[Tạp chí Olympic] Một số kỹ thuật AM-GM

Một số kỹ thuật AM-GM Phạm Quốc Sang - Học sinh K9 chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm Quảng Nam I Kỹ thuật chọn điểm rơi: Đây kỹ thuật quan trọng trình sử dụng bất đẳng thức Cauchy để giải toán Dựa vào việc xác định điều kiện xảy đẳng thức, ta thêm bớt hay tách biểu thức cần chứng minh thành nhóm hay biểu thức phù hợp Bài 1: Cho a  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2a  Sai lầm thường gặp: P  a  a  Nguyên nhân: minP   a  a2 1  3 a.a   minP  a a  a  vơ lí a  a2 Phân tích: Ta xét vài giá trị a để dự đoán chiều biến thiên P : a P 16 10 25 10 25 … … 20 40 400 Từ bảng, ta nhận xét a tăng P tăng Do đó, ta dự đốn giá trị nhỏ P a   a  3 1 Sơ đồ điểm rơi: a     1  3     27    a2 Lời giải chi tiết: P  Suy minP  a a 52a a a 52 55   2  3   27 27 a 27 27 27 a 27 55 a  Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  abc  abc Sai lầm thường gặp: P  abc   minP  abc Nguyên nhân: minP   abc  1  abc  vơ lí   abc     abc   27 Phạm Quốc Sang Phân tích: P biểu thức đối xứng theo ba biến a, b, c Do đó, ta dự đoán a  b  c  điều kiện xảy đẳng thức Mặc khác, ta dễ nhận P có dạng t  t với t  abc t abc Ta có: t  1   27 abc  a  b  c 3     Do đó, ta quy tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức P  t  với t  27 t  t  27 1  Sơ đồ diểm rơi: t  27  1  27    27 729    t 27 Lời giải chi tiết: P  Vậy minP  t 728t t 728 730   2  27  729 t 729 729 t 729 27 730 t  27  a  b  c  27 Lưu ý: Trong q trình giải tốn, ta gặp tốn có dạng đơn biến Thay vào đó, ta thường xuyên gặp biểu thức dạng đa biến phức tạp Do đó, ta cần linh hoạt sử dụng bất đằng thức phù hợp để đưa biểu thức cần chứng minh biến số đánh giá Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 1 1 P  a  b  c  2    a b c Sai lầm thường gặp: P  3 abc  2.3 1  3 abc 2.3 6 abc abc Suy minP  Nguyên nhân sai lầm: minP   abc  abc   abc   vơ lí abc 3 điều kiện để xảy cực trị Từ đây, ta có nhiều hướng để giải tốn dựa vào việc phân tích điểm rơi Phân tích: Do P đa thức đối xứng theo ba biến a, b, c nên ta dự đoán a  b  c  Lời giải 1: Do vai trò a, b, c P tương tự nên ta cần phân tích a sau làm tương tự với b , c Phạm Quốc Sang Sơ đồ điểm rơi:  a   1   a    a  3  a       17  1   P   a    b    c        9a   9b   9c   a b c    a 1 17  b  c    17  19 9a 9b 9c a  b  c ( Chú ý ta có bất đẳng thức 1    ) a b c a b c Suy minP  19 a  b  c  Lời gải 2: Ta có: P  a  b  c  Đặt t  18  abc abc abc  t  abc Khi P  18t   t  1 t 1 Ta có: P  17t  t   17  t  19 t t Suy minP  19 t   a  b  c  Lời giải 3: Ta có: P  3 abc  Đặt t  3 abc 1   3 abc a  b  c a  b  c 1  Do đó, ta quy tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức P   2t   với t  t  1 1   Sơ đồ điểm rơi: t    t  3       t  3 Phạm Quốc Sang  t 17   t 17t  Ta có: P           19 9 t   t  Suy minP  19 t   a  b  c  Bài 4: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a  b  c   P  1  1  1    2b  2c  2a  Sai lầm thường gặp: P  a b c 2   minP  2b 2c 2a a  2b  Nguyên nhân sai lầm: minP   b  2c  a  b  c  vơ lí a, b, c  c  2a  Phân tích: Do P đa thức đối xứng theo ba biến a, b, c nên ta dự đoán a  b  c điều kiện xảy đẳng thức a b c 3    nên ta dự đoán minP    Khi 2b 2c 2a 2 Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có  Tương tự  a 1 a 1 a 33 a     33  2b 2 2b 2 2b b b 33b c 33 c  , 1  2c c 2a a   a b c 27 Suy P     2 b c a Vậy minP  27 a  b  c Lời giải 2: Ta có P  2b  a  2c  b  2a  c    b  b  a  c  c  b  a  a  c   3 ab2 3 bc 3 ca 8abc Suy minP  8abc 8abc  27 27 a  b  c Lời giải 3: Ta có Phạm Quốc Sang b c   b c a   a P  1           2b 2c 2a   4a 4b 4c   1 33 a b c b c a 27  33   2b 2c 2a 4a 4b 4c 8 Suy minP  27 a  b  c Một số tập tương tự: Bài 1: Cho x, y số thực dương thỏa x  y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức x y S  1 x 1 y Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab  bc  ca Bài 3: Cho a , b số thực dương thỏa a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 1   a  b a b ab II Kỹ thuật đồng bậc hóa: Đồng bậc kỹ thuật giải tốn dựa vào việc tạo biểu thức đồng bậc hai vế bất đẳng thức cần chứng minh Ở chương này, ta tập trung vào giải toán gồm ba biến số Bậc đơn thức: Ta quy ước đơn thức a b  c  có bậc      a3 a5 , Ví dụ: a , ab, a bc , đơn thức bậc hai b c3 Ta nhận xét rằng: Có vơ số cách biểu diễn đơn thức bậc k qua n biến a1 , a2 an Cộng thêm biểu thức đồng bậc vào bất đẳng thức: a b3 c    ab  bc  ca Bài 1: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh b c a Phân tích: Ta nhận xét rằng, hai vế bất đẳng thức cần chứng minh có bậc hai Do đó, ta cần cộng thêm vào hai vế biểu thức chứa đơn thức bậc hai a3 a3 Xét : Ta có ba đơn thức bậc hai có liên hệ với với a , b , ab b b Phạm Quốc Sang Ta xét trường hợp: a3 a3 a3 a3 a5 a3  a2   b2  a  b  , , b b b b b b a3 a3  ab  ab  2a b b So sánh trường hợp việc ghép ghép b3 a3 với ab phù hợp Tương tự, ta ghép với bc b c c3 với ca a Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có  a b3 c   a3   b3   c3     ab  bc  ca   ab   bc            ca  b c a b  c  a  2 a3 b3 c3 ab  bc  ca   a  b  c    ab  bc  ca  b c a a b3 c    ab  bc  ca Suy b c a Đẳng thức xảy a  b  c Lời giải 2: Ta có x3  y3   x  y   x  y  xy    x  y  xy  xy   xy  x  y  , x, y  Ta có: 3  a b3 c   a3 2 2 b 2 c 2      a  b  c     b     c     a  b c a b   c  a  3 3 3 a b b c c a    b c a ab  a  b  bc  b  c  ca  c  a     b c a 2   a  b  c    ab  bc  ca  a b3 c    ab  bc  ca Suy b c a Đẳng thức xảy a  b  c Bài 2: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b3 c    a  b  c bc ca ab Phân tích: Ta nhận xét rằng: bậc hai vế bậc Do đó, ta cộng vào biểu thức gồm đơn thức bậc Phạm Quốc Sang a3 : ý tưởng ban đầu sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta bc a3 a3 a3  a,  b,  c Tuy nhiên sau sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho xét nhóm: bc bc bc hai số, kết thu phức tạp Do đó, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số Xét a3 a3 a3  a  b,  b  c,  c  a có bc bc bc b3 c3 a3 ,  b  c cho kết 3a Tương tự với ta thu nhóm tương ca ab bc b3 c3  c  a, ab ứng ca ab Ta thực tương tự, xét nhóm Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có  a b3 c   a3   b3   c3     a  b  c   b  c   c  a            a  b  bc ca ab   bc   ca   ab   33 a3 b3 c3 b.c  3 c.a  3 a.b   a  b  c  bc ca ab Suy a b3 c    a  b  c bc ca ab Đẳng thức xảy a  b  c Lời giải 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có:  a b3 c   a b3   b3 c   c a  2                 bc ca ab   bc ca   ca ab   ab bc  a b3 b3 c c3 a3  ab bc ca  2 2  2    bc ca ca ab ab bc a b   c  ab bc   bc ca   ca ab          a   a b   b c   c 2 2 ab bc bc ca ca ab 2 2   a  b  c c a a b b c a b3 c    abc Suy bc ca ab Đẳng thức xảy a  b  c Bài 3: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b5 c    a  b3  c bc ca ab Phạm Quốc Sang Phân tích: Ta nhận xét: hai vế bất đẳng thức bậc ba So với hai trước có bậc cao số cách biểu diễn để tạo thành nhóm phù hợp nhiều Do này, ta phân tích tổng quát hơn:       a5      a b c với  ,  ,   Xét bc  ,  ,    1 Theo bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có:  5  1  1 a5 a5     a b c  a b c  2.a b c bc bc Ta chọn  ,  ,  cho  5  ,  1  ,  1   2 Từ (1), (2) có số       b5 c , Tương tự với ca ab Lời giải chi tiết: Ta có:  a b5 c   a5   b5   c5     abc   abc   abc          abc   bc ca ab   bc   ca   ab  2 a5 b5 c5 abc  abc  abc   a  b3  c3  bc ca ab   a3  b3  c3   3abc a b5 c    a  b3  c Suy bc ca ab Đẳng thức xảy a  b  c Lưu ý: Đối với dạng toán này, ta nên lấy hạng tử để phân tích Ví dụ: ta lấy a3 a5 a3      ta xét a b , ta lấy ta xét a b c 3, lấy ta xét bc bc b a b  c  Tức hạng tử ta xét chứa n biến đơn thức cộng thêm chứa n biến Do vậy, sau phân tích có k  k  n  biến có n  k biến có số mũ Bài 4: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a b4 c4    a  b3  c b c a Phân tích: Cả hai vế bất đẳng thức bậc ba Do đó, biểu thức cộng thêm chứa đơn thức bậc ba Phạm Quốc Sang     a4     a b với  ,   Xét b  ,    1    1 a4 a4     Ta có: a b 2 a b  2.a b b b Ta chọn  ,  cho  4  ,  1   2 Từ 1 ,   có  ;     2;1 b4 b4 c4 c4  b c,  c a , Tương tự với ta nhóm c c a a Lời giải chi tiết: Ta có: 4  a b4 c   a4 2 2  b  c     a b  b c  c a   a b   b c           c a  b c a  b   c  a  2 a4 b4 c4 a b  b c  c a   a  b3  c3  b c a Mặc khác ta có: a3  a3  b3  3 a3 a3 b3  3a 2b Tương tự: b3  b3  c  3b c , c  c  a  3c a Do đó: a b4 c4     a  b  c    a 2b  b c  c a   a  b  c b c a Đẳng thức xảy a  b  c Bài tập tương tự: Bài 1: Chứng minh a b3 c    ab  bc  ca, a, b, c  b c a Bài 2: Chứng minh a b5 c    a  b  c , a, b, c  b c a Bài 3: Cho n số tự nhiên  n   Chứng minh a n 1 b n 1 c n 1    a n  b n  c n , a, b, c  b c a Làm đồng bậc bất đẳng thức: Bài : Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh a2 b2 c2    bc ca ab Phạm Quốc Sang Phân tích: Ta nhận xét rằng, bậc vế trái bậc 1, vế phải bậc Do đó, ta cần làm