Rèn luyện kỹ năng giải bài toán lồng ghép các khối tròn xoay không gian OXYZ cho học sinh khá giỏi lớp 12 trường THPT quảng xương 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG I SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM RÈN LUYỆN KỈ NĂNG GIẢI BÀI TỐN LỒNG GHÉP CÁC KHỐI TRỊN XOAY TRONG KHÔNG GIAN OXYZ CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG Người thực hiện: Ngô Văn Sơn Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn SKKN thuộc lĩnh mực : Tốn học THANH HĨA NĂM 2021 MỤC LỤC Mục Nội dung Trang Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 2.2 Cơ sở lí luận: Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 20 3.2 Kiến nghị 20 – MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: - Bài tốn lồng ghép khối trịn xoay khơng gian Oxyz dạng tốn khó với giáo viên học sinh dạy học Là vấn đề nâng cao mà đề thi giáo dục khai thác hàng năm - Từ phía giáo viên học sinh cịn thiếu kinh nghiệm phương pháp giải toán lồng ghép khối trịn xoay khơng gian Oxyz Vì tơi chọn đề tài nghiên cứu “ Rèn luyện kỉ giải toán lồng ghép khối trịn xoay khơng gian Oxyz cho học sinh giỏi lớp 12 trường THPT Quảng Xương 1” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Học sinh nắm mối liên hệ hình học khơng gian và hình học giải tích Oxyz, lựa chọn kiến thức học để vận dụng giải tập Ngồi cịn giúp học sinh phân dạng tập, mối liên hệ tập với tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Các khối tròn xoay : khối cầu, khối nón, khối trụ mối quan hệ chúng với tốn khơng gian Oxyz - Đề tài áp dụng chương trình hình học lớp 12, học sinh ơn thi học sinh giỏi , học sinh ôn thi THPT Quốc gia 1.4 Phương pháp nghiên cứu: Xuất phát từ đối tượng nhiệm vụ nghiên cứu để đạt mục đích đề q trình nghiên cứu sử dụng phương pháp chủ yếu sau: i) Phương pháp nghiên cứu lí luận - Nghiên cứu tài liệu - Nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm giảng dạy - Nghiên cứu số quan điểm , tư tưởng sáng tạo 2i) Phương pháp nghiên cứu theo phân loại dạng tập - Nghiên cứu toán gốc phát triển toán gốc - Nghiên cứu tốn có cấu trúc tương tự – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận: Để thực đề tài, cần dựa kiến thức bản: i) Kiến thức khối trịn xoay: * Khối nón: Được tạo thành quay miền tam giác vuông quanh cạnh góc vng Diện tích xung quanh : S xq nón = π rl Diện tích tồn phần: S = S xq + Sđáy = π rl + π r 3 Thể tích : Vnón = Sđáy h = π r h Mối liên hệ : l = h2 + r * Khối trụ : Được tạo thành quay miền hình chữ nhật quay cạnh Diện tích xung quanh : S xq = 2π rh Diện tích tồn phần: S = S xq + 2Sđáy = 2π rh + 2π r Thể tích khối trụ : Vtru = Sđáy h = π r h * Khối cầu: Diện tích mặt cầu S = 4π R Thể tích khối cầu : V = π R 2i) Các kiến thức hình học giải tích Oxyz 3i) Kiến thức khảo sát hàm số 4i) Kiến thức áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm: ∀a, b, c ≥ 0: a + b + c ≥ 3 abc , dấu " = " xảy a = b = c  a+b+c Hay ∀a, b, c ≥ 0: abc ≤  ÷ , dấu " = " xảy a = b = c   2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: i) Thuận lợi - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học yêu thích mơn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực đề tài - Được động viên BGH, nhận động viên đóng góp ý kiến đồng nghiệp 2i) Khó khăn - Đa số học sinh yếu hình học khơng gian lúng túng liên hệ hình học khơng gian túy sang hình học giải tích Oxyz với đối đượng khối trịn xoay.Học sinh có tư tưởng sợ ngại học phần - Giáo viên thiếu kinh nghiệm giảng dạy tốn lồng ghép khối trịn xoay không gian Oxyz Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài lớp 12T1,12T2 hai lớp trọng điểm chọn HS giỏi trực tiếp giảng dạy năm học 2020 - 2021 trường THPT Quảng Xương 1, kết sau: Năm Lớp Sĩ số Tỉ lệ% Số học sinh làm tập Số học sinh lúng túng không làm tập 50 15 35 Tỉ lệ % 30% 70% 2020 - 2021 52 13 39 12T2 Tỉ lệ % 25% 75% Đứng trước thực trạng nghĩ nên hướng cho em tới cách giải có hệ thống sở kiến thức SGK dạng tốn phối hợp lồng ghép khối trịn xoay không gian Oxyz Song song với việc cung cấp tri thức, trọng rèn rũa kỹ phát phân dạng toán , phát triển tư cho học sinh 12T1 đặc biệt tư sáng tạo để sở học sinh khơng học tốt phần mà cịn làm tảng cho phần kiến thức hình học khác lớp 12 2.3 Các biện pháp tiến hành giải vấn đề Với vị trí người trực tiếp dạy ôn thi ĐH-CĐ ôn thi HSG tiến hành song song giải pháp: 1.Chọn phương pháp tiếp cận để giải Áp dụng vào tập cụ thể, phân tích cách giải Luyện tập từ toán gốc phát triển toán tương tự đến nâng cao Phát huy trí tuệ tổ chun mơn việc đề hướng dẫn học sinh giải Ôn lại kiến thức khối trịn xoay, kiến thức hình học Oxyz dựa giải tập Áp dụng vào việc đề thi kiểm tra chất lượng cho HS 2.3.1 Dạng 1: Lồng ghép khối cầu khối nón Ví dụ 1: (Câu 50_Đề minh họa- BGD 2020-2021) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;1;3) B ( 6;5;5 ) Xét khối nón ( N ) có đỉnh A , đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi ( N ) tích lớn mặt phẳng chứa đường trịn đáy ( N ) có phương trình dạng x + by + cz + d = Giá trị b + c + d A −21 B −12 C −18 D −15 Phân tích tìm hướng giải B1: Xác định bán kính chiều cao đáy nón, với tâm đường trịn đáy nón điểm M thuộc bán kính IB mặt cầu; đặt IM = x ( ≤ x < 3) B2: Lập cơng thức tính thể tích khối nón hàm số ẩn x Tìm điểm mà hàm số đạt GLNN ( Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm) B3: So sánh cặp vectơ suy tọa độ điểm M Mặt phẳng cần tìm qua M uuur nhận AB làm vectơ pháp tuyến Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Hướng dẫn giải Chọn B uuu r Ta có: AB = ( 4; 4; ) , AB = Gọi M điểm thuộc đoạn IB ( M không trùng B ) cho IM = x ( ≤ x < 3) Khi AM = x + , MC = − x 1 3 3 2 Xét hàm số f ( x ) = − x − x + x + 27 , x ∈ [ 0;3) , ta có f ′ ( x ) = −3x − x + x = f ′( x) = ⇔   x = −3 ( l ) Thể tích khối nón là: V = π MC AM = π ( − x ) ( x + 3) = π ( − x − 3x + x + 27 ) Bảng biến thiên uuuu r uuu r f ( x ) = f ( 1) = 32 Như Vmax = 32π AM = ⇒ AM = AB Suy max [ 0;3) 3 uuuu r Với AM = ( xM − 2; yM − 1; zM − 3) , ta có hệ phương trình: 14    xM − =  xM =   11    14 11 13   yM − = ⇔  yM = ⇒ M  ; ; ÷ 3  3 3   13    zM − =  zM =   uuur M Vậy mặt phẳng cần tìm qua nhận AB làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình 11   13   14    x − ÷+  y − ÷+  z − ÷ = ⇔ x + y + z − 21 = 3  3  3  b =  Suy c = Vậy b + c + d = + + ( −21) = −18 d = −21  Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( −2;1;1) B ( 2;1;1) Xét khối nón ( N ) có đỉnh A đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi ( N ) tích lớn mặt phẳng ( P ) chứa đường tròn đáy ( N ) cách điểm E ( 1;1;1) khoảng d bao nhiêu? A d = C d = B d = D d = Hướng dẫn giải Chọn A uuu r r Ta có: AB = ( 4;0;0 ) nên ( P ) có vtpt n = ( 1;0;0 ) AB = ⇒ R = Đặt x hình vẽ Khối nón ( N ) có h = x + r = HC = − x 1 ⇒ V = π r h = π ( − x ) ( x + ) với ≤ x ≤ Khảo sát hàm số y = ( − x ) ( x + ) với 3 uuu r uur 2 2 y = y  ÷ Khi x = ⇒ IH = ⇒ 3IH = IB với I ( 0;1;1) ≤ x ≤ , max [ 0;2) 3 3 1 1   ⇒ H  ;1;1÷ ⇒  x − ÷+ ( y − 1) + ( z − 1) = ⇒ x − = 2 2   1− Khoảng cách từ điểm E ( 1;1;1) tới mặt phẳng ( P ) d ( E , ( P ) ) = = 12 + 02 + 02 Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 27 Gọi (α ) mặt phẳng qua hai điểm A(0; 0; −4) , B(2; 0;0) cắt ( S ) theo giao tuyến đường tròn (C ) Xét khối nón có đỉnh tâm ( S ) đáy (C ) Biết thể tích khối nón lớn mặt phẳng (α ) có phương trình dạng ax + by − z + d = Tính P = a − b − d A P = −4 B P = C P = D P = Hướng dẫn giải Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; −2;3) bán kính R = 3 Vì (α ) qua điểm A(0;0; −4) , B(2;0;0) nên ta có  a.0 + b.0 + + d =  d = −4 ⇔  a + b − + d =  a = Gọi r , h bán kính đáy chiều cao khối nón Khi thể tích khối nón