SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ VẤN ĐỀ CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Tên SKKN: MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ ---VẤN ĐỀ: CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO I.. Điểm cố định của một họ đường 10.Tìm tập hợp điểm 11.Tâm đố

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI Đơn vị: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

Mã số: ………

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

-MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ

VẤN ĐỀ:

CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN

VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Người thực hiện: VÕ NAM

Lĩnh vực nghiên cứu:

- Quản lý giáo dục:

- Phương pháp dạy học bộ môn: TOÁN

- Phương pháp giáo dục:

- Lĩnh vực khác:

Có đính kèm:

 Mô hình  Phần mềm  Phim ảnh  Hiện vật khác

Năm học: 2013 – 2014

X

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

-I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

1 Họ và tên: VÕ NAM

2 Ngày tháng năm sinh: 9 – 6 – 1963

3 Nam, nữ: Nam

4 Địa chỉ: 105D Kp8 Phường Tân Phong, Biên Hòa, Đồng Nai

5 Điện thoại: 0919469877

6 E-mail: vonamvo@yahoo.com

7 Chức vụ: Giáo viên

8 Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Học vị: Cử nhân Khoa học

- Năm nhận bằng: 1987

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: dạy toán THPT

- Số năm có kinh nghiệm: 29 năm

- Các sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

 Ứng dụng sự biến thiên của hàm số để chứng minh bất đẳng thức (2010 – 2011)

 Một số kinh nghiệm dạy học sinh tính tích phân bằng phương pháp từng phần (2011 – 2012)

 Một số kinh nghiệm giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đưa về tích (2012 – 2013)

Tên SKKN:

MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN TỚI BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ -VẤN ĐỀ:

CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN

VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Chúng ta đều biết trong chương trình giải tích toán 12, bài toán khảo sát hàm số là một bài toán quan trọng và luôn có mặt trong các đề thi: học kỳ, tốt nghiệp và đại học Trong câu hỏi về khảo sát hàm số, ý thứ nhất thường là câu khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, ý thứ hai là một câu về các vấn đề liên quan Theo tôi, các vấn đề này gồm có:

1 Tính đơn điệu của hàm số

2 Cực trị - Max, Min - Lồi, lõm, điểm uốn - Tiệm cận

3 Biến đổi đồ thị

4 Biện luận theo tham số, nghiệm của phương trình bằng phương pháp đồ thị

5 Biện luận theo tham số, vị trí tương đối của 2 đường bằng cách dùng phương trình hoành độ giao điểm

6 CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

7 Ứng dụng định lý Vi-et

8 Tiếp tuyến

9 Điểm cố định của một họ đường

10.Tìm tập hợp điểm

11.Tâm đối xứng – Trục đối xứng

12.Tính diện tích hình phẳng và thể tích của một hình tròn xoay

Để trao đổi kinh nghiệm với các đồng nghiệp và hướng dẫn thêm cho các em học sinh về một số vấn đề liên quan tới bài toán khảo sát hàm số nói trên, trong bài viết này tôi xin đề cập tới vấn đề: CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

II TỔ CHỨC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

1.MỞ ĐẦU

Vấn đề: “ CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO ” là sự tích hợp ở một cấp độ cao hơn của vấn đề 4 và vấn đề 5 mà tôi

đã nêu ra ở trên Vì nó giải quyết cho nhiều loại bài toán như: phương trình, bất phương trình, cực trị, max, min, tiếp tuyến, bất đẳng thức, v.v Mặt khác,

ở vấn đề 4, ta thường dùng lại đồ thị của hàm số đã được khảo sát ở trên, hoặc

đồ thị biến đổi của đồ thị đó Còn CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO là ta lại khảo sát một hàm số khác chưa có mà ta phải

tự tìm

Phương pháp chung của cách CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO là: tùy theo yêu cầu của bài toán ta sẽ thiết lập một phương trình hoặc bất phương trình có ẩn số và tham số, rồi ta chuyển vế

để một vế chỉ còn lại tham số mà thôi Đặt vế kia là hàm số g(x) ( g(x) không liên quan gì với hàm số f(x) đã được khảo sát và vẽ đồ thị trước đó, nếu có)

Ta khảo sát hàm số g(x) với phần có liên quan tới bài toán cần giải quyết Từ

đó suy ra kết quả cần tìm

Một bài toán nêu ra có thể có nhiều cách giải, phương pháp CHUYỂN ĐỔI VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO cũng chỉ là một trong những cách giải

