Một số bài toán về hàm số và đồ thị trong các đề thi vào lớp 10 THPT

Trong những năm học gần đây, các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT môn Toán của các tỉnh, thành phố thường xuyên xuất hiện dạng bài toán liên quan đến hàm số và đồ thị. Đây là một dạng toán rất hay, đòi hỏi học sinh phải có khả năng tư duy, phải biết vận dụng tổng hợp các kiến thức về hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, phương trình bậc hai một ẩn, hệ thức Viét, … Qua thực tế nhiều năm giảng dạy môn Toán lớp 9, tôi đã tích lũy được một số kinh nghiệm và viết thành chuyên đề: “Các bài toán về hàm số và đồ thị trong đề thi vào lớp 10 THPT môn Toán”.

MỤC LỤC Trang A Mở đầu I Lí chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Đối tượng phạm vi nghiên cứu IV Phương pháp nghiên cứu B Nội dung I Thực trạng vấn đề II Các dạng toán hàm số đồ thị Dạng Tìm giá trị tham số m để hàm số bậc đồng biến, nghịch biến Dạng Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm cho trước Dạng Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vng góc với Dạng Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 10 Dạng Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định 12 Dạng Xác định toạ độ điểm chung hai đồ thị hàm số 14 Dạng Tìm m để đường thẳng cắt parabol hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước 17 III Một số toán hàm số đồ thị đề thi vào lớp 10 THPT số tỉnh thành phố 22 C Kết luận 26 A MỞ ĐẦU I/ Lí chọn đề tài Trong chương trình mơn học bậc THCS, mơn Tốn mơn học chiếm vị trí đặc biệt quan trọng Các kiến thức kĩ mơn Tốn sở giúp cho học sinh học tốt môn học khác Trong đời sống hàng ngày, kĩ tính tốn, vẽ hình, đo đạc, ước lượng; kĩ sử dụng dụng cụ tốn học, máy tính điện tử cần thiết người lao động thời kì cơng nghiệp hóa, đại hóa Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt tri thức rèn luyện kĩ năng, môn Tốn cịn có tác dụng lớn việc phát triển lực trí tuệ, phát triển khả tư sáng tạo học sinh phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, Do có vị trí quan trọng nên mơn Tốn ln có mặt tất kì thi học sinh bậc học phổ thông Đối với học sinh lớp 9, ngồi kì thi học sinh giỏi cịn có kì thi quan trọng em kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT Kết kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tiêu chí để đánh giá chất lượng dạy học toán trường THCS Trong năm học gần đây, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT mơn Tốn tỉnh, thành phố thường xuyên xuất dạng toán liên quan đến hàm số đồ thị Đây dạng tốn hay, địi hỏi học sinh phải có khả tư duy, phải biết vận dụng tổng hợp kiến thức hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai, phương trình bậc hai ẩn, hệ thức Vi-ét, … Qua thực tế nhiều năm giảng dạy mơn Tốn lớp 9, tơi tích lũy số kinh nghiệm viết thành chuyên đề: “Các toán hàm số đồ thị đề thi vào lớp 10 THPT mơn Tốn” II/ Mục đích nghiên cứu Đánh giá thực trạng học sinh giải tốn hàm số đồ thị, từ đề giải pháp nhằm rèn luyện kĩ giải toán hàm số đồ thị cho học sinh III/ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Các toán hàm số đồ thị chương trình mơn Tốn IV/ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu dạng tập về hàm số đồ thị - Tìm hiểu tốn hàm số đồ thị đề thi vào lớp 10 THPT mơn Tốn B NỘI DUNG I/ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Trong chương trình Đại số lớp 9, toán hàm số đồ thị phong phú, đa dạng Qua thực tế nhiều năm giảng dạy qua theo dõi kết làm kiểm tra, kết làm thi học sinh lớp 9, nhận thấy giải toán hàm số đồ thị, nhiều học sinh cịn lúng túng mắc sai sót Nguyên nhân chủ yếu em chưa hiểu rõ kiến thức, chưa nắm vững phương pháp giải, chưa biết vận dụng linh hoạt kiến thức vào dạng toán cụ thể, lập