MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP.Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng. Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống. Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong rất nhiều bài toán với độ khó rất cao. Tổ hợp có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học...
Trang 1CHUYÊN ĐỀ HỘI THẢO BỒI DƯỠNG HSG LỚP 9 NĂM 2015
MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG TỔ HỢP TRẦN NGỌC THẮNG GV THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC, TỈNH VĨNH PHÚC
Chuyên ngành toán tổ hợp là một bộ phận quan trọng, hấp dẫn và lí thú của Toán học nói chung và toán rời rạc nói riêng Nội dung của toán tổ hợp phong phú và được ứng dụng nhiều trong thực tế đời sống Trong toán sơ cấp, tổ hợp cũng xuất hiện trong rất nhiều bài toán với độ khó rất cao Tổ hợp có vị trí đặc biệt trong toán học không chỉ như là những đối tượng để nghiên cứu mà còn đóng vai trò như một công
cụ đắc lực của các mô hình rời rạc của giải tích, đại số, hình học
Với vai tròn quan trong toán học như vậy nên trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olimpic toán quốc tế, thi Olimpic sinh sinh viên giữa các trường đại học và cao đẳng, các bài toán liên quan đến tổ hợp thường là các bài toán rất khó, là những bài tập phân loại học sinh rất tốt.
Phương pháp giải các bài toán tổ hợp thường rất phong phú và đa dạng Nhìn chung để giải một bài toán tổ hợp thông thường học sinh phải sáng tạo ra phương pháp và cách thức tiếp cận bài toán Do đó khi giảng dạy phần tổ hợp thì điều quan trọng là với mỗi bài toán giáo viên nên phân tích, định hướng lời giải một cách cụ thể
để học sinh hiểu được ý tưởng cũng như mục đích của bài toán Để cho việc giảng dạy toán phần tổ hợp đạt được kết quả tốt, chúng tôi mạnh dạn viết chuyên đề "sử dụng
số phức để giải một số dạng toán tổ hợp" để trao đổi với các thầy, cô giáo về phương pháp giảng dạy các bài toán tổ hợp.
Trong chuyên đề này, một số dạng bài tập được chọn lọc là các đề ra của các kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế, Olimpic sinh viên giữa các trường đại học trên thế giới những năm gần đây.
Chuyên đề được chia làm hai phần chính:
I Phần bài tập minh họa
II Phần bài tập tương tự
Những bài toán tổ hợp xuất hiện trong các đề thi chọn học sinh giỏi những năm gần đây thường là các bài tập hay và khó, có độ phân hóa cao giữa các đối tượng học sinh Với thời gian ngắn thì học sinh thường rất khó để giải quyết được các bài toán
Trang 2dạng này và đây cũng là vấn đề rất nan giải trong công tác ôn luyện học sinh giỏi của
đa số giáo viên Số lượng cũng như số dạng bài toán tổ hợp là rất nhiều (có thể nói là
vô hạn) nên giáo viên không thể dạy hết tất cả được, mà cần phải có phương pháp hiệu quả nhất để trang bị cho học sinh cách tiếp cận cũng như các kiến thức cơ sở trong việc giải quyết các bài toán tổ hợp Chuyên đề được hoàn thành với sự giúp đỡ nhiệt tình cả về nội dụng và hình thức của các thầy, cô giáo trong tổ toán - tin, BGH trường THPT chuyên Vĩnh Phúc Do thời gian và trình độ có hạn nên trong bài viết chỉ đề cập đến một khía cạnh rất nhỏ của dạng toán tổ hợp, rất mong nhận được góp
ý và các phương pháp hiệu quả để việc giảng dạy phân môn này có hiệu quả hơn.
I. MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1 Cho tập hợp và M là tập hợp con của tập X có tính chất T nếu: tích của 3 phần tử phân biệt bất kì trong M đều không là số chính phương Tìm số phần tử
nên M không được
chứa một phần tử nào của {1, 4,9}
Trang 3, ta thấy nếu tập hợp M thỏa mãn tính
chất T thì M chỉ chứa nhiều nhất 2 phần tử của A
Bài 3 (VMO 2004) Cho tập hợp A={1, 2,3, ,16}
Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ
nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt
lớn hơn 2 nên k thỏa mãn yêu cầu bài toán thì k≥9 Ta sẽ chứng minh k =9 sẽ là
số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán Thật vậy, ta chia tập hợp A thành 8 cặp
Trang 4Do đó theo nguyên tắc Dirichlet thì trong 9 phần tử phân biệt của tập hợp A phải
tồn tại hai số thuộc cùng một cặp Vậy k nhỏ nhất bằng 9.
