Rèn luyện kỹ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp trung học phổ thông

+ Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT?. Giả thuyết nghiên cứu Giải pháp quan trọng cho việc nâng cao kĩ năng giải toán tìm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

NGUYỄN THỊ THANH THUỶ

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT,

GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI CUỐI CẤP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học

(Bộ môn Toán học)

Mã số : 60 14 10

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS BÙI VĂN NGHỊ

HÀ NỘI - 2010

LỜI CẢM ƠN

Trước tiên, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy PGS.TS Bùi Văn Nghị đã tận tình hướng dẫn, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho em trong suốt quá trình thực hiện luận văn tốt nghiệp này

Em xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy Cô Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội, những người đã truyền đạt kiến thức quý báu cho em trong thời gian học cao học vừa qua

Em xin cảm ơn Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp trường THPT Chuyên Trần Phú, Hải Phòng, đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong quá trình học tập, công tác và thực hiện luận văn tốt nghiệp

Xin gửi lời biết ơn đến gia đình nhỏ của em, nơi đã cho em thêm niềm tin và động lực để tập trung học tập và nghiên cứu

Hải Phòng, ngày 10 tháng 12 năm 2010

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Thủy

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Lịch sử nghiên cứu 1

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Đối tượng nghiên cứu 2

5 Mẫu khảo sát 2

6 Vấn đề nghiên cứu 3

7 Giả thuyết khoa học 3

9 Cấu trúc luận văn 3

Chương 1: KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 4

1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán 4

1.1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toán 4

1.1.2 Điều kiện để có kĩ năng 4

1.1.3 Các mức độ của kĩ năng giải toán 5

1.2 Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 5

1.2.1 Mục tiêu dạy học môn toán 5

1.2.2 Yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT 6

1.3 Giải bài tập toán học 6

1.3.1 Vai trò của bài tập toán học 6

1.3.2 Ý nghĩa của việc giải bài toán theo nhiều cách 7

1.4 Những tri thức liên quan đến bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức 8

1.4.1 Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến số 8

1.4.2 Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức 8 1.4.3 Những bất đẳng thức thường dùng trong bài toán tìm GTLN,

GTNN 8

1.4.4 Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức 10

1.5 Một số đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá,giỏi 11

1.6 Định hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 11

1.6.1 Quy trình hình thành kĩ năng 11

1.6.2 Những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh 12

1.7 Tóm tắt chương 1 13

Chương 2: GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH 14

2.1 Dạng tìm GTLN, GTNN của hàm số 14

2.2 Dạng biểu thức chỉ chứa một biến 17

2.3 Dạng biểu thức chứa hai biến 29

2.4 Dạng biểu thức có từ ba biến số trở lên 54

2.5 Dạng biểu thức lượng giác 82

2.6 Dạng hình học 93

2.7 Tóm tắt chương 2 95

Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 97

3.1 Mục đích, tổ chứ c thực nghiê ̣m sư pha ̣m 97

3.2 Giáo án thực nghiệm sư phạm 97

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiê ̣m sư pha ̣m 112

3.4 Tóm tắt chương 3 117

KẾT LUẬN 118

TÀI LIỆU THAM KHẢO 119

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Theo Luật giáo dục Việt Nam năm 2005, mục tiêu giáo dục phổ thông

của chúng ta là “Giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kĩ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam Xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm cộng đồng, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo

vệ Tổ quốc ” Về phương pháp giáo dục, cần phải “Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên”, “bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh” [12, chương 1]

Môn Toán là môn học công cụ, giữ một vai trò hết sức quan trọng trong chương trình THPT Trong đó các bài toán về tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất là những bài toán yêu cầu cao ở học sinh về tư duy, về kĩ năng Song, đối với học sinh thì dạng toán này là một trong những dạng toán khó, cần phải chú ý và có những biện pháp để rèn luyện kĩ năng giải dạng toán này, góp phần nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này

Từ những lí do trên, đề tài được chọn là: “Rèn luyện kĩ năng tìm

giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT”

2 Lịch sử nghiên cứu

Hiện nay đã có một số công trình nghiên cứu gần gũi với đề tài này, nhưng chủ yếu nghiên cứu về rèn luyện kĩ năng cho HS trong giải toán Hình học Một số trong những đề tài đó là: “Rèn luyện kĩ năng giải bài toán Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ở trường THPT" - Luận văn thạc sĩ

bài toán thiết diện của các hình không gian trong chương trình Hình học PT"

- luận văn thạc sĩ của Nguyễn Tiến Trung, ĐHSP HN, năm 2006, "Rèn luyện

kĩ năng giải toán về Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, Quan hệ song song cho học sinh lớp 11 Trung học phổ thông ", luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Định, K3, ĐHGD - ĐHQG HN, năm 2010 v.v

Đề tài này khác những đề tài nói trên về chủ đề cần rèn luyện và đối tượng học sinh Đó là chủ đề tìm GTLN, GTNN và đối tượng là HS khá, giỏi cuối cấp THPT

Sở dĩ chúng tôi chọn đối tượng là HS khá, giỏi cuối cấp THPT, bởi vì,

có ở cuối cấp thì các em mới biết được nhiều phương pháp giải dạng toán này Hơn nữa, như chúng tôi đã trình bày ở trên, đây là dạng toán khó, nên với HS khá, giỏi là phù hợp hơn

3 Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu

+ Mục đích nghiên cứu: Đề xuất một giải pháp nhằm rèn luyện có hiệu quả

kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS

+ Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nghiên cứu hệ thống lí luận về kĩ năng giải toán, giải bài tập toán học

- Nghiên cứu các dạng toán và các phương pháp tìm GTLN, GTNN

- Nghiên cứu và đề xuất một giải pháp rèn luyện có hiệu quả kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS khá, giỏi cuối cấp THPT

- Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và hiệu quả của

đề tài

4 Đối tƣợng nghiên cứu và khách thể nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: là quá trình dạy học tìm GTLN, GTNN ở trường THPT + Phạm vi nghiên cứu: là các bài toán tìm GTLN, GTNN ở trường THPT + Khách thể nghiên cứu: là HS khá, giỏi cuối cấp THPT

5 Mẫu khảo sát

Một số lớp 12, trường THPT chuyên Trần Phú, Hải Phòng

6 Vấn đề nghiên cứu

+ Các kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức?

+ Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT?

7 Giả thuyết nghiên cứu

Giải pháp quan trọng cho việc nâng cao kĩ năng giải toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp Trung học phổ thông là việc hệ thống hóa được các dạng toán, các kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và có biện pháp thích hợp rèn luyện cho học sinh

8 Phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu lí luận về rèn luyện kĩ năng giải toán, về dạy học giải bài tập toán học

+ Phương pháp điều tra quan sát: Sử dụng những mẫu phiếu điều tra về tình hình dạy và học nội dung tìm GTLN, GTNN của một biểu thức, về kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở lớp cuối cấp THPT

+ Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Soạn và dạy thực nghiệm một số giáo

án về tìm GTLN, GTNN của một biểu thức ở một số lớp chuyên, chọn cuối cấp THPT, đánh giá kết quả thực nghiệm, đánh giá tính khả thi và hiệu qủa của đề tài

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính của luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 Kĩ năng giải toán

Chương 2 Giải pháp rèn luyện kĩ năng tìm GTLN, GTNN của một biểu thức cho học sinh khá, giỏi cuối cấp THPT

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

KĨ NĂNG GIẢI TOÁN 1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toỏn

1.1.1 Quan niệm về kĩ năng, kĩ năng giải toỏn

Tựy theo cỏc phương diện nhỡn nhận khỏc nhau về kĩ năng: xột về tõm

lớ, hành vi, hay xột theo năng lực vận dụng, hành động, hay xột theo phương diện giỏo dục, mà cú những cỏch định nghĩa khỏc nhau về kĩ năng

Theo giỏo trỡnh Tõm lớ học đại cương: “Kĩ năng là năng lực sử dụng cỏc

dữ kiện, cỏc tri thức hay khỏi niệm đó cú, năng lực vận dụng chỳng để phỏt hiện những thuộc tớnh bản chất của cỏc sự vật và giải quyết thành cụng nhiệm vụ lớ luận hay thực hành xỏc định”; “Kĩ năng là khả năng vận dụng những kiến thức thu nhận được trong một lĩnh vực nào đú vào thực tế”; “ Kĩ năng là một nghệ thuật, là khả năng vận dụng những hiểu biết cú được ở bạn để đạt được mục đớch của mỡnh, kĩ năng cũn cú thể đặc trưng như toàn bộ cỏc thúi quen nhất định, kĩ năng là khả năng làm việc cú phương phỏp” (dẫn theo [7])

Trong luận văn này, chỳng tụi quan niệm:

Kĩ năng là khả năng vận dụng tri thức (khỏi niệm, định lớ, thuật giải, phương phỏp) để giải quyết nhiệm vụ đặt ra Như vậy, tri thức (bao gồm cả tri thức sự vật, tri thức phương phỏp) là cơ sở của kĩ năng

Từ quan niệm về kĩ năng, chỳng tụi quan niệm về kĩ năng giải toỏn như sau:

Trong Toỏn học, kĩ năng là khả năng giải cỏc bài toỏn, thực hiện cỏc chứng minh cũng như phõn tớch cú phờ phỏn cỏc lời giải và chứng minh nhận được Kĩ năng giải bài tập toán của HS là khả năng sử dụng có mục đích, sáng tạo những kiến thức toán học đã học để giải bài tập toán học

1.1.2 Điều kiện để cú kĩ năng

Muốn cú kĩ năng về hành động nào đú chủ thể cần phải:

- Cú kiến thức để hiểu được mục đớch của hành động, biết được điều kiện, cỏch thức để đi đến kết quả, để thực hiện hành động

- Tiến hành hành động đú với yờu cầu của nú

- Đạt được kết quả phự hợp với mục đớch đó đề ra

- Cú thể hành động cú hiệu quả trong những điều kiện khỏc nhau

- Cú thể qua bắt chước, rốn luyện để hỡnh thành kĩ năng nhưng phải trải qua thời gian đủ dài

1.1.3 Cỏc mức độ của kĩ năng giải toỏn

Kĩ năng giải bài tập toán học cú thể chia thành ba mức độ khác nhau:

- Biết làm: vận dụng được lí thuyết để giải những bài tập cơ bản, hình thành các thao tác cơ bản nh-: viết các đại l-ợng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, tính giá trị dựa vào công thức; nắm đ-ợc quy trình giải một dạng toán nào đó t-ơng tự nh- bài mẫu

- Thành thạo: giải nhanh, ngắn gọn, chính xác bài toỏn theo cách giải đó biết, trong những hoàn cảnh mới, điều kiện mới tương tự nh- bài đó biết; giải được những bài tập tổng hợp, phức tạp, đa dạng

- Mềm dẻo, linh hoạt, sáng tạo: đ-a ra đ-ợc những cách giải ngắn gọn, cỏch chuyển húa vấn đề khộo lộo, cỏch giải quyết vấn đề độc đáo

1.2 Nhiệm vụ rốn luyện kĩ năng giải toỏn cho học sinh

1.2.1 Mục tiờu dạy học mụn toỏn

Mục tiờu dạy học mụn Toỏn nằm trong mục tiờu giỏo dục núi chung

"Mục tiờu giỏo dục phổ thụng là giỳp học sinh phỏt triển toàn diện về đạo đức, trớ tuệ, thể chất, thẩm mĩ và cỏc kĩ năng cơ bản, phỏt triển năng lực

cỏ nhõn, tớnh năng động và sỏng tạo, hỡnh thành nhõn cỏch con người Việt Nam XHCN, xõy dựng tư cỏch và trỏch nhiệm cụng dõn; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lờn hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xõy dựng và bảo vệ Tổ quốc" (Theo [12])

- Trang bị cho HS những tri thức, kĩ năng, phương phỏp toỏn học phổ thụng,

cơ bản, thiết thực

- Gúp phần phỏt triển năng lực trớ tuệ, bồi dưỡng phẩm chất trớ tuệ cho HS

- Gúp phần hỡnh thành và phỏt triển cỏc phẩm chất, phong cỏch lao động khoa học, biết hợp tỏc lao động, cú ý chớ và thúi quen tự học thường xuyờn

- Tạo cơ sở để HS tiếp tục học CĐ, ĐH, TCCN, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động

Cỏc mục tiờu thể hiện sự toàn diện, thống nhất và cú quan hệ mật thiết,

hỗ trợ, bổ sung cho nhau: tri thức là cơ sở để thực hiện cỏc mục tiờu khỏc; trong cỏc mục tiờu thỡ mục tiờu phỏt triển trớ tuệ là quan trọng nhất; thụng qua hoạt động mà rốn luyện kĩ năng, củng cố tri thức

1.2.2 Yờu cầu rốn luyện kĩ năng giải toỏn cho học sinh ở trường THPT

Việc rốn luyện kĩ năng giải toỏn nhằm đạt được cỏc yờu cầu cần thiết sau: + Giỳp học sinh hỡnh thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản trong chương trỡnh

+ Giỳp học sinh phỏt triển cỏc năng lực trớ tuệ Cụ thể là phỏt triển:

- Tư duy lụgic và ngụn ngữ chớnh xỏc

- Khả năng suy đoỏn, tư duy trừu tượng và trớ tưởng tượng trong khụng gian

- Những thao tỏc tư duy như phõn tớch, tổng hợp khỏi quỏt húa

- Cỏc phẩm chất trớ tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sỏng tạo

1.3 Giải bài tập toán học

1.3.1 Vai trũ của bài tập toỏn học

Theo [11] bài tập có vai trò quan trọng trong bộ môn toán Thông qua

việc giải bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lớ những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những hoạt động ngôn ngữ Những bài tập cũng thể hiện

những khả năng khác nhau h-ớng đến việc thực hiện các mục tiêu dạy học môn toán: Hình thành, củng cố tri thức kĩ năng kĩ xảo ở những khâu khác nhau của quá trình dạy học, kĩ năng ứng dụng toán học vào thực tiễn ; phát triển năng lực trí tuệ ; Bồi d-ỡng thế giới quan duy vật biện chứng Thụng qua bài tập, giỏo viờn cú thể hoàn chỉnh hay bổ sung những tri thức nào đó đã

đ-ợc trình bày trong phần lý thuyết Điều quan trọng hơn cả là thụng qua bài tập giỏo viờn sẽ rốn luyện cỏc kĩ năng giải toỏn cho học sinh

Cần đặt cho học sinh câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần biết sử dụng những câu hỏi này nh- công cụ kích thích sự tìm tòi, phát hiện

để thực hiện từng b-ớc của ph-ơng pháp chung giải toán

1.3.2.í nghĩa của việc giải bài toỏn theo nhiều cỏch

Việc đi sâu vào tìm hiểu nhiều cách giải khác nhau cho một bài toán có vai trò to lớn trong việc rèn luyện kĩ năng, củng cố kiến thức, rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo cho học sinh Có thể thấy rõ điều đó trong các tác dụng sau:

- Những cách giải khác nhau của một bài toán góp phần hình thành và củng

cố cho học sinh về tính chất của các phép tính số học, về quan hệ giữa các phép tính số học

- Trong quá trình tìm ra những cách giải khác nhau, học sinh có dịp suy nghĩ

đến những khía cạnh khác nhau của bài toán, từ đó sẽ hiểu sâu hơn về các mối quan hệ trong bài toán đó, nắm vững và củng cố các kiến thức có liên quan

- Việc tìm ra nhiều cách giải khác nhau sẽ giúp học sinh có dịp so sánh các cách giải đó, chọn ra đ-ợc cách hay hơn và tích luỹ đ-ợc nhiều kinh nghiệm

để giải toán

- Việc tìm ra nhiều cách giải cũng góp phần rèn luyện đức tính kiên trì, tiết kiệm, vì từ nhiều cách giải ấy học sinh có thể chọn ra đ-ợc con đ-ờng ngắn nhất để đi tới đích, không vội bằng lòng với việc tìm ra con đ-ờng đầu tiên

- Quá trình tìm tòi những cách giải khác nhau của bài toán cũng là quá trình rèn luyện trí thông minh, óc sáng tạo và khả năng suy nghĩ linh hoạt cho học sinh

1.4 Những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức

1.4.1 Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức chỉ chứa một biến số

+ Dựa vào bất đẳng thức

+ Dựa vào khảo sát hàm số

+ Tìm tập giá trị

Giả sử cần tìm GTLN, GTNN của biểu thức y f x( ) với x thuộc tập

số D, ta tìm các giá trị của y làm cho phương trình f x( )  y 0 có nghiệm x

thuộc D Từ tập giá trị này ta chỉ ra được GTLN, GTNN của biểu thức

1.4.2 Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức

+ Phương pháp sử dụng bất đẳng thức

+ Phương pháp khảo sát hàm số

+ Phương pháp Hình học hóa

+ Phương pháp Lượng giác hóa

1.4.3 Những bất đẳng thức thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN

1.4.3.1 Những bất đẳng thức cơ bản có trong SGK:

BĐT tam giác:

Với 3 điểm bất kỳ A B C; ; ta có:

ABACBC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khiA thuộc đoạn BC

ABAC BC Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hoặc Bthuộc đoạn AC

hoặc C thuộc đoạn AB

Với hai số thực bất kì a b; ta có: a   b a b ; a b  a b

Trong chương trình phổ thông:

- Ta chỉ được sử dụng BĐT Cô-si và BĐT Bu-nhia-côp-ski (đối với

c b

a        Dấu "=" xảy ra adbc

0 , ,

2 2

2 2

z y x c

z b

y a

c

z b

y a

- Về cơ bản hai dạng toán này có thể chuyển hóa cho nhau Tuy nhiên cũng

có những điểm khác nhau: Có thể tìm GTLN, GTNN theo những cách khác nhau (tìm tập giá trị, khảo sát hàm số), trong đó có cách sử dụng BĐT Ngược lại, có những cách chứng minh BĐT không liên quan gì đến bài toán

tìm GTLN, GTNN, như BĐT: 1 + 1 1

3

1 2

n (với n > 2)

- Về yêu cầu: Bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức thì bắt buộc phải chỉ

ra đẳng thức xảy ra khi nào, còn bài toán chứng minh BĐT không nhất thiết phải làm điều đó

bắt buộc phải chỉ ra đẳng thức xảy ra khi nào, còn bài toán chứng minh BĐT không nhất thiết phải làm điều đó

1.5 Một số đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá, giỏi

Những HS khá, giỏi thường có một số đặc điểm chung về phong cách học tập như sau:

+ Thể hiện rõ những đặc điểm của tư duy toán học

Theo Viện sĩ B.V Gờ-nhe-den-cô (1964), những đặc điểm của tư duy toán học (theo[17]) là :

- Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy được sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh

- Sự cô đọng

- Sự chính xác của các kí hiệu

- Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận

- Thói quen lí lẽ đầy đủ về lôgic

+ Thể hiện được những nét độc đáo của tư duy toán học

Theo A.Ia Khin-chin (1961), những nét độc đáo của tư duy toán học, là:

- Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm ưu thế

- Khuynh hướng tìm con đường ngắn nhất dẫn đến mục đích

- Phân chia rành mạch các bước suy luận

- Sử dụng chính xác các kí hiệu

- Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận

+ Thường ngại tính toán, không thích làm đi làm lại những điều đã biết nếu không có gì mới

HS khá giỏi thường suy nghĩ nhanh và hiệu quả, nhưng thường ngại tính toán cụ thể, không thích lặp đi lặp lại những kiểu làm nhàm chán

1.6 Định hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.6.1 Quy trình hình thành kĩ năng

Theo chúng tôi, quy trình hình thành kĩ năng giải toán nói chung, kĩ

Bước 1: Hướng dẫn HS giải một số bài toỏn mẫu ở trờn lớp, cú phõn tớch phương phỏp suy nghĩ, tỡm lời giải, lưu ý cho HS những điểm cần thiết Bước 2: HS tự rốn luyện kĩ năng giải toỏn theo hệ thống bài toỏn cú chủ định của giỏo viờn, giỏo viờn phõn tớch, khắc phục những khú khăn, thiếu sút cho HS

Bước 3: Rốn luyện kĩ năng giải toỏn ở mức độ cao hơn, tổng hợp hơn

1.6.2 Những yờu cầu đối với giỏo viờn trong việc hỡnh thành kĩ năng giải toỏn cho học sinh

Để hình thành kĩ năng giải bài tập toán học cho HS, giáo viên cần thực hiện tốt các vấn đề sau:

- Xác định từng kĩ năng cụ thể trong hệ thống kĩ năng giải bài tập toán học cho HS THPT và mức độ của nó ở mỗi lớp học, cấp học t-ơng ứng

- Xác định hệ thống bài tập toán học t-ơng ứng chủ yếu để HS luyện tập kĩ năng giải các bài tập cơ bản, bài tập tổng hợp

- Xây dựng sơ đồ định h-ớng khái quát, các thuật toỏn giải mỗi dạng, loại bài tập

- H-ớng dẫn học sinh hoạt động tìm kiếm lời giải, bài tập mẫu và bài tập t-ơng tự nhằm giúp HS nắm đ-ợc sơ đồ định h-ớng giải bài tập toán học nói chung và mỗi bài tập cụ thể nói riêng

