN GTNN số toán cực trị Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số, ... đánh giá hình học đại số , học sinh phát triển cách phong phú giải cách tự nhiên, ngắn gọn dễ hiểu dạng tốn Đó lí để tơi chọn đề tài : “ Một số toán cực trị khơng gian Oxyz? ?? 1.2 Mục đích sáng... Nẵng 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm A(8;1;1) , B(2;1;3) C (6; 4; 0) Một điểm M di động không gian uuur uuuu r uuur uuur MA MB cho MA.MC MA.MB 34 Cho biết đạt giá trị lớn điểm
Ngày đăng: 09/06/2021, 13:09
Xem thêm: