Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C

Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG MẠCH ĐIỆN KHÔNG PHÂN NHÁNH R,L,C Tác giả: Đào Thị Loan Giáo viên trường : THPT Yên Lạc Đối tượng bồi dưỡng : Học sinh lớp 12 Số tiết dự kiến: 12 tiết Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 1 Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C LỜI NÓI ĐẦU Theo chương trình cải cách giáo dục thì từ năm học 2007 – 2008 thì bộ môn vật lí đã chuyển hình thức từ thi tự luận sang thi trắc nghiệm. Lượng kiến thức trong mỗi bài thi rất lớn gần như bao quát toàn bộ chương trình mà thời gian thi cũng ít hơn khi các em thi tự luận vì vậy đòi hỏi các em phải có cách tư duy làm bài nhanh nhưng đòi hỏi phải chính xác. Phần điện xoay chiều là phần rất quan trọng trong bố cục đề thi vì vậy tôi đã viết chuyên đề “ Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C” để đưa ra cho các em một số dạng bài đặc biệt giúp các em nhận diện và có cách giải nhanh nhất. Chuyên đề gồm bốn phần: Phần 1: Tóm tắt lý thuyết. Phần 2: Một số bài toán cực trị trong mạch không phân nhánh R, L, C Phần 3: Một số bài tập ví dụ. Phần 4: Một số bài tập tự giải. Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ giúp các em học tốt hơn và yêu thích hơn khi học phần điện xoay chiều trong môn vật lý. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường, toàn thể các thầy cô trong hội đồng nhà trường, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Vật lý – Công nghệ của trường THPT Yên lạc; các em học sinh và gia đình đã giúp đỡ tôi khi tôi viết chuyên đề này. Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 2 Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C PHẦN 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT MẠCH R – L – C KHÔNG PHÂN NHÁNH 1. Mạch R – L – C không phân nhánh: Mắc vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = U 0 cos( ω t + u ϕ ) gồm một điện trở thuần R, cuộn dây có độ tự cảm L, điện trở trong r và một tụ điện có điện dung C ta có : *) Biểu thức cường độ dòng điện : i = I 0 cos( ω t + i ϕ ) (A). Với I 0 là cường độ dòng điện cực đại, và ω lµ tần số góc, i ϕ là pha ban đầu của dòng điện - Biểu thức hiệu điện thế : u = U 0 cos( ω t + u ϕ ) (V). Với U 0 là hiệu điện thế cực đại, u ϕ là pha ban đầu - Các giá trị hiệu dụng : U= 0 2 U và I= 0 2 I *) Xét đoạn ,mạch R, L , C nối tiếp: - Tần số góc: 2 2 f T π ω π = = ; - Cảm kháng: . L Z L ω = ; Dung kháng 1 C Z C ω = - Tổng trở của mạch : 2 2 ( ) ( ) L C Z R r Z Z= + + − ; - Hiệu điện thế hiệu dụng: 2 2 R ( ) ( ) r L C U U U U U= + + − - Hiệu điện thế giữa hai đầu của các phần tử: + U R = IR = 2 2 ( ) ( ) L C U UR R Z R r Z Z = + + − + U d = IZ d 2 2 2 2 ( ) ( ) L L C U r Z R r Z Z + = + + − + U C = IZ C 2 2 ( ) ( ) C L C UZ R r Z Z = + + − - Định luật ôm: C R L r L C R Z r Z U U U UU I Z = = = = = - Độ lệch pha giữa u – i: tan L C Z Z R r ϕ − = + (trong đó u i ϕ ϕ ϕ = − ) Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 3 i U R r + ur U L ur U C ur U U L C + ur ur O U ur ϕ Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C *) Công suất tiêu thụ của mạch: + Nếu cuộn dây thuần cảm: P = I 2 R = UI osc ϕ + Nếu cuộn dây có điện trở trong r : P = I 2 (R + r); P R = I 2 R; P d = I 2 r VD: Nếu trong mạch không có phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức tổng quát * Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với tụ điện R – C: + Tổng trở 2 2 C Z R Z= + + Định luật Ôm: C R C R Z U UU I Z = = = + Độ lệch pha giữa u và i tan 0 C Z R ϕ − = →p u luôn trễ pha so với i (trong đó u i ϕ ϕ ϕ = − ) + Công suất tiêu thụ của mạch: P = I 2 R =UI osc ϕ * Mạch có điện trở thuần mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm: R – L + Tổng trở 2 2 L Z R Z= + + Định luật Ôm: R R Z L L U UU I Z = = = + Độ lệch pha giữa u và i tan 0 L Z R ϕ = > → u luôn sớm pha so với i (trong đó u i ϕ ϕ ϕ = − ) + Công suất tiêu thụ của mạch: P = I 2 R =UI osc ϕ Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 4 Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ TRONG MẠCH NỐI TIẾP R,L,C Bài toán 1: Mạch có R thay đổi Cho mạch điện xoay chiều RLC không phân nhánh trong đó R có thể thay đổi được (R còn được gọi là biến trở). Các giá trị khác L; C; ω ; U là các hằng số. Tìm giá trị của R để : 1. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại 2. Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây thuần cảm) 3.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r); P mach cực đại. * Hướng dẫn giải: Nguyên tắc chung: Để tìm cực trị của một biểu thức nào đó thì chúng ta xuất phát từ công thức tổng quát của chúng, thực hiện các phép biến đổi theo quy tắc nếu tử số và mẫu số đều là đại lượng biến thiên thì chỉ để một biểu thức thay đổi theo đại lượng thay đổi. Bổ đề : • Bất đẳng thức Cosi : Cho hai số không âm a, b khi đó 2a b ab+ ≥ Nên min ( ) 2a b ab+ = , Dấu bằng xảy ra khi a = b • Hàm số bậc hai 2 axy bx c= + + , với a > 0 đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm 2 min 4 ' ; 2 4 4 b ac b x y a a a a ∆ − ∆ = − = − = = − 1. Điện áp hiệu dụng hai đầu R đạt cực đại 2 2 2 U U =IR= W Z ( ) 1 ( ) R RMax RMax L C L C U U R U R U Z Z R Z Z R = = ⇒ ⇔ → ∞ ⇒ = − + − + của mạch. 2. Công suất tỏa nhiệt trên R: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L C L C U U U U P = I R = R = R = = (Z -Z ) Z R +(Z -Z ) y R+ R với y = 2 L C (Z -Z ) R+ R Ta có: L C L C 2 Z -Z Z -Z Min Z R= ⇔ = (1.1) Khi đó công suất cực đại của mạch 2 2 Max L C U U P = = 2 Z -Z 2R (1.2) Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 5 Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C Khảo sát bài toán công suất trên R của mạch gồm R, L, C không phân nhánh + Lập bảng biến thiên: + Đồ thị của P theo R *) Với hai giá trị của điện trở R = R 1 và R = R 2 mạch cho cùng một công suất thì: ( ) 2 2 2 2 2 2 L C U U P= I R = R = R Z R +(Z -Z ) 2 2 2 2 2 2 R +P( - ) R P( - ) 0(*) L C L C P Z Z U R P U R Z Z ⇒ = ⇔ − + = Điều kiện để (*) có 2 nghiệm phân biệt là: 2 2 L C U Z Z P − < (1.3) (*) Là phương trình bậc hai, phương trình có hai nghiệm phân biệt. Theo định lý Viet ta có 2 1 2 2 2 1 2 ( - ) L C U R R P R R Z Z R + = = = (1.4) Với R là giá trị mà công suất của mạch đạt cực đại *) Ta có (1) - > 1 2 1 2 1 2 ( - ) ( - ) 1 tan tan 1 2 L C L C Z Z Z Z R R ϕ ϕ π ϕ ϕ = ⇒ = ⇒ + = ± (1.5) + Khi 1 2 2 L C Z Z π ϕ ϕ > → + = + Khi 1 2 2 L C Z Z π ϕ ϕ < → + = − *) Khi công suất trong mạch đạt cực đại thì hệ số công suất Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 6 R P ' P 0 Z Z L C − ∞ 0 + − P max x 0 0 Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C 1 os 4 2 2 R R c Z R π ϕ ϕ = = = ⇒ = ± (1.6) + Khi 4 L C Z Z π ϕ = → > Mạch có tính cảm kháng + Khi 4 L C Z Z π ϕ = − → < Mạch có tính dung kháng *) Nếu trong mạch khuyết phần tử nào ta bỏ phần tử đó trong công thức (1.4) + Mạch chỉ có R – C mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một công suất thì (1.7) + Mạch chỉ có R – L mắc nối tiếp. Có hai giá trị của R khi thay đổi cho cùng một công suất thì : (1.8) *) Từ công thức (1.2); (1.3); (1.4) 1 2 ax 1 2 2 M R R P P R R = + (1.9) *) Khi công suất trên R cực đại thì hiệu điện thế trên hai đầu cuộn dây và hai đầu của tụ khi đó: +) 2 2 2 ( ) L C L C L C L C U U U U I Z Z Z Z R Z Z − = − = − = ± + − Hay 2 L C U U U= − (1.10) 6.Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R đạt cực đại (cuộn dây có điện trở trong r) Trong mạch điện RLC mà cuộn dây có thêm điện trở hoạt động r thì ta có thể tìm công suất mạch cực đại và công suất tỏa nhiệt trên R cực đại Trường hợp 1: Công suất tỏa nhiệt P trên toàn mạch cực đại: Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 7 2 1 2 2 2 1 2 C U R R P R R Z R + = = = 2 1 2 2 2 1 2 L U R R P R R Z R + = = = Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C 2 2 2 2 2 2 2 2 2 L C L C U U U U P = I (R+r) = (R+r) = (R+r) = = (Z -Z ) Z (R+r) +(Z -Z ) y (R+r)+ (R+r) Với 2 L C (Z -Z ) y = (R+r) + (R+r) Ta có theo bất đẳng thức Cosi thì y min = 2 L C Z Z− Và P max = 2 L C U 2 Z -Z (1.11) Dấu bằng xảy ra khi L C R = R + r R = Z -Z - r M L C Z Z= − ⇒ (1.12) + Hiệu điện thế 2 đầu của điện trở thuần khi đó (1.13) *) Nếu L C r Z Z> − M L C R r Z Z→ ≥ > − ta có bảng biến thiên Nếu L c Z Z r− < thì ta lấy R = 0 và công suất khi đó P = I 2 r = 2 2 2 ( ) L C U r r Z Z+ − (1.14) *) Khi công suất mạch ngoài cực đại thì 2 tan 1 os 4 2 L C Z Z c R r π ϕ ϕ ϕ − = = ± ⇒ = ± ⇒ = + Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 8 IR ( ) 2 2 R R U UR U R Z R r U R r U R = = = + + ⇒ = =R Mmin IR ( ) 2 2 R R U UR U R Z R r U R r U R = = = + + ⇒ = Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C Trường hợp 2: Công suất tỏa nhiệt trên điện trở R, (P R ) cực đại: 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 L C L C U U U U P = I R = R = R = = (Z -Z ) R +2Rr + r Z (R+r) +(Z -Z ) y + R R R với 2 2 2 ( ) 2 L C Z Z R Rr r y R R − + + = + Ta 2 2 min 2 2 ( ) L C y r r Z Z= + + − Dấu bằng xảy ra khi 2 2 ( ) L C R r Z Z= + − (1.15) Và 2 2 ax 2 2 min 2 2 ( ) m L C U U P y r r Z Z = = + + − *) Khi công suất trên R đạt cực đại thì độ lệch pha giữa u và i khi đó là: ( )( ) tan L C R r R r Z Z R r R r R r R r ϕ + − − − = = ± = + + + (1.16) *) 2 2 2 ( ) R r L C U U U U= + − ; 2 2 2 2 2 ( ) 2 ( ) R r R r R R r U U U U U U U U U= + + − ⇒ = + *) Hiệu điện thế giữa hai đầu của cuộn dây và tụ điện khi đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) . 2( ) ( ) ( ) 2 2( ) L C rLC rLC L C rLC U r Z Z U R R U IZ U R r R r Z Z R Rr R U R U R r + − = = = = + + + − + + → = + Bài toán 2: Cho mạch gồm biến trở R mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L và một tụ điện có điện dung C. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều 0 os( )u U c t ω = . 