- Sử dụng hệ thống bài tập sau mỗi bài, mỗi ch-ơng để giúp HS luyện tập theo mẫu, không theo mẫu, th-ờng xuyên và theo nhiều hình thức giải khác nhau

- Chỳ ý đến tớnh hệ thống của cỏc kĩ năng Cú những dạng kĩ năng khỏc nhau: Kĩ năng vận dụng đỳng lí thuyết, kĩ năng tính toán, kĩ năng thực hành các phép biến đổi Nhưng cỏc kĩ năng này không đứng độc lập mà nằm trong một hệ thống Các kĩ năng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, kĩ năng này là cơ sở hình thành kĩ năng kia và ng-ợc lại việc hình thành kĩ năng sau lại củng cố rèn luyện kĩ năng tr-ớc đó

1.7 Tóm tắt chương 1

Chương này trình bày một số vấn đề thuộc về lí luận liên quan đến kĩ năng giải toán nói chung và kĩ năng tìm GTLN, GTNN của biểu thức nói riêng Những vấn đề đó là: Quan niệm về kĩ năng và kĩ năng giải toán; Điều kiện để có kĩ năng; Các mức độ của kĩ năng giải toán; Nhiệm vụ rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS ở trường THPT; Vai trò của bài tập toán học

Chương này cũng tóm tắt những tri thức liên quan đến bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, gồm: Những phương pháp thông thường tìm GTLN, GTNN của biểu thức; Những phương pháp thường dùng trong bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức; Mối liên quan giữa bài toán chứng minh BĐT và bài toán tìm GTLN, GTNN của biểu thức

Dựa trên những căn cứ lí luận trên, đồng thời căn cứ vào những đặc điểm về phong cách học tập của học sinh khá, giỏi, chúng tôi xác định phương hướng cho giải pháp rèn luyện kĩ năng giải toán cho HS sẽ trình bày trong chương 2, thông qua quy trình ba bước hình thành kĩ năng giải toán nói chung, kĩ năng tìm GTLN, GTNN cho HS và những yêu cầu đối với giáo viên trong việc hình thành kĩ năng giải toán cho HS

CHƯƠNG 2 GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN KĨ NĂNG TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC CHO HỌC SINH

Trong chương trình này chúng tôi trình bày việc rèn luyện kĩ năng tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức cho học sinh theo từng dạng khác nhau Trong mỗi dạng sẽ sử dụng một số phương pháp như đã xác định ở mục 1.4 chương 1

Chúng tôi trình bày theo cấu trúc như vậy một mặt để thuận lợi cho việc rèn luyện kĩ năng cho học sinh theo từng bài, mặt khác mỗi dạng có thể

có nhiều phương pháp giải khác nhau Mỗi phần nhỏ sẽ được trình bày theo

ba bước như đã xác định ở mục 1.6 chương 1

x x

x x

32

x y

1

2 3

3 2

2

1

x y x

Trên        

0;1 0

x x

x x

f x trên tập hợp D Dựa vào bảng biến thiên đó kết luận

- Trường hợp 2: D[ ; ]a b và hàm số f x( ) liên tục trên khoảng đóng [ ; ]a b thì có thể không cần lập bảng biến thiên của hàm số: chỉ cần tìm tập

hợp điểm tới hạn thuộc đoạn [ ; ]a b của hàm số GTLN (GTNN) của hàm số

trên đoạn [ ; ]a b bằng GTLN (GTNN) trong tập hợp các giá trị của hàm số tại

; ;

a b các điểm tới hạn thuộc đoạn [ ; ] a b

2.2 Dạng biểu thức chỉ chứa một biến

Nếu biểu thức chỉ chứa một biến số thì đương nhiên ta có thể sử dụng phương pháp khảo sát hàm số như ở mục 2.1 trên Tuy nhiên, không phải hàm số nào cũng dễ dàng khảo sát được, nên mục này chủ yếu sẽ trình bày những phương pháp khác ngoài phương pháp khảo sát hàm số

Phân tích: Phải chú ý tìm điều kiện của t và chuyển sang bài toán mới tìm

GTNN của hàm số biến t trong điều kiện của t

- Bậc 2:

2 2

2 2

Cách 1: Phương trình ẩn x x: 2   tx 1 0 luôn có nghiệm t

+Điều kiện của t:

 Tìm trên (C) điểm M để tổng khoảng cách

từ M tới hai đường tiệm cận xiên của (C) đạt giá trị nhỏ nhất

 .Tiệm cận đứng:x1; tiệm cận xiên yx   x y 0

+Chứng minh: tích khoảng cách từ mỗi điểm M bất kỳ thuộc (C) tới 2 đường tiệm cận bằng hằng số