Bài 4 Cho tập hợp M ={1, 2, ,n n}, ≥ 2
Hãy tìm số m nhỏ nhất sao cho trong mỗi
tập con chứa m phần tử của M đều tồn tại ít nhất hai số a b, mà số này là bội của số kia.
Lời giải Xét tập con
Vậy số nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu là
1 1 2
Trang 5Bài 4.1 Cho tập hợp M ={1, 2, , 2 ,n n} ≥ 1
Khi đó mọi tập hợp gồm n+1 phần tử của
M
đều chứa hai phần tử là bội của nhau.
Kết quả này khá hay và có nhiều ứng dụng trong việc giải các bài toán liên quan Sau đây tôi xin đưa ra một số bài tập vận dụng hệ quả đã nêu ở trên.
Bài 4.2 (Brasil 2015) Cho tập S ={1, 2, ,6 ,n n} ≥ 2
Từ đây, kết hợp với bài 4.1 ta suy ra trong tập B
có hai phần tử là bội của nhau, vô lí Vậy số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn yệu
cầu bài toán là k n= .
Bài 4.3 Cho n n, >1 số nguyên dương a1<a2 < < a n ≤2n sao cho
Trang 6phân số tối giản dạng
p q
p p
q −q <n
Do đó bài toán được chứng minh.
Trang 7Bài 5 Cho X là một tập con của tập {1, 2,3, ,10000}
, sao cho nếu a b, nằm trong X thì
ab
không nằm trong X Tìm số phần tử lớn nhất của tập X.
Lời giải Xét tập hợp con M ={101,102, ,10000}
, vô lí Vậy số phần tử lớn nhất của X bằng 9900.
Bài 6 Cho A là một tập con của tập hợp {1;2;3; ;100}
, A có phần tử nhỏ nhất là 1
và phần tử lớn nhất là 100 Giả sử A có tính chất: Với mỗi phần tử x của A , x≠1
thì x hoặc bằng tổng của hai phần tử thuộc A hoặc bằng hai lần một phần tử
Trang 8tập con của X thỏa mãn yêu
cầu bài toán Vậy giá trị lớn nhất của
1
2n
k= −
.
Bài 8 Cho n k, là các số nguyên dương, n≥2 Tìm số nguyên dương nhỏ nhất k sao
cho bất kì một họ gồm k tập hợp con của tập {1, 2, , n}
đều tìm được ba tập hợp phân biệt khác rỗng mà một trong chúng là hợp của hai tập hợp còn lại.
Lời giải Trước hết ta chứng minh hai bổ đề sau đây:
Bổ đề 1 Cho n là một số nguyên n≥2 Khi đó luôn tồn tại một họ
Trang 9Ta sẽ chứng minh bổ đề này bằng quy nạp như sau:
+) Khi n=2 đễ thấy thỏa mãn.
Thỏa mãn không có tập hợp nào là hợp của hai tập hợp phân biệt khác nó.
Vậy bổ đề 1 được chứng minh.
Bổ đề 2 Cho n là một số nguyên n≥2 Chứng minh rằng mọi họ gồm ít nhất
Trang 10Thật vậy, số tập con chứa n+1 bằng 2
, ∀i thì theo giả thiết quy nạp ta có đpcm
ii) Nếu tồn tại i sao cho B i = ∅ thì A i = +{n 1}
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Vậy bổ đề 2 được chứng minh.
Trở lại Bài 8 thì dễ thấy k nhỏ nhất bằng
Trang 11theo 2 cách khác nhau, ở đây kí hiệu d x y( ),
là khoảng cách Hamming giữa hai xâu
+) Xét ma trận M n× , trong đó mỗi dòng là một phần tử của C Gọi m i là số số 0 ở cột
thứ và tương ứng ở cột thứ đó có M m− i số 1 Do xét quan hệ hai xâu , có tính đối xứng nên suy
+) Nếu M chẵn thì từ (1) ta có
Trang 12d M
A A∆ = A + A − A I A
, nên
Trang 132) Nếu d lẻ thì theo (2) ta được
theo 2 cách khác nhau, ở đây kí hiệu d x y( , )
là khoảng cách Hamming giữa hai xâu
+) Xét ma trận M n× , trong đó mỗi dòng là một phần tử của C Gọi m i là số số 0 ở cột
thứ và tương ứng ở cột thứ đó có M m− i số 1 Do xét quan hệ hai xâu , có tính đối xứng nên suy
Trang 14Bài tập áp dụng khoảng cách Hamming
Bài 9.1 (Vĩnh Phúc 2012, vòng 2) Có 7 em học sinh được lập thành m nhóm hoạt động ngoại khóa, mỗi học sinh có thể tham gia nhiều nhóm hoạt động Biết rằng với hai nhóm tùy ý thì có ít nhất 4 học sinh chỉ tham gia vào một trong hai nhóm đó.