luận thiếu chặt chẽ, trình bày lời giải chưa rõ ràng, … Nhằm giúp học sinh giải khó khăn, tháo gỡ vướng mắc giải tập hàm số đồ thị, đồng thời nâng cao chất lượng dạy học Tốn, nâng kết thi mơn Tốn vào lớp 10 cho học sinh, phân chia tập hàm số đồ thị thành dạng cụ thể đưa phương pháp giải cho dạng tập Đồng thời chuyên đề giới thiệu số toán đề thi vào lớp 10 mơn Tốn số tỉnh thành phố năm học gần II/ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Dạng Tìm giá trị tham số m để hàm số bậc đồng biến, nghịch biến 1.1 Phương pháp giải Cho hàm số y = ax + b - Hàm số hàm số bậc  a ≠ - Hàm số đồng biến R  a > - Hàm số nghịch biến R  a < 1.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số y   m  1 x  2m (1) Tìm m để hàm số (1) hàm số bậc Lời giải: Hàm số (1) hàm số bậc  m    m  1 Vậy với m  1 hàm số (1) hàm số bậc Ví dụ 2: Cho hàm số y  2m  x  (1) m5 Tìm m để hàm số (1) hàm số bậc Lời giải: Hàm số (1) hàm số bậc  2m   m  1 2m  0  m5 m   m  Vậy với m  1; m  hàm số (1) hàm số bậc Ví dụ 3: Cho hàm số y   2m  1 x  (1) a) Tìm m để hàm số (1) hàm số bậc b) Tìm m để hàm số (1) đồng biến, nghịch biến Lời giải: a) Hàm số (1) hàm số bậc  2m    m  Vậy với m  hàm số (1) hàm số bậc 2 Hàm số (1) nghịch biến R  2m    m  1 Vậy hàm số (1) đồng biến m  , nghịch biến m  2 b) Hàm số (1) đồng biến R  2m    m  Ví dụ 4: Cho hàm số y   m  3 x   m (1) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến R Lời giải: m   m   2m3 2  m  m  Hàm số (1) nghịch biến R   Vậy hàm số (1) nghịch biến  m  1.3 Bài tập vận dụng Tìm m để hàm số hàm số bậc Với giá trị m hàm số đồng biến, nghịch biến? a) y   m   x  b) y   2m  1 x  c) y   3m   x  d) y   2m   x  m  e) y   5m  1 x  2m f) y   2m  1 x  2m  g) y  1  m  x  m  h) y   m2   x   m i) y   m   x   m k) y  m3 x  2m  m 1 Dạng Xác định điểm thuộc đồ thị hàm số Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm cho trước 2.1 Phương pháp giải Đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A  x0 ; y0   y0  ax0  b Đồ thị hàm số y = ax2 qua điểm A  x0 ; y0   y0  ax0 2.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hàm số y = -2x + Trong điểm sau đây, điểm thuộc đồ thị hàm số? A (1; 1); B (5; -7); C(-4; -5) Lời giải: Thay x = 1; y = vào hàm số y = -2x + 3, ta có: = -2 + hay = (luôn đúng) Vậy điểm A(1; 1) thuộc đồ thị hàm số Thay x = 5; y = -7 vào hàm số y = -2x + 3, ta có: -7 = -10 + hay -7 = -7 (luôn đúng) Vậy điểm B(5; -7) thuộc đồ thị hàm số Thay x = -4; y = -5 vào hàm số y = -2x + 3, ta có: -5 = + hay -5 = 11 (vô lý) Vậy điểm C(-4; -5) không thuộc đồ thị hàm số Ví dụ 2: Cho hàm số y = (m + 1)x + Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A  2; 1 Lời giải: Vì đồ thị hàm số y   m  1 x  qua điểm A  2; 1 nên ta có: 1   m  1.2   2m  4  m  2 Vậy m  2 đồ thị hàm số y   m  1 x  qua điểm A  2; 1 Ví dụ 3: Cho hàm số y   2m  1 x  m  Tìm m để đồ thị hàm số qua gốc tọa độ Lời giải: Vì đồ thị hàm số y   2m  1 x  m  qua gốc tọa độ O(0; 0) nên ta có:   2m  1.0  m   m    m  Vậy m  đồ thị hàm số y   2m  1 x  m  qua gốc tọa độ Ví dụ 4: Cho hàm số y   m  1 x  2m  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Lời giải: Vì đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ nên đồ thị hàm số qua điểm A 1;0  Ta có:   m  1.1  2m   m   2m    m  Vậy m  đồ thị hàm số y   m  1 x  2m  cắt trục hồnh điểm có hồnh độ Ví dụ 5: Cho hàm số y  mx  m   a) Tìm m biết đồ thị hàm số qua điểm A(-2; 1) b) Với giá trị m vừa tìm câu a, tìm tọa độ điểm B thuộc đồ thị hàm số, biết điểm B có hồnh độ -4 Lời giải: a) Vì đồ thị hàm số y  mx  m   qua điểm A(-2; 1) nên ta có:  m.(2)   4m  m  đồ thị hàm số y  mx qua điểm A(-2; 1) 1 b) Với m  , ta có hàm số y  x 4 Vì điểm B thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ -4 nên thay x = -4 vào 1 hàm số y  x ta y  (4)2  4 Vậy B(-4; 4) Vậy m  2.3 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hàm số y   m  3 x  Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(-3; -2) Bài 2: Cho hàm số bậc y   m  1 x   m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -2 Bài 3: Cho hàm số y  mx  3m  Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hoành độ -2 Bài 4: Cho đường thẳng (d) có phương trình y  mx  2m  Tìm m để đường thẳng (d) qua gốc tọa độ Bài 5: Cho hàm số: y  (m  3) x  2m  hàm số (1) qua A(1; 3) (1) (m tham số) Tìm m để đồ thị Bài 6: Cho hàm số y  mx  m   Tìm m để đồ thị hàm số qua điểm A(-3; 2) Bài 7: Với giá trị m đồ thị hàm số y   m2  m  x qua điểm A(-1; 2) Bài 8: Biết đồ thị hàm số y  ax qua điểm A 1;  Tìm hệ số a Bài 9: Xác định hệ số a b, biết đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(1; - 2) B(3; 4) Bài 10: Cho hàm số: y = (2m – 1)x + m – (d) a) Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A(2; 5) b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ x  Dạng Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau, vng góc với 3.1 Phương pháp giải Cho đường thẳng (d): y = ax + b đường thẳng (d’): y = a’x + b’ - Hai đường thẳng (d) (d’) cắt  a  a ' a  a ' - Hai đường thẳng (d) (d’) song song với (d // d’)   b  b ' a  a ' - Hai đường thẳng (d) (d’) trùng   b  b ' - Hai đường thẳng (d) (d’) vng góc với  a.a '  1 3.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho hai hàm số bậc y  mx  m  y  (4  m) x  2m  (với m tham số) Tìm m để đồ thị hai hàm số: a) Cắt b) Song song với c) Trùng Lời giải: m  m   4  m  m  Hai hàm số cho hàm số bậc   a) Đồ thị hai hàm số cắt  m   m  2m   m  Vậy m  2; m  0; m  đồ thị hai hàm số cắt m   m m  b) Đồ thị hai hàm số song song với    m   2m  m  1  m  (thoả mãn) Vậy m  đồ thị hai hàm số song song với m   m m  c) Đồ thị hai hàm số trùng   (vơ lí)  m   m  m     Vậy khơng có giá trị m để đồ thị hai hàm số trùng Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng y  (m  2) x  y  x  m  (m tham số) Tìm m để hai đường thẳng cho song song với Lời giải: Hai đường thẳng y  (m  2) x  y  x  m  song song với m   m  m  1      m  1 m   m  m     Vậy m = -1 hai đường thẳng y  (m  2) x  y  x  m  song song với Ví dụ 3: Cho hàm số: y  (m  3) x  2m  (1) (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y  (3m  1) x  2023 điểm trục tung Lời giải: Đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y  (3m  1) x  2023 điểm trục m   3m   2m  m     m  1011 tung   2m   2023 2m  2022 m  1011 Vậy m = -1011 đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y  (3m  1) x  2023 điểm trục tung Ví dụ 4: Tìm m để đồ thị hàm số y = (m - 2)x + m + đồ thị hàm số y = -x + y = 2x - đồng quy Lời giải: Gọi A giao điểm đồ thị hàm số y = -x + y = 2x -  y  x  x  Tọa độ điểm A nghiệm hệ phương trình:    y  2x  y 1  A(1; 1) Ba đường thẳng đồng quy nên đồ thị hàm số y = (m - 2)x + m + qua điểm A(1; 1) Ta có: = (m - 2).1 + m +  m = Vậy với m = ba đường thẳng đồng quy 3.3 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hai hàm số y = (m - 1)x + y = (3 - m)x + a) Với giá trị m đồ thị hai hàm số hai đường thẳng song song với b) Với giá trị m đồ thị hai hàm số hai đường thẳng cắt Bài 2: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2m Tìm m để đồ thị hàm số song song với đường thẳng x - y + = Bài 3: Cho hai hàm số y = 2x + m - y = 5x + - 3m Tìm m để đồ thị hai hàm số cắt điểm trục tung Bài 4: Tìm m để đường thẳng y = x + m2 + đường thẳng y =(m - 1)x + cắt điểm trục hoành Bài 5: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - Tìm m để đồ thị hàm số: a) Cắt đường thẳng y = 3x - điểm trục tung b) Cắt đường thẳng y = -x - điểm trục hoành Bài 6: Cho hàm số y   m  1 x  