Một số bài toán cực trị trong mạch RLC nối tiếp

M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p L IM - www.nguoithay.org U Bi toỏn c c tr m ch i n xoay chi u l m t d ng bi toỏn khú i v i h c sinh l p 12 v c ng ớt ti li u h th ng húa m t cỏch y v d ng bi toỏn ny - V i thi tr c nghi m i h c nh hi n nay, vi c ỏp d ng tr c ti p k t qu c a bi toỏn c c tr s lm cho h c sinh khụng cú cỏi nhỡn t ng quan v ph ng phỏp gi i cỏc d ng toỏn ny - Chớnh vỡ lý ú, tụi vi t ti C C TR TRONG BI TON I N XOAY CHI U nh m h th ng húa m t s d ng toỏn c c tr c a bi toỏn ny ph c v cho cụng tỏc gióng d y c a cỏc b n ng nghi p, c ng nh m t ti li u h c sinh tham kh o quỏ tr nh h c - ti g m b n ph n : kh o sỏt s bi n thiờn c a cỏc i l ng nh cụng su t, hi u i n th c a cỏc thi t b theo giỏ tr c a bi n tr R, theo giỏ tr c a t c m L, theo giỏ tr c a i n dung C v theo giỏ tr c a t n s gúc - Vỡ th i gian cú h n, nờn quỏ trỡnh vi t cú th cú nhi u thi u xút, mong c s úng gúp c a quý ng nghi p v cỏc em h c sinh Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org M CL C I S thay i R m ch R-L-C m c n i ti p Cú hai giỏ tr R1 R2 cho cựng m t giỏ tr cụng su t Giỏ tr c a R lm cho cụng su t c c i a Giỏ tr R lm cụng su t ton m ch c c i b Giỏ tr R lm cho cụng su t c a R c c i c Giỏ tr R lm cho cụng su t cu n dõy c c i Kh o sỏt s bi n thiờn c a cụng su t vo giỏ tr c a R II S thay i L m ch R-L-C m c n i ti p v i cu n dõy thu n c m Cú hai giỏ tr L1 L2 cho cựng giỏ tr cụng su t Kh o sỏt s bi n thiờn c a cụng su t theo c m khỏng Giỏ tr ZL hi u i n th ULmax Cú hai giỏ tr L1 L2 cho cựng giỏ tr UL,giỏ tr L ULmax tớnh theo L1 v L2 Giỏ tr ZL hi u i n th ULRrmax III S thay i C m ch R-L-C m c n i ti p Cú hai giỏ tr C1 C2 cho cựng giỏ tr cụng su t Kh o sỏt s bi n thiờn c a cụng su t theo dung khỏng Giỏ tr ZC hi u i n th UCmax Cú hai giỏ tr C1 C2 cho cựng giỏ tr UL v giỏ tr ZC UCmax tớnh theo C1 v C2 Giỏ tr ZC hi u i n th UCRrmax IV S thay i m ch R-L-C m c n i ti p Giỏ tr lm cho Pmax Kh o sỏt s bi n thiờn cụng su t theo Cú hai giỏ tr cho cựng cụng su t v giỏ tr lm cho Pmax tớnh theo v Giỏ tr lm cho hi u i n th ULmax Giỏ tr lm cho hi u i n th Ucmax Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org I S thay i R m ch R-L-C m c n i ti p: Xột m ch i n xoay chi u cú hi u hi u th hai u n nh : u U cos(t u ) R l m t bi n tr , cỏc giỏ tr R0 , L v C khụng i C R L,R0 G i Rtd = R + R0 A B Cú hai giỏ tr R1 R2 cho cựng m t giỏ tr cụng su t U2 - Cụng su t tiờu th trờn m ch l : P Rtd I Rtd Rtd ( ZL ZC )2 - Vỡ P1 = P2 = P nờn ta cú th xem nh cụng su t ph ng trỡnh trờn l m t s khụng i ng v i hai giỏ tr R1 v R2 Khai tri n bi u th c trờn ta cú: PRtd2 RtdU P ( ZL ZC ) - N u cú giỏ tr c a i n tr cho cựng m t giỏ tr cụng su t thỡ ph ng trỡnh b c trờn cú hai nghi m phõn bi t R1 v R2 Theo nh lý Viốte (Vi-et): R1td R2td ( ZL ZC ) ( R1 R0 )( R2 R0 ) ( ZL ZC ) U2 U2 R1td R2td R1 R2 R0 P P - T ú ta th y r ng cú giỏ tr R1 v R2 khỏc cho cựng giỏ tr cụng su t Giỏ tr c a R lm cho cụng su t c c i a Giỏ tr R lm cụng su t ton m ch c c i - - Ta cú: P Rtd I Rtd U2 Rtd2 ( ZL ZC )2 (ZL ZC )2 t A Rtd , ỏp d ng b t ng th c Cauchy(Cụsi) cho A Rtd A Rtd - U2 ( Z ZC )2 Rtd L Rtd ( ZL ZC )2 ( Z ZC )2 Rtd L ZL ZC const Rtd Rtd Ta th y r ng Pmax Amin => = x y V y: Rtd ZL ZC Khi ú giỏ tr c c i c a cụng su t l: Pmax U2 U2 U2 ZL ZC R1td R2td ( R1 R0 )( R2 R0 ) V i R1td v R2td l hai giỏ tr c a R cho cựng giỏ tr cụng su t L u ý: Khi ZL ZC R0 thỡ giỏ tr bi n tr R < 0, ú giỏ tr bi n tr lm cho cụng su t ton m ch c c i l R = b Giỏ tr R lm cho cụng su t c a R c c i - U2 U2 Cụng su t c a bi n tr R l PR R I R ( R R0 ) ( ZL ZC ) ( R R0 ) ( ZL ZC ) R Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org t m u th c c a bi u th c trờn l : - A R2 ( ZL ZC )2 ( R R0 ) ( ZL ZC ) R R0 R R p d ng b t ng th c Cauchy cho A ta - A R - c: R02 (ZL ZC )2 R2 (ZL ZC )2 2R0 R 2R0 R02 (ZL ZC )2 2R0 const R R Ta th y r ng PRmax Amin ngh a l d u = ph i x y ra, ú: R R02 ( ZL ZC )2 - Cụng su t c c i c a bi n tr R l: PR max - U2 R02 ( ZL ZC ) R0 c Giỏ tr R lm cho cụng su t cu n dõy c c i, c ng dũng i nc c i, hi u i n th cu n dõy c c i, hi u i n th t i n c c i Ta cú : Pdõy R0 I ;U d I ZL2 R02 ;U c IZC I U ( R R0 ) ( ZL ZC ) 2 - Vỡ R0; ZL; ZC v U l cỏc i l ng khụng i nờn mu n t giỏ tr c c i thỡ ch c n c ng dũng i n qua m ch c c i T bi u th c c a dũng i n ta th y r ng Imax giỏ tr c a bi n tr R = Kh o sỏt s bi n thiờn c a cụng su t vo giỏ tr c a R th y rừ h n s ph thu c c a cụng su t ton m ch vo giỏ tr c a bi n tr R ng i ta th ng dựng ph ng phỏp kh o sỏt hm s : - Ta cú cụng su t ton m ch theo bi n thiờn theo bi n tr R cho b i hm s : P Rtd I Rtd U2 Rtd2 ( ZL ZC )2 Rtd R R0 - o hm P theo bi n s Rtd ta cú: P ' ( R) U (ZL ZC )2 Rtd2 ( Rtd2 (ZL ZC )2 )2 Khi P ' (R) (ZL ZC )2 Rtd2 Rtd ZL ZC R ZL ZC R0 B ng bi n thiờn : R ZL ZC R0 P(R) + Pmax P(R) P R0 U2 R02 ( ZL ZC )2 + - U ZL ZC Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org th c a P theo Rtd : P Pmax U2 ZL ZC Pmax P R0 U2 R02 (ZL ZC )2 O R=ZL - ZC - R0 R Nh n xột th : T th ta th y r ng cú hai giỏ tr R1 v R2 cho cựng m t giỏ tr c a cụng su t Cụng su t t giỏ tr c c i R ZL ZC R0 Trong tr ng h p R ZL ZC R0 thỡ nh c c i n m ph n R< ú ta th y r ng cụng su t c a m ch s l n nh t R = N u R0 = thỡ th xu t phỏt t g c t a v ta luụn cú giỏ tr R lm cho cụng su t c a ton m ch c c i l R ZL ZC K t lu n: V i ph ng