m
k C≥ = m m−
Nếu học sinh a nào đó tham gia m a nhóm, thì sẽ không tham gia m m− a nhóm Như
vậy, học sinh a đó sẽ tham gia vào đúng m m m a( − a)
Trang 15Giả sử 7 học sinh là a a1, , ,2 a7 và đặt X ={a a1 , , , 2 a7}
Ta coi mỗi nhóm là một xâu dạng t t t1 2 7, trong đó t i =1 nếu nhóm đó chứa a i , t i =0 nếu nhóm đó không chứa a i Khi đó theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ hơn Áp dụng kết quả phần 2.i ở trên với d =4,n=7 ta được m≤8.
Với m=8 ta có thể xây dựng 6 xâu nhị phân độ dài bằng 7 và khoảng cách Hamming giữa hai xâu bất kì bằng 4 như sau:
Trang 16nên khoảng cách Hamming giữa hai tập hợp
Hai tập con A và B của X được gọi là không
giống nhau nếu
không chứa i Khi đó theo giả thiết khoảng cách Hamming không nhỏ
hơn 2n+1 Áp dụng kết quả phần 2.ii ở trên với m M= (2n+ 1, 4n)
Trang 17Bài 9.4 Trong một cuộc thi có n thí sinh và p giám khảo, ở đó n, p là các số nguyên
dương, p>2 Mỗi giám khảo đánh giá từng thí sinh và cho kết luận thí sinh đó đỗ hay trượt Giả sử k là số thỏa mãn điều kiện: Với hai giám khảo bất kì, số thí sinh mà họ
cho kết quả giống nhau nhiều nhất là k Chứng minh rằng 2( 21)
thì ta xét hai khả năng sau:
+) Nếu n k− chẵn thì theo kết quả của định lí 1 ta được:
Trang 18Ta coi mỗi tập con A i là một xâu nhị phân dạng t t t1 2 2013, trong đó t i =1 nếu tập
Như vậy với mỗi cách tạo ra khoảng cách Hamming của hai đối tương nào đó
ta được một dạng bài tập tương đối khó Trong tất cả các dạng bài tập liên quan đến khoảng cách Hamming thì bài 3 thật tinh tế và sâu sắc.
Nhận xét Như vậy với mỗi cách tạo ra khoảng cách Hamming của hai đối tương nào
đó ta được một dạng bài tập tương đối khó Trong tất cả các dạng bài tập liên quan đến khoảng cách Hamming thì bài 9.3 thật tinh tế và sâu sắc.
Bài 10 (THPT chuyên VP 2015) Điểm M x y( ; )
của mặt phẳng tọa độ được gọi là điểm nguyên, nếu cả x và y đều là các số nguyên Tìm số nguyên dương n bé nhất sao cho từ mỗi bộ n điểm nguyên, đều tìm được bộ ba điểm nguyên là đỉnh của một tam giác có diện tích nguyên (trong trường hợp ba điểm thẳng hàng thì coi diện tích tam giác bằng 0).
không phải là số nguyên.
+ Ta chứng minh n=5 là số nguyên bé nhất thỏa mãn Ta chia các điểm nguyên
( ; )
M x y
của mặt phẳng thành 4 loại:
Loại 1: x chẵn, y chẵn; Loại 2: x chẵn, y lẻ; Loại 3: x lẻ, y lẻ; Loại 4: x lẻ, y chẵn.
Khi đó, trong 5 điểm nguyên đang xét, luôn có hai điểm cùng loại, ta gọi đó là hai điểm A, B Ta sẽ chứng minh, với mọi điểm nguyên C, diện tích tam giác ABC luôn là số nguyên.
Thật vậy:
Trang 19+ Nếu A và B có cùng hoành độ a, thì do A, B cùng loại, nên độ dài AB là số chẵn Gọi h
là khoảng cách d C AB( ; ), với C c c( ; ),1 2 khi đó
1 2
ABC
S = AB h×
là số nguyên.