2m  (1) (m tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt đường thẳng y  x  điểm có hồnh độ Bài 7: Cho hai đường thẳng y  10 x  y  (m2  1) x  2m (với m tham số) Tìm m để hai đường thẳng song song với Bài 8: Cho hàm số y  4mx  m  (1) (m tham số) Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y  (3m2  1) x  m2  Bài 9: Cho hàm số: y = (2m – 1)x + m – (d) Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = (m2 – 4)x + 2m – Bài 10: Cho hai hàm số: y = (m – 3)x + m + y = (2 – m)x – m (d) (d’) a) Tìm m để đồ thị hai hàm số cho cắt điểm trục tung b) Tìm m để đồ thị hai hàm số cho cắt điểm trục hồnh c) Tìm m để đồ thị hai hàm số cho hai đường thẳng song song với Dạng Viết phương trình đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước 4.1 Phương pháp giải Giả sử phương trình đường thẳng có dạng y = ax + b (d) Xét trường hợp sau: * Đường thẳng y = ax + b (d) qua hai điểm A(m; n) B(p; q) - Đường thẳng (d) qua điểm A(m; n) nên thay x = m y = n vào phương trình y = ax + b ta phương trình thứ với ẩn a b - Đường thẳng (d) qua điểm B(p; q) nên thay x = p y = q vào phương trình y = ax + b ta phương trình thứ hai với ẩn a b - Giải hệ phương trình gồm hai phương trình ta tìm a b * Đường thẳng y = ax + b (d) qua điểm A(m; n) song song với đường thẳng y = a’x + b’ - Đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = a’x + b’ nên a = a’ b ≠ b’ - Thay a = a’ vào phương trình y = ax + b - Đường thẳng (d) qua điểm A(m; n) nên thay x = m y = n vào phương trình y = ax + b ta tìm b * Đường thẳng y = ax + b (d) qua điểm A(m; n) cắt trục tung điểm có tung độ c - Đường thẳng (d) cắt trục tung điểm có tung độ c nên (d) qua điểm B(0; c) - Bài tốn trở thành viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(m; n) B(0; c) * Đường thẳng y = ax + b (d) qua điểm A(m; n) cắt trục hồnh điểm có hoành độ c - Đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c nên (d) qua điểm B(c; 0) - Bài toán trở thành viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(m; n) B(c; 0) 4.2 Ví dụ minh hoạ Viết phương trình đường thẳng (d) trường hợp sau: a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A(2; -1) B(-3; 4) b) Đường thẳng (d) qua điểm A(2; -1) song song với đường thẳng y = -x + c) Đường thẳng (d) qua điểm A(2; -1) cắt trục tung điểm có tung độ 10 Bài 4: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng y = -2x qua điểm A(2; 7) Bài 5: Viết phương trình đường thẳng (d) có hệ số góc -1 qua gốc tọa độ Bài 6: Hãy xác định hàm số bậc y = ax + b trường hợp sau: a) Có hệ số góc qua điểm A(1; 0) b) Song song với đường thẳng y = x – cắt trục tung có tung độ Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) qua điểm M(1; -2) song song với đường thẳng x + 2y = Bài 8: Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đường thẳng x – y + = điểm có tung độ vng góc với đường thẳng y = – x Bài 9: Viết phương trình đường thẳng (d) qua gốc tọa độ qua giao điểm hai đường thẳng y = 4x – y = -x + Bài 10: Viết phương trình trình đường thẳng (d) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ qua điểm M(2; 3) Dạng Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định 5.1 Phương pháp giải - Giả sử đồ thị hàm số y = ax + b qua điểm A(x0;y0) cố định với m - Thay toạ độ điểm A vào phương trình y = ax + b ta được: y0 = ax0 + b (*) - Biến đổi (*) dạng: A.m + B = ( A, B biểu thức chứa x0 y0) (Coi m ẩn; A, B hệ số đẳng thức A.m + B = A = B = 0) A  để tìm x0 y0 - Giải hệ phương trình:  B   Kết luận: Đồ thị hàm số qua điểm cố định A(x0;y0) 5.