1. Thay đổi R ta thấy hiệu điện thế trên hai đầu của điện trở thuần R và tụ điện (R mắc liên tiếp với C) có giá trị không đổi. Tính U RC và tần số cộng hưởng trong mạch. 2. Thay đổi R ta thấy điện áp giữa hai đầu của U RL vuông góc với hai đầu của đoạn mạch. Tính R . Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 9 (1.18) Một số bài toán cực trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C Hướng dẫn 1) Ta có: +) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 1 C RC RC L C L L C C U R Z U U IZ R Z Z Z Z Z R Z + = = = + − − + + Ta thấy U RC không phụ thuộc vào R thì 2 2 L L C Z Z Z− =0 2 2 1 2 2 2 2 2 L C ch ch Z Z L C LC ω ω ω ω ω ω → = → = → = = → = (2.1) Khi đó U RC = U (2.2) 2) Theo giả thiết 2 tan tan 1 1 ( ) RL RL L L C L C L U U Z Z Z R R R Z Z Z ϕ ϕ ⊥ → = − − ↔ = − ↔ = − uuur ur (2.3) Ta có: + Mạch R – L – C có tính dung kháng ( C L Z Z> ) + 2 2 2 2 C R L U U U U= − − + 2 2 L C R L U U U U= + (2.4) Bài toán 3: Mạch R – L – C không phân nhánh gồm điện trở thuần R, tụ điện C và cuộn dây thuần cảm có độ tự cảm L có thể thay đổi được. Mắc vào hai đầu mạch một điện áp xoay chiều 0 os( )u U c t ω = 1. Xác định L để + I = I max + P = P max + U R =U Rmax ; U C =U Cmax ; U RC = U Rcmax + Hệ số công suất cos ϕ =1 ; u,i cùng pha. 2. Xác định L để U Lmax 3. Xác định L để U RL cực đại (R mắc liên tiếp với L) 4. Khi thay đổi L ta thấy với L = L 1 và L = L 2 thì U L có giá trị không đổi. thiết lập công thức giữa L 1 ; L 2 với L sao cho U L cực đại. 5. Khi thay đổi L ta thấy với L = L 1 và L = L 2 thì ta thấy P 1 = P 2 . Xác định L để mạch cộng hưởng. 1. Ta thấy khi xác định cực trị của các đại lượng I; P; U R ; U RC ; U C ; cos ϕ thì ta nhận thấy độ tự cảm L chỉ xuất hiện ở mẫu số ( có đồng thời cả Z L và Z C ) thì khi đó để các đại lượng đạt cực đại thì Đào Thị Loan – Trường THPT Yên Lạc 10 [...]... đoạn mạch đạt c c đại.Tính c ng suất tiêu thụ c a đoạn mạch l c đó và điện áp giữa hai đầu c a cuộn dây b)Tính L để c ng suất tiêu thụ c a đoạn mạch c c đại C= * Hướng dẫn giải: a)Tính L Đào Thị Loan – Trường THPT Yên L c 22 Một số bài toán c c trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C R R -Hệ số c ng suất c a đoạn mạch là: cos ϕ = Z = R 2 + (ZL − ZC ) 2 2 Khi L biến thiên, cos ϕ sẽ c giá trị lớn... và c ng suất c giá trị: Đáp số: R0 = Z L − Z C Đào Thị Loan – Trường THPT Yên L c 25 U2 Pmax= 2 Z L − ZC Một số bài toán c c trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C Bài 7(ĐH-2007): Đặt hiệu điện thế u = U0sinωt (U0 và ω không đổi) vào hai đầu đoạn mạch RLC không phân nhánh Biết độ tự c m và điện dung đư c giữ không đổi Điều chỉnh trị số điện trở R để c ng suất tiêu thụ c a đoạn mạch đạt c c đại... THPT Yên L c 15 Một số bài toán c c trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C U2 PMax = = 300 W 2R Ví dụ 3 (ĐH 2011): Một đoạn mạch AB gồm hai đoạn mạch AM và MB m c nối tiếp Đoạn mạch AM gồm điện trở thuần R1 m c nối tiếp với tụ điện c điện dung C, đoạn mạch MB gồm điện trở thuần R2 m c nối tiệp với cuộn c m thuần c độ tự c m L Đặt điện áp xoay chiều c tần số và giá trị hiệu dụng không đổi vào... tiếp gồm điện trở thuần R, tụ điện c điện dung C và cuộn c m thuần c độ tự c m L thay đổi đư c Điều chỉnh L để điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn c m đạt giá trị c c đại thì giá trị c c đại đó bằng 100 V và điện áp hiệu dụng