4 0

11

1

12

2.2.5 Lượng giác hóa

+ Đa thức Trê-bư-sep bậc n n;   ;n 2: f x n( )  cosnarccosx  có tập xác định D  1;1

n2 : f x2( ) 2

2x  1 cos 2t với t 0; ;cost  x t arccosx

n 3: f x3( )  4x3 3xcos3t với t 0; ;cost   x t arccosx

n 4 : f x4( )  8x4 8x2  1 cos 4t với t 0; ;cost   x t arccosx

2

;2,

sin

t t a x

t t a x

t t a x

a x

a  1cos2  2 sin ; a x  a1cos2t  2a.cost

Khi đó có: 1 x2  sin ; 2t x2  1 cos 2 ; 8t x4 8x2  1 cos 4t

( ) sin cos cos 2 cos 4 1sin 8

cos sin 4sin cos

y t t t t Đặt sin cos 2 sin

y Tìm A, B  2 nhánh khác nhau của (C) mà AB đạt GTNN

4 4

2

1 1

; 2

1 1

; 2 2

1 1

; 2

Hướng dẫn: Đặt xcos ;t t 0;  y sin cost t2 sin tcost

2.3 Dạng biểu thức chứa hai biến

Với những dạng toán mà điều kiện ràng buộc giữa hai biến là bậc nhất, dễ dàng rút được ẩn này theo ẩn kia, quy về một biến rồi khảo sát hàm

số một biến đó thì phương pháp giải bài toán đã rõ ràng Tuy nhiên, trong trường hợp này, giáo viên có thể khuyến khích học sinh tìm cách giải khác nhanh hơn, do có những nhận xét tốt hơn

Phần trình bày dưới đây chủ yếu quan tâm tới những phương pháp khác với phương pháp quy về một ẩn

2.3.1 Dựa vào trường hợp xảy ra đẳng thức khi sử dụng BĐT Cô-si

- Đoán nhận điểm xảy ra dấu bằng

- Trong mỗi bước đánh giá phải chú ý để cho có dấu bằng xảy ra

1

y x

y x xy

4 4 4

4

Áp dụng:

4 1

4 1

2

4

2 2

y x

1

4 6

1 1

1

2 2

2 2

2 4

1 1

1 0

4

1 3 1

4

1 2 1

2 1

2.3.2 Dựa vào tính đối xứng của hai biến

2.3.2.1 Quy về đánh giá các đơn thức, đa thức đối xứng   2 2

; ;

xy xy x y

Ví dụ 17 Cho x y 1 Tìm GTNN của A: 3 3

Ax y xy

Hướng dẫn: A là biểu thức đối xứng với x và y nên biến đổi A về dạng biểu thức chỉ chứa xy và xy Mà x y 1nên đưa A về biểu thức đối với xy Cách 1: Đánh giá xy, từ đó đánh giá A

Cách 2: Rút về 1 biến y 1 x Biến đổi A về hàm số đối với biến x

Cách 3: Đưa về biến mới Đặt

1212

x

y x

+ KL:

2

1 minA

+ KL:

2

1 minA

Cách 3: Đưa về biến mới: Đặt x t y t

2

1

; 2 1

t t

t t xy

1 2 2

1 2

1 2 1 2

Phân tích: Chưa chú ý xét dấu đẳng thức xảy ra

Hướng dẫn: Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra khi 1

xy y

x y

x y

x y x

1 0

4

1 0

1 2 1 2

1 0 2 2

1 4

1 0

2 2

t t

t

t t

t

Suy ra:  

2

25 4 16 1 2

Cách 2: + Đặt

1

2 0; 0

1

1 1

2

1 2

1 2

t t

4 1

1 1

1 4

1

4 1

1 1

1

b a b a b

2

2 2

2     Dấu "=" xảy ra  a b

2

1 1 2

1 1

1

2

1 2

1 1

y x y

x y x P

2

25 4

1 4

1 2

1 0

x xy

y x S

Tìm đk của t t: D Từ GT  ràng buộc S, P (1) Đưa về xét hàm số f t( ), tD Đưa về xét F S P( ; ) trong điều

2 2

t t

t t

2

32

22

2 2

t xy

t y x

 2;2

42

2

2