phỏp kh o sỏt hm s thu c cỏc k t qu ph n v s khụng hi u qu b ng ph ng phỏp dựng tớnh ch t c a hm b c v b t ng th c Cauchy Tuy nhiờn t vi c kh o sỏt ny ta cú th bi t c s bi n thiờn c a P theo bi n tr R nh m nh tớnh c giỏ tr c a cụng su t s t ng hay gi m thay i i n tr II S thay i L m ch R-L-C m c n i ti p v i cu n dõy thu n c m Xột m ch i n xoay chi u cú hi u hi u th hai u n nh : u U cos(t u ) L l m t cu n dõy thu n c m cú giỏ tr thay i C R L R v C khụng i A B Cú hai giỏ tr L1 L2 cho cựng giỏ tr cụng su t - Vỡ cú hai giỏ tr c a c m khỏng cho cựng giỏ tr cụng su t nờn: Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org U2 U2 P1 P2 R R R ( ZL1 ZC )2 R ( ZL2 ZC )2 - - Khai tri n bi u th c trờn ta thu c: ZL1 ZC ZL2 ZC (loaùi ) ( ZL1 ZC ) ( ZL2 ZC ) n) ZL1 ZC ( ZL2 ZC ) (nhaọ ZL ZL2 L1 L2 Suy : ZC C 2 Kh o sỏt s bi n thiờn c a cụng su t theo c m khỏng ZL U2 , v i R, C l cỏc h ng s , nờn R2 (ZL ZC )2 - Ta cú cụng su t ton m ch l: P R - cụng su t c a m ch l m t hm s theo bi n s ZL o hm c a P theo bi n s ZL ta cú: P '( ZL ) RU - Zc ZL P '( ZL ) ZL ZC [ R ( ZL ZC ) }]2 B ng bi n thiờn ZL P(ZL) P(ZL) + Z L = ZC U2 Pmax R + - U2 PR R ZC - th c a cụng su t theo ZL : P Pmax U2 R Pmax U2 PR R ZC O ZL = Z C ZL Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p - www.nguoithay.org Nh n xột th : Cú hai giỏ tr c a c m khỏng cho cựng m t giỏ tr cụng su t Cụng su t c a m ch c c i ZL ZC ZL1 ZL2 , v i ZL ; ZL l hai giỏ tr c a c m khỏng cho cựng m t giỏ tr cụng su t K t lu n: T vi c kh o sỏt s bi n thiờn s thay i cụng su t vo giỏ tr c a ZL s cho phộp nh tớnh c s t ng hay gi m c a P theoZL T ú ta cú th tiờn oỏn c s thay i c a cụng su t theo giỏ tr c a ZL m t s bi toỏn Giỏ tr ZL hi u i n th ULmax U - Ta cú hi u i n th trờn cu n dõy l : U L IZL ZL - v U l cỏc h ng s khụng i Ta cú th dựng ph ng phỏp kh o sỏt hm s ny theo bi n s l ZL Tuy nhiờn v i cỏch kh o sỏt hm s s r t ph c t p V i ph ng phỏp dựng gi n Vecto bi toỏn ny cú th gi i d UL h n v rỳt nhi u k t lu n h n Theo gi n vect v nh lý hm s sin tam R2 (ZL ZC )2 , ú R; ZC UL U sin( ) sin U R Vỡ sin cos R const , suy U RC R2 ZC2 U U UL sin( ) sin( ) sin cos giỏc ta cú : - - U Do cos v U l cỏc giỏ tr khụng i nờn hi u i n th ULmax sin( ) O - - U CU L , t Theo h th c c a tam giỏc vuụng ta cú: U RC 2 ú suy ZL ZC R ZC R2 ZC2 thỡ U Lmax U ZC i UC URC Túm l i: Khi ZL UR R2 ZC2 R Khi ULmax thỡ hi u i n th t c th i m t gúc 900 hai u m ch luụn nhanh pha h n uRC Cú hai giỏ tr L1 L2 cho cựng giỏ tr UL , giỏ tr L ULmax tớnh theo L1 v L2 - Khi cú hai giỏ tr c a L cho cựng m t giỏ tr hi u i n th : U L1 U L2 ZL1 I1 ZL2 I ZL1 R2 ( ZL1 ZC ) ZL2 R2 ( ZL2 ZC ) Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p - Bỡnh ph ng v khai tri n bi u th c trờn ta thu c: L1 L1 ZL22 Z R2 ZC2 Z 2ZL1 ZC - R2 ZC2 ZL22 2ZL2 ZC Theo k t qu ph n trờn hi u i n th gi a hai u cu n dõy c c i thỡ ZL ZC R2 ZC2 v i giỏ tr ZL l giỏ tr lm cho ULmax Thay vo bi u th c trờn: ZL21 ZL ZC ZL21 2ZL1 ZC - www.nguoithay.org Ti p t c khai tri n bi u th c trờn ta thu ZL22 ZL ZC ZL22 2ZL2 ZC c: (Z Z )ZL 2ZL1 ZL2 (ZL1 ZL2 ) L1 - L2 Vỡ L1 L2 nờn n gin bi u th c trờn ta thu c: ZL 2ZL1 ZL2 ZL1 ZL2 L L1 L2 v i L1 L2 giỏ L l giỏ tr l cho ULmax Giỏ tr ZL hi u i n th ULRrmax - Khi R v L m c n i ti p thỡ : U LR I R2 ZL2 t MT - U R2 ZL2 R2 ( ZL ZC )2 U R2 ( ZL ZC )2 R2 ZL2 R2 (ZL ZC )2 , ta th c hi n vi c kh o sỏt hm s MT theo bi n s ZL R2 ZL2 tỡm giỏ tr c a ZL cho MTmin ú giỏ tr c a ULrmax bi n s ZL ta thu c : o hm c a MT theo 2( ZL ZC )( R2 ZL2 ) 2ZL[ R2 ( ZL ZC ) ] MT (ZL ) ( R2 ZL2 )2 Cho MT(ZL) = ta cú : ZC ZL2 ZC2 ZL ZC R2 Nghi m c a ph ng trỡnh b c hai ' - Z R2 ZC2 ZL1 C L p b ng bi n thiờn ta cú: ny l: 2 Z ZC R ZC L2 ZL ZL MT(ZL) - ZC 4R2 ZC2 R2 Z Z C C 2R MT (ZL) + + [ Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p - www.nguoithay.org T b ng bi n thiờn ta th y r ng MT t giỏ tr nh nh t nờn ULR t giỏ tr l n nh t Ta thu c k t qu sau: Khi ZL ZC 4R2 ZC2 thỡ U RLMax 2UR R2 ZC2 ZC III S thay i C m ch R-L-C m c n i ti p Xột m ch i n xoay chi u cú hi u hi u th hai u n nh : C R L u U cos(t u ) R l i n tr L l m t cu n dõy thu n c m khụng i A B v C cú giỏ tr thay i Nh n xột: Vỡ cụng th c t ng tr Z R2 ( ZL ZC ) R2 ( ZC ZL ) ú ta th y r ng bi toỏn thay i giỏ tr C c ng gi ng nh bi toỏn thay i giỏ tr L Do ú th c hi n vi c kh o sỏt ta c ng th c hi n t ng t thu c cỏc k t qu sau: Cú hai giỏ tr C1 C2 cho cựng giỏ tr cụng su t V i hai giỏ tr C1 v C2 cho cựng giỏ tr cụng su t ta cú ZL ZC1 ZC2 C1C2 C0 C C ZC0 1 L C C V i giỏ tr C0 l giỏ tr lm cho cụng su t m ch c c i Kh o sỏt s bi n thiờn c a cụng su t theo dung khỏng - B ng bi n thiờn: ZC Z C = ZL P(ZC) + P(ZC) U Pmax R U2 PR R ZL2 + Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p - www.nguoithay.org th c a cụng su t theo giỏ tr ZC P Pmax U2 R Pmax U2 PR R ZL2 O ZL = Z C : Giỏ tr ZC hi u i n th UCmax - ZC R2 ZL2 Khi ZC thỡ : ZL U CMax U R2 ZL2 2 2 2 v U CM ax U U R U L ; U CMax U LU CMax U R uRL vuụng pha v i hi u i n th hai u m ch Cú hai giỏ tr C1 C2 cho cựng giỏ tr UC ,giỏ tr ZC UCmax tớnh theo C1 v C2 - Khi cú hai giỏ tr C = C1 ho c C = C2 cho cựng giỏ tr UC thỡ giỏ tr c a C lm cho UCmax C C2 1 1 )C ( ZC ZC1 ZC2 Giỏ tr ZC hi u i n th URCmax ZL R2 ZL2 2UR - Khi ZC thỡ U RCMax ( V i i n tr R v t i n m c 2 R ZL2 ZL g n nhau) IV S thay i m ch R-L-C m c n i ti p Giỏ tr lm cho Pmax - Ta cú P RI R U2 R L C , t