Sáng kiến kinh nghiệm GIÚP HỌC SINH GIỎI LỚP 5 GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

Một số kết luận và ví dụ minh hoạ Trong chơng trình Toán lớp 5 , các em đã đợc học công thức tínhdiện tích hình tam giác : Gọi S là diện tích hình tam giác hệ diện tích, cạnh đáy và chi

a đặt vấn đề

Trong các môn học, không có môn nào lại giúp rèn luyện năng lựcsuy nghĩ và phát triển trí tuệ cho học sinh nh môn Toán Nhng trong bảnthân môn Toán lại không có phân môn nào giúp phát triển t duy lôgic, tríthông minh, óc sáng tạo nh phân môn hình học Do tính thiết thực và khảnăng phát triển trí tuệ nh vậy nên nội dung và phơng pháp dạy học cácyếu tố hình học cho học sinh tiểu học đặc biệt là học sinh giỏi luôn đợccoi trọng

Lên lớp 5, học sinh đợc làm quen với rất nhiều hình hình học nh : hìnhtam giác, hình thang, hình tròn, hình hộp chữ nhật, hình lập phơng, hìnhtrụ và các bài tập về hình tam giác gây cho các em nhiều hứng thú

Chúng ta cần biết, sách giáo khoa Toán 5, giới thiệu về hình tam giác

ở tiết 3 :

Tiết 1 : Hình tam giác

Tiết 2 : Diện tích hình tam giác

Tiết 3 : Luyện tập

Với những kiến thức mà sách giáo khoacung cấp thì áp dụng trực tiếpcông thức để tính diện tích học sinh tiếp thu nhanh Song đối với học sinhkha, giỏi có một số bài toán ơ trình độ nâng cao thì không đơn giản vớicác em

Làm thế nào để chỉ với những kiến thức ít ở đó mà học sinh có thể giảicác bài toán ở trình độ nâng cao ?

Là một giáo viên nhiều năm làm công tác bồi dỡng học sinh giỏi, tôirất băn khoan về điều đó Bằng cả tân huyết nghề nghiệp, tôi đã tìm tòi vàxây dựng một hệ thống bài tập để giúp học sinh có thể học tập tốt phầnnày và nó đợc thể hiện qua kinh nghiệm : " Giúp học sinh giỏi lớp 5 giảicác bài toán có liên quan đến diện tích hình tam giác "

B giải quyết vấn đề

I Một số kết luận và ví dụ minh hoạ

Trong chơng trình Toán lớp 5 , các em đã đợc học công thức tínhdiện tích hình tam giác :

Gọi S là diện tích hình tam giác

hệ diện tích, cạnh đáy và chiều cao ứng với cạnh đạy đó

Tuy vậy, đối với các bài toán ở trình độ nâng cao, học sinh còn lúngtúng không biết xuất phát từ đâu, cách giải nh thế nào? Chính vì thế tôi đã

đa ra một số ví dụ đóng vai trò quan trọng giúp học sinh vận dụng côngthức tính diện tích hình tam giác một cách sáng tạo và linh hoạt hơn Cụthể :

1 Tr ờng hợp 1 : Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy) và có chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao) thì diện tích của 2 tam giác

đó bằng nhau

Ví dụ : Cho tam giác ABC Trên cạnh BC ta lấy một điểm chính giữa D.Hãy so sánh diện tích 2 tam giác ABD và ADC

Nhận xét : Hai tam giác ABD

và ADC có chung chiều cao

hạ từ đỉnh A Muốn so sanh

diện tích của chúng thì ta phải

so sánh hai cạnh đáy

Giải

Hai tam giác ABD và ADC có đáy BD = DC (vì bài Toán cho D là

điểm chính giữa của BC ) và chiều cao AH chung

Vậy : SABD = SADC

2 Tr ờng hợp 2 : Hai tam giác có đáy bằng nhau (hoặc chung đáy), tam giác nào có chiều cao gấp 2, 3, 4, lần thì diện tích cũng gấp 2, 3,

4, lần

A

CB

H D

Ví dụ : Cho tam giác ABC Trên chiều cao AH ta lấy một điểm E sao cho

AH = EH  3 Hãy so sánh diện tích tam giác ABC và EBC

Nhận xét : Hai tam giác ABC và EBC

có chung đáy BCnên để so sanh diện

tích ta phải so sánh chiều cao hạ từ

đỉnh E và A xuống đáy BC

Giải

Nối E với B, E với C

Hai tam giác ABC và EBC có chung đáy BC và có chiều cao

AH = EH  3 Vậy SABC = SEBC  3s

3 Tr ờng hợp 3 : Hai tam giác có chiều cao bằng nhau (hoặc chung chiều cao), tam giác nào có đáy gấp 2, 3, 4, lần thì diện tích cũng gấp 2, 3,

4, lần

Ví dụ : Cho tam giác ABC Kéo dài BC thêm một đoạn CD = BC  2.