đồng bậc hai vế cách thay  a  b  c vào vế phải Ta quy toán chứng minh a2 b2 c2 a bc    bc ca ab Lúc này, hai vế bất đẳng thức bậc nên ta cộng thêm biểu thức gồm đơn thức bậc Xét nhóm a2   a    b  c  với  ,   bc Ta có hai hướng giải với bất đẳng thức Cauchy: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số: Dễ thấy trường hợp có cặp a2    b  c  phù hợp Mặc khác, ta nhận xét: a  b  c  điều kiện để xảy đẳng bc thức Do đó, với a  b  c  ta có:  a2  a2 1      b  c    2    b  c bc    b  c   2  Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm: ta sử dụng ba số a2 a2   a    b  c  ta tìm ,  a,   b  c  Cũng so sánh điều kiện a  b  c  bc bc 1   ,   Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có:  a2 a2 b2 c2 b  c   b2 c  a   c2 a b     a  b  c           bc ca ab  ca   ab  bc 2 a2 b  c b2 c  a c2 a  b 2 2  abc bc ca ab Suy a2 b2 c2    a  b  c  bc ca ab 2 Đẳng thức xảy a  b  c  Lời giải 2: Ta có Phạm Quốc Sang  a2 a2 b2 c2 a b  c   b2 b c  a   c2 c a b     a  b  c            bc ca ab  ca   a b  bc a2 a b  c b2 b c  a c2 c a  b 3 3 3 3  a  b  c bc ca ab a2 b2 c2    a  b  c  Suy bc ca ab 2 Đẳng thức xảy a  b  c   ay  bx   a, b   x2 y  x  y  Lời giải 3: Ta có:      a b ab ab  a  b  2 Áp dụng bất đẳng thức   ta có:  a  b   c2   a  b  c   a  b  c a2 b2 c2    b  c c  a a  b b  c  c  a a  b 2a  b  c 2 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh a3 b3 c3   1 b  2c c  a a  2b Phân tích: Bậc vế trái hai Do đó, ta quy bậc vế phải bậc hai cách thay a  b2  c2 1 Khi đó, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a3 b3 c3 a  b2  c2    b  2c c  2a a  2b Ta nhận xét a  b  c  điều kiện để xảy đẳng thức Tương tự 1, ta xét a3   a   a  b  2c  với  ,   b  2c Trường hợp 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số khơng âm ta có cặp a3 a3   a  b  2c    a  b  2c    a b  2c b  2c Khi a3   a  b  2c  kết hợp với a  b  c  ta tìm   b  2c Trường hợp 2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số a3 ,  a ,  a  b  2c  b  2c Phạm Quốc Sang a3 1   a   a  b  2c  kết hợp với a  b  c  ta tìm   ,   b  2c Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có:  a3 b3 c3   a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b          9  b  2c c  2a a  2b    a  b  2c    b3 b  c  2a    c c  a  2b    a3        9  b  2c   c  2a   a  2b  a a  b  2c  b b  c  2a  c3 c  a  2b  2 2 2   a  b2  c2  b  2c c  2a a  2b 2 a3 b3 c3 ab  bc  ca 2      a  b2  c2  Suy b  2c c  2a a  2b 3 Mặt khác a  b  c  ab  bc  ca Nên a3 b3 c3 a  b2  c2    1 b  2c c  2a a  2b Đẳng thức xảy a  b  c  Lời giải 2: Ta có:  a3 b3 c3  2       a  b  c    ab  bc  ca   b  2c c  2a a  2b   a3 a a  b  2c    b3 b b  c  2a    c c c  a  2b                 9  b  2c   c  2a   a  2b  a a a  b  2c  b b b  c  2a  c c c  a  2b  3 3 3 3  a  b2  c2 b  2c c  2a a  2b   a  b  c    ab  bc  ca  3 Suy a3 b3 c3 a  b2  c2    1 b  2c c  2a a  2b Đẳng thức xảy a  b  c   ay  bx   a, b   ta có: x2 y  x  y     Lời giải 3: Áp dụng bất đẳng