ở hai đầu tụ điện bằng 36 V Giá trị c a U là * Hướng dẫn giải: Đào Thị Loan – Trường THPT Yên L c 20 Một số bài toán c c trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C Khi điều chỉnh... xoay chiều c biểu th c: u = 120 2cos100π t (V ) với R thay đổi C u 13: Cho một đoạn mạch RLC nối tiếp Biết L= đư c Điều chỉnh R để c ờng độ dòng điện hiệu dụng trong mạch đạt c c đại Khi đó c u nào trong c c câu dưới đây sai: A C ờng độ hiệu dụng trong mạch là Imax=2A; B C ng suất mạch là P = 240 W C Điện trở R = 0 D C ng suất mạch là P = 0 Đào Thị Loan – Trường THPT Yên L c 28 Một số bài toán c c trị. .. A mạch c tính dung kháng và điện áp hai đầu hai phần tử R và L đạt c c đại B mạch c tính c m kháng và điện áp hai đầu hai phần tử R và L đạt c c đại C mạch c tính dung kháng và điện áp hai đầu hai phần tử R và C đạt c c đại D mạch c tính c m kháng và điện áp hai đầu hai phần tử R và C đạt c c đại C u 10: Cho đoạn mạch RLC nối tiếp, giá trị c a R đã biết, C cố định Đặt một hiệu điện thế xoay chiều... D 129W C u 6: Cho một mạch điện LRC nối tiếp theo thứ tự trên với cuộn dây thuần c m Biết L = 1/π(H), C = 2.10-4/π(F), R thay đổi đư c Đặt vào hai đầu đoạn mạch một hiệu điện thế c biểu th c: u = U0.cos100πt (V) Để uC chậm pha π/3 so với uAB thì: Đào Thị Loan – Trường THPT Yên L c 27 Một số bài toán c c trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C 50 3 Ω 3 C u 7: Cho một mạch điện LRC nối tiếp theo... thỏa mãn C2 = 10−4 10−4 F và C2 = F 2π π Đào Thị Loan – Trường THPT Yên L c 26 B Một số bài toán c c trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C Bài 10: Cho mạch AB gồm cuộn dây thuần c m c độ tự c m L = 1,6 H , và một tụ điện c π 10−4 điện dung C = F và một biến trở c R thay đổi đư c từ 0 đến 400 Ω , m c nối tiếp π nhau Đặt vào hai dầu đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều uAB = 400cos(100π t... → U RC = 50 2V thì 2 ZC U Z L - ZC Và R =100 2Ω 2 U R 2 + ZC Hay khi đó UL đạt c c đại UL = = 100 3 (V) ZC Đào Thị Loan – Trường THPT Yên L c 19 Một số bài toán c c trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C Ví dụ 11 : Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = 50 10cos(100π t ) (V) gồm một điện trở thuần R = 100 Ω , cuộn dây thuần c m c độ tự c m L thay đổi đư c và một tụ điện c điện. .. 24 Một số bài toán c c trị trong mạch điện không phân nhánh R, L, C Đáp số: a) P1 = P2 = 9 W b) L1 = 0,52 1,48 H ; L2 = H π π c) Pmax = 9,375W Bài 2: Cho mạch điện RLC, R c thể thay đổi đư c, Hiệu điện thế hai đầu mạch là u = 200 2 1 10−4 cos(100πt) V; L = (H), C = F Tìm R để: π 2π a Hệ số c ng suất c a mạch là 3 2 b Hiệu điện thế hiệu dụng giữa hai đầu điện trở là UR = 100V c Mạch tiêu thụ c ng suất . i 1 = 2,5 2 cos(100 π t 37 180 π ± ) Ví dụ 7 : Đoạn mạch xoay chiều gồm có tụ điện mắc nối tiếp với biến trở R rồi mắc vào mạch điện xoay chiều u = U 0 cos ( t ω ) ta thấy khi R = R 1 và R=. giải. Tôi hy vọng chuyên đề này sẽ giúp các em học tốt hơn và yêu thích hơn khi học phần điện xoay chiều trong môn vật lý. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường, toàn thể. – C KHÔNG PHÂN NHÁNH 1. Mạch R – L – C không phân nhánh: Mắc vào hai đầu đoạn mạch một điện áp xoay chiều u = U 0 cos( ω t + u ϕ ) gồm một điện trở thuần R, cuộn dây có độ tự cảm L, điện