Nối A với D So sánh diện tích 2 tam giác ABD và ABC

Nhận xét : Hai tam giác ADB

và ABC có chung chiều cao

4 Tr ờng hợp 4 : Hai tam giác có diện tích bằng nhau, đáy (hoặc chiều cao) bằng nhau thì chiều cao (hoặc đáy ) cũng bằng nhau

Ví dụ 1 : Hai tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau Hãy so sánhchiều cao AH và DK hạ từ đỉnh A và D xuống đáy BC

A

CB

HE

A

DB

Nhận xét : Hai tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau nên để sosánh chiều cao AH và DK ta phải tìm mối liên hệ giữa hai đáy ứng vớichiều cao AH và DK

Giải

Theo bài ra ta có : SABC = SDBC

Mặt khác 2 tam giác có diện tích bằng nhau này lại có chung đáy BC nênsuy ra chiều cao AH và DK hạ từ đỉnh A và D xuống đáy BC phải bằngnhau

Vậy AH = DK

Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC Trên AC lấy 1 điểm D sao cho khi nối B với

D thì BD chia tam giác ABC thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau làABD và BDC So sánh chiều cao AH và CK hạ từ đỉnh A và C xuống đáyBD

Nhận xét : Muốn giải bài toán này

Ví dụ 3 : Hai tam giác ABC và

ACD có diện tích bằng nhau và

chiều cao

AH = CK So sánh BC và AD

Giải

Theo bài ra : SABC = SACD

Mặt khác 2 tam giác này lại có chiều cao AH = CK nên suy ra đáycủa chúng phải bằng nhau

Nhận xét : - Tìm vị trí điểm D trên cạch BC.

- So sánh chiều cao

BH và CK thì phải tìm mối

quan hệ giữa diện tíchtam

giác ABD và ADC, mối quan

hệ giữa 2 cạnh đáy ứng với

phải tìm mối quan hệ về diện tích của 2

tam giác ABD và ABC, tìm mối quan hệ

giữa giữa 2 chiều cao hạ từ đỉnh A xuống

đáy BC và BD

Giải

Theo bài ra ta có SABD = SABC  2

Mặt khác 2 tam giác này lại có chung chiều cao AH suy ra đáy BDcủa tam giác ABD phải gấp 2 đáy BC của tam giác ABC

Vậy BD = BC  2

6 Tr ờng hợp 6 : Hai tam giác có diện tích bằng nhau, nếu chúng có một phần diện tích chung thì các phần diện tích còn lại của 2 tam giác đó cũng bằng nhau

A

K

CH

A

D

Ví dụ : Cho tam giác ABC và DBC có diện tích bằng nhau AC và DB cắtnhau ở I Hãy so sánh diện tích 2 tam giác AIB và DIC

Theo bài ra ta có : SABC = SDBC

Mặt khác 2 tam giác có diện tích bằng nhau này lại có chung hìnhIBC nên phần diện tích còn lại của chúng phải bằng nhau

Vậy SAIB = SDIC

II Một số bài tập nâng cao :

Sau khi học sinh biết cách giải các bài Toán trung gian đã nêu ở trên

và đặc biệt là nắm chắc các kết luận, tôi giới thiệu tiếp một số bài Toánnâng cao mà khi giải các bài Toán này yêu cầu các em phải vận dụng linhhoạt, sáng tạo và tổng hợp các kiến thức đã đợc học

Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có góc A là góc vuông, AB = 30cm,

AC = 45cm M là một điểm trên cạch AB sao cho AM = 20 cm Từ M kẻ

đờng thẳng song song với cạch BC, cắt AC tại điểm N Tính diện tích tamgiác AMN

Nhận xét : Muốn tính diện tích tam giác

vuông AMN khi biết AM = 20 cm ta cần

Nối M với C , B với N

Diện tích tam giác BMC là :

45  (30 - 20) : 2 = 225 (cm2)Vì MN // BC nên tứ giác BMNC là hình thang

Cách 1 : Nhận xét : Tam giác AMN có AM = 8 + 2 = 10 cm

Để tính đợc diện tích của nó cần tính chiều cao hạ từ đỉnh N xuống

GiảiNối B với N ta có :

Chiều cao BH là :

12  2 : 5 = 4,8 (cm)Diện tích tam giác ANB là :

(5 + 2)  4,8 : 2 = 16,8 (cm2) Chiều cao NK là :

16,8  2 : 8 = 4,2 (cm)Diện tích tam giác AMN là :

(8 + 2)  4,2 : 2 = 21 (cm2)

Đáp số : 21 cm2

Cách 2 :