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Chứng tỏ với giá trị m, đường thẳng (d) có phương trình y   m  3 x  m qua điểm cố định Lời giải: Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà đường thẳng (d) ln qua Ta có: y0   m  3 x0  m  y0  mx0  3x0  m  m  x0  1  y0  3x0 12  xo    x0  Vì đẳng thức ln với m nên   M 1;3  y  x  y  0   Vậy với m, đường thẳng (d) có phương trình y   m  3 x  m qua điểm cố định M(1; 3) Ví dụ 2: Cho hàm số y   2m  3 x  m  Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với giá trị m Tìm điểm cố định Lời giải: Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà đường thẳng (d) ln qua Ta có: y0   2m  3 x0  m   y0  2mx0  x0  m   2mx0  m  x0  y0    x0  1 m  x0  y0  1  x   2 xo     3 x0  y0    y    1  M ;   2 Vậy với m, đường thẳng (d) có phương trình y   2m  3 x  m   1  qua điểm cố định M  ;   2 5.3 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho hàm số bậc y = (m + 1)x - 2m Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định với m Bài 2: Cho hàm số y = (m - 1)x + m + Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với m Bài 3: Cho hàm số y = (2m - 3)x + m - (d) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm cố định m thay đổi Tìm điểm cố định Bài 4: Cho hàm số y = (m + 2)x + 2m - Chứng minh đồ thị hàm số qua điểm cố định m thay đổi Tìm điểm cố định Bài 5: Chứng minh đồ thị hàm số y = (m - 2)x + m + qua điểm cố định với m, xác định điểm cố định Bài 6: Cho hàm số y = (1 - 2m)x +m - Chứng minh với giá trị m, đồ thị hàm số cho qua điểm cố định Bài 7: Cho hàm số y = mx + 3m - (d) Tìm tọa độ điểm cố định mà đường thẳng (d) qua với m 13 Bài 8: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2020 Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị m Bài 9: Cho hàm số y = (m - 1)x + 2m + Tìm điểm cố định mà đường thẳng sau qua với giá trị m Bài 10: Cho hàm số: y = (2m - 1)x + m - (d) Chứng tỏ m thay đổi đường thẳng (d) ln qua điểm cố định Dạng Xác định toạ độ điểm chung hai đồ thị hàm số 6.1 Phương pháp giải * Tìm toạ độ giao điểm hai đường thẳng Tọa độ giao điểm hai đường thẳng y  ax  b y  a ' x  b ' nghiệm  y  ax  b  y  ax  b   y  a ' x  b ' ax  b  a ' x  b ' (*) hệ phương trình:  Phương trình (*) gọi phương trình hồnh độ giao điểm hai đường thẳng y  ax  b y  a ' x  b ' Để xác định toạ độ điểm A giao điểm hai đường thẳng ta lập phương trình hồnh độ giao điểm Giải phương trình để tìm hồnh độ xA giao điểm, từ xác định tung độ yA giao điểm Kết luận: Tọa độ giao điểm hai đường thẳng A( xA;yA) * Toạ độ điểm chung đường thẳng parabol Tọa độ điểm chung parabol (P): y  ax (a  0) đường thẳng (d): y  mx  n nghiệm hệ phương trình:  y  ax  y  ax  y  ax    y  mx  n ax  mx  n  ax  mx  n  (*)   Phương trình (*) gọi phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) Số nghiệm phương trình (*) số điểm chung (d) (P) - Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt (d) cắt (P) hai điểm phân biệt - Phương trình (*) có nghiệm kép (d) tiếp xúc với (P) - Phương trình (*) vơ nghiệm (d) (P) khơng giao 6.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho đường thẳng (d): y = x - đường thẳng (d’): y = -2x + a) Tìm tọa độ giao điểm hai đường thẳng (d) (d’) phép tính b) Gọi giao điểm (d) (d’) với trục Ox A B Tìm toạ độ điểm A, B 14 Lời giải: a) Gọi M giao điểm hai đường thẳng (d) (d’) Phương trình hồnh độ giao điểm hai đường thẳng (d) (d’) là: x - = -2x +  3x =  x = Với x = y = -1 Vậy giao điểm hai đường thẳng (d) (d’) M(1; -1) b) Trục hồnh Ox đường thẳng có phương trình y = Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) trục hồnh Ox là: x-2=0x=2 Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng (d’) trục hoành Ox là: -2x + =  x  Vậy A(2; 0) B( ; 0) Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y   x  parabol (P): y  x Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) phép tính Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) là: x   x   x  