(SKKN 2022) một số kĩ thuật giải bài toán cực trị về mặt cầu trong không gian oxyz

1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Qua thực tế giảng dạy mơn hình học khơng gian chương trình trung học phổ thơng cho thấy, tốn cực trị hình học khơng gian thường hay gây nhiều khó khăn cho học sinh Chính mà khơng có giảng hay phương pháp phù hợp với chủ đề dễ làm cho học sinh thụ động học tập Trong năm học 2021, để chuẩn bị cho kỳ thi quốc gia Bộ giáo dục đào tạo đưa đề minh họa đề có xuất tốn cực trị mặt cầu khơng gian Oxyz câu 50 Cũng từ đề minh họa sở giáo dục đưa đề kiểm tra chất lượng có liên quan đến toán cực trị mặt cầu nhiều khai thác sâu nhiều hướng Ví dụ đề Sở giáo dục Thanh Hóa, sở giáo dục Hà Nội,…Ngồi trường THPT khắp nước giới thiệu đề minh họa đề tốt nghiệp THPT quốc gia có đề cập sâu dạng tốn cực trị liên quan đến mặt cầu không gian Oxyz Bên cạnh tài liệu học tập chủ đề chưa nhiều, chưa phong phú chưa theo kịp xu đề thi THPT quốc gia Do đó, học sinh bắt gặp tốn dạng khó khăn việc tìm ý tưởng giải, cách giải thực hành áp dụng giải đề kiểm tra Dẫn đến kết đạt chưa cao Chính mà mà tơi tìm tịi, học hỏi thơng qua tài liệu, trao đổi với đồng nghiệp diễn đàn tìm phương pháp giảng dạy phù hợp giúp em học sinh giải hiểu số dạng tốn cực trị mặt cầu khơng gian Oxyz Với lí nêu tơi chọn nghiên cứu đề tài " số kĩ thuật giải tốn cực trị mặt cầu khơng gian Oxyz " nhằm giúp học sinh ôn tập tốt đạt kết cao kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia 1.2 Mục đích nghiên cứu - Các vấn đề trình bày sáng kiến nhằm mục đích cung cấp cho học sinh lớp 12 phương pháp giải toán cực trị mặt cầu không gian Oxyz, sở sử dụng kĩ thuật bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức đại số, đạo hàm tính chất mặt cầu trình bày sách giáo khoa - Giúp học sinh nhận dạng phân loại tìm phương pháp giải cho dạng tốn cực trị mặt cầu khơng gian Oxyz - Nâng cao khả tư độc lập, sáng tạo, tự học, tự bồi dưỡng khả giải dạng tốn kì thi, để từ thu kết cao kì thi tốt nghiệp THPT quốc gia 1.3 Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu: - Đề tài nghiên cứu dạng toán cực trị mặt cầu không gian Oxyz - Học sinh khối lớp mà phân công trực tiếp giảng dạy Cụ thể lớp 12 trực tiếp giảng dạy b Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình hình học bậc trung học phổ thông 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: - Sử dụng phương pháp sưu tầm, phân tích tài liệu, đề thi thử THPT - Nghiên cứu cấu trúc nội dung chương trình Tốn 10, 11, 12 (phần bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức đại số, ứng dụng đạo hàm tốn cực trị hình học…) - Kết hợp với điều tra khảo sát thực tế, thu thập thơng tin, trị chuyện, điều tra vấn học sinh, đồng nghiệp Rút kinh nghiệm thực tiễn giáo dục, tiếp thu ý kiến đồng nghiệp để tham khảo ý kiến làm sở cho việc nghiên cứu đề tài - Thông qua thực tế dạy học lớp, giao tập, giao nhiệm vụ, làm việc theo nhóm, củng cố học, hướng dẫn học sinh chuẩn bị kết hợp với kiểm tra, đánh giá - Thống kê, xử lí số liệu: So sánh, phân tích, rút kinh nghiệm 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Đưa tập tài liệu thống cụ thể giúp học sinh nhận dạng, phân loại giải toán cực trị mặt cầu kì thi THPT quốc gia - Vận dụng vào học tập chương trình hình học lớp 12, ôn tập thi THPT quốc gia Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận a Lí luận chung: Chủ trương ngành giáo dục phổ thơng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện lớp, bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả hợp tác, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú trách nhiệm học tập cho học sinh b Kiến thức vận dụng: Kiến thức mặt cầu trình bày sách giáo khoa hình học lớp 12 như: định nghĩa, vị trí tương đối mặt cầu với đường thẳng mặt phẳng, phương trình mặt cầu, phương trình đường thẳng, phương trình mặt phẳng, thể tích khối chóp Các bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức đại số, đạo hàm…được trình bày sách giáo khoa đại số, sách giải tích 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm - Trong qua trình học tập giảng dạy, tơi nhận thấy toán cực trị mặt cầu hệ tọa độ Oxyz xuất đề thi tốt nghiệp quốc gia đa dạng phong phú Đề thi khai thác sâu đề tài này, xuất nhiều dạng toán câu 50 đề minh họa Khi gặp dạng toán bắt gặp lúng túng, phương hướng việc tìm cách giải học sinh vận dụng kiến thức thực khó để tìm lời giải - Trong tài liệu chuyên đề viết vấn đề chưa nhiều, chưa phổ biến chưa cập nhật với chuyển động mùa thi 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề: Để giải vấn đề tơi hệ thống lại cho học sinh kiến thức mặt cầu trình bày sách giáo khoa hình học lớp 12, bất đẳng thức tam giác, bất đẳng thức đại sơ, đạo hàm…đã học chương trình Từ kiến thức mặt cầu kết hợp với bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức đại số, với đạo hàm…và khai thác tính chất mặt cầu tạo hệ thống phương pháp giải tốn cực trị mặt cầu khơng gian Oxyz sau: + Giải pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác cách quy tốn hình học phẳng + Giải pháp 2: Sử dụng phương pháp véc tơ + Giải pháp 3: Sử dụng đạo hàm bất đẳng thức đại số + Giải pháp 4: Khai thác tính chất tiếp tuyến mặt cầu + Giải pháp 5: Sử dụng đường tròn giao tuyến mặt phẳng mặt cầu + Giải pháp 6: Sử dụng điều kiện tiếp xúc mặt phẳng mặt cầu + Giải pháp 7: Sử dụng cơng thức tính nhanh thể tích khối tứ diện Thơng qua ví dụ xếp theo chuỗi tư giúp học sinh lĩnh hội hệ thống phương pháp giải cách tự nhiên, nhẹ nhàng 2.3.1 Giải pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức tam giác Bước 1: Giáo viên giới thiệu bất đẳng thức tam giác Bước 2: Hướng dẫn học sinh chuyển toán cực trị mặt cầu khơng gian, khó tưởng tượng, khó định hướng cách giải tốn áp dụng bất đẳng thức tam giác quen thuộc Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm đặc trưng dạng toán đưa cách giải chung Bước 4: Giáo viên xác hóa, khắc sâu kiến thức mở rộng toán Bước 5: Học sinh thực hành giải theo phương pháp tìm Bất đẳng thức tam giác: Cho điểm A,B,C bất kì, ta ln có: AB  BC  AC Dấu đẳng thức xảy A, B, C thẳng hàng Với điểm A,B,C: AB  BC  AC Dấu đẳng thức xảy A, B, C thẳng hàng Giáo viên dụ minh họa ví dụ Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A  3;3;5  , B  5; 7;  điểm M di 2 động mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  36 Giá trị nhỏ MA  MB bằng.[1] A 39 B 37 Giáo viên minh họa phần mềm vẽ hình Dẫn dắt học sinh thiết lập bước giải Xác định tâm, bán kính ? C 29 D 19 Mặt cầu ( S ) có tâm I  1; 2;3 , bán kính R  Vị trí tương đối hai điểm A, B mặt cầu? Nhận thấy: IA   R; IB  42  R nên A nằm mặt cầu, B nằm mặt cầu Áp dụng bất đẳng thức tam giác ? Khi đó: Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho điểm A, B, M ta có: MA  MB  AB  29 Vậy giá trị nhỏ MA  MB 29 Sau ví dụ khởi động có phần dễ dàng giáo viên tạo tình có vấn đề đặt hai điểm cho trước nằm ngồi mặt cầu ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A  9;6;11 , B  5; 7;  điểm M di động mặt cầu  S  :  x  1   y     z    36 2 T  MA  MB ?[2] Hãy tìm giá trị nhỏ A 29 B 37 C 26 D 19 -Giáo viên cho học sinh xét vị trí tương đối hai điểm A, B mặt cầu Học sinh phát hai điểm A, B nằm mặt cầu đến xuất vấn đề nảy sinh Giáo viên dẫn dắt học sinh giải vấn đề Gọi (P) mặt phẳng qua điểm A, B, I  ( P)  ( S )  (C ) Đường trịn (C ) có tâm I  1; 2;3 bán kính R  A, B nằm ngồi đường trịn (C ) -Giáo viên gợi động để học sinh toán tốn -Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm điểm đặc biệt để đưa toán uur uu r IK  IA Lấy điểm K đoạn IA cho: uu r uur IA   8; 4;8   IK   2;1;   K  3;3;5  -Học sinh áp dụng thực hành giải IA IM   2 Ta có IM IK tam giác AIM đồng dạng với MIK MA IA    MA  2MK Nên ta có: MK IM Suy ra: MA  MB  MK  2MB   MK  MB   KB  29 Vậy giá trị nhỏ T  29 -Giáo viên củng cố ví dụ tương tự 2 Ví dụ Trong không gian Oxyz, Cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  y   , A  5;10;  , B  4; 2;1 Tìm giá trị nhỏ T  MA  3MB với M  ( S ) ? [3] A T  11 B T  12 C T  Giáo viên gợi động để học sinh tìm lời giải D T  uur uu r  14  IC  IA  C   ; ;   3  Ta tìm điểm đặc biệt C: Từ tìm giá trị nhỏ MA  3MB T  11 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y  1  z  hai 2 điểm A  1;1;1 , B  2; 2;1 Điểm M di chuyển mặt cầu  S  Giá trị lớn 2MA  3MB đạt ? [4] A 65 B 67 Ta có  S  có tâm I  1; 1;0  bán kính R  , mặt cầu B nằm mặt cầu Lúc ta tìm điểm đặc biệt K C 69 D 61 IB  3, IA   R Suy A nằm 1 4 K  ;  ;  EI Gọi E  IA   S  ,  9  MA    MA  3MB  MK  MB  3BK  67 MK Bài toán tổng quát: Cho điểm M di động mặt cầu (S), tìm giá trịn lớn nhất, giá trị nhỏ T  MA  kMB Cách giải: Tìm điểm đặc biệt sử dụng bất đẳng thức tam giác Bên cạnh phương pháp sử dụng bất đẳng thức tam giác phương pháp sử dụng véc tơ cho thấy hiệu cao nhiều dạng toán 2.3.2 Giải pháp 2: Sử phương pháp véc tơ Sử dụng véc tơ để giải các tốn cực trị hình học phương pháp hiệu quả, áp dụng hình học phẳng hình học khơng gian Trong điển hình có cách tơi áp dụng vào tốn mặt cầu sau Cách 1: Tìm cực trị nhờ đánh giá độ dài véc tơ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu  S  : ( x  2)  ( y  4)  ( z  1)  ba điểm A(8;5; 11), B(5;3; 4), C (1; 2;3) Gọi M (a; b; c) điểm mặt cầu ( S ) 2 uuur uuur uuuu r MA  MB  MC cho biểu thức đạt giá trị nhỏ Tính T  a  b [5] A T  B T  C T  10 D T  Với toán giáo viên hướng dẫn học sinh xây dựng phương pháp giải uuu r uuur uuur r Gọi D( x; y; z ) điểm thuộc mặt phẳng ( ABC ) cho: DA  DB  DC  D(2;0;1) Giáo viên yêu cầu học sinh sử dụng quy tắc tam giác phân tích biểu thức uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r MA  MB  MC  MD  DA  ( MD  DB )  ( MD  DC )  DA  DB  DC  MD  MD uuur uuur uuuu r MA  MB  MC Suy ra: đạt giá trị nhỏ khi MD đạt giá trị nhỏ Khi D hình chiếu vng góc M lên mặt phẳng ( ABC ) Phương trình đường thẳng:  x   2t   y   2t  z  1  t  DI: Từ ta tìm giao điểm M (0; 2;0) Suy ra: T  a  b  Cách thứ hai mà ta sử dụng hiệu sử dụng bình phương vơ hướng véc tơ Cách 2: Tìm cực trị nhờ bình phương vơ hướng Minh họa ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu  S  : x  y  z  11 cho tứ diện 2 2 2 ABCD nội tiếp mặt cầu Giá trị nhỏ T  AB  BC  CA  DA  BD  CD bằng? [6] A T  99 B T  176 C T  132 D T  66 Giáo viên dẫn dắt học sinh tạo biểu thức bình phương vơ hướng Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, : 2 uuu r uuu r uuur uuur r uuur uuu r uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur uuur GA  GB  GC  GD   4OG  OA  OB  OC  OD  16OG  (OA  OB  OC  OD ) uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur uuuruuur uuur  2(OA.OB  OA.OC  OA.OD  OB.OC  OB.OD  OCOD )  16OG  R Hướng dẫn học sinh liên hệ với đề để học sinh tìm cách giải nhanh  T  AB  BC  CA2  DA2  BD  CD uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur  (OB  OA)  (OC  OB )  (OA  OC )  (OA  OD )  (OD  OB )  (OD  OC )  16 R  16OG  16 R  T  176 Giáo viên hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp giải vào thực hành giải Ví dụ Trong khơng gian với Oxyz cho ba điểm A  1;0;0  , B  0; 2;1 , C  2; 1;3 mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z   Điểm M di động  S  Gọi  ,  2 2 giá trị lớn giá trị nhỏ T  2MA  MB  MC    ? [6] A 396 13 B 648 13 C 792 13 D 648 13 2 Ta thấy: mặt cầu  S  có tâm J  1; 2;1 bán kính R  Giả sử điểm I  x0 ; y0 ; z0  thỏa mãn điều   I  0; ;1 uu r uur uur r kiện: IA  IB  IC  Từ hệ thức dễ dàng tìm   uuu r uu r uuu r uur uuu r uur T  MI  IA  MI  IB  MI  IC  2MI  IA2  IB  IC  Khi đó, ta :      13 3 R Mặt khác: hay điểm I nằm bên mặt cầu, ta tìm 13 13 MI Max  R  I J   ; MI  R  IJ   2 2 Suy ra:     792 13 Vậy: IJ  Cách 3: Tìm cực trị nhờ đánh giá tích vơ hướng véc tơ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A  2; 3;  , B  2;1;  mặt cầu  S  :  x  1 uuur uuur  y   z    12 Điểm M (a; b; c) thuộc mặt cầu ( S ) cho MA.MB đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức T  a  b  c [7] T A B T  4 C T  D T  Trong toán ta hướng dẫn học sinh sử dụng tích vơ hướng để tìm lời giải Ta thấy:  S  : ( x  1)  y   z    12 có tâm I  1;0;  , bán kính R  Gọi C trung điểm A, B  C (0; 1;3) Áp dụng công thức tích vơ hướng 2 uuuruuur uu r uuur uur uuur uur uur uuur2 uuur uu r uur MAMB  ( IA  IM ).( IB  IM )  IA IB  IM  IM ( IA  IB ) Ta phân tích: uu r uur uuur uur uu r uur uuur uur  IA.IB  R  IM IC  IA.IB  R  R.IC.cos ( IM , IC ) uuur uur uuur uuur  cos ( IM , IC )  Vì A,C,B,I cố định, R khơng đổi nên MA.MB đạt giá trị nhỏ uuur uur hay hai véc tơ IM , IC hướng.uuur uur Mặt khác: IC  3, IM  R   IM  IC , suy C trung điểm IM  M (1; 2; 2)  T  a  b  c  Giáo viên hướng dẫn học sinh thực hành giải Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu  S  : x   y  3   z    Xét hai điểm M, N di động mặt cầu  S  cho MN  Tìm giá trị nhỏ 2 biểu thức T  OM  ON [8] A T  5 B T  4  C T  10 D T  6  Ta thấy: mặt cầu  S  : x   y  3   z    có tâm I  0;3; 4  , bán kính R  2 uuuur2 uuur 2 T  OM  ON  OM  ON Sau đó, áp dụng tích vơ hướng Lúc uur ta uuurphân utích ur uur uur uuur uur uuruuuur uur uuuur T  (OI  IM )  (OI  IN )  2OI ( IM  IN )  2OI NM  2OI MN cos (OI , NM )  T  2OI MN  10 uur uuuur Dấu xảy OI NM ngược hướng Giáo viên tạo tình ví dụ Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai mặt cầu có phương trình  S1  :  x  3   y     z  2019   9, 2  S2  :  x  15    y     z  2019   144 Gọi 2 A, B hai điểm thuộc hai mặt cầu  S1  ,  S2  , M điểm tùy ý uuur uuur P  MA.MB  AB Đặt Tìm giá trị nhỏ P [9] A 88 B 98 r uuur r C 90 D.100 uuu Gọi H trung điểm AB  HA  HB  Phân tích véc tơ cách chèn H uuur uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuruuur P  MA.MB  AB  MH  HA MH  HB  AB  MH  HAHB  AB 8 1  MH  AB  AB  MH  AB 8  I  3; 2; 2019   J  15;7; 2019  ;  S2  :   IJ  13  S1  :   R1   R2  12    Ta có AB  R1  IJ  R2   13  12  28 1   AB  98  MH  AB  98 8 Vậy giá trị nhỏ P 98  Pmin  98 Dấu xảy M  H Bên cạnh hai phương pháp chủ đạo sử dụng bất đẳng thức đại số đạo hàm phương pháp hữu hiệu giải toán cực trị hình học 2.3.3 Giải pháp 3: Sử dụng đạo hàm bất đẳng thức Sử dụng đạo hàm để giải toán cực trị kĩ chương trình tốn giải tích lớp 12, toán cực trị mặt cầu ngoại lệ Vấn đề chỗ ta tìm cách dẫn dắt học sinh chuyển đổi tốn cực trị hình học tốn cực trị giải tích Để hình thành cho em phương pháp chuyển đổi tốn ta thực bước sau Bước 1: Hướng dẫn cho học sinh biết thiết lập hàm số liên quan đến tốn Bước 2: Hướng dẫn học sinh tìm điều kiện với biến số để sử dụng đạo hàm giải toán theo hướng quen thuộc theo mơn giải tích Bước 3: Rèn luyện kĩ chuyển đổi tốn cực trị hình học sang tốn cực trị giải tích thơng qua ví dụ Minh họa cho phương ta xét ví dụ 2 Vídụ Trong hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z   điểm A  5;3; 2  Một đường thẳng (d) thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ S  AM  AN [10] A Smin  30 B Smin  20 C Smin  34  D Smin  34  Giáo viên sử dụng phần mềm vẽ hính giúp học sinh hiểu sâu đề , từ định hướng giải Từ yêu cầu tốn : Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  AM  AN Ta hướng dẫn học sinh chuyển đổi từ tốn hình học sang tốn giải tích túy, định hướng sau: đặt IH  h  AM  ? h; AMN  ? h đến lúc nhiều em tìm hướng giải Giáo viên cần khắc sâu điều kiện h học sinh tìm đáp án S  AM  AN  AH  HM   AH  HN   AH  3HN  S  AI  IH  R  IH  34  h   h2 f  h   34  h   h ,  h   f  h   f    34    0;3 Xét hàm số: Bây ta kết hợp với bất đẳng thức thông dụng để chuyển đổi hàm số Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho  S  : ( x  1)   y     z  3  48 Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M (0;0; 4) , N (2;0;0) cắt ( S ) theo giao tuyến 2 đường trịn (C ) Khối nón ( N ) có đỉnh tâm ( S ) đáy đường trịn (C ) tích lớn [11] 128 A 88 B C 39 Giáo viên dẫn dắt học sinh tìm hướng giải gợi mở Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2;3) bán kính R  2 Gọi ( P) : ax  by  cz  d  (a, b, c, d  ¡ ; a  b  c  0) mặt 215 D phẳng qua M (0;0; 4) N (2;0;0)  ( P) : 2cx  by  cz  4c  Hướng dẫn học sinh Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki x  d ( I , ( P))  2c  2b  3c  4c (2c)  b2  c Đặt:  2b  5c b2  5c  (22  ( 5) )(b  5c ) b  5c   R x  x (48  x ) V  r  R  d ( I , ( P))  48  x 3 Suy thể tích khối nón: Sau thiết lập hàm số đa số học sinh tìm lời giải  x(48  x )  f ( x)   f (3)  39  Do  x   f  x   0x   0;3 2  S  : x   y  1   z    Ví dụ 3.Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu mặt phẳng  P  : x  y  z  Xét điểm M thay đổi  P  Gọi khối nón  N  có đỉnh M có đường trịn đáy tập hợp tất tiếp điểm vẽ từ M đến mặt cầu  S  Khi khối nón  N  tích nhỏ nhất, mặt phẳng chứa đường trịn đáy  N  có phương trình x  ay  bz  c  Tính a  b  c ? [12] A 2 B C D Với ví dụ này, ta cho học sinh tự tìm lời giải, giáo viên cho học sinh khác nhận xét, sau tổng kết tìm phương pháp chung Mặt cầu  S  có tâm I  0;1;  bán kính R  d  I, P   1  3R Gọi H hình chiếu I lên  P  , AB đường kính đường trịn đáy  N  , J tâm đường tròn đáy  N  Suy ra: JA  r bán kính đáy  N  , JM  h đường cao  N  JA IA   r  1 x Đặt: Xét AI J đồng dạng MIA , ta có: MA IM JM MA MA2 IM  IA2 1  h   IM   x AM J đồng dạng IMA , có: MA IM IM IM IM x 1     1 V  h r    x  1    x    3  x  x   x x  Lúc Thể tích khối nón  N  :  IM  x x  Vmin   3 27 , đạt IM  x  Khi M  H Suy ra: Ngoài phương pháp chuyển đổi tốn giải tích ta cịn sử dụng phương pháp đại số để giải toán cực trị mặt cầu, cách áp dụng bất đẳng thức đại số Bước : Hướng dẫn em sử dụng giải thiết để đưa toán cực trị hình học tốn cực trị đại số biểu thức đại số Bước 2: Hướng dẫn em áp dụng bất đẳng thức đại số để giải Bước 3: Học sinh thực hành áp dụng Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho hai điểm A(1;2;0), B(2; 3; 2) mặt cầu  S  có đường kính AB Ax By tiếp tuyến mặt cầu  S  A B ( Ax  By ) Hai điểm M,N di động Ax By cho MN tiếp tuyến  S  Tứ diện ABCD có diện tích tồn phần nhỏ bao nhiêu? [13] A 19 B 19(  3) C 19(2  3) D 19(6  3) Đây tốn khó Khơng dễ học sinh định hướng giải, mà việc dẫn dắt em khai thác giả thiết để định hướng cách giải quan trọng Giáo viên: Minh họa hình vẽ 3d, hướng dẫn học sinh thiết lập biểu thức Giả sử mặt cầu  S  tiếp xúc với MN điểm C Theo tính chất tiếp tuyến ta có: x  AM  MC ; y  BN  NC AB  AM  AB   AM  ( ABN )  AM  AN  xy  AM AN   19 BN  AM  Ta có: Stp  ( 38 x  38 y  x 38  y  y 38  x )  19(  3) Ta có : Ngồi phương pháp việc khai thác tính chất tiếp tuyến, mặt phẳng tiếp diện, cách tính chất đường tròn giao tuyến mặt cầu mặt phẳng cho ta phương pháp giải hiệu toán cực trị mặt cầu Sau phương pháp giải dựa khai thác tính chất 2.3.4 Giải pháp 4: Khai thác tính chất tiếp tuyến mặt cầu Qua điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; r) có vơ số tiếp tuyến với (S) Các tiếp tuyến tạo thành mặt nón đỉnh A Khi độ dài đoạn thẳng kẻ từ A đến tiếp điểm Bây ta áp khai thác tính chất tốn sau Ví dụ 1.Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A  8;9;3 , B  11;3;3 mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  25 2 Gọi K điểm thuộc đoạn thẳng AB Tập hợp tiếp tuyến với  S  kẻ từ K mặt nón trịn xoay có đáy đường trịn tạo tiếp điểm Thể tích nhỏ khối nón tập hợp khối nón đỉnh K [14] 65  A 70  B 80  C  S 85  D Ta cho học sinh xác định tâm bán kính mặt cầu : tâm I  1; 2;3 , R  Gọi (P) mặt phẳng chứa AB tâm I Khi (P) cắt theo đường tròn lớn với hai tiếp tuyến (S) hai tiếp tuyến (C) Giáo viên minh họa 10 IA  130, IB  145, uuu r uu r  AB, IA   d  I , AB    5 uuu r AB Theo tính chất tiếp tuyến ta có:     R  R2  VK  HM HK  HI HK   IK   3 IK IK    Thể tích khối nón đỉnh K : Học sinh biết cách áp dụng đạo hàm để tìm cực trị V  VK  f ( x )   x  IK  x  80  IK  5 Đến lúc ta tìm