Nhận xét : SAMN so sánh đợc với SANB

SANB so sánh đợc với SABC

A

BMN

C

KH

=> SAMN so sánh đợc với SABC

Bài toán 3 : Cho tam giác ABC với M là điểm chính giữa cạnh AB, N là

điểm chính giữa đoạn MB, P là điểm chính giữa cạnh AC, Q là điểmchính giữa đoạn PC Tính diện tích tứ giác MNQP biết diện tích tam giácABC băng 16 cm2

NM

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh Q, đáy NB =

4

1

AB)Diện tích tam giác NBQ là :

Diện tích tam giác AMP là :

16 

4

1

= 4 (cm2)Diện tích tứ giác MNQP là :

12 - 4 - 3 = 5 (cm2)

Đáp số : 5 cm2

Bài toán 4 : Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác, đờng

thẳng AD cắt cạnh BC tại M Đờng thẳng BD cắt CA tại N Cho biết diệntích AOB là 3 cm2 , diện tích BOM và AON đều bằng 1 cm2 Tính diệntích tam giác ABC

Nhận xét :

SABC = SAOB + SAOC + SBOC

Mà SAOB = 3 cm2 nên để tính SABC ta cần so

sánh :

SAOC với SABC

SBOC với SABC

=> SABC so sánh với SAOB Sau đó

tính đợc SABC

Giải Nối O với C ta có :

C B

N

M

Hay SAOB = SABC - (

thẳng BN và CP cắt nhau tại K Hãy tính diện tích tam giác BKC ?

Nhận xét : Tính diện tích tam giác BKC mà chữa biết số đo cạnh đáy vàchiều cao nên ta phải tìm mối quan hệ giữa diện tích tam giác BKC vớidiện tích tam giác khác

N

Bài toán 6 : Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho

AD = DE = EB, trên cạnh AC lấy điểm M, N sao cho AM = MN = NC=.Tính diện tích tứ giác DEMN bằng 6 cm2

Nhận xét :

SDENM = SDEM + SMEN

Để tính SABC ta cần so sánh SDEM và SMEN

với diện tích các tam giác có liên quan đến

tam giác ABC

Giải

SDEM =

2

1 SAEM

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh M, đáy DE =

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy MN =

A

D

C B

NM

E

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh C, đáy AE =

Bài toán 7 : Cho tam giác ABC M là điểm trên cạnh CA sao cho CN =

3NA AM cắt BN tại D Hãy tính diện tích tam giác ABC nếu biết diệntích ADB bằng 20 cm2

Nhận xét : SABC = SADB + SADC + SBDC

Để tính SABC cần tính diện tích tam giác ADC và diện tích tam giác BDC

(Vì chung chiều cao hạ từ đỉnh D, đáy MC =

N

M

Vậy diện tích tam giác ABC là :

20 + 10 + 60 = 90 (cm2)

Đáp số : 90 cm2

Bài toán 8 : Cho tam giác ABC có cạnh AB bằng 9cm và có diện tích là

36 cm2 Trên BC lấy điểm M sao cho BM = 3MC Qua M ngời ta vẽ một

đờng thẳng cắt BA kéo dài tại điểm K sao cho diện tích tam giác KBMcũng bằng 36 cm2

Theo bài ra SABC = SKBM = 36 cm2 nên để tính đợc

BK ta cần so sánh SKBM với SABM dựa vào mối

quan hệ giữa SABM và SABC

b Theo bài ra : SABC = SKBM

Hai tam giác này có chung hình tứ giác ABMO nên phần diện tích còn lạicủa chúng cũng bằng nhau

Vậy SOAK = SOCM

Đáp số : a 3 cm

b SOAK = SOCM

KKAK

OK

CKM

KB

K

Bài toán 9 : Cho tam giác ABC Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho

a Đờng thẳng MN cắt tam giác ABC thành 2 phần Tính diện tích cácphần đó nếu biết diện tích tam giác ABC bằng 36 cm2

b So sánh đoạn KA và KB

Nhận xét : Đờng thẳng MN chia tam

giác ABC thành 2 phần đó là tam giác

MNC và tứ giác ABMN Để tính diện

Cụ thể : - So sánh SMNC với SAMC

- So sánh SAMC với SABC

A

M

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy NC =

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh K, đáy MB =

Bài toán 10 : Cho tam giác ABC có AB = 1,5 cm Trên cạnh BC lấy điểm

M sao cho BM = 3MC Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho AN = 2NC ờng thẳng MN và đờng thẳng AB cắt nhau tại P

Đ-a Tính đoạn thẳng AP

b So sánh độ dài đoạn thẳng MP và MN

Nhận xét : Muốn tính AP ta phải so sánh SANP

với SABN

Muốn so sánh diện tích 2 tam giác trên

ta cần so sánh chúng với các tam giác trung

A

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh N, đáy BM = 3 MC)