V = π r h 2 Đặt t = 27 − r ⇒ r = 27 − t , điều kiện: < t < 3 Ta có h = d ( I , (α )) = R − r = 27 − r ⇒ V = π r 27 − r t = ( t / m ) Khi V = π ( 27 − t ) t , ( < t < 3 ) Ta có V ′ = π ( 27 − 3t ) = ⇔  3 t = −3 ( l ) Bảng biến thiên: Thể tích khối nón lớn t = ⇒ r = 18 ⇒ h = Mặt khác h = d ( I ,(α ) ) = a − 2b − + d a + b2 + =3 a = ⇒ −2b − = + b2 ⇔ b2 − 4b + = ⇔ b = Vậy P = a − b − d = − + =  d = −4 mà  Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 2) + ( z − 3) = 48 Gọi ( P ) mặt phẳng qua điểm A(0; 0; −4) , B (2; 0;0) cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn (C ) Khối nón ( N ) có đỉnh tâm ( S ) đáy đường trịn (C ) tích lớn A 128π B 88π C 39π D 215π Hướng dẫn giải Chọn C Mặt cầu ( S ) có tâm I (1; −2;3) bán kính R = Gọi ( P) : ax + by + cz + d = ( a, b, c, d ∈ ¡ ; a + b + c > 0) Là mặt phẳng qua A(0; 0; −4) B(2;0;0)  −4c + d =  d = 4c ⇒ ⇔  2a + d =  a = −2 c ⇒ ( P ) : −2cx + by + cz + 4c = Khi đặt x = d ( I , ( P )) = −2c − 2b + 3c + 4c (−2c) + b + c = 2b − 5c b + 5c = 2b − 5c b + 5c ≤ (22 + (− 5) )(b + 5c ) b + 5c =3 b c = ⇔ b = −2c − Bán kính đường trịn (C ) là: r = R − d ( I , ( P)) = 48 − x Dấu “ = ” xảy π r2x π x (48 − x ) = f ( x) = ≤ max f ( x ) = f (3) = 39π Thể tích khối nón ( N ) V = 0;3 [ ] 3 Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1;3; 0), B(−3;1; 4) đường thẳng x − y +1 z − ∆: = = Xét khối nón ( N ) có đỉnh có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng ∆ −1 ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB Khi ( N ) tích nhỏ mặt phẳng chứa đường trịn đáy ( N ) có phương trình dạng ax + by + cz + = Giá trị a + b + c A B C D −6 Hướng dẫn giải Chọn A Mặt cầu đường kính AB có tâm I (−1; 2; 2) , bán kính Gọi H , r tâm bán kính đường tròn đáy ( N ) , C đỉnh ( N ) Khi C , I , H thẳng hàng ( I nằm C , H ), IH = IK = IK CK IK CH 3( x + 3) Đặt CI = x Ta có ∆CIK đồng dạng ∆CMH nên MH = CH ⇒ r = HM = CK = x −9 ( x + 3) 1  ( x + 3)  = π r CH = π  ÷ ( x + 3) = 3π 3  x −9  x −3 V( N ) 2 V( N ) nhỏ ⇔ f ( x) = ( x + 3) = x + x + nhỏ ( x > 3) x−3 x−3  x = −3 x − x − 27 f '( x) = , f '( x) = ⇔  x −3 x = V( N ) nhỏ ⇔ x = , IC = nên C ∈ ( S ) : ( x + 1) + ( y − 2) + ( z − 2) = 81  Mặt khác C ∈ ∆ nên C ( −1; 2;11) C  43 32 41  ;− ;− ÷  11 11 11  uuu r uur Vì C có tọa độ ngun nên C ( −1; 2;11) , IH = − IC nên H (−1; 2; −1) uuu r Mặt phẳng chứa đường tròn đáy ( N ) qua H nhận IH = (0;0;3) làm vectơ pháp tuyến nên phương trình mặt phẳng z + = Do a = 0, b = 0, c = nên a + b + c = Ví dụ 6: Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A ( 2;3; −1) ; B ( 1;3; −2 ) mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y + z + = Xét khối nón ( N ) có đỉnh tâm I mặt cầu đường tròn đáy nằm mặt cầu ( S ) Khi ( N ) tích lớn mặt phẳng chứa đường tròn đáy ( N ) qua hai điểm A, B có phương trình dạng x + by + cz + d = y + mz + e = Giá trị b + c + d + e A 15 B −12 C −14 D −13 Hướng dẫn giải Chọn D Mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; 2; −1) bán kính R = Xét khối nón ( N ) có đỉnh I , bán kính đáy r chiều cao h ( h khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng chứa đường trịn đáy) tích 1 1 VN = π r h = π ( R − h ) h = π ( − h ) h = π ( 3h − h ) 3 3 Khảo sát hàm f ( h ) = 3h − h khoảng 0; ta VN max h = ( ) Bài toán quy lập phương trình mặt phẳng ( P ) qua điểm A,B cách điểm I r 2 khoảng h = Gọi n = ( a; b; c ) ( a + b + c ≠ ) vectơ pháp tuyến mp ( P ) uuu r r uuu r Ta có BA = ( 1; 0;1) ; n.BA = ⇔ a + c = ⇔ c = − a r Mp ( P ) qua A, với vectơ pháp tuyến n = ( a; b; −a ) có phương trình a ( x − ) + b ( y − 3) − a ( z + 1) = ⇔ ax + by − az − 3a − 3b = a = = ⇔ ( a + b ) = 2a + b ⇔ a − 2ab = ⇔  2a + b  a = 2b + ) Với a = Þ c = Þ mp ( P ) : y - = + ) Với a = 2b , chọn b =1 Þ a = 2; c =- Þ mp( P) : x + y - z - = Vậy b =1; c =- 2; d =- 9; e =- Þ b + c + d + e =- 13 Ví dụ 