skkn sử dụng tỉ số để giải các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam giác ở lớp 5

Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Phạm vi kiến thức: HS đã học phần diện tích hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình thang, hình tròn; tỉ s

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1 Tên sáng kiến: Sử dụng tỉ số để giải các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam giác ở lớp 5

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng học sinh năng khiếu môn Toán lớp 5

3 Tác giả:

Họ và tên: Vũ Huy Thành Nam (nữ): Nam

Trình độ chuyên môn: Đại học Sư phạm Tiểu học

Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường Tiểu học Cộng Hòa,

Chí Linh, Hải Dương

Điện thoại: 0988 476 937

4 Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường Tiểu học Cộng Hòa

ĐT: 03203 882 666

5 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

Phạm vi kiến thức: HS đã học phần diện tích hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình tam giác, hình thang, hình tròn; tỉ số, các dạng toán điển hình ở lớp 4 và lớp 5

Đối tượng áp dụng: HS năng khiếu toán lớp 5, GV bồi dưỡng HS năng khiếu môn toán

6 Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: năm học 20012-2013

Tác giả Xác nhận của đơn vị áp dụng sáng kiến

Vũ Huy Thành

………

………

………

………

………

……….

TÓM TẮT SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến

Trong thực tiễn bồi dưỡng môn toán lớp 5 cho đối tượng học sinh năngkhiếu do nhà trường phân công trong hai năm học 2012 - 2013 và 2013 - 2014vừa qua, tôi thấy phần hình học các em nhận thức kiến thức chậm, tư duy chưalinh hoạt, trình bày hạn chế, phương pháp giải nghèo nàn nhất là đối với phầnhình học phẳng Trong phần hình phẳng của chương trình toán lớp 5, thì phầndiện tích hình tam giác đặc biệt rất quan trọng, nó có mặt ở hầu hết các đề bàiliên quan đến những hình khác như: hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi, hìnhbình hành, hình thang, hình tròn, …thậm chí liên quan đến cả phần hình họckhông gian như hình hộp chữ nhật, hình lập phương

Trong việc tính diện tích các loại hình có một phương pháp rất hay sửdụng và cũng hay được đưa vào các đề kiểm tra cho đối tượng học sinh năngkhiếu, đó chính là phương pháp sử dụng tỉ số để giải các bài toán liên quan đếndiện tích các hình nói chung và diện tích hình tam giác nói riêng Nhưng khi giảicác bài toán liên quan đến diện tích các hình có thể sử dụng phương pháp tỉ sốthì các em hầu như không biết cách sử dụng hoặc có biết cách sử dụng thì vẫncòn lúng túng, hiểu chưa sâu, chưa đúng bản chất, còn máy móc, chưa biết cáchnhìn hình; trình bày chưa khoa học, lập luận không chặt chẽ, dùng từ chưa phù

hợp Do vậy xuất phát từ thực tế đó sáng kiến “Sử dụng tỉ số để giải các bài

toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam giác ở lớp 5” mà tôi đã thực

hiện trong hai năm học vừa qua đã giúp được GV cũng như HS có kĩ năng vậndụng tỉ số để giải quyết tốt nhất các bài toán nâng cao liên quan đến diện tíchhình tam giác ở lớp 5

2 Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến

2.1 Điều kiện: Kinh nghiệm của tôi chỉ được nghiên cứu và thực nghiệmtrong việc dạy học toán nâng cao phần diện tích hình tam giác ở khối lớp 5

2.2 Thời gian: 2 năm học ( Năm học 2012 - 2013; 2013 - 2014 )

2.3 Đối tượng: Áp dụng cho giáo viên dạy bồi dưỡng và học sinh năng khiếu học nâng cao đối với môn toán phần hình học lớp 5

3 Nội dung sáng kiến

3.2 Khả năng áp dụng sáng kiến: Áp dụng cho giáo viên bồi dưỡng và học sinh năng khiếu học nâng cao môn toán liên quan đến diện tích hình tam giác ở lớp 5

3.3 Lợi ích thiết thực của sáng kiến: Giúp giáo viên cũng như học sinh cómột phương pháp giải các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam giác một cách ngắn gọn và linh hoạt nhất

4 Giá trị, kết quả đạt được của sáng kiến:

- HS vận dụng thành thạo, linh hoạt tỉ số trong việc giải quyết các bài hình nâng cao trong chương trình toán Tiểu học

- Thấy được vẻ đẹp toán học trong phương pháp giải bằng tỉ số ở bậc Tiểuhọc

5 Đề xuất, kiến nghị để thực hiện áp dụng, mở rộng sáng kiến.