Tương tự với A, B cùng tung độ, ta cũng có diện tích tam giác ABC là số nguyên.
+ Xét trường hợp A a a( ; ), ( ; )1 2 B b b1 2 thuộc cùng một loại, nhưng a1 ≠b1, a2 ≠b2 Chọn điểm thứ tư D, chẳng hạn D b a( ; )1 2 Khi đó, theo lập luận ở trên, các tam giác ABD, CAD, CBD có diện tích là số nguyên, suy ra S ACBD là số nguyên.
Nhưng S ACBD =S ABC+S ABD, nên S ABC là số nguyên Điều phải chứng minh.
Bài 11 (THPT chuyên VP 2013) Xét 20 số nguyên dương đầu tiên 1, 2,3, , 20.… Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất có tính chất: Với mỗi cách lấy ra k số phân biệt từ
20 số trên, đều lấy được hai số phân biệt a và b sao cho a b+ là một số nguyên tố. Lời giải
Khi đó mỗi tập con của A có 11 phần tử thì tồn tại ít nhất hai phần tử thuộc
cùng vào một trong 10 cặp số trên Suy ra trong A luôn có hai phần tử phân biệt có tổng là một số nguyên tố.
II. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Trang 20Bài 12 Cho A A1, , ,2 A n là các tập hợp có hữu hạn phần tử sao cho 1 2
Giả sử có số nguyên dương 1 k n≤ ≤ thỏa mãn hợp của bất kì k tập hợp của
họ trên bằng S, hợp của nhiều nhất k−1 tập của họ đã cho là một tập con thực sự của
là ba phân hoạch của tập hợp hữu hạn X Giả sử
ta có bất đẳng thức sau đúng với mọi i j k, , =1, 2, ,3n :
Trang 211 1
Bài 17 Cho X là một tập hợp có n phần tử, và Y là một tập con có k phần tử của X.
Chứng minh rằng số lớn nhất các tập con đôi một khác nhau của tập X, mỗi tập có
đúng r phần tử của Y và hai tập bất kì thì không chứa nhau bằng
2
n k r
a) Nếu A thuộc F, khi đó A có 3 phần tử;
b) Nếu A và B là hai phần tử khác nhau của S, khi đó A và B có nhiều nhất một phần tử chung.
Trang 22Bài 23 (Iran TST 2013) Cho F ={A A1 , 2 , ,A p}
Hỏi giá trị lớn nhất của m bằng bao nhiêu?
Bài 26 (AIME 1989) Cho tập hợp X ={1, 2,3, ,1989}
Xét tập con S của X thỏa mãn
tính chất: không có hai phần tử nào của S hơn kém nhau 4 hoặc 7 đơn vị Hỏi số
phần tử lớn nhất của S là bao nhiêu?
Trang 23Bài 27 Cho số nguyên dương n≥5 và tập hợp X ={1, 2, ,n}
sao cho mọi tập con n phần tử của S đều chứa 5 số đôi một nguyên tố cùng nhau.
Bài 29 Cho m n, là các số tự nhiên sao cho m>1 và n>2m Tìm số nguyên dương k
lớn nhất sao cho tồn tại k tập con rời nhau 1 2
Trang 24TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Chuyên đề chọn lọc Tổ hợp và Toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008.
[2] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Rời rạc và một số vấn đề liên quan, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên hè 2007, Trường ĐHKHTN - ĐHQG Hà Nội.
[3] Trần Nam Dũng (chủ biên), Chuyên đề toán học số 8, 9, Trường PTNK - ĐHQG TP.
Hồ Chí Minh.
[4] Le Hai Chau - Le Hai Khoi, Selected Problems of the Vietnamese Maththematical Olympiad (1962 - 2009), World Scientific.
[5] Tạp chí Toán học tuổi trẻ, Crux - Canada, AMM - USA
[6] Titu Andresscu - Zuming Feng, A path to combinatorics for underfrduates, Birkhauser.
[7] Arthur Engel, Problem - Solving Strategies, Springer.
[8] Titu Andreescu and Zuming Feng 102 combinatorial problems from the
training of the USA IMO team.
[9] Phạm Minh Phương Một số chuyên đề toán học tổ hợp bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thông NXB Giáo dục Việt Nam.
[10] Các nguồn tài liệu từ internet
www.mathscope.org ; www.mathlinks.org ; www.imo.org.yu