Từ (1) và (2) ta có : sPBM = 3  SPNC

Mặt khác SPAN = 2  SPNC

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh P, đáy AN = 2 NC)

Vậy nếu gọi SPNC là 1 phần thì SPAN là 2 phần và SPBN là 3 phần

Diện tích tam giác ABN là :

3 - 2 = 1 (phần)

Hay SPAN = 2  SABN

Hai tam giác PAN và ABN lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh N nên đáy

a Hãy so sánh diện tích tam giác AEC với diện tích tam giác ABC

b M là 2 điểm bất kỳ trên BC Đoạn AM cắt đoạn thẳng DE tậi I Hãy

so sánh AI và IM

Nhận xét : - So sánh diện tích 2 tam

giácADE và ABC ta cần so sánh qua 1 tam

giác trung gian là tam giác ABE

- So sánh AI và IM thì ta xem AI và

IM là đáy của 2 tam giác nào đó Sau đó dựa

vào các giả thiết để so sánh 2 tam giác đó

a Nối B với E ta có :

SADE =

2

1SABE (1)

(vì chung chiều cao hạ từ đỉnh E, đáy AD =

b Nối B với I , C với I

(vì chung đáy DI, chiều cao AH = MK)

Hai tam giác ADI và DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy AI =IM

Bài toán 12 : Cho tam giác ABC, D là điểm nằm trên cạnh AB sao cho

đờng thẳng đi qua A cắt đoạn thẳng DE tại I và cắt cạnh BC tại M

a So sánh diện tích các tam giác ADE và ABC

Hai tam giác ADE và DME có chung đáy DE nên chiều cao AK =

D A

B

(vì chung đáy DI, chiều cao AK =

2

1

MH)Hai tam giác ADI và DIM có chung chiều cao hạ từ đỉnh D nên đáy

b AI =

3

1AM.

Bài toán 13 : Cho hình thang ACBD có đáy là AB và CD AC và BD cắt

nhau tại O M là điểm chính giữa cạnh đáy AB Đờng thẳng OM cắt cạnh

đáy CD tại N So sánh đoạn CN với ND

Nhận xét : CN và ND là cạnh đáy của 2 tam giác ODN và ONC

Hai tam giác này có chung chiều

cao hạ từ đỉnh O nên để so sánh CN bà

ND thì ta phải so sánh diện tích của 2

tam giác đó

Mặt khác 2 tam giác này lại có

chung đáy ON nên để so sánh diện tích

ta cần so sánh chiều cao DH và CK

Hai chiều cao DH và CK ta so sánh đợc

dựa vào các tam giác có liên quan

Hai tam giác DOM và COM có chung đáy OM nên chiều cao DH = CK

Ta lại có : SODN =SONC

(vì chung đáy ON, chiều cao DH = CK)

Hai tam giác ODN và ONC lại có chung chiều cao hạ từ đỉnh O nên đáy

CN = ND

Bài toán 14 : Cho hình thang ABCD có đáy CD gấp 3 lần đáy AB Hai

đ-ờng chéo AC và BD cắt nhau tại O

A

K

C D

H 0

N

(vì chung đáy OA, chiều cao DH = 3  BK)

Hai tam giác AOD và AOB có chung chiều cao hạ từ đỉnh A nên đáy

Nếu coi SAOB là một phần thì SAOD và SBOC đều là 3 phần

Hai tam giác AOD và DOC có chung chiều cao DH, OC = 3OA

nên SDOC = SAOD  3 = 3  3 = 9 (phần)

Nh vậy SABCD = 1 + 3 + 3 + 9 = 16 (phần)

Diện tích tam giác AOD là : 32 : 16  3 = 6 (cm2)

Diện tích tam giác OCD là : 32 : 16  9 = 18 (cm2)

Đáp số : a OD = 3  OB

OC = 3  OA

b 6 cm2

18 cm2

Bài toán 15 : Cho hình thang ABCD có đáy bé AB = 14 cm , đáy lớn CD

= 26 cm Trên Bc lấy điểm chính giữa N Nối MN

a Chứng tỏ MN song song với AB và CD

b Tính diện tích hình thang ABCD biết diện tích tam giác NCD bằng78cm2

b ChiÒu cao NF lµ :

78  2 : 26 = 6 (cm)ChiÒu cao cña h×nh thang ABCD lµ ;

6  2 = 12 (cm)DiÖn tÝch h×nh thang ABCD lµ

d-Xin ch©n thµnh c¶m ¬n !

Hµ TÜnh , Ngµy 24 th¸ng 4 n¨m 2005

Sở giáo dục đào tạo hà tĩnh