cụng th c ny ta th y r ng cụng su t c a 2 m ch t giỏ tr c c i khi: L U2 V i Pmax R LC - Khi ú Zmin = R v hi u i n th gi a hai u m ch v c ng dũng i n qua m ch ng pha Cú hai giỏ tr cho cựng cụng su t v giỏ tr lm cho Pmax tớnh theo v 2: - N u cú hai giỏ tr t n s khỏc cho m t giỏ tr cụng su t thỡ: Trang10 M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p P1 P2 R U2 ) R (1L 1C R www.nguoithay.org U2 R2 (2 L ) 2C 1 (1) L L 1C C c: L ( L )(2) 1C C - Bi n i bi u th c trờn ta thu - Vỡ nờn nghi m (1) b lo i - Khai tri n nghi m (2) ta thu c : 12 - Theo k t qu ta cú : 02 12 v i l giỏ tr c ng h LC LC ng i n Kh o sỏt s bi n thiờn cụng su t theo U2 - Ta cú P RI R - Vi c kh o sỏt hm s P theo bi n s b ng vi c l y o hm v l p b ng bi n thiờn r t khú kh n vỡ hm s ny t ng i ph c t p Tuy nhiờn, ta cú th thu c k t qu ú t nh ng nh n xột sau: R2 L C Khi = thỡ ZC Khi - lm cho P = C thỡ m ch c ng h LC ng lm cho cụng su t trờn m ch c c i Khi thỡ ZL L lm cho P = T nh ng nh n xột ú ta d dng thu c s bi n thiờn v th : LC + U2 R P() 0 Trang11 M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org P Pmax - LC Nh n xột th : T th ta th y r ng s cú hai giỏ tr cho cựng m t giỏ tr cụng su t, i u ny phự h p v i nh ng bi n i ph n trờn Giỏ tr lm cho hi u i n th ULmax R L Z U U C Ta cú : U L I ZL ZL , t A Z Z ( L) ZL ZL - R2 c : A 2 L LC - Bi n i bi u th c A ta thu - R2 x Ta ti p t c t x ú A x L L C - L y o hm c a A theo bi n s x ta thu - Cho A(x) = ta thu LC R2C c x 2L - Vỡ x - 2 c: A'( x) 2L R2 ú ta thu b ng bi n thiờn: C x LC R2C 2L A(x) 2 R2 x L C C + A(x) Amin Trang12 M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p - Thay giỏ tr x vo bi u th c ó t ta thu Nh n xột : Khi x a C L R C www.nguoithay.org c hi u i n th c c i c a cu n dõy l: v U LMax 2U L R LC R2C 2L R2 thỡ Amin x = A lm hm s b c cú h s C nờn hm s cú c c ti u C2 ph n õm, ú x = lm cho Amin mi n xỏc nh c a x Khi ú r t l n lm cho ZL r t l n lm cho I = Do ú khụng th tỡm giỏ tr lm cho ULmax Giỏ tr lm cho hi u i n th Ucmax - T ng t nh cỏch lm trờn ta c ng thu c k t qu t ng t thay i giỏ tr lm cho UCmax l: - Khi 2U L 2L L R2 R2 thỡ U CMax v i 2 C L C R LC R C Lờ T n H u - Thuvienvatly.com Trang13 ...M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org M CL C I S thay i R m ch R-L-C m c n i ti p Cú hai giỏ tr R1 R2... Giỏ tr lm cho hi u i n th ULmax Giỏ tr lm cho hi u i n th Ucmax Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org I S thay i R m ch R-L-C m c n i ti p: Xột m ch i n xoay chi u cú... tr R l PR R I R ( R R0 ) ( ZL ZC ) ( R R0 ) ( ZL ZC ) R Trang M t s bi toỏn c c tr m ch RLC n i ti p www.nguoithay.org t m u th c c a bi u th c trờn l : - A R2 ( ZL ZC )2 ( R R0 )