- Sáng kiến được áp dụng rộng rãi đối với học sinh năng khiếu môn toán

ở lớp 5, có thể mở rộng cho học sinh lớp 6 bậc Trung học cơ sở

MÔ TẢ SÁNG KIẾN

1 Hoàn cảnh nảy sinh sáng kiến:

Mục tiêu giáo dục hiện nay là đào tạo nên những con người mới, conngười phát triển toàn diện Cơ sở nền móng của sự phát triển này là học sinh cấpTiểu học Mỗi môn học ở Tiểu học đều hình thành và phát triển những cơ sởban đầu rất quan trọng của nhân cách con người Việt Nam

Trong nhà trường và trong trường tiểu học môn Toán cùng với các mônhọc khác góp phần quan trọng trong việc hình thành, phát triển tư duy của họcsinh Ở mỗi cấp học, mỗi lớp môn toán có một vị trí, yêu cầu và nhiệm vụ khácnhau Giai đoạn cuối bậc tiểu học có nhiệm vụ hoàn thành yêu cầu phổ cập giáodục cho học sinh vừa tạo cơ sở cho học sinh tiếp tục học ở bậc học trên và cuộcsống lao động sau này Ở giai đoạn này, người giáo viên vừa dạy và học môntoán vừa phải quan tâm đến việc hệ thống hoá, khái quát hoá nội dung kiếnthức vừa phải chú ý dạy các em ứng dụng toán vào thực tế đời sống

Trong chương trình toán Tiểu học, cùng với việc học các kiến thức về sốhọc, đại lượng… học sinh còn được học các kiền thức về hình học Các kiếnthức về hình học ở Tiểu học không phải được dạy và học thành môn riêng mà

nó là một bộ phận gắn bó mật thiết với các kiến thức số học, đại số, đại lượnggiải toán tạo thành một môn học thống nhất Các kiến thức này hỗ trợ bổ sungcho nhau góp phần phát triển toàn diện năng lực toán học cho học sinh

Do đó, yếu tố hình học là một trong những nội dung cơ bản của mônToán ở Tiểu học, góp phần xây dựng cơ sở ban đầu cho phân môn hình học nóiriêng ở Trung học Các yếu tố hình học ở Tiểu học nói chung và phần toán vềdiện tích hình phẳng (Trong đó có diện tích về tam giác) nói riêng có tầm quantrọng như vậy nên việc tìm hiểu và lựa chọn phương pháp dạy học cho phù hợpnhằm nâng cao chất lượng dạy học nội dung này là một việc làm cần thiết màtôi cho rằng người giáo viên Tiểu học cần phải có và nắm vững nội dung đó

Chúng ta biết rằng đặc điểm của học sinh Tiểu học là tư duy cụ thể vẫncòn chiếm ưu thế Chính vì vậy các em thường gặp khó khăn trong việc lĩnh hộicác kiến thức hình học mang tình chất trừu tượng mới Nhất là những năm gần

đây, nội dung thi học sinh giỏi bậc Tiểu học của học sinh lớp 5 thường có nộidung về hình học liên quan đến diện tích hình tam giác Do đó, đây chính là khókhăn chung trong việc dạy các yếu tố hình học ở Tiểu học nói chung và diệnhình tam giác ở lớp 5 nói riêng.

Để giải quyết các khó khăn đó đòi hỏi trong quá trình dạy học nội dungnày người giáo viên không những phải có trình độ kiến thức tốt về hình học, cólòng say mê nghề nghiệp mà còn phải biết sử dụng hợp lý các phương pháp vàhình thức dạy học sao cho phù hợp và hợp lí nhất Có như vậy kết quả của quátrình dạy học mới được nâng cao

Từ nhận thức của mình, trong quá trình được phân công bồi dưỡng họcsinh năng khiếu và giảng dạy ở khối lớp 5, tôi đã nghiên cứu nội dung chươngtrình toán lớp 5 nói chung và phần diện tích hình tam giác nói riêng, đồng thờitìm hiểu các phương pháp dạy học nhằm nâng cao chất lượng và phát huy tínhtích cực của học sinh trong học tập Bên cạnh đó, qua việc dự giờ của các đồngnghiệp tôi đã rút ra được một vài sáng kiến và mạnh dạn đưa ra để các đồng

nghiệp xem xét, giúp đỡ tôi hoàn thiện hơn sáng kiến: “Sử dụng tỉ số để giải

các bài toán nâng cao liên quan đến diện tích hình tam giác ở lớp 5”.

2 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu:

2.1 Nội dung phần hình học lớp 5:

* Các kiến thức về hình học phẳng:

- Giới thiệu hình tam giác, hình thang, hình tròn

- Các yếu tố của hình tam giác, hình thang, hình tròn (cạnh đáy, cạnh bên,đáy lớn, đáy bé, đường cao, đường kính, bán kính, …)

- Diện tích hình tam giác, hình thang, hình tròn, chu vi diện tích của cáchình đó

* Các kiến thức về hình học không gian:

- Hình hộp chữ nhật, hình lập phương và các yếu tố của hình đó

- Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật, hìnhlập phương

- Thể tích hình hộp chữ nhật, thể tích hình lập phương

Trong các nội dung kiến thức trên thì kiến thức về diện tích hình tam giác

là nội dung cơ bản nhất có nhiều bài tập mở rộng với nhiều hướng phát triển củabài toán hơn cả

2.2 Việc học tập của học sinh đối với diện tích hình tam giác:

Trong hình học của lớp 5 thì diện tích hình tam giác là hình cơ bản cócông thức tính diện tích cụ thể Do vậy đa số khi tính diện tích tam giác thì HSthường hướng đến áp dụng công thức để giải quyết bài toán đặt ra mà ít chú ýđến các mối liên hệ khác để tìm ra những lời giải hay và ngắn gọn hơn Hoặcđối với diện tích những hình khác như hình chữ nhật, hình bình hành, hìnhthang, liên quan đến diện tích hình tam giác học sinh cũng chưa biết sử dụngmối quan hệ tỉ số giữa các yếu tố để giải quyết vấn đề đặt ra

2.3 Việc dạy học của giáo viên:

- Đa số giáo viên mới hướng đến việc tính diện tích tam giác hoặc diệntích các hình khác có liên quan bằng công thức tính cụ thể mà ít chú ý đến tỉ sốgiữa các yếu tố liên quan

- Việc sử dụng tỉ số để giải quyết các bài toán hình liên quan đến diện tíchhình tam giác ở một bộ phận giáo viên bồi dưỡng còn hạn chế Nguyên nhân là

do giáo viên nhìn hình chưa linh hoạt, chưa thấy được mối quan hệ giữa các yếu

tố trong một hình,

- Giáo viên ngại dạy phần hình vì kiến thức trừu tượng Một số giáo viênchưa tiếp xúc nhiều với những bài tập nâng cao nên việc tính diện tích các hìnhchưa mở rộng cho HS những cách giải khác, ngắn gọn, dễ hiểu hơn cho đốitượng học sinh năng khiếu

2.4 Khảo sát chất lượng học sinh:

Sau khi tìm hiểu thực trạng về việc học phần tính diện tích hình tam giácqua việc giảng dạy cũng như dự giờ các đồng nghiệp trong nhà trường cũng nhưviệc học của học sinh, tôi đã khảo sát chất lượng học sinh bằng một bài kiểm tra

(Xem phụ lục 1) và nhận được kết quả như sau:

Đội tuyển học sinh Giỏi lớp 5A (năm học 2012 - 2013) với tổng số họcsinh là 23 em:

Số học sinh Học sinh vận

dụng bài tập cơbản

Học sinh biết làmbài tập mở rộng,nâng cao

Học sinh vậndụng chậm kiếnthức cơ bản

Học sinh biết làmbài tập mở rộng,nâng cao

Học sinh vậndụng chậm kiếnthức cơ bản

Qua bảng trên ta thấy : Các em đều biết vận dụng kiến thức cơ bản vàobài làm (Câu 1; 2), song số học sinh biết vận dụng kiến thức để giải quyết bàitập nâng cao còn hạn chế Cụ thể với các bài toán vận dụng tỉ số để giải quyết(bài 3 và 4) chỉ có 4 em (Năm học 2012-2013) và 8 em (Năm học 2013-2014)làm được, song cách lập luận và trình bày còn yếu

3 Các biện pháp thực hiện

Qua giảng dạy và khảo sát chất lượng học tập của học sinh, tôi đã xâydựng cho mình những việc làm cụ thể sau:

3.1 Xây dựng mức độ cần đạt của học sinh:

Để học tốt nội dung về hình học, cụ thể là hình tam giác thì:

- Học sinh phải nhận biết hình theo đặc điểm riêng của từng hình Biết vẽ

và nhớ công thức tính diện tích, chu vi của các hình tam giác

- Học sinh nhận biết và dùng Ê ke để kiểm tra hình tam giác và đường caocủa chúng

- Biết vận dụng từ công thức cơ bản đã được xây dựng, xây dựng thêmnhững công thức tính khác phù hợp nội dung bài

- Biết xây dựng công thức mới về tìm đáy, chiều cao hình tam giác dựavào công thức cơ bản

- Biết sử dụng công thức, vận dụng tỉ số, mở rộng kiến thức để giải toán

3.2 Kiểm tra các kiến thức về hình học có liên quan đến việc xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác:

- Học sinh nhớ được cách tính diện tích hình chữ nhật, nhận biết đượcmối quan hệ giữa các yếu tố chiều dài, chiều rộng của hình chữ nhật với đáy vàchiều cao của hình tam giác.

- Mặt khác, việc nhớ công thức cũng giúp các em xây dựng được nhữngcách làm phù hợp với yêu cầu từng bài toán hay giúp các em liên hệ mối quan

hệ giữa các yếu tố để có cách làm mới

3.3 Hướng dẫn học sinh xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác dựa trên những công thức tính diện tích của các hình đã học:

Để xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác tôi đã hướng dẫn các

em qua bài “Diện tích tam giác”, (tiết 86, SGK Toán 5 - trang 87 Xem phụ lục

2) Cụ thể tôi đã thực hiện theo các bước sau:

* Bước 1: Vẽ hình, yêu cầu học sinh lên vẽ đường cao của tam giác đểgiúp học sinh củng cố cách vẽ đường cao của tam giác trong các loại tam giác:tam giác tù, tam giác nhọn, tam giác vuông; nhận biết đường cao ngoài, đườngcao trong của một tam giác; mối quan hệ giữa đáy và đường cao của tam giác

* Bước 2: Giáo viên đưa ra hai tam giác có diện tích bằng nhau

- Giáo viên yêu cầu học sinh dùng thước đo và so sánh độ dài của chiềucao và cạnh đáy hai tam giác (Hai tam giác có chiều cao bằng nhau và có đáybằng nhau)

- Hướng dẫn học sinh cắt hình tam giác GHK thành hai hình tam giácnhỏ theo đường cao GM, sau đó ghép vào hình tam giác ABC để tạo thành mộthình chữ nhật mới

- Yêu cầu học sinh nhận xét:

+ Chiều rộng hình chữ nhật mới và chiều cao hình tam giác có độ dàinhư thế nào ?

(Chiều rộng hình chữ nhật mới và chiều cao hình tam giác có độ dài bằng nhau)

+ Chiều dài của hình chữ nhật và đáy tam giác có độ dài như thế nào ?(Chiều dài của hình chữ nhật và đáy tam giác có độ dài bằng nhau)

+ Từ mấy tam giác ta ghép được thành một hình chữ nhật?

(Từ hai tam giác ta ghép được một hình chữ nhật)

+ Theo em, diện tích hình chữ nhật như thế nào so với diện tích hình tamgiác ?

(Diện tích hình chữ nhật gấp đôi diện tích hình tam giác hay diện tích hình tamgiác bằng diện tích hình chữ nhật)

+ Em hãy nêu cách tính diện tích hình chữ nhật dựa vào các yếu tố củahình chữ nhật ? (Chiều dài ED, chiều rộng BC )

S = a x h : 2 a: cạnh đáy h: chiều cao S: diện tích tam giác

h

a

- Khi xây dựng xong công thức tính, giáo viên cần nhấn mạnh những yếu

tố cần có để tính diện tích các hình như độ dài đáy, chiều cao, đơn vị đo,…

3.4 Các bài tập vận dụng từ kiến thức cơ bản:

3.4.1 Khái niệm về kiến thức cơ bản:

Bài toán cơ bản là những bài toán học sinh được vận dụng những côngthức, qui tắc trên cơ sở đã được xây dựng Bên cạnh đó, yêu cầu về kiến thức

và kỹ năng không cao, phù hợp với đối tượng đại trà Bài toán cơ bản là nhữngbài toán chứa đựng những kiến thức trọng tâm, cần thiết nhất để học sinh nắmvững bài học Từ bài toán cơ bản có thể phát triển, xây dựng thành bài toánnâng cao tuỳ theo mức độ

Hệ thống các bài toán cơ bản trong sách giáo khoa được sắp xếp tươngđối hợp lý (từ đơn giản đến phức tạp) Việc giải các bài tập cơ bản giúp học sinhcủng cố được các kiến thức vừa được học, giúp cho các em ghi nhớ và khắc sâucác khái niệm, công thức Việc thực hành giải toán còn rèn luyện cho học sinhcác thao tác, kỹ thuật tính toán, đo vẽ hình

Vì vậy, trong quá trình giúp học sinh hoàn thành nhiệm vụ của mìnhtrước hết học sinh cần thực hiện các việc sau:

+ Xác định được yêu cầu và tóm tắt bài toán, phát hiện ra các tình huốngliên quan đến bài toán cơ bản và chuyển bài toán, phát biểu dưới dạng bài toán

cơ bản

+ Giải bài toán theo quy trình quen thuộc

+ Luôn chú ý đến khai thác bài toán, lập hệ thống bài toán liên quan, mởrộng nhiều cách giải mới nhằm phát triển tư duy cho học sinh

3.4.2 Các bước cần có khi thực hiện bài toán:

Từ nhiệm vụ trên, khi giải bài toán ở Tiểu học, nhất là với dạng bài liênquan đến diện tích cần hướng dẫn học sinh thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Phân tích tìm hiểu đề

Bước này rất quan trọng không thể thiếu được trong dạy học giải toán Muốn vậy, học sinh phải biết được ngôn ngữ và ký hiệu toán học (Bài toán vềdiện tích thường sử dụng rất nhiều ký hiệu theo quy ước) học sinh phải biết

“giải mã” các ký hiệu đó để thấy được ba yếu tố cơ bản của bài toán: dữ kiện(những cái đã cho biết), ẩn số (những cái chưa biết, phải tìm), điều kiện (là mốiquan hệ giữa các dữ kiện và ẩn số) Khi tìm hiểu đề, học sinh phải biết dựa trênyếu tố cơ bản để phân biệt, lựa chọn, xác định được các dự kiện cần thiết để tìm

ra cái cần tìm, gạt bỏ các điều kiện thừa, phát hiện các điều kiện thiếu hoặckhông tương minh của bài toán

Bước 2: Tóm tắt đề bài

Sau khi phân tích tìm hiểu đề thì yêu cầu đối với học sinh là phải biết tómtắt đề toán bằng ngôn ngữ ngắn gọn, hoặc sơ đồ, hình vẽ, biểu bảng để từ đósuy nghĩ, tìm tòi và phát hiện mỗi liên hệ giữa cái đã cho và cái cần tìm để đi tớihướng giải quyết đúng

Bước 3: Lập chương trình giải toán

Để lập chương trình giải toán thì cần phải phân tích để tìm ra hướng giảibài toán trước (Thao tác này thường đi ngược từ cuối lên từ những cái cần tìmđến những cái đã biết)

Lập chương trình giải toán sẽ ngược với quá trình phân tích này (Gồm cácphép tính cụ thể)

Bước 4: Trình bày bài giải

Thực hiện bước giải của bài toán, từ phép toán đã được thiết lập ở trongchương trình để tìm tới đáp số (Bước này yêu cầu tính toán một cách chính xác,không viết tắt và không dùng các ký hiệu một cách tuỳ tiện)

Bước 5: Kiểm tra đánh giá kết quả

Đây là việc làm cần thiết khi giải xong một bài toán Và yêu cầu học sinhthử lại kết quả vừa tìm được bằng các phép tính (nếu có thể) hoặc bằng cách đo,

vẽ, cắt ghép hình đó là việc kiểm lại quá trình giải toán và đáp số của bài toán

cũng từ các hoạt động của bước này giúp cho học sinh tìm ra cách giải khác chobài toán.

3.4.3 Bài toán vận dụng công thức tính:

Bài 1 (Trang 88 - Sách giáo khoa Toán 5) Tính diện tích hình tam giác có:

a) Độ dài đáy là 8cm và chiều cao là 6cm

b) Độ dài đáy là 2,3dm và chiều cao là 1,2dm

* Với bài tập này học sinh chỉ cần sử dụng đúng công thức tính và nhớ cách viếtđơn vị đo diện tích

Bài 1b (Trang 88- Sách giáo khoa Toán 5) Tính diện tích hình tam giác có:

a= 16dm và h = 5,3m

Bài tập này cũng vận dụng công thức tính nhưng ở đây các em cần lưu ýđơn vị đo của đáy và chiều cao phải cùng một đơn vị đo Ở bài tập này, trướckhi làm bài giáo viên nên yêu cầu học sinh đọc bài, phát hiện ra yếu tố khác vớibài tập trước, từ đó các em biết cần phải đổi để đưa hai đơn vị đo về cùng mộtđơn vị đo Cụ thể:

Đổi 5,3m = 53dm

Diện tích hình tam giác là: 16 x 53 : 2 = 424 ( dm2)

Đáp số: 424 dm2

Bài 2 (Trang 95- Sách giáo

khoa Toán 5): Diện tích của

hình thang ABED lớn hơn

diện tích hình tam giác

BEC bao nhiêu đề - xi -

Bài tập này, ngoài việc vận dụng công thức tính thì các em còn phải nhậnbiết được hình thang ABED và hình tam giác có chung chiều cao chính là chiềucao AH của hình thang ABCD Khi đã nhận ra các yếu tố cần thiết để tính diệntích các hình học sinh vận dụng tính theo các bước:

- Diện tích hình thang ABED là : ( 1,6 + 2,5 ) x 1,2 : 2 = 2,46(dm2)

- Diện tích hình tam giác BEC là: 1,3 x 1,2 : 2 = 0,78(dm2)

- Diện tích hình thang ABED hơn diện tích hình thang BEC số đề - xi - métvuông là:

2,8 x 1,2 : 2 = 1,68 (dm2)

3.4.4 Bài toán vận dụng công thức tính diện tích có mở rộng nhiều cách giải:

Bài 1 ( Trang 127 - Sách giáo khoa Toán 5)

Cho hình thang vuông ABCD có AB = 4cm, DC = 5cm, AD = 3m Nối Bvới D được hai hình tam giác ABD và BDC

B A

a) Tính diện tích mỗi hình tam giác đó

b) Tính tỉ số phần trăm của diện tích hình tam giác ABD và diện tích hìnhtam giác BDC

Trước khi giải bài toán này, học sinh cũng phải nhận thấy tam giác ABD

và tam giác BDC có chung chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD và có

độ dài 3cm

* Với phần a của bài tập, các em có thể tìm được nhiều cách giải:

+ Cách 1: Học sinh vận dụng đúng công thức để tính từng diện tích hìnhtam giác

+ Cách 2: Tính diện tích hình thang, tìm tỉ số giữa hai cạnh AB và DC,đưa bài toán về dạng toán Tìm hai số khi biết Tổng và tỉ số của hai số đó để tínhdiện tích hai hình tam giác.