thức   a b ab ab  a  b  2 Phạm Quốc Sang a3 b3 c3 a4 b4 c4      b  2c c  2a a  2b a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b  a  b2   a  b2  c2  c4    a  b  2c   b  c  2a  c  a  2b   ab  bc  ca  a  2  b  c   ab  bc  ca   ab  bc  ca   a  b2  c2 1 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh a b2 c2     a  b2  c2  b c a Phân tích: Ta nhận xét rằng, bậc vế trái bậc cịn vế phải bậc hai Do đó, ta làm đòng bậc hai vế cách nhân a  b  c vào vế trái Lời giải chi tiết: Lời giải 1: Ta có:  a b c   a c b a c 2b  a b2 c2  a b2 c          a  b  c    a  b2  c2            b c a  b c a c a  b c a  b Mặc khác: Suy b2 a c 2b a 2c a 2c  ac  2ba,  ba  2cb  cb  bc  2ac , tương tự: c a b b a c b a c 2b    ab  bc  ca b c a Do  a b c   a c b a c 2b   a b c                ab  bc  ca  b c a b c a     b c a  a3   b3   c3  a3 b3 c3    ab     bc     ca   ab  bc  ca   a  b  c  b c a b   c  a  Ta suy a b2 c2     a  b2  c2  b c a Đẳng thức xảy a  b  c  Lời giải 2:  a b2 c2   a b c   a c b a c 2b  2   a  b  c  a  b  c      b  c  a    b  c  a  1   b c a       Phạm Quốc Sang a3 a 2c b2 a a3 a 2c b2 a    33  3a b b c b b c Mặt khác ta có: Tương tự b b a c 2b c c 2b a c    3b ,    3c c c a a a b  a b3 c   a c b a c 2b  2   Suy         3 a  b  c   2 c a  b c a  b Ta lại có:  a b3 c   a3   b3   c3     ab  bc  ca   ab   bc            ca  b c a b   c  a  a3 b3 c3 ab  bc  ca   a  b  c    a  b  c    ab  bc  ca  b c a 2 Do a b3 c    a  b  c  3 b c a Lấy     3 vế theo vế chia hai vế cho ta được:  a b3 c  2       ab  bc  ca    a  b  c    b c a   a b2 c2     a  b2  c2  Từ 1 ,   ta suy b c a Đẳng thức xảy a  b  c  2 a  b2  c   a  b  c   a b2 c a b4 c4  a  b  c  Lời giải 3:        b c a a 2b b c c a a 2b  b c  c a a 2b  b c  c a 2  Do a  b  c  1 Ta có: a  b  c a  b  c  a   a  ab    b  bc    c 2 2 3  b3  c    ab  bc  ca    a 2b  b 2c  c a   ca    a 2b  b 2c  c a   a ab  b3 bc  c3 ca   a 2b  b 2c  c a    a 2b  b c  c a  a Suy  b2  c   a  b  c  a bb cc a 2   a  b2  c  Phạm Quốc Sang a b2 c2     a  b2  c2  Do b c a Đẳng thức xảy a  b  c  Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh 1    a b  c  b c  a  c  a  b  Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c  Chứng minh ab bc ca   3 c a b Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh a3 b3 c3    a  2b  3c b  2c  3a c  2a  3b III Kỹ thuật Cauchy ngược dấu: ( Kỹ thuật đánh giá phủ định phủ định) Trong trình chứng minh A  B , ta thường sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá vế Tuy nhiên số trường hợp, việc sử dụng mạnh tay bất đẳng thức phụ dẫn đến đổi chiều của bất đẳng thức ban đầu Ví dụ: Chứng minh A  B Ta đánh giá A  C , D  B Tuy nhiên, C  D Do đó, kết C  D làm cho bất đẳng thức ban đầu bị đổi chiều so với chiều cần chứng minh Sơ lươt kỹ thuật:  A   B 1  Với A  B ta có  1       A B  A  B Bài 1: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a3 b3 c3 abc    2 2 2 a b b c c a Phân tích: Khi nhìn vào tốn việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy điều hồn tồn khơng thể Do đó, ta cần phân tích mẫu số để xác định A, B mối quan hệ A  B để sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu Phạm Quốc Sang a3 1  : Ta nhận xét a  b  2ab Khi  Do vậy, ta đưa 2 a b 2ab a b a3 g ( a, b) dạng f (a, b)  với f (a, b), g (a, b) đa thức đơn giản liên quan 2 a  b2 a b trực tiếp đến vế phải bất đẳng thức ban đầu Xét a  a  b2   ab2 a3 ab2 ab2 b Lời giải chi tiết : Ta có 2   a   a   a 2 2 a b a b a b 2ab Tương tự ta có: Suy b3 c c3 a  b  , c 2 2 b c c a a3 b3 c3 b c a abc    a b c  2 2 2 a b b c c a 2 2 Đẳng thức xảy a  b  c Bài 2: : Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh a b c    2 1 b c 1 c a 1 a b Lời giải chi tiết: Ta có: a 1  b c   ab 2c a ab c ab 2c   a   a   a  ab c 2 1 b c 1 b c 1 b c 2b c Tương tự ta có: b c  b  bc a ,  c  ca b 2 1 c a 1 a b Suy   a b c 1    a  b  c  ab c  bc a  ca b   abc 2 1 b c 1 c a 1 a b 2  ab  bc  ca  Mặt khác  a  b  c  3 abc  abc  ab  bc  ca  a  b  c ( Theo bất đẳng thức x  y  z  xy  yz  zx ) Do  abc Suy   ab  bc  ca  3 a b c 3    3  2 1 b c 1 c a 1 a b 2 Đẳng thức xảy a  b  c Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh Phạm Quốc Sang 1    a 1 b 1 c 1 2 Phân tích: Ta nhận xét a  b  c  điều kiện để xảy đẳng thức Tuy nhiên, ta làm đổi chiều bất đẳng thức ban đầu sử dụng bất đẳng thức Cauchy Thật vậy, ta có 1 1 1      a  b  c  2a 2b 2c Do đó, ta cần biến đổi vế trái để sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu Lời giải chi tiết: Ta có: Tương tự ta có: Suy a2   a2 a2 a2 a       1 2 a 1 a 1 a 1 2a b c  1 ,  1 b 1 c 1 2 1 abc    3  a 1 b 1 c 1 2 Đẳng thức xảy a  b  c  Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Chứng minh a 1 b 1 c 1   3 b2  c2  a  Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S a b c   3 ab  b bc  c ca  a Bài 3: Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức P bc ca ab   a  bc b  ca c  ab Bài 4: Cho a, b, c số thực dương thỏa a, b, c  Chứng minh 1 a  b2  c2     2a 2b 2c 2 IV Kỹ thuật cân hệ số: Ở kỹ thuật trước, ta thường giải toán bất đẳng thức dựa vào điều kiện xảy đẳng thức Tuy nhiên, tập đưa vào bất đẳng thức đối xứng nên việc tìm điều kiện xảy đẳng thức đơn giản Trong trình giải tốn, ta thường xun gặp bất đẳng thức khơng đối xứng Do đó, việc dựa vào trực quan để tìm điều kiện xảy đẳng thức điều khơng thể Vì thế, kỹ thuật cân hệ số đưa vào nhằm khắc phục hạn chế q trình giải bất đẳng thức khơng đối xứng Với kỹ thuật này, ta đưa vào Phạm Quốc Sang toán tham số giả định để sử dụng bất đẳng thức Cauchy Khi đó, điều kiện xảy đẳng thức điều kiện để tìm tham số Bài 1: Cho a, b, c số thực không âm thỏa a  2b  3c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  2a  3b3  4c Phân tích: Nếu dựa vào trực giác khó để xác định điều kiện xảy đẳng thức Vì hệ số trước a, b, c giả thiết biểu thức P khơng tỉ lệ Do đó, ta cần đưa vào tham số  ,  ,   để sử dụng bất đẳng thức Cauchy Ta có: 2a  a  a      