đó Có khi nó cũng chưa phải là cách hay nhất Tuy nhiên, khi phát hiện bài toán có thể dùng được phương pháp này, tôi thường khuyên học sinh hãy dùng nó vì tính hiệu quả và nhất quán của phương pháp này trong quá trình giải cho nhiều loại bài toán khác nhau

2.MỘT SỐ VÍ DỤ

VÍ DỤ 1:

Cho hs y = - x3 + 3x2 + 3mx – 1 (1) với m là tham số thực

a)Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0

b)Tìm m để hs (1) nghịch biến trên (0;+)

(Đề thi đại học năm 2013 khối A và A1)

 Giải câu b

Ta có: y’= - 3x2 + 6x + 3m

y nghịch biến trên (0 ; +)  y’ ≤ 0 x(0;+) (*)

Để giải quyết (*) ta có 2 cách:

Cách 1: Dùng kiến thức về dấu tam thức bậc 2 ở lớp 10

Tính ’, chia làm 2 trường hợp: ’ ≤ 0; ’ > 0

Cách 2: CHUYỂN ĐỔI VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

 Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:

Rất dễ để phát hiện ra là: bài toán (*) có thể chuyển về bài toán tương giao bằng cách chuyển m sang một bên Cụ thể là chuyển tham số m sang vế trái ta được dạng: m ≤ g(x) Để bất phương trình thỏa x(0;+) chỉ cần m ≤ Min[g(x)] trên (0;+) là xong

 Giải

Ta có: (*)  - 3x2 + 6x + 3m ≤ 0 x(0;+)

 m ≤ x2 – 2x x(0;+)

Đặt g(x) = x2 – 2x với x(0;+)

g’(x) = 2x – 2 ; g’(x) = 0  x = 1

BBT x 0 1 +

g’(x)

g(x) 0 +

-1

Suy ra: Min[g(x)] = - 1 khi x = 1

Vậy giá trị m cần tìm là: m ≤ -1

VÍ DỤ 2:

Cho hs y =

2 x

2 6x

mx 2





 (1) với m là tham số thực a)Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

b)Tìm m để hs (1) nghịch biến trên [1;+)

 Giải câu b

Xét y =

2 x

2 6x

mx 2





Txđ: D = R\{-2}

2

2) (x

14 4mx mx







y nghịch biến trên [ 1, +)  y’ ≤ 0 x[1,+)

 mx2 + 4mx + 14 ≤ 0 x[1,+)

 Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:

Tới đây, chúng ta có thể dùng kiến thức về tam thức bậc 2 để giải như đã nói

ở ví dụ 1 Nhưng rõ ràng là bài toán này có thể chuyển về bài toán tương giao bằng cách chuyển m sang một bên Nên chúng ta sẽ giải bằng cách đó xem thế nào nhé

Chuyển tham số m sang vế trái: m ≤ g(x) Để bất phương trình thỏa

x[1;+) chỉ cần m ≤ Min[g(x)] trên [1;+)

Ta có: mx2 + 4mx + 14 ≤ 0 x[1,+)

 m ≤ x2144x



 = g(x) x[1 , +)

Ta có: g’(x) = ( 2 4 ) 2

) 2 ( 28

x x

x





> 0 x[1 , +)

BBT: x 1 +

g’(x) +

g(x) +

5

14



Nên: m ≤ g(x) x[1 , +)  m ≤  145

Vậy: m ≤

5

14



VÍ DỤ 3:

Cho (Cm): y = x3 + mx + 2

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = - 3

b)Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

 Giải câu b

Cách 1: Dựa vào tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Có 2 trường hợp

T.h.1: hàm số luôn đồng biến trên R ( vì: a = 1 > 0 ) T.h.2: hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT > 0

Cách 2: CHUYỂN ĐỔI VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

 Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:

Dễ thấy là trong phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) với trục hoành nếu ta chuyển m sang một bên thì lập tức bài toán đã chuyển về bài toán tương giao Cụ thể: lập phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành, chuyển tham số m sang một vế, khảo sát hàm số của vế bên kia Dựa vào vị trí tương đối của đồ thị hàm số đó và họ đường thẳng y = m để suy ra kết quả

 Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành:

x3 + mx + 2 = 0 

x

2

x 2 

 = m ( x  0 ) (1)