7: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm C ( −1; 2;11) , H (−1; 2; −1) , hình nón ( N ) có d ( I,( P) ) = ⇔ a+b đường cao CH = h bán kính đáy R = Gọi M điểm đoạn CH , ( C ) thiết diện mặt phẳng ( P ) vng góc với trục CH M hình nón ( N ) Gọi ( N ′ ) khối nón có đỉnh H đáy ( C ) Khi thể tích khối nón ( N ′ ) lớn mặt cầu ngoại tiếp nón ( N ′ ) có tọa độ tâm I ( a; b, c ) , bán kính d Giá trị a + b + c + d A B C D −6 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt HM = x , < x < h Gọi I , R, r tâm bán kính đường trịn đáy nón ( N ) , bán kính đường trịn ( C ) Khi ta có CH = h = 12 chiều cao ( N ), R = Khi C , I , H thẳng hàng ( I nằm C , H ) EM CM QH CM R ( h − x) ⇔ r = EM = FM = Do tam giác ∆CEM ∽ ∆CQH nên QH = CH ⇔ EM = CH h Thể tích khối nón đỉnh O đáy ( C ) 1 R2  R ( h − x)  V = π EM HM = π  = π ( h − x) x x  3 h  h  R2 Ta có Xét hàm số f ( x ) = π ( h − x ) x , ( < x < h ) h R2 R2 h f ′ ( x ) = π ( h − x ) ( h − 3x ) ; f ′ ( x ) = ⇔ π ( h − x ) ( h − 3x ) = ⇔ x = h h Lập bảng biến thiên ta có 10 Từ bảng biến ta tích khối nón đỉnh O đáy ( C ) lớn x = h Chú ý: Có thể đánh giá dựa vào 1 h − x + h − x + 2x (h − x )(h − x )2 x ≤ ( ) với < x < h Dấu "=" xảy 2 h h ba số (h − x) = (h − x) = x ⇔ x = Khi HM = x = = , 3 R.CM R.(h − x) r= = = 2 = MF Gọi P giao điểm HM với mặt cầu ngoại tiếp h h nón ( N ′) Ta có ∆HFP vuông F ⇒ HF = HM HP ( h − x ) x = (h − x)(h − x) x = ( ) ⇔ HM + MF = HM HP ⇔ 16 + 2 = 4.HP ⇒ HP = uuu r uuur ⇒ d = HI = = HC ⇒ HI = HC ⇒ I (−1; 2; 2) Vậy a + b + c + d = 4 2.3.2 Dạng 2: Lồng ghép khối cầu khối trụ Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz , cho điểm A(2;3;3) mặt cầu ( S ) : 2 ( x − 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 12 Xét khối trụ ( T ) nội tiếp mặt cầu ( S ) có trục qua điểm A Khi khối trụ ( T ) tích lớn hai đường trịn đáy ( T ) nằm hai mặt phẳng có phương trình dạng x + ay + bz + c = x + ay + bz + d = Giá trị a + b + c + d A −4 + B −5 C −4 D −5 + Phân tích tìm hướng giải B1: Xác định bán kính đáy r chiều cao khối trụ h B2: Lập cơng thức tính thể tích khối trụ hàm số ẩn r Tìm điểm mà hàm số đạt GLNN ( Hoặc sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm) B3: So sánh cặp vectơ suy tọa độ điểm M Mặt phẳng cần tìm qua M uur nhận IA làm vectơ pháp tuyến Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Hướng dẫn giải 11 Chọn B Gọi r , h bán kính đường trịn đáy chiều cao mặt trụ ( T ) R bán kính mặt cầu ( S ) , ta có : R = , h = R − r Thể tích khối trụ ( T ) V = π r h = 2π r R − r = π r r ( R − 2r ) Mà theo BĐT Cơ-si ta có: r r ( R − 2r Suy : r r ( R − 2r ) ≤ 2 2 ) r + r + R − 2r 2 ≤ = R 3 4π 3 R R ⇒V ≤ R Dấu “=” xẩy r = 27 R 6 3R Vậy khối trụ ( T ) đạt thể tích lớn chiều cao h = R −  = =4 ÷ ÷ 3   Mặt khác tâm khối trụ ( T ) tâm I ( 1; 2;3) mặt cầu ( S ) nên trục khối x = 1+ t  trụ ( T ) nằm đường thẳng IA :  y = + t Vậy hai đáy khối trụ nằm mặt z =  phẳng vng góc với đường thẳng AI cách tâm I khoảng Gọi M ( + t ; + t ;3) ∈ IA tâm đường trịn đáy hình trụ, ta có ( ) t = ⇒ M + 2;2 + 2;3  IM = ⇔ t + t = ⇔ 2t = ⇔  t = − ⇒ M − 2;2 − 2;3 2 ( ) Do hai mặt phẳng chứa đường trịn đáy mặt trụ có phương trình là: ( x − − ) + ( y − − ) = ⇔ x + y − − 2 = ( x −1+ ) + ( y − + ) = ⇔ x + y − + 2 =0 Vậy a + b + c + d = −5 Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A ( 1;0;0 ) , B ( 3; 4; −4 ) Xét khối trụ ( T ) có trục đường thẳng AB có hai đường trịn đáy nằm mặt cầu đường kính AB Khi ( T ) tích lớn nhất, hai đáy ( T ) nằm hai mặt phẳng song song có phương trình x + by + cz + d1 = x + by + cz + d = Khi giá trị biểu thức b + c + d1 + d thuộc khoảng sau đây? A ( 0; 21) B ( −11;0 ) C ( −29; −18 ) D ( −20; −11) Hướng dẫn giải Chọn C 12 Mặt cầu đường kính AB có tâm I ( 2; 2; −2 ) bán kính Gọi x, ( < x < 3) bán kính đáy ( T ) , ( T ) có chiều cao h = − x , thể tích ( T ) V = 2π x − x = 4π x2 x2 ( − x2 ) 2  x2 x2  + +(9− x ) ≤ 4π  2    ÷ ÷ = 12π ÷ ÷  ( T ) tích lớn Vmax = 12π x = Khi gọi ( P ) mặt phẳng chứa đường tròn đáy ( T ) , ( P ) có phương trình tổng qt dạng x + y − z + d = Khoảng cách từ tâm I ( 2; 2; −2 ) đến ( P ) nên  d = 3 − 10 + 2.2 − ( −2 ) + d = 3⇔  d = −3 − 10 Vậy b + c + d1 + d = − + 3 − 10 − 3 − 10 = −20 Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt trụ trịn xoay có trục trục Ox bán kính r = 10 Đặt d = d ( A, l ) khoảng cách từ điểm A ( −2; −3; ) đến đường sinh l mặt trụ Khi d = d ( A, l ) lớn l qua điểm đây? A E ( 8;6; −8 ) B F ( 8; −6;8 ) C P ( −8;6;8 ) D Q ( 6; −8;8 ) Hướng dẫn giải Chọn A Gọi H = (−2;0;0) hình chiếu A trục Ox Ta có d ( A, Ox) = AH = < 10 = r Do max(d ( A, l )) = d ( A, Ox) + r = AH + r = + 10 = 15 Gọi H = ( x0 ; y0 ; z0 ) hình chiếu A  0 = ( x0 + 2)  x0 = −2  uuuur uuuuu r   ⇔  y0 = ⇒ H = ( −2; 6; −8 ) l d = d ( A, l ) = 15 Ta có AH = H H ⇔ 3 = y0 2   z = −8   − = z   r Vậy l qua điểm H ( −2; 6; −8 ) có véctơ phương i ( 1;0;0 ) 13  x = −2 + t  Nên phương trình l :  y = Do l qua điểm E ( 8;6; −8 ) (ứng với t = 10 )  z = −8  Ví dụ 4: Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 0;3;0 ) B ( 0; −3;0 ) Mặt cầu ( S ) nhận AB đường kính Hình trụ ( H ) hình trụ có trục thuộc trục tung, nội tiếp với mặt cầu tích lớn Khi mặt phẳng chứa đáy hình trụ qua điểm sau đây? A ( 3;0; ) B ( 3; 3;0 ) C ( 3; 2;1) D ( 3; 2; ) Hướng dẫn giải Chọn B Bán kính mặt cầu R = AB =3 Gọi chiều cao hình trụ bán kính hình trụ r = R − h = − h2 Thể tích khối trụ V = π r 2h = π ( − h2 ) 2h = π ( − h ) ( − h ) 2h 2 2h , h > Do  − h + − h + 2h  V ≤ π  ÷ = π 2.6 = 12π   Dấu đẳng thức xảy ⇔ − h = 2h ⇔ h = Khi hình trụ tích lớn 12π Vậy hai mặt đáy trụ có phương trình tương ứng y = 3; y = − 2.3.3 Dạng 3: Lồng ghép khối cầu Ví dụ 1: Cho mặt cầu ( S1 ) có tâm I1 ( 3; 2; ) bán kính R1 = , mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1; 0;1) bán kính R2 = Phương trình mặt phẳng ( P ) đồng thời tiếp xúc với ( S1 ) ( S ) cắt đoạn I1I có dạng x + by + cz + d = Tính T = b + c + d A −5 B −1 C −3 D Hướng dẫn giải Chọn u Cuur Ta có I1 I = ( −2; −2; −1) ⇒ I1 I = = R1 + R2 nên hai mặt cầu ( S1 ) ( S ) tiếp xúc với uuur uuuu r M nằm đoạn I1 I ( MI1 = R1 = 2; MI = R2 = 1) thoả mãn MI1 = −2MI uuur uuuu r Gọi M ( x; y; z ) Ta có MI1 = ( − x; − y; − z ) MI = ( − x; − y;1 − z ) ( 1) 14  x = 3 − x = −2 + x    5 4 ⇔  y = ⇒ M  ; ; ÷ Từ ( 1) ta có hệ 2 − y = y 3 3 2 − z = −2 + z    z =  Mặt phẳng ( P ) cần tìm tiếp xúc với ( S1 ) ( S ) đồng thời cắt đoạn I1 I N ⇒ I1 N + I N = I1I mà NI1 = R1 = 2; NI = R2 = nên N ≡ M Khi I1 I ⊥ ( P ) nên ( P ) nhận uuur 5 4 I1 I = ( −2; −2; −1) làm vectơ pháp tuyến ( P ) qua M  ; ; ÷ Vậy ( P ) có phương 3 3 5  2  4  trình: −2  x − ÷−  y − ÷− 1 z − ÷ = ⇔ −2 x − y − z + = ⇔ x + y + z − = 3  3  3  ⇒ b = 2; c = 1; d = −6 ⇒ T = b + c + d = −3 Ví dụ 2: Trong khơng gian Oxyz , cho ba điểm A ( 1; 2;1) , B ( 3; −1;1) C ( −1; −1;1) Gọi ( S1 ) mặt cầu có tâm A , bán kính ; ( S2 ) ( S3 ) hai mặt cầu có tâm B , C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) ( S3 ) A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Gọi phương trình mặt phẳng ( P ) tiếp xúc với ba mặt cầu cho có dạng : ax + by + cz + d = ( đk: a + b2 + c > )  a + 2b + c + d = a + b + c (1) d ( A; ( P ) ) =    2 Khi ta có hệ điều kiện sau: d ( B; ( P ) ) = ⇔  3a − b + c + d = a + b + c (2) (*)   2 d ( C ; ( P ) ) =  − a − b + c + d = a + b + c (3) 3a − b + c + d = −a − b + c + d Từ (2) (3) ta có: 3a − b + c + d = − a − b + c + d ⇔  3a − b + c + d = a + b − c − d a = ⇔ a − b + c + d =  2b + c + d = b + c  2b + c + d = b + c  ⇔   4b − c − d = i) Với a = thay vào (*) ta được:    2b + c + d = −b + c + d c + d = c + d = ⇒ c = d = 0, b ≠ ⇔ c + d = 4b, c = ±2 2b Do đóTH i) có mặt phẳng 15  3b = a + b + c  3b = a  ⇔ 2i) Với a − b + c + d = theo (*) ta có ⇔  2 2 2   2a = a + b + c  2a = a + b + c   b = a ⇔  c = 11 a  Do TH 2i) có mặt phẳng thỏa mãn tốn Vậy có mặt phẳng thỏa mãn tốn Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba mặt cầu có phương trình 2 2 x + y + z = , ( x − ) + ( y − 1) + ( z + ) = ( x + ) + y + ( z − 3) = 16 Gọi M điểm di động ba mặt cầu X , Y , Z tiếp điểm tiếp tuyến vẽ từ M đến ba mặt cầu cho MX , MY , MZ Khi tập hợp điểm M đường thẳng d cố định Hỏi d vng góc với mặt phẳng nào? A ( P3 ) : x + y + z = 2021 B ( P4 ) : x + y + z = 2021 C ( P2 ) : x + y + z = 2021 D ( P1 ) : x + y + z = 2021 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi tọa độ điểm M ( a; b; c ) Mặt cầu x + y + z = có tâm O ( 0;0;0 ) , bán kính R1 = MX tiếp tuyến với mặt cầu nên MX = MO − r12 = a + b + c − 2 2 Tương tự, ta có MY = ( a − ) + ( b − 1) + ( c + ) − MZ = ( a + ) + b2 + ( c − 3) − 16 Theo đề, MX = MY = MZ nên MX = MY = MZ  a + b + c − = ( a − ) + ( b − 1) + ( c + ) −  a + b − 2c − = Rút gọn ta  Suy  2 2 4a − 3c + =  a + b + c − = ( a + ) + b + ( c − 3) − 16 Từ đó, M thuộc đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( α ) : x + y − z − = ( β ) : x − 3z + = r uuur uuur Đường thẳng d có vectơ phương u =  n( α ) , n( β )  = ( −3; −2; −4 ) Do đó, d vng góc với mặt phẳng ( P2 ) : x + y + z = 2021 Ví dụ 4: Trong khơng gian Oxyz , cho mặt cầu ( S1 ) có tâm I ( 2;1;1) có bán kính mặt cầu ( S2 ) có tâm J ( 2;1;5 ) có bán kính ( P ) mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) Đặt M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng cách từ điểm O đến ( P ) Giá trị M + m A 15 B C D Hướng dẫn giải Chọn C Giả sử ( P ) tiếp xúc với ( S1 ) , ( S2 ) A B IA MI = = nên J trung điểm IM Suy M ( 2;1;9 ) JB MJ r Gọi n = ( a ; b ; c ) với a + b + c ≠ vectơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) Gọi IJ ∩ ( P ) = M Do 16 Ta có: ( P ) : a ( x − ) + b ( y − 1) + c ( z − ) = 2 d ( I , ( P ) ) = R1 c a b 2 ⇒ = Và:  ⇔ a + b = 3c ⇔  ÷ +  ÷ = ( 1) 2 2 d J , P = R ( ) a + b + c ( ) c c  2 a + b + 9c 2a + b + 9c 2a b = + +9 Ta có: d ( O , ( P ) ) = 2 = 2c c c a +b +c 2a b b 2a + ⇔ =t− Ta có: d ( O , ( P ) ) = t + c c c c 2 2 b 2a a   2a  a a   Thay = t − vào ( 1) , ta  ÷ +  t − ÷ = ⇔  ÷ − t + t − = c c c  c c  c a Để phương trình có nghiệm với ẩn 4t − 5t + 15 ≥ ⇔ − 15 ≤ t ≤ 15 c − 15 + 15 ≤ d ( O ,( P) ) ≤ ⇔ < − 15 ≤ t + ≤ + 15 ⇒ 2 + 15 − 15 ⇒M = m = Vậy M + m = 2 2 Ví dụ 5: Trong hệ trục Oxyz , cho hai mặt cầu ( S1 ) : ( x − 1) + ( y + 3) + ( z − ) = 49 Đặt t = ( S2 ) : ( x − 10 ) + ( y − ) + ( z − ) = 400 mặt phẳng ( P ) : x − y + mz + 22 = Có bao 2 nhiêu số nguyên m để mp ( P ) cắt hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) theo giao tuyến hai đường trịn khơng có tiếp tuyến chung? A B 11 C Vô số D Hướng dẫn giải Chọn D Mặt cầu ( S1 ) có tâm I ( 1; −3; ) , bán kính R1 = ; mặt cầu ( S ) có tâm J ( 10;9; ) , bán uu r kính R2 = 20 Ta có IJ ( 9;12;0 ) , IJ = 15 Mặt phẳng ( P ) : x − y + mz + 22 = có vec tơ uur uu r uur pháp tuyến nP ( 4; −3; m ) Do IJ nP = nên IJ song song chứa (P) Bán kính đường trịn giao tuyến hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) r= p ( p − ) ( p − 20 ) ( p − 15 ) 15 = 20 + + 15 28 = 21 với p = Phương trình mặt phẳng chứa đường tròn giao tuyến hai mặt cầu (Q): 3x + y + 30 = Ta có d ( I ;(Q) ) = 21 96 , d ( J ;(Q) ) = nên d ( I ; (Q) ) + IJ = d ( J ; (Q ) ) 5 17 Ta có mp(P) cắt hai mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) theo giao tuyến hai đường trịn, đường trịn nhỏ đường tròn lớn 28 28 2m + 35 < d ( I ;( P ) ) < ⇔ <  ⇔  684 Vậy m ∈ { −2; −1; 4;5;6; 7} m − 140 m − 441 <   25 2.3.4 Dạng 4: Các tốn khác Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu ( S ) tâm I ( 2; −1; −2 ) qua gốc tọa độ O Gọi d1 , d , d3 ba đường thẳng thay đổi không đồng phẳng qua O