+ Cách 3: Tính diện tích hình thang, tính diện tích của một hình tam giác.Tính diện tích hình tam giác còn lại bằng cách lấy diện tích hình thang trừ đidiện tích hình tam giác đã có

* Với phần b của bài tập các em cũng có hai cách làm:

+ Cách 1: Các em sử dụng diện tích của hai hình tam giác đã có để tính tỉ

số phần trăm của hai hình tam giác

+ Cách 2: Các em không cần sử dụng diện tích, lí luận: hai tam giác ABD

và BDC có chung chiều cao là chiều cao của hình thang ABCD nên tỉ số của haitam giác chính là tỉ số của hai cạnh Lúc này các em chỉ việc sử dụng hai cạnhđáy của tam giác là tìm được tỉ số phần trăm của hai tam giác

3.5 Sử dụng tỉ sô khi giải bài toán nâng cao được mở rộng từ kiến thức cơ bản liên quan đến diện tích hình tam giác

3.5.1 Mối quan hệ giữa toán nâng cao và bài toán cơ bản:

Bài toán nâng cao được hiểu là bài toán mà trong đó yêu cầu vận dụngkiến thức và kỹ năng ở mức độ tổng hợp hoặc khái quát hoá Bài toán nâng caokhông chỉ là việc áp dụng trực tiếp các kỹ năng cơ bản mà khi giải các bài tậpnày đòi hỏi người giải phải vận dụng linh hoạt và có tính sáng tạo các kỹ năng

đã học

Như vậy, các bài toán nâng cao được xây dựng trên cơ sở các bài toán cơbản Đối với những học sinh đã giải được và giải thành thạo các bài toán cơ bảnthì việc đưa hệ thống bài tập nâng cao rất quan trọng và cần thiết để phát huynăng lực, trí tuệ của mình vượt ra khỏi tư duy cụ thể mang tính chất ghi nhớ và

áp dụng một cách máy móc để tìm tòi, phát hiện cái mới, cái hay và độc dáotiềm ẩn bên trong nội dung các bài toán nâng cao

Vì vậy, bài toán cơ bản và bài toán nâng cao có mối liên hệ chặt chẽ vớinhau, bổ sung, hỗ trợ cho nhau Bài toán cơ bản là tiền đề, là cốt lõi để pháttriển thành bài toán nâng cao Do đó từ bất cứ bài toán cơ bản nào cũng có thể

chuyển thành bài toán nâng cao bằng nhiều cách khác nhau Ngược lại, việc giảicác bài toán nâng cao cũng hỗ trợ rất nhiều cho việc dạy các kiến thức cơ bản.Dạy học các bài toán nâng cao không chỉ phát huy tính sáng tạo, bồi dưỡngnăng lực trí tuệ cho học sinh mà còn củng cố các kiến thức cơ bản.

3.5.3 Các ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có cạnh đáy BC = 24cm, chiều cao AH =

20cm Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = MB Tính diện tích tam giácAMC và diện tích tam giác MCB?

*Phân tích:

Với bài toán này trước hết học sinh phải vẽ hình để nhận ra tỉ số giữa haitam giác MAC và tam giác MCB là và diện tích tam giác ABC chính là tổngdiện tích của hai tam giác MAC và MBC

Diện tích hình tam giác ABC là : 24 x 20 : 2 = 240( cm2)

Xét hai tam giác AMC và ABC có:

+ Đáy AM = 52 AB (Vì AM = MB)

+ Có chung đường cao hạ từ đỉnh C xuống cạnh đáy AB

Vậy SAMC = 52 SABC

Diện tích tam giác AMC là:

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Trên AC lấy điểm M sao cho MC gấp đôi

MA Nối B với M, gọi D là trung điểm của BM Nối A với D Tính diện tíchtam giác ABC biết diện tích tam giác ADM là 4,5 cm2

(Đề Olimpic học sinh tiểu học cấp huyện, thị xã, thành phố tỉnh Hải Dương năm học 2011-2012)

D

M

C B

A

*Phân tích: Với bài toán này ta thấy có những cặp tam giác cùng chungđường cao, do vậy dựa vào tỉ số đáy tương ứng ta sẽ tìm được diện tích tam giácABC

*Bài giải:

Vì D là trung điểm của BM nên DM = 21 BM

MC gấp đôi MA nên AM = 13 AC

Xét hai tam giác ADM và ABM có:

- Chung đuờng cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BM

- Đáy DM = 21 BM ; Nên SADM = 21 SABM

Vậy diện tích tam giác ABM là: 4,5 : 21 = 9 ( cm2)

Xét hai tam giác ABM và ABC có:

- Chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC

- Đáy AM = 13 AC

Nên SABM = 13 SABC

Vậy diện tích tam giác ABC là: 9 : 31 = 27 (cm2)

Đáp số: 27 cm2

Ví dụ 3: Tam giác ABC có độ dài đáy AC là 16cm, kéo dài đáy AC một

đoạn về phía C sao cho CE = AC thì được tam giác ABE có diện tích hơn diệntích ABC 25cm2 Tính diện tích tam giác ABC ?

*Phân tích: Để giải bài toán này, trước hết học sinh cũng phải vẽ hình đểnhận ra tỉ số giữa hai tam giác BCE và tam giác ABC là và giải toán

*Bài giải:

C

B

Theo hình vẽ ta thấy : SBEC = SABE - SABC = 25cm2

Xét tam giác ABC và tam giác BCE có:

+Đáy CE = AC

+Có chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống cạnh đáy AE

Vậy SBCE = SABC

Diện tích tam giác ABC là: 25 : = 100( cm2)

Đáp số: 100cm2

Ví dụ 4: Cho hình bên trong đó ABCD là hình thang Hình thang đó có

những tam giác nào diện tích bằng nhau? Vì sao ?

O

B A

*Phân tích: Học sinh nhớ được: Những tam giác nào có cạnh đáy vàđường cao bằng nhau thì các tam giác đó có diện tích bằng nhau Ta thấy các

cặp tam giác: BAD và CDA, ABC và DCB là những tam giác có cạnh đáy vàđường cao bằng nhau

Các tam giác là hiệu của hai tam giác có diện tích bằng nhau thì các tamgiác đó có diện tích bằng nhau DAO và COB là hai tam giác thoả mãn đượcđiều kiện đó

*Bài giải:

SABD = SABC( vì hai tam giác có chung cạnh đáy AB và đường cao hạ

từ B và A xuống cạnh CD và cũng chính là đường cao của hình thang ABCD)

SADC = SBCD (vì hai tam giác chung cạnh đáy BC và các chiều cao hạ

từ A và D và là chiều cao của hình thang ABCD)

Ta lại có: SAOD = SABD – SAOB và SBOC= SABC – SAOB hay SAOD = SBOC

Ví dụ 5: Cho hình tam giác ABC (hình vẽ), P là trung điểm của CB, biết

PM vuông góc với AC, PN vuông góc với AB và PM = 6cm, PN= 4cm ,

AC + AB = 20cm Tính diện tích tam giác ABC ?

P

N M

C B

A

*Phân tích:

Để giải bài tập này, học sinh phải nhớ được hai tam giác có diện tích bằngnhau thì đáy và đường cao của tam giác là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau Ởbài tập này, SACP = SAPB mà PM = NP thì tỉ lệ giữa AC và AB là , tức là AC

= AB Từ tỉ lệ của hai cạnh đáy, học sinh tìm độ dài hai đáy và tính được diệntích tam giác ABC

*Bài giải:

Xét hai tam giác ACP và APB có:

+ Đáy CP = PB

+ Có chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh đáy CB

Vậy SACP = SAPB

Mà = = nên tỉ số giữa cạnh AC với cạnh AB là , hay AC = AB

Do vậy, ta có sơ đồ sau:

B A

Với bài toán này, các em phải so sánh diện tích hai tam giác ABD và BCD đểnhận ra tỉ số của hai tam giác Sau đó đưa bài toán về dạng toán cơ bản: “Tìmhai số khi biết tổng và tỉ số của hai số đó” để giải toán

*Phân tích: Muốn tính được diện tích của hai hình tam giác ta phải biết tỉ

số của hai tam giác dựa vào cách so sánh diện tích của hai tam giác

Bài toán cho biết diện tích hình thang mà tổng diện tích hai hình tam giácchính là diện tích hình thang nên khi xác định được tỉ số của hai tam giác ta chỉviệc đưa bài toán về dạng toán cơ bản“Tìm hai số khi biết tổng và tỉ số của hai

số đó” là thực hiện được yêu cầu của bài tập

Diện tích tam giác BCD

Diện tích tam giác ABD

Diện tích tam giác ABD là : 45 : ( 4 + 5 ) x 4= 20 ( cm2)

Diện tích tam giác BCD là : 45 - 20 = 25 ( cm2 )

Đáp số: Diện tích ABD: 20cm2

Diện tích BCD: 25cm2

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC N là điểm chính giữa cạnh AC Tứ giác

BMNE là hình thang có hai đường chéo cắt nhau tại điểm O (Như hình vẽ)a) So sánh diện tích hai tam giác BOM và EON

b) Biết diện tích tam giác ABC là 64cm2 Tính diện tích tam giác CEM ?