x   (1) Ta có:   b  4ac     Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1  b   b    x2   2 2a 2a Với x = y = 1, ta điểm A(1; 1) Với x = -2 y = -5, ta điểm B(-2; -5) Vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A(1; 1) B(-2; -5) Ví dụ 3: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  x  m a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) m = b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Lời giải: a) Với m = 6, ta có (d): y = x + Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) là: x  x   x  x   (1) Ta có:   b  4ac   4. 6   25  15 Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt: x1  b   b    x2   2 2a 2a Với x = y = 9, ta điểm A(3; 9) Với x = -2 y = 4, ta điểm B(-2; 4) Vậy với m = (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A(3; 9) B(-2; 4) b) Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) là: x2  x  m  x2  x  m  (1) Ta có:   b  4ac   4. m    4m Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt phương trình (1) có 1 hai nghiệm phân biệt hay     4m   m  1 Vậy m  đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Ví dụ 4: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d) có phương trình y  ax  b Tìm a b để đường thẳng (d) parabol (P) tiếp xúc điểm A(1; 1) Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) là: x  ax  b  x  ax  b  (1) Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) phương trình (1) có nghiệm kép hay    a  4b  (2) Đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) điểm A(1; 1) nên đường thẳng (d) qua điểm A(1; 1) Ta có: a  b   b   a (3) Từ (2) (3) suy ra: a  4a     a     a  2 Với a = b = -1 Vậy phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) điểm A(1; 1) y  x  6.3 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho parabol (P): y  x a) Tìm toạ độ giao điểm (P) đường thẳng y = 3x – b) Tìm giá trị a, b cho đường thẳng y = ax + b tiếp xúc (P) qua A(0; 2) c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) B(1; 2) Bài 2: Cho đường thẳng (d): y = mx – parabol (P): y  x Tìm m để: 16 a) (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 3: Cho parabol (P): y  x a) Vẽ parabol (P) b) Xác định a b để đường thẳng (d) : y = ax + b cắt trục tung điểm có tung độ -2 cắt parabol (P) điểm có hoành độ Bài 4: Cho parabol (P): y = x2 đường thẳng (d): y = 2x - m a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt b) Xác định tọa độ giao điểm A, B (d) (P) m = -3 c) Viết phương trình đường thẳng qua điểm C(1; 1) tiếp xúc với (P) x đường thẳng (d): y   m  1 x  m2  Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) parabol (P) khơng có điểm chung Bài 5: Cho parabol (P): y  Dạng Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện cho trước 7.1 Phương pháp giải Cho parabol (P): y  ax (a  0) đường thẳng (d): y  mx  n Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) là: ax  mx  n  ax  mx  n  (1) Đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt hay   7.2 Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1: Cho parabol (P): y   x đường thẳng (d): y = 2x + m – Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) là:  x2  x  m   x2  x  m   (1) Ta có:  '  b '2  ac    m  1   m Để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung phương trình (1) có hai nghiệm âm phân biệt Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt      m   m  (2) 17  S  x1  x2  2 Theo định lí Vi-ét, ta có:   P  x1 x2  m  S  2  Phương trình (1) có hai nghiệm âm     m  (3) P  m     Từ (2) (3) suy  m  Vậy  m  đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt nằm bên trái trục tung Ví dụ 2: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  x  m2  Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung Lời giải: Phương trình