cắt mặt cầu ( S ) điểm thứ hai A, B, C Khi thể tích khối tứ diện OABC đạt giá trị lớn mặt phẳng ( ABC ) qua điểm sau đây? A P ( 1; −2; −6 ) C F ( 1; −2; −8 ) B Q ( 2; −3;5 ) D E ( −1; 2; −8 ) Hướng dẫn giải Chọn D Bán kính mặt cầu ( S ) R = IO = Gọi H K hình chiếu O, I lên mặt phẳng ( ABC ) K tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ABC Đặt d = d ( I , ( ABC )) = IK Ta có d (O, ( ABC )) = OH ≤ OK ≤ OI + IK = R + d Gọi r bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆ABC Gọi E , F hình chiếu A K lên cạnh BC Ta có S = AE.BC = AE.FC ≤ ( AK + KF ) FC = ( r + FK ) r − KF 1 6r 3 = r ( r + KF ) ( 3r − 3KF ) ≤  ÷ = 3  Dấu xảy ∆ABC 1 3 VOABC = d ( O, ( ABC ) ) S ABC ≤ ( R + d ) r = ( R + d ) ( R2 − d ) 3 4 3 4R 3 = R =8 ( R + d ) ( R − 2d ) ≤  ÷ = 8   27 Dấu xảy OABC hình chóp tam 4R =4 giác có đường cao uuur uur  8  Max ( VOABC ) = ⇔ OK = OI =  ; − ; − ÷  3 3  8 8 qua K  ; − ; − ÷ 8 8 ⇒ K =  ; − ; − ÷Vậy ( α ) :  ⇒ pt ( ABC ): x − y − z − 12 =   uur 3 3 vtpt nr = OI = (2; −1; −2)  Ví dụ 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho điểm A ( a;0;0 ) , B ( 0; b; ) , C ( 0;0; c ) 10 với a ≥ 4, b ≥ 5, c ≥ mặt cầu ( S ) có bán kính ngoại tiếp tứ diện O ABC Khi tổng OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ mặt phẳng ( α ) qua tâm I mặt cầu 18 ( S ) song song với mặt phẳng ( OAB ) có dạng mx + ny + pz + q = ( với m, n, p, q ∈ ¢ q phân số tối giản) Giá trị T = m + n + p + q p A B C D −5 Hướng dẫn giải Chọn D a + b + c 10 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O ABC R = = ⇔ a + b + c = 90 2 Ta có: P = OA + OB + OC = a + b + c Đặt x = a − ≥ 0, y = b − ≥ 0, z = c − ≥ Khi đó: a + b + c = ( x + ) + ( y + ) + ( z + ) = x + y + z + 8x + 10 y + 12 z + 77 = 90 2 ⇒ x + y + z + x + 10 y + 12 z = 13 T = ( x + y + z ) + 12 ( x + y + z ) = x + y + z + x + 10 y + 12 z + ( xy + yz + zx + x + y ) 2 Vì x + y + z + x + 10 y + 12 z = 13 x, y, z ≥ nên ( x + y + z ) + 12 ( x + y + z ) − 13 ≥ ⇔ x + y + z ≥ ⇔ a − + b − + c − ≥ ⇔ a + b + c ≥ 16 ⇒ { OA + OB + OC} = 16 Dấu “ = ” xảy a = 4, b = 5, c = Suy ra, A ( 4; 0; ) , B ( 0;5;0 ) , C ( 0; 0;7 ) 2 Gọi mặt cầu ( S ) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = Vì A ( 4; 0; ) , B ( 0;5; ) , C ( 0; 0; ) , O ( 0; 0; ) thuộc mặt cầu ( S ) nên ta có hệ a =  16 − 8a + d = b =  25 − 10b + d =    7 ⇔  Tâm mặt cầu ( S ) I  2; ; ÷  2  47 − 14 z + d = c =  d =  d =  Mặt phẳng ( α ) song song với mặt phẳng ( OAB ) ≡ ( Oxy ) : z = ⇒ ( α ) : z + e =   Vì I  2; ; ÷ thuộc ( α ) nên + e = ⇔ e = − 2 2   z − = ⇒ m = 0; n = 0; p = 2; q = − Suy ra, Vậy T = m + n + p + q = −5 2.3.5 Bài tập tự luyện 2 Bài 1: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 27 Gọi ( α ) mặt phẳng qua hai điểm A ( 0; 0; − ) , B ( 2;0; ) cắt ( S ) theo giao tuyến đường trịn ( C ) cho khối nón đỉnh tâm ( S ) đáy là đường trịn ( C ) tích lớn Biết ( α ) : ax + by − z + c = , a − b + c A −4 B C D 2 Bài 2:Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = tâm I Gọi 7 x +1 y − z = = cắt mặt cầu ( S ) theo −4 ( C ) đường tròn cho khối nón có đỉnh I , đáy đường trịn (C ) tích lớn Biết (α ) khơng qua gốc tọa độ, gọi H ( xH , yH , z H ) tâm đường tròn (C ) Giá trị biểu thức T = xH + yH + zH A B C D − 3 (α ) mặt phẳng vng góc với đường thẳng d : 19 Bài 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có đường kính AB , I (3;2; − 2) trung điểm AB Gọi ( P) mặt phẳng vng góc với đoạn AB H cho khối nón đỉnh A đáy đường tròn (C ) ( (C ) giao ( S ) ( P ) ) 10 tích lớn Biết (C ) có bán kính r = , viết phương trình mặt cầu ( S ) A ( x − 3) + ( y − 2) + ( z + 2) = 40 C ( x + 3)2 + ( y + 2) + ( z − 2) = 2 B ( x − 3)2 + ( y − 2) + ( z + 2) = D ( x − 3) + ( y − 2)2 + ( z + 2)2 = 2 Bài 4: Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 12 mặt phẳng ( P ) : x - y + z +11 = Xét điểm M di động ( P ) , điểm