đặt g(x) = x 2 x2   ( x  0 ) g’(x) = - 2x + x 2 2 = 2 3 x ) x 2(1  ; g’(x) = 0  x = 1 BBT: x -  0 1 +

g’(x) + || + 0 

+ -3

g(x) - ||- -

Ta có: (Cm) cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất

 phương trình (1) có 1 nghiệm duy nhất

 đồ thị hàm số g(x) và d: y = m cắt nhau tại 1 điểm duy nhất

 m > - 3

VÍ DỤ 4:

Cho (Cm): y = x3 + mx2 - 4

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = - 3

b)Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 Giải câu b:

Cách 1: Dựa vào tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và yCĐ.yCT < 0

Cách 2: CHUYỂN ĐỔI VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục hoành:

x3 + mx2 - 4 = 0  x 2

4

x 

 = m ( x  0 ) (1)

đặt g(x) = x 2 4 x   ( x  0 ) g’(x) = 33 x 8 x -  ; g’(x) = 0  x = - 2 BBT: x -  -2 0 +

g’(x) 0 + ||

+ + +

g(x) 3 || -

Ta có: (Cm) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

 phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

 đồ thị của g(x) và d: y = m cắt nhau tại 3 điểm phân biệt

 m > 3

VÍ DỤ 5:

Cho (Cm): y = f(x) = x3 - 2x2 - (m - 1)x + m

a)Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

b)Tìm m để bất phương trình: f(x)  x1 nghiệm đúng x  2

 Giải câu b:

 Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:

Ta thấy trong bpt: f(x)  x1 nếu ta chuyển m sang một bên thì sao nào ? Có phải lại đưa được về bài toán tương giao ? Chúng ta xem nhé

Ta có: f(x) 

x

1

x  2  x3 - 2x2 - (m - 1)x + m 

x

1

x  2  x4 – 2x3 + x2 – 1  m(x2 – x) x  2

 m

x x

1 x 2x x

2

2 3 4









 m

x x

1 x) (x

2

2 2







đặt t = x2 – x  t  2

Bài toán trở thành tìm m để: g(t) =

t

1

t 2 

 m với t  2

Ta có: g’(t) = 2 2

t

1

t  > 0 t  2 BBT: t 2 +

g’(t) +

g(t) +

23

Suy ra: g(t)  m ( t  2 )  m ≤ 23

Vậy: m ≤ 23

VÍ DỤ 6:

Tìm m để phương trình: 3  x  6  x  (3  x)(6  x)  m có nghiệm

 Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm:

Rõ ràng ngay từ đầu phương trình đã có dạng bài toán tương giao, nhưng nếu xem vế trái là hàm số g(x) thì ta có khảo sát nổi không ? Chắc là không rồi

Ta cần đặt một biến phụ t là gì đó theo x Khi đó hàm số f(t) mới lộ diện, và

đó mới thật sự là bài toán tương giao Vấn đề là t = ?

 Giải:

Đặt t = 3 x  6  x với x  [-3 ; 6]

Ta tìm điều kiện của t:

t’ = 2 6(3x x)(63x x) ; t’ = 0  x = 23

BBT: x -3 23 6

t’ + 0

t 3 2

3 3

suy ra: t  [3 ; 3 2]

Ta có: t2 = 3 + x + 6 – x + 2 (3  x)(6  x)

 (3  x)(6  x)=

2

9

t 2 

Phương trình đã cho:

2

9 t 2

t 2





Xét f(t) =

2

9 t 2

t 2





 với t  [3 ; 3 2]

f’(t) = - t + 1

BBT: t 3 3 2

f’(t) 

f(t) 3

3 2- 29

Phương trình có nghiệm  3 2- 92 ≤ m ≤ 3 VÍ DỤ 7: Tìm m để phương trình: m ( 1  x 2  1  x 2  2)  2 1  x 4  1  x 2  1  x 2 có nghiệm (Đề thi ĐH 2004 khối B)  Ý tưởng giải - Rút kinh nghiệm: Cũng như ví dụ 6, dễ thấy phương trình có thể chuyển về ngay dạng bài toán tương giao, nhưng ta cũng cần đặt một biến phụ t là gì đó theo x Khi đó hàm số f(t) mới lộ diện, và đó mới thật sự là bài toán tương giao Vấn đề là t = ?  Giải: Đặt t = 1  x 2  1  x 2 với x[-1,1] t  0; t = 0 khi x = 0 t2 = 2 - 2 1  x4 ≤ 2  t ≤ 2; t = 2 khi x =  1 suy ra: t[0 , 2] ( dễ thấy t liên tục trên [-1,1]) Phương trình trở thành: m(t + 2) = - t2 + t + 2  m = 2 t 2 t t 2     Xét: f(t) = 2 t 2 t t 2     với t[0 , 2] f’(t) = 2 2 2) (t 4t t    ≤ 0 t[0 , 2] BBT: t 0 2