hồnh độ giao điểm parabol (P) đường thẳng (d) là: x2  x  m2   x  x  m2   (1) Để (d) cắt (P) hai điểm nằm hai phía trục tung phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu  m2     m  3 m  3   3  m  Vậy 3  m  đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm nằm hai phía trục tung Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  2(m  1) x  2m  (với m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x2 thoả mãn x12  x22  x1 x2  25 Bài giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x  2(m  1) x  2m   x  2(m  1) x  2m   (1) Ta có:  '  m  2m   2m   m   m  (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m  x1  x2  2m  Theo định lí Vi-ét, ta có:   x1 x2  2m  Theo ra, ta có: x12  x22  x1x2  25  ( x1  x2 )2  3x1x2  25  (2m  2)  3(2m  3)  25 18  2m  m    m  2  (m  2)(2m  3)    m   Vậy m  2 ; m  giá trị cần tìm 2 x đường thẳng (d): y  mx   m (với m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để Ví dụ 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y  đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt A  x1; y1  B  x2 ; y2  cho y1  y2  x1 x2  26 Bài giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (P) là: x  mx   m  x  2mx  2m   (1) Ta có:  '  m2  1. 2m    m2  2m    m  1   với m  Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt với m  (d) cắt (P) hai điểm phân biệt với m Ta có x1 , x2 hoành độ giao điểm (d) (P) nên x1 , x2 hai nghiệm phương trình (1)  x1  x2  2m Theo định lí Vi-ét, ta có:   x1 x2  6  2m Theo ra, ta có: y1  y2  x1x2  26 Do A  x1; y1  B  x2 ; y2  thuộc (P) nên y1  Suy ra: 2 x1  x2  x1 x2  26 2  x12  x22  x1 x2  52   x1  x2   x1x2  52  (2m)   2m    52  4m  12m  16  19 x1 ; y2  x22 2  m  1  m  3m     m4 Vậy m1; 4 giá trị cần tìm 7.3 Bài tập vận dụng Bài 1: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  mx  m ( m tham số) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt nằm bên phải trục tung Bài 2: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  x  m  ( m tham số) a) Tìm tất giá trị m để (P) cắt (d) điểm chung b) Tìm tất tọa độ điểm thuộc (P) có hồnh độ hai lần tung độ Bài 3: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  x  m  ( m tham số) a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm nằm hai phía trục tung b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Bài 4: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  mx  2m  (m tham số) a) Xác định tọa độ giao điểm (P) (d) m = b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 cho x1  x2 Bài 5: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d) : y  (2m  1) x  m  (m tham số) a) Xác định tọa độ giao điểm (d) (P) m = b) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x 1, x2 cho: (2 x1  1)  x2  1  Bài 6: Cho parabol (P): y  x đường thẳng (d): y  (m  1) x  2m  (m tham số) Tìm tất giá trị tham số m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  ( x1  2)  x2    11 Bài 7: Cho parabol (P): y   x đường thẳng (d): y  mx  ( m tham số) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hồnh độ x1 , x2 thỏa mãn x13 x2  x23 x1  x1 x2  20 ... phạm vi nghiên cứu Các toán hàm số đồ thị chương trình mơn Tốn IV/ Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu dạng tập về hàm số đồ thị - Tìm hiểu tốn hàm số đồ thị đề thi vào lớp 10 THPT mơn Tốn B NỘI... gần II/ CÁC DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Dạng Tìm giá trị tham số m để hàm số bậc đồng biến, nghịch biến 1.1 Phương pháp giải Cho hàm số y = ax + b - Hàm số hàm số bậc  a ≠ - Hàm số đồng biến... thi mơn Tốn vào lớp 10 cho học sinh, phân chia tập hàm số đồ thị thành dạng cụ thể đưa phương pháp giải cho dạng tập Đồng thời chuyên đề giới thi? ??u số toán đề thi vào lớp 10 mơn Tốn số tỉnh thành