được: Sau học sinh nắm ý tưởng phương pháp ta tạo tình có vấn đề ví dụ Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  có tâm I  1;1;1 , bán kính R  mặt phẳng  P  : x  y  z  13  M  x0 ; y0 ; z0  điểm di động  P  Ba điểm phân biệt A, B, C thuộc  S  cho MA, MB, MC tiếp d  I ,  ABC   T  x0  y0  z0  S tuyến T Tính tổng 13 T  đạt giá trị lớn [15] 13 A B C T  13 D T  13 Giáo viên định hướng cố vấn để học sinh tìm lời giải câu hỏi vấn đáp d  I, P      13 4R Vì nên điểm M ln nằm ngồi mặt cầu  S  Do qua M ln kẻ tiếp truyến với mặt cầu (S) 1  Gọi H giao điểm đường thẳng IM mặt phẳng  ABC  , ta có AH  IM Xét tam giác MAI vuông A ta có IH IM  IA2  12  d  I ,  ABC    IH  12 IM Do d  I ,  ABC   lớn IM nhỏ hay M hình chiếu I mặt phẳng Vậy  P T Phương trình đường thẳng IM x  1 t   y   2t  z   2t   11  M  ;  ;  , suy ra:  3  11 13    3 3 Lúc ta cho học sinh thực hành giải hướng dẫn 11 2 Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z  13  d: đường thẳng x  y  z 1   1 Gọi M  a ; b ; c   a   điểm nằm (d ) cho từ M kẻ ba tiếp tuyến MA, MB, MC tới  S  ( A, B, C tiếp điểm) ·AMB  600 BMC · ·  900 , CMA  1200 Tính a  b3  c3 [16] , 112 B 173 a3  b3  c3  D a  b3  c  A a  b  c  8 C 3 a  b3  c3  23 Gọi độ dài MA  x  x   , A, B, C tiếp điểm nên MA  MB  MC  x Theo ra: AC  x , AB  x , BC  x  AC  AB  BC  ABC vuông B Gọi J trung điểm AC , J tâm đường trịn ngoại tiếp ABC I , J , M thẳng hàng và: IC JC AC x 3 IC 2.3 · · sin IMC  sin JMC       IM   6 IM MC 2MC 2x 3 1  112  M  ; ;  a  b3  c   3  Vậy Học sinh thực hành giải ví dụ 2 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  1)  , : x4 y6 z 2   2 1 Từ đường thẳng điểm M   kẻ tiếp tuyến đến mặt cầu ( S ) gọi (C ) tập hợp tiếp điểm Biết diện tích hình phẳng giới hạn (C ) đạt giá trị nhỏ (C ) thuộc mặt phẳng x  by  cz  d  Tìm b  c  d ? [17] B 2 A C D 4 Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; 2; 1) bán kính R  Đường thẳng  x  4  6t   :  y   2t z   t  r u có vecto phương  (6; 2; 1) Ta có d ( I , )   R Gọi điểm hình vẽ Gọi H tâm đường tròn (C ) , K tiếp điểm ( S ) tiếp tuyến  kẻ từ M Ta có diện tích (C ) S   r , r  HK IK  IH IM  IH  IM  HK  IK  IH   x2 Mặt khác ta có Đặt IM  x 12 Suy diện tích (C ) nhỏ r  HK nhỏ  IM nhỏ Ta lại có : IM  d ( I , )  IM nhỏ  IM  Khi M hình chiếu vng uuur  H ( ; ;  ); IM  (1; 2; 2)  ( P) : x  y  z    b  c  d  2 3 góc I lên  2.3.5 Giải pháp 5: Khai thác tính chất đường tròn giao tuyến mặt phẳng mặt cầu Các toán giao tuyến mặt cầu mặt phẳng gây nhiều khó khăn cho học sinh, thứ khó trí tưởng tượng khơng gian, thứ hai lập luận cách giải… tốn cực trị dựa khai thác tính chất đường trịn giao tuyến đem lại khó khăn gấp bội Nắm điều tơi lựa chọn tốn theo mức độ từ dễ đến khó minh họa phần mềm vẽ hình, trình chiếu cho em xem từ nhiều góc độ nhằm hình thành trí tưởng tượng khơng gian Từ dẫn dắt em khai thác giả thiết sử dụng phương pháp chủ đạo quy toán quen thuộc Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :  x  3   y  1   z    16 2 điểm M  1;1;  mặt phẳng    : x  y  z   Gọi  P  mặt phẳng qua M vuông góc với mặt phẳng    đồng thời cắt mặt cầu  S  theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Mặt phẳng  P  qua điểm sau đây? [18] A D  3;1;0  B C  1;0;1 C A  1; 1;   D B  0; 2;5  Đây toán tương đối phức tạp Giả thiết cho nhiều kiện làm cho học sinh phương hướng Học sinh không sử dụng kiện trước, kiện sau để giải tốn Từ khó khăn học sinh gặp phải ta định hướng cách giải, mơ hình vẽ hướng dẫn em thiết lập cách giải theo hướng sau r 2 n   A; B ;C  Gọi véc tơ pháp tuyến mặt phẳng  P  với A  B  C  Do mặt phẳng  P  qua điểm M  1;1;  Phương trình mặt phẳng (P) ? A  x  1  B  y  1  C  z     Ax  By  Cz  A  B  2C  Ta có: r r  P     nên khi nào? n P  n     A  B  C   C  A  B Mặt cầu  S  có tâm I  3;1;  bán kính R   P  cắt  S  theo giao tuyến đường tròn r  R  IH = 16  IH (IH  d ( I , ( P)) d  I, P   A  B  2C  A  B  2C A2  B  C * A  : d  I ,  P    2A A2  B  C 13 2A d  I ,  P   A2  B  C  * A0: 2  B C  1       A  A  2  B   A  2B  1       A  A  30  30 B  , A  ( P) : x  y  z   (P) qua B  0; 2;5  max d  I ,  P    Vậy Một hay điển hình cho câu vận dụng cao đề thi Ví dụ Trong khơng gian Oxyz cho mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  16 , đường thẳng x  1 t  d :  y  1  4t  z  1  3t  2 Gọi M điểm thay đổi d cho tồn ba mặt phẳng đôi vng góc qua M cắt  S  theo ba đường tròn Gọi T T tổng diện tích ba đường trịn Giá trị lớn  [19] A 16 B 23 C 48 Bài toán hay Giáo viên minh họa hình vẽ Định hướng cách giải câu hỏi vấn đáp Xác định tâm bán kính?   S  :  x  1   y     z  3  16 2 D 26 có tâm I  1; 2;3 , R  Gọi d1 , d , d3 khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng Và r1 , r2 , r3 bán kính đường tròn thiết diện Thiết lập mối liên hệ d1 , d , d3 ? 