O

N E

B

A

(Đề Olimpic học sinh tiểu học tỉnh Hải Dương, năm học 2011-2012)

*Phân tích: Phần a vận dụng VD4 ta sẽ chứng minh được diện tích haitam giác BOM và EON bằng nhau

Phần b vận dụng tỉ số để thấy được diện tích tam giác CEM bằng diệntích tam giác BCN và bằng 12 diện tích tam giác ABC.

*Bài giải:

a) SBEM = SBEN (1) (vì hai tam giác chung cạnh đáy BE và các đườngcao hạ từ M và N xuống cạnh BE cũng chính là chiều cao của hình thangBMNE)

Ta lại có: SBOM = S BEM – SBOE và SEON= SBEN – SBOE (2)

Từ (1), (2) suy ra SBOM = SEON

b) Xét hai tam giác BCN và tam giác ABC có:

+Chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AC

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra SCEM = SBCN = 12 SABC

Vậy diện tích tam giác CEM là: 64 x 12 = 32 (cm2)

b) Tính diện tích tam giác BEC, biết diện tích tam giác DEC bằng 9 cm2.c) Kéo dài DA và CB cắt nhau tại M Tìm tỉ số diện tích của tam giácMAB và diện tích hình thang ABCD.

(Đề Olimpic học sinh tiểu học tỉnh Hải Dương, năm học 2013-2014)

*Phân tích: Với phần a, HS dựa vào tỉ số hai đáy AB và CD và chiều caohình thang để so sánh diện tích tam giác ABC và diện tích tam giác ACD

Với phần b, HS dựa vào tỉ số đường cao hạ từ đỉnh B và D xuống đáy AC

để tìm tỉ số diện tích giữa hai tam giác ABC và ACD Từ tỉ số diện tích giữa haitam giác ABC và ACD suy ra được tỉ số diện tích giữa hai tam giác EBC vàECD Từ đó tính được diện tích tam giác BEC

Với phần c, Từ tỉ số diện tích giữa hai tam giác ABD và ACD ta suy rađược tỉ số hai chiều cao BK và CI Từ tỉ số hai chiều cao BK và CI suy ra tỉ sốdiện tích hai tam giác MAB và MAC Từ đó ta suy ra được SMAB=SABC

*Bài giải:

a) Xét hai tam giác ABC và ACD có:

+Đáy AB = 21 CD

+Chiều cao bằng nhau vì đều bằng chiều cao hình thang ABCD

Vậy SABC = 21 SACD (1)

b) Xét hai tam giác ABC và ACD có: SABC = 21 SACD (theo phần a),

mà hai tam giác này lại có chung đáy AC, nên đường cao hạ từ đỉnh B xuống

+Có đường cao như (2)

Vậy SBEC = 21 SDEC

Diện tích tam giác BEC là: 9 x 21 = 4,5 (cm2)

c) Xét hai tam giác ABD và ACD có:

+Đáy AB = 21 CD

+Chiều cao bằng nhau vì đều bằng chiều cao hình thang ABCD

Vậy SABD = 21 SACD

Mặt khác hai tam giác này lại có chung đáy AD, do vậy chiều cao

BK = 21 CI (3)

Xét hai tam giác MAB và MAC có:

+Chung đáy AM

+Chiều cao như (3)

Vậy SMAB = 21 SMAC (4)

Từ (4) suy ra SMAB = SABC (5)

Từ (1) ta có SABC = 31 SABCD (Vì SABC + SACD = SABCD) (6)

Từ (5), (6) suy ra SMAB = 31 SABCD

Đáp số: a) SABC = 21 SACD

b) 4,5 (cm2)

c) SMAB = 31 SABCD

Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có diện tích 312 cm2 E là điểm chính giữaBC; I là điểm chính giữa AE, nối BI kéo dài cắt AC tại D Tính diện tích tamgiác AID

*Phân tích: Để làm bài này ta cần nối AI để Tìm tỉ số diện tích giữa cặptam giác ABI và BIC để rút ra tỉ số đường cao AG với đường cao CK Từ đótìm được tỉ số diện tích tam giác AID với diện tích tam giác AIC

A

*Bài giải: Nối I với C

Xét hai tam giác ABE và ABC có:

+Chung đường cao hạ từ đỉnh A xuống đáy BC

+Đáy BE = 12 BC

Vậy SABE = 21 SABC (1)

Xét hai tam giác ABI và EBI có:

+Chung đường cao hạ từ đỉnh B xuống đáy AE

+Đáy AI = EI

Vậy S ABI = SEIB (2)

Từ (2) suy ra S ABI = SEIB = 21 SABE (3)

Từ (1), (3) suy ra S ABI = SEIB = 14 SABC (4)