Báo cáo rèn kĩ năng giải toán liên quan đến diện tích hình tam giác cho học sinh lớp 5

Muốn học sinh lớp 5 làm tốt các bài toán về diện tích hình tam giác thì giáo viên phải rèn kĩ về các kĩ năng tính toán, đo đạc, ước lượng, vẽ hình và sử dụng thành thạo quy tắc tính diệ

RÈN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN

LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC CHO HỌC SINH LỚP 5

Ninh Giang, th¸ng 8 n¨m 2013

I- LÝ DO LỰA CHỌN CHUYÊN ĐỀ:

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ

Toán tính diện tích hình tam giác được đưa vào chương trình lớp 5 nhằm giúp các em biết tính diện tích một hình tam giác bất kì Muốn học sinh lớp 5 làm tốt các bài toán về diện tích hình tam giác thì giáo viên phải rèn kĩ về các kĩ năng tính toán,

đo đạc, ước lượng, vẽ hình và sử dụng thành thạo quy tắc tính diện tích hình tam giác, các nhận xét được suy luận và rút ra từ quy tắc tính hình tam giác Từ việc cắt ghép hình để xây dựng công thức tính diện tích hình tam giác sẽ giúp cho học sinh phát triển trí thông minh, năng lực sáng tạo Bên cạnh đó, kĩ năng cắt ghép hình, so sánh diện tích các hình ở học sinh cũng được phát triển

"Hình tam giác - Diện tích hình tam giác" được đưa vào chương trình Toán lớp

5 cấp Tiểu học ở 3 tiết chính:

Tiết 88: Hình tam giác

Tiết 89: Diện tích hình tam giác

Tiết 90: Luyện tập

Nhưng lại được vận dụng "tính diện tích hình tam giác" vào rất nhiều trong những tiết Luyện tập chung và xuyên suốt cho đến những bài cuối cùng của chương trình Toán 5 Mặt khác, trong các đề thi học sinh giỏi cấp Tiểu học, các bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác thường xuyên được đề cấp đến và là "điểm chốt" của phần phát hiện nhân tài

I- LÝ DO LỰA CHỌN CHUYÊN ĐỀ:

II- PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG ÁP DỤNG:

- Chuyên đề chỉ đề cập đến nội dung, phương pháp và rèn phát triển

tư duy cho học sinh khi giải toán liên quan đến diện tích hình tam giác

- Đối tượng là giáo viên các trường tiểu học và học sinh lớp 5

III- MỤC TIÊU NGHIÊN CỨU

- Hệ thống hóa bài tập, đưa ra nội dung, phương pháp nhằm nâng cao năng lực chuyên môn cho cán bộ giáo viên và rèn kĩ năng, phát triển tư duy học sinh khi giải toán kiên quan đến diện tích hình tam giác

- Giải quyết vấn đề về phương pháp dạy học tích cực sáng tạo, dạy học phân hóa đối tượng học sinh Từ đó, hình thành thói quen tư duy cho học sinh

IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

PHẦN THỨ NHẤT: ĐẶT VẤN ĐỀ

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG

I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

Khi dạy về hình tam giác việc xây dựng công thức còn

mang tính áp đặt,học sinh phải công nhận trong khi học sinh chưa hiểu vì sao lại làm thế; hoặc có hướng dẫn thì chỉ dựa vào gợi ý của sách bài soạn, sách thiết kế bài giảng còn việc

mở rộng kiến thức phát triển tư duy cho học sinh còn ít được chú ý đến nên học sinh chưa hiểu được bản chất của công thức và chưa nắm được mối quan hệ giữa các yếu tố trong hình tam giác, các nhận xét được rút ra từ quy tắc tính diện tích hình tam giác

1.Về phía giáo viên:

2.Về phía học sinh:

PHẦN THỨ HAI: NỘI DUNG

I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

II- NỘI DUNG LÝ LUẬN LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN HÌNH TAM GIÁC VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC:

1 Nhận diện các yếu tố của hình tam giác

và vẽ hình.

Mục tiêu: Giúp học sinh nắm chắc về khái niệm hình tam giác, các yếu tố của hình tam giác (cạnh, góc, đỉnh, đáy, đường cao, chiều cao), nhận diện được hình tam giác dựa vào góc, chỉ ra và vẽ được đường cao của hình tam giác bất kì khi biết cạnh đáy

Đối với học sinh giỏi, cần giới thiệu cho các em biết cách nhận diện hình tam giác dựa theo cạnh: hình tam giác đều (hình tam giác có 3 cạnh dài bằng nhau), hình tam giác cân (hình tam giác có hai cạnh dài bằng nhau)

* Hình tam giác có đáy và đường cao

Dùng công cụ ê-ke để vẽ và xác định đường cao

ứng với đáy BC

A

C B

H

A

A

Sách giáo khoa Toán 5 trang 87 đã trình bày rõ phần lí thuyết cơ bản,

cách hình thành quy tắc và công thức tính diện tích hình tam giác:

Cụ thể: Cho hai hình tam giác bằng nhau Lấy một hình tam giác đó, cắt

theo đường cao để thành hai mảnh tam giác 1 và 2 Ghép hai mảnh 1 và 2

vào tam giác còn lại để được hình chữ nhật (như hình vẽ):

Dựa vào hình vẽ ta có: Hình chữ nhật ABCD có chiều dài bằng độ dài đáy DC của hình tam giác EDC, có chiều rộng bằng chiều cao EH của hình tam giác EDC Diện tích hình chữ nhật ABCD gấp 2 lần diện tích hình tam giác EDC

Diện tích hình chữ nhật ABCD là DC x AD = DC x EH

Vậy diện tích hình tam giác EDC là DC x EH

Quy tắc:

Muốn tính diện tích hình tam giác ta lấy độ

dài cạnh đáy nhân với chiều cao (cùng một

đơn vị đo