f’(t) 

f(t) 1

2- 1

Vậy phương trình có nghiệm khi: 2- 1 ≤ m ≤ 1

MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO THÊM

1) Cho y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 Tìm m để y đồng biến trên (2,+)

ĐS: m ≤ 125

2) Cho y = (m 1)x (m 3)x 4

3











ĐS: m  127

cosx

1 sinx

1 cotx (tanx 2

1 1 cosx

nghiệm x(0, )

2



ĐS: m  2( 2  1)

4) Tìm m để phương trình: x4 + mx3 + x2 + mx + 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm

âm khác nhau

ĐS: m > 23

III HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Như tôi đã nói ở trên, chuyển đổi về bài toán tương giao chỉ là một trong những cách giải một bài toán nào đó mà thôi Trong một số bài toán có thể nó chưa phải là cách hay nhất, tuy nhiên qua quá trình lâu dài dạy toán, tôi thấy phần lớn cách giải này rất hiệu quả Có thể tóm gọn các bước giải bài toán bằng cách chuyển về bài toán tương giao là:

 Nhận thấy có thể chuyển tham số sang một vế và phần còn lại của bài toán sang một vế một cách khá đơn giản

 Xét hàm số là vế đối diện của vế tham số, hoặc là hàm số có liên quan với hàm số đó sau khi đã đặt một biến phụ Tìm tập xác định của hàm số đó

 Tùy theo đề bài mà ta đi tìm giá trị của tham số thỏa yêu cầu

IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG:

Mong các đồng nghiệp tham khảo và đóng góp ý kiến

V TÀI LIỆU THAM KHẢO: không

NGƯỜI THỰC HIỆN (Ký tên và ghi rõ họ tên)

VÕ NAM

SỞ GD & ĐT ĐỒNG NAI

Đơn vị: Trường THPT

chuyên Lương Thế Vinh

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Biên Hòa, ngày tháng năm 2014.

PHIẾU NHẬN XÉT - ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Năm học: 2013 - 2014

Tên sáng kiến kinh nghiệm: Một số vấn đề liên quan bài toán khảo sát hàm số Vấn đề: CHUYỂN ĐỔI MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO

Họ và tên tác giả: Võ Nam Chức vụ: giáo viên

Đơn vị: tổ Toán – Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh

Lĩnh vực: (Đánh dấu X vào các ô tương ứng, ghi rõ tên bộ môn hoặc lĩnh vực

khác)

- Quản lý giáo dục  - Phương pháp dạy học bộ môn: Toán

- Phương pháp giáo dục  - Lĩnh vực khác 

x

Sáng kiến kinh nghiệm đã được triển khai áp dụng: Tại đơn vị 

Trong Ngành 

1. Tính mới (Đánh dấu X vào 1 trong 2 ô dưới đây)

- Có giải pháp hoàn toàn mới 

- Có giải pháp cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có 

2. Hiệu quả (Đánh dấu X vào 1 trong 4 ô dưới đây)

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai

áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao 

- Hoàn toàn mới và đã triển khai áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao 

- Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ những giải pháp đã có và đã triển khai

áp dụng tại đơn vị có hiệu quả 

3. Khả năng áp dụng (Đánh dấu X vào 1 trong 3 ô mỗi dòng dưới đây)

- Cung cấp được các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối,

chính sách: Tốt  Khá  Đạt 

- Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống: Tốt  Khá  Đạt 

- Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng: Tốt  Khá  Đạt 

Phiếu này được đánh dấu X đầy đủ các ô tương ứng, có ký tên xác

nhận của người có thẩm quyền, đóng dấu của đơn vị và đóng kèm vào cuối

mỗi bản sáng kiến kinh nghiệm.

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN

(Ký tên và ghi rõ họ tên)

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

(Ký tên, ghi rõ họ tên và đóng dấu)