A, B, C phân biệt di động ( S ) cho AM , BM , CM tiếp tuyến ( S ) Mặt phẳng ( ABC ) qua điểm cố định đây? A E ( 0;3; −1) − −1   B F  ; ; ÷ 4 2  C H ( 0; −1;3)   D H  ;0; ÷ 2  Bài 5: Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A ( 2;3; −1) ; B ( 1; 3; −2 ) mặt cầu ( S ) : x + y + z − x − y + z + = Xét khối nón ( N ) có đỉnh tâm I mặt cầu đường tròn đáy nằm mặt cầu ( S ) Khi ( N ) tích lớn mặt phẳng chứa đường trịn đáy ( N ) qua hai điểm A, B có phương trình dạng x + by + cz + d = y + nz + e = Giá trị b + c + d + e A 15 B −12 C −14 D −13 3 1 Bài 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 1; 2; −3) , B  ; ; − ÷, 2 2 C ( 1;1; ) , D ( 5;3;0 ) Gọi ( S1 ) mặt cầu tâm A bán kính 3, ( S ) mặt cầu tâm B bán kính Có mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( S1 ) , ( S2 ) đồng thời song song với đường thẳng qua C D A B C D Vô số Đáp án tập tự luyện Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Đáp án A A B A D A 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: - Chuyên đề thực giảng dạy tham gia giảng dạy lớp chọn học sinh khá-giỏi 12T1,12T2 ôn luyện HS giỏi ôn thi đại học.Trong trình học chuyên đề này, học sinh thực thấy tự tin ,biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê u thích mơn tốn ,mở cho học sinh cách nhìn nhận ,vận dụng,linh hoạt ,sáng tạo kiến thức học , tạo tảng cho học sinh tự học , tự nghiên cứu Kết thực đề tài sau: Năm Lớp Sĩ số Trước thực đề tài Sau thực đề tài Học Tỉ lệ Số học Số học sinh lúng Số học Số học sinh sinh làm túng không làm sinh làm lúng túng được tập không làm tập tập tập 20 12T1 20202021 50 Tỉ lệ 12T2 52 Tỉ lệ 15 30% 13 25% 35 70% 39 75% 48 96% 47 90,4% 2% 9,4% – KẾT LUẬN – KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Tính khả thi đề tài: Khi áp dụng đề tài vào giảng dạy học sinh mơn Tốn lớp 12T1,12T2 trường THPT Quảng Xương 1, nhận thấy em học sinh hứng thú với mơn học Chính em cảm thấy hứng thú với môn học nên nhận thấy chất lượng mơn Tốn nói riêng, kết học tập em học sinh nói chung nâng lên rõ rệt, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục nhà trường Ngoài em học cách tìm tịi, khám phá, sáng tạo tự đặt câu hỏi tìm cách giải vấn đề nhanh gọn, xác hiệu Đề tài áp dụng để tổ trưởng đạo tổ chuyên môn bồi dưỡng HS ôn thi ĐH-CĐ, học sinh ôn thi HSG cho tất giáo viên toán THPT Đề tài áp dụng thành cơng năm nhận rộng trường phổ thông 3.2 Kiến nghị: - Đối với nhà trường, đồng nghiệp giảng dạy phần lồng ghép khối trịn xoay khơng gian Oxyz nên để ý đến việc hướng dẫn học sinh biết cách rút đặc điểm dấu hiệu nhận biết đặc trưng để vận dụng để giải toán - Thời gian nghiên cứu áp dụng đề tài năm học, phạm vi nghiên cứu hai lớp thuộc trường THPT, nên có nhiều vấn đề chưa phân tích cách đầy đủ Rất mong nhận giúp đỡ góp ý bổ sung đồng nghiệp để đề tài tơi có thêm kinh nghiệm bổ ích áp dụng cho năm học sau TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa sách tập hình học hình học nâng cao 12 [2] Tạp chí tốn học tuổi trẻ [3] Các đề thi THPT QG lớp 12 sở GD&ĐT trường THPT năm học 2020-2021 tồn quốc [4].Các nhóm Tốn facebook XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 18 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác 21 NGÔ VĂN SƠN 22 ... ghép khối trịn xoay khơng gian Oxyz Vì tơi chọn đề tài nghiên cứu “ Rèn luyện kỉ giải toán lồng ghép khối trịn xoay khơng gian Oxyz cho học sinh giỏi lớp 12 trường THPT Quảng Xương 1? ?? 1. 2 Mục... - Các khối tròn xoay : khối cầu, khối nón, khối trụ mối quan hệ chúng với tốn khơng gian Oxyz - Đề tài áp dụng chương trình hình học lớp 12 , học sinh ôn thi học sinh giỏi , học sinh ôn thi THPT. .. toán lồng ghép khối trịn xoay khơng gian Oxyz Theo số liệu thống kê trước dạy đề tài lớp 12 T1 ,12 T2 hai lớp trọng điểm chọn HS giỏi trực tiếp giảng dạy năm học 2020 - 20 21 trường THPT Quảng Xương