3 a   3 3 3 3 b b  3  b   2 2 3 3 3 4c   c  c     2  6 c  2 3b3   3  2 P   a   b   c   2  Suy   2   a   , b   , c   Đẳng thức xảy  2 a  2b  3c  Do đó, ta cần chọn số  ,  ,   cho 9  3   2  m  9    2  m  9 18 3     3   2  m   407   2  3    32   m    81  Suy   ,  ,  407 407 407 Lời giải chi tiết: 3   3    2a  3b  4c     2   2   407   407   407  3   3  3     3 3     a  a      b  b      c  c      407     407    407     3 3    93 3  3   a a    b b    c c    407   407   407  18 18  a  2b  3c    407 407 3 3 Phạm Quốc Sang Hay P  18  407 407 Suy P  Vậy minP  12 407 12 ,b  ,c  a  407 407 407 407 Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S  3a  3b  c Phân tích: Dựa vào giả thiết biểu thức S , ta dễ nhận a  b xảy cực trị Do đó, ta đưa vào hai tham số  ,   để toán trở nên gọn so với đưa vào ba tham số Ta có:  c2  ac  a   2   c   b   bc 2  2   a   b   ab   Suy      a  b   c    ac  bc   2 ab  Do đó, để quy vế trái   S     Tới ta lượt bỏ tham số  cách thay         3 Khi S    ac  bc       ab Vậy ta cần chọn    0;3 cho :       Lời giải chi tiết: Ta có:  c2   c2  S  3a  3b  c   2a     2b    a  b  2ac  2bc  2ab  2  2  Vậy minS  2a  2b  c2 c ab 2 Phạm Quốc Sang Thay a  b  c ,c  vào ab  bc  ca  ta giải a  b  5 Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a  b3  64c Phân tích: Dựa vào giả thiết tốn biểu thức P ta nhận thấy a  b cực trị xảy Do đó, ta đưa vào toán hai tham số  ,   Ta có a      3 a b3      3 2b 64c3      3 c Suy P  3 a  3 2b  3 2c   2     S Đẳng thức xảy a  b   , c   Để sử dụng giả thiết a  b  c    4    2   , >0  24     2    17 Ta chọn  ,   cho    2      12  17 Lời giải chi tiết: Ta có: 3 3 3 3  24   24   24   24   12   12    24   12   3 P  a        b        64c                17   17   17   17   17   17    17   17   3 3 3  24   24   24   24   12   12  3456  a      3 b3      3 64c3      289  17   17   17   17   17   17  3 3456 1728  24      a  b  c    289 289  17  Vậy minP  1728 24 a  b  , c  289 17 17 Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b, c số thực thỏa mãn a  b  c  ab  Tìm giá trị lớn 16 biểu thức P  ab  bc  ca Bài 2: Cho a, b, c số thực dương thỏa ab  bc  ca  Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  a  2b  3c Phạm Quốc Sang Bài 3: Cho a, b, c số thực dương thỏa a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  ab  bc  ca Phạm Quốc Sang ... đẳng thức điều Vì thế, kỹ thuật cân hệ số đưa vào nhằm khắc phục hạn chế trình giải bất đẳng thức khơng đối xứng Với kỹ thuật này, ta đưa vào Phạm Quốc Sang toán tham số giả định để sử dụng bất... c  2a  3b III Kỹ thuật Cauchy ngược dấu: ( Kỹ thuật đánh giá phủ định phủ định) Trong trình chứng minh A  B , ta thường sử dụng bất đẳng thức phụ để đánh giá vế Tuy nhiên số trường hợp, việc... thức P  ab  bc  ca Bài 3: Cho a , b số thực dương thỏa a  b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức S 1   a  b a b ab II Kỹ thuật đồng bậc hóa: Đồng bậc kỹ thuật giải toán dựa vào việc tạo biểu thức