2 2  Dễ dàng chứng minh d1  d  d  MI Suy R  r12    R  r22    R  r32   MI  r12  r22  r32  R  MI  Vị trí d ,  S  Thay x, y, z từ phương trình d vào  S  ta được:   t  1   1  4t     1  3t  3  16  t   4t  3   3t    16 (VN ) 2 2 2 2 2 Suy d ,  S  khơng có điểm chung  r1  r2  r3  3R  MI  3R  IH với H hình chiếu vng ugóc I lên d uu r   H  1; 1; 1  HI  0; 3; 4   HI   r12  r22  r32  3R  MI  3R  IH  23 T 2 T    r12  r22  r32     r1  r2  r3  23  Tổng diện tích ba đường tròn Giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng phương pháp giải thực hành giải Ví dụ Trong không gian với Oxyz , cho ( S ) :  x     y  1   z  3  có tâm 2 x3 y  z   Gọi A điểm nằm đường thẳng d Từ I đường thẳng A kẻ tiếp tuyến AB, AC , AD đến mặt cầu  S  với B, C , D tiếp điểm Khi  d : 14 thể tích khối chóp I BCD đạt giá trị lớn nhất, mặt phẳng  BCD  có phương trình mx  ny  pz   Giá trị m  n  p [20] A B C -1 D -5 Mặt cầu  S  có tâm I  2;1;3 Gọi r , H bán kính tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD , h  d  I ,  BCD   1 BC.BD.CD 2r sin D.2r sin C.2r sin B 2 VI BCD  h.SBCD  h  h  h.r sin B.sin C.sin D 3 4r 4r 3 sin B.sin C.sin D   sin B  sin C  sin D  27 BC B C BC sin C  sin B  2sin cos  2sin 2 Mà: D  60o D  60o D  60o cos  2sin 2 B  C  D  60o o sin B  sin C  sin D  sin 60  4sin 2 sin D  sin 60o  2sin Hay 3 3 3 3 sin B  sin C  sin D   sin B.sin C.sin D     27    23 3 3 h.r  h.r  V 4 1 1 V   r h   h   h     3h  h3   V      3h  3 3 Ta có: , R  r   IA  3 h Khi V đạt giá trị lớn h  VI BCD  A   t; 4  3t; 4t   d ; IA   26t  52t  26   t   A  4; 1;  uuu r uu r  10  IH  IA  H  ; ;   3  Mặt  BCD  : x  y  z   Vậy m  n  p  1 Lại có Sau ví dụ giành cho học sinh vận dụng giải Ví dụ Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S1  :  x  1   y  3   z    49 , 2  P  : x  y  mz  22   S2  :  x  10    y     z    400 mặt phẳng 2 Có số nguyên m để mặt phẳng  P  cắt hai mặt cầu  S1  ,  S2  theo giao tuyến hai đường trịn khơng có tiếp tuyến chung? [21] A B C Vô số D 11 Ngoài đặc điểm khai thác mặt phẳng tiếp diện chủ đề hay để đưa dạng tốn khó Chính mà khai thác điều kiện tiếp xúc mặt phẳng mặt cầu giúp ta giải nhiều toán 2.3.6 Giải pháp 6: Sử dụng điều kiện tiếp xúc mặt phẳng mặt cầu Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu khi d ( I ;( P ))  R , với I tâm mặt cầu Khai thác điều kiện cho ta nhiều cách giải hay cự trị 15 Minh họa ví dụ 1: 2 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y  z  M  (S ) có tọa độ dương, mặt phẳng  P  tiếp xúc với ( S ) M cắt tia Ox ; Oy ; Oz  điểm A, B, C Giá trị nhỏ biểu thức [22] A 24 B 27 C 64 Mặt cầu ( S ) có tâm O(0;0;0) , bán kính R  T   OA2    OB    OC  D Gọi A  a ; 0;  , B  0; b ;  , C  0;0; c  ( a  0, b  0, c  ) x y z   1 Phương trình mặt phẳng  ABC  : a b c Mặt phẳng  ABC  tiếp xúc với mặt cầu ( S ) nên 1 2 d (O,  ABC )    a  b  c   a b c  (1) T    OA2    OB    OC     a    b    c  T  a  b  c  a 2b  b 2c  c a  a 2b 2c   T  a 2b c  3 ( a b c )  3 a b c    a b c  (2)  T    3  64 Giáo viên định hướng dẫn dắt học sinh giải Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3  x  1 t     :  y  mt z  m 1 t  , với m tham số Hai mặt phẳng  P  ,  Q    đường thẳng chứa m  a b , A 35 Do Nối K tiếp xúc với mặt cầu  S  M , N Khi độ dài đoạn MN ngắn a (b 3 phân số tối giản) Tính a  b [23] B 126 Mặt cầu  S  có tâm I  1; 2;3 , bán kính Gọi hình chiếu I C 133 D 152 R2 lên    IM   P      IMN   K   IMN     IN   Q  KI cắt MN H H trung điểm MN MH  KI 1 1    2 2 2 Trong tam giác vng KIM có : MH MI MK R KI  R 16 Độ dài đoạn MN ngắn  chiếu I MH ngắn  KI ngắn Gọi J hình mặt phẳng    Ta có KI  IJ Do KI ngắn IJ Phương trình đường thẳng d qua điểm I  1; 2;3 vng góc với mặt phẳng x  1 u  y  2u    là:  z   u  J giao điểm đường thẳng d mặt phẳng    uuu r  4 r  4  4  J  ; ;  AJ    ; ;  u  1;  ;   5  3  Một vtcp đường thẳng  là:  3 3  m 3 3 Vậy a  b    126 Học sinh áp dụng giải ví dụ  14  A  ; ;-  Ví dụ Trong hệ Oxyz cho  3  , mặt cầu 2  S2  :  x  1   y  1  z  I mặt cầu Gọi  S1  : x   y  1   z    16 tâm mặt cầu  S1   P  mặt phẳng tiếp xúc với hai mặt cầu  S1   S  Xét điểm M thay đổi thuộc mặt phẳng  P  cho đường thẳng Khi đoạn thẳng A AM IM tiếp xúc với mặt cầu  S2  ngắn M  a ; b ; c  Tính giá trị T  a  b  c [24] T 1 B T C T  1 D T  Mặt cầu  S1  có tâm I  ; 1;  bán kính R1  , mặt cầu  S2  có tâm J  ; -1;  bán kính R2  Vì IJ   R1  R2 nên hai mặt cầu  S1   S2  tiếp xúc x  t  IJ :  y   2t   11 14  4 B ; - ; -  C ; ;  z   2t    IJ cắt  S1   3  ,  3  Dễ thấy điểm B   S2  hai mặt cầu  S1   S2  tiếp xúc với B  P  x  y  2z   , A   P  Gọi N tiếp điểm đường thẳng Ta có INJ đồng dạng với IN NJ IB.NJ   BM   IB BM IN  C  có tâm B bán kính IBM IM với mặt cầu  S2  theo trường hợp góc góc nên IB.R2 IJ  JN  r  BM  nên điểm M chạy đường tròn (C) đường tròn  C  nằm mặt phẳng  P  Ta có: AM  AB  r M giao điểm điểm M nằm A B AM với đường tròn  C  đồng thời 17 uuuu r BM uuu r uuu r 5 4 uuu r M ;- ;-  BM  BA  BA BA   ; ; -4  , BA  3 3 BA Ta có , Vậy a , b , c 3  T  a  b  c  1 Thêm luyện cho học sinh Ví dụ Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A  2;1; 2  , B  5;1;1 mặt cầu  S  : x  y  z  y  12 z   Xét đường thẳng (d) qua A tiếp xúc với  S  cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ Phương trình đường thẳng (d) là? [25] A x    y  1 t  z  2  2t  x    y   4t  B  z  2  t  x   2t   y   2t  C  z  2  t x   t   y   4t  D  z  2  t Ngoài phương pháp khai thác đặc trưng mặt cầu, nhiều tốn cịn vận dụng kiến thức liên chương để tạo dạng toán vận dụng cao mặt cầu Một dạng toán đề cập nhiều các tốn cực trị mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Trong đó, điển hình với cách giải áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích khối tứ diện 2.3.7 Giải pháp 7: Áp dụng cơng thức tính nhanh thể tích khối tứ diện Bước 1: Giáo viên nêu hướng dẫn học sinh chứng minh cơng thức tính nhanh thể tích khối tứ diện: Cho khối tứ diện ABCD có góc hai đường thẳng AB CD φ, khoảng cách hai đường thẳng AB CD d Khi thể tích khối tứ diện ABCD tính theo cơng thức: V AB.CD.d sin  Chứng minh Với tứ diện ABCD ta dựng hình hộp AMBN.ECFD hình vẽ Ta có: 1 VABCD  VAMBN ECFD  4V  VAMBN ECFD  V  V d  d ( AB, CD)  h 1 S  CD.EF sin   AB.CD.sin  2 V  AB.CD.d sin  Bước 2: Giáo viên minh họa ví dụ Hướng dẫn học sinh áp dụng vào toán hệ thống câu hỏi vấn đáp, gợi mở, nêu vấn đề, tạo tình 18 2 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : ( x  2)  ( y  1)  ( z  2)  16 hai điểm A  5;0;3 , B  9; 3;  Gọi ( P), (Q) hai mặt phẳng chứa tiếp xúc với ( S ) M , N Thể tích tứ diện ABMN lớn [26] 12 130 A 25 36 26 B 25 130 C 25 AB 18 26 D 25 -Trước hết giáo viên sử dụng phần mềm vẽ hình để học sinh tưởng tượng lĩnh hội nội dung u cầu tốn -Sau giáo viên gợi động cơ, dẫn dắt học sinh để học sinh áp dụng cơng thức Ta có : AB  26 Mặt cầu ( S ) có tâm I  2; 1;  , R  ( P), (Q) hai mặt phẳng chứa AB tiếp xúc với ( S ) M , N nên Vì AB  ( IMN ) Gọi H giao điểm AB mặt phẳng ( IMN ) , K giao điểm MN IH x5 y z 3   3 Phương trình đường thẳng AB là: ( IMN )  x     y  1  1 z     x  y  z    H  1;3;  Phương trình : Xét tam giac MHI vuông IK  M với đường cao MK , ta có: MI  IK IH 16 24  HK  ; MN  2MK  5 25 Mà MI  4, IH  nên Lúc ta cho học sinh áp dụng trực tiếp công thức sử dụng bất đẳng thức lượng giác sin x  cho ta kết VABMN  1 24 36 26 AB.MN sin  AB, MN  d  AB, MN   AB.MN 1.HK  26  6 5 25 Sau học sinh phần nắm hướng giải, giáo viên hệ thống lại toàn cách làm đưa bước để học sinh vận dụng vào giải vấn đề 2 Ví dụ Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu  S1  : x  y  z  x  y  z   2  S2  : x  y  z  x  y  z   Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A, B thuộc mặt cầu  S1  hai đỉnh C , D thuộc mặt cầu  S2  Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn [27] A B C D 19 Giáo viên sử dụng hình vẽ 3d để học sinh hình thành trí tưởng tượng khơng gian Gợi mở để học sinh tìm hướng giải từ ý kiến nhiều học sinh Dẫn dắt em tìm lời giải Khích lệ em trình bày lời giải theo hướng sau  S1  có tâm O  1; 2;1 bán kính R1  10  S2  có tâm O  1; 2;1 bán kính R2  Dựng mặt phẳng  P  chứa AB song song CD , cắt  S1  theo giao tuyến đường tròn tâm I Dựng mặt phẳng  Q  chứa CD song song AB , cắt  S2  theo giao tuyến đường 2 trịn tâm J Khi IJ  d  AB, CD   OI  OJ  10  x   y Trong đó:   IA  x  x  10 ; JC  y   y     1 AB.CD.IJ sin ·AB, CD  AB.CD.IJ 6 V  x.2 y 10  x   y  xy 10  x   y  VABCD      Đến lúc hướng dẫn học sinh áp dụng phương pháp sử dụng đẳng thức VABCD 2 12  xy 1  xy  12  xy   xy  ( xy ) 12  xy     6 2 3     Chủ đề cực trị mặt cầu cịn nhiều tốn hay, lạ khó, kèm với cách giải độc đáo thông minh, giới hạn nội dung sáng kiến, xin khép lại phần trình bày Xin đề cập nội dung sáng kiến gần 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Trong năm học vừa qua tiến hành áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cách nghiêm túc khoa học lớp thực tế giảng dạy khối 12 lớp Kết đạt ban đầu khả quan Sau kết kiểm tra đánh giá mặt điểm số Đối tượng thực nghiệm: 12C2, 12C7 Đối tượng đối chứng: 12C1, 12C4 Tiến hành triển khai đề tài theo kế hoạch thời gian vạch Tổ chức kiểm tra, đánh giá rút kinh nghiệm kết Kết đạt Điểm trở lên Điểm từ đến Điểm Tổng Số Năm học Lớp Số Số số lượn Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng g 2021-2022 12C1 45 4% 16 34 % 27 60 % 12C7 46 16 35 % 26 57 % 8% 12C3 45 16 35 % 24 53 % 10 % 20 12C4 42 4% 18 40% 22 48 % 3.Kết luận, kiến nghị 3.1.Kết luận Qua thời gian tìm tịi, thu thập liệu, nghiên cứu, học hỏi, sáng tạo, tham khảo ý kiến đồng nghiệp viết nên SKKN vận dụng chuyên đề công tác giảng dạy lớp 12, bước đầu thu kết khả quan Khi áp sáng kiến vào công tác giảng dạy lớp, nhận thấy chuyên đề rộng, hấp dẫn áp dụng cho năm học tiếp theo, đặc biệt phù hợp với đối tượng học sinh khá, giỏi Tất nhiên phải tiếp tục nghiên cứu hoàn thiện đề tài Bài học kinh nghiệm rút từ q trình nghiên cứu, tìm tịi, giảng dạy sáng tạo việc viết sáng kiến kinh nghiệm đến việc áp dụng sáng kiến vào thực tiễn dạy học để thu kết tốt là: - Người thầy phải thường xuyên trau chuyên môn, tự học, tự nghiên cứu, tìm tịi, suy ngẫm, sáng tạo để áp dụng phương pháp dạy học cách tốt - Người thầy phải ln ln nhiệt tình, gương mẫu, sáng tạo hăng say tiếp cận dạng toán làm cho học sinh thấy đam mê nghiên cứu khoa học dẫn dắt học sinh tìm phương pháp giải hay, qua hình thành tình u tốn học bồi dưỡng tư logic cho học sinh - Trong trình dạy học, người thầy phải thường xuyên tạo tình có vấn đề, giao nhiệm vụ, hoạt động nhóm từ kích thích sáng tạo 3.2.Kiến nghị Trong q trình làm sáng kiến kinh nghiệm tơi nhận giúp đỡ từ đồng nghiệp học sinh Tuy nhiên thời gian có hạn lực thân chưa thực tốt, nên nội dung sáng kiến tơi cịn nhiều thiếu xót tồn nhiều hạn chế, tơi mong đóng góp hội đồng khoa học cấp đồng nghiệp để ngày hồn thiện kinh nghiệm giảng dạy qua giúp thực hoạt động giáo dục tốt Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Đỗ Thận Tuấn Thiệu hóa, ngày 25 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trần Ngọc Tiến 21 Tài liệu tham khảo Hình học, giải tích 12 nâng cao, hình học ,đại số giải tích lớp 11 nâng cao NXB giáo dục năm 2008 Nhóm tác giả Đồn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung Giải tích, Hình học 12 , hình học,Đại số giải tích lớp 11 NXB giáo dục năm 2008 Nhóm tác giả Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương 3.Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào đại học, từ năm 1997-1998 đến năm 20042005 NXB Đại học Quốc gia Hà nội tác giả Dỗn Minh Cường 4.Tạp chí toán học tuổi trẻ hàng tháng năm 2019-2020-NXB Giáo dục Đề thi tốt nghiệp quốc gia năm 2018, 2019,2020 Bộ giáo dục& đào tạo Đề thi THPT quốc gia năm 2018-2019,2020-2021 Đề minh họa kì thi tốt nghiệp quốc gia năm 2018,2019,2021 trường THPT nước Các trang Web giáo dục trực tuyến:hocmai.com;Vietted;toanmath.com Các diễn đàn toán học nước:diendantoanhocvn;k2pi.net… Nhóm giáo viên tốn việt Nam [1]- Sáng tạo dựa ví dụ để thành hệ thống phương pháp giải [2]-Đề thi kì trường THPT Thuận Thành 3, tỉnh Bắc Ninh năm 2019 [3]-Đề thi thử THPT quốc gia chuyên đại học Vinh năm 2019 [4]-Sưu tầm từ diễn đàn giáo viên Toán [5]-Sưu tầm từ chuyên đề vận dụng cao Đặng Việt Đông [6]-Biên tập từ Facebook tác giả Đào Nam diễn đàn giáo viên [7]-Sưu tầm từ chuyên đề vận dụng cao Đặng Việt Đông [8]-Đề thi thử THPT Quốc gia tác giả Đặng Thành Nam năm 2019 [9]-Biên tập từ Facebook tác giả Phan Văn Tỉnh diễn đàn giáo viên [10]-Đề thi thử TNTHPT Quốc gia tỉnh Bạc Liêu lần năm 2019 [11]-Đề thi thử THPT Quốc gia VTED năm 2019 [12]-Biên tập từ Facebook tác giả Lê Chung diễn đàn giáo viên [13]-Biên tập từ Facebook tác giả Huỳnh Công Liêm - diễn đàn giáo viên [14]-Đề thi thử THPT Quốc gia trường chuyên Lam sơn năm 2019 22 [15]-Đề thi thử THPT Quốc gia Sở giáo dục đào tạo Sơn La năm 2019 [16]-Biên tập từ Facebook tác giả Cao Xuân Tài diễn đàn vận dụng cao [17]-Biên tập từ Facebook tác giả Phan Văn Trí diễn đàn vận dụng cao [18]-Nguồn từ Facebook tự sáng tạo cách giải [19]-Đề thi khảo sát lần trường THPT Nguyễn Quán Nho năm học 2020-2021 [20]-Biên tập từ Facebook tác giả Đàm Thượng diễn đàn giáo viên [21]-Nguồn từ Facebook tự sáng tạo cách giải [22]-Biên tập từ Facebook tác giả Lê Thị Thúy diễn đàn giáo viên 23]-Đề thi khảo sát lần trường Đại học Hồng Đức năm học 2020-2021 [ [24]-Biên tập từ Facebook tác giả Ngơ Trí Thụ diễn đàn vận dụng cao [25]-Biên tập từ Facebook tác giả Nguyễn Thị Hương diễn đàn giáo viên [26]-Đề thi thử TNTHPT Quốc gia số 17 VTED năm 2019 [27]-Biên tập từ Facebook tác giả Nguyễn Văn Minh diễn đàn giáo viên DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trần Ngọc Tiến…… Chức vụ đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Quán Nho , TT Tên đề tài SKKN Kĩ thuật viết phương trình tiếp tuyến hàm số y Kết đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) (A, B, C) Ngành giáo dục đào tạo Thanh Hóa C 2011-2012 Ngành giáo dục đào tạo Thanh Hóa C 2014-2015 ax  b cx  d Kĩ thuật tính tích phân phần phương pháp cộng Cấp đánh giá xếp loại thêm số Kĩ thuật tính tích phân Ngành giáo dục 23 hàm ẩn Kĩ thuật tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ đào tạo Thanh Hóa Ngành giáo dục đào tạo Thanh Hóa C 2017-2018 C 2019-2020 thị hàm ẩn 24 ... đạo hàm để giải toán cực trị kĩ chương trình tốn giải tích lớp 12, tốn cực trị mặt cầu ngoại lệ Vấn đề chỗ ta tìm cách dẫn dắt học sinh chuyển đổi tốn cực trị hình học tốn cực trị giải tích Để... tốn giải tích ta sử dụng phương pháp đại số để giải toán cực trị mặt cầu, cách áp dụng bất đẳng thức đại số Bước : Hướng dẫn em sử dụng giải thiết để đưa tốn cực trị hình học tốn cực trị đại số. .. mặt cầu tơi kết hợp với bất đẳng thức hình học, bất đẳng thức đại số, với đạo hàm…và khai thác tính chất mặt cầu tạo hệ thống phương pháp giải toán cực trị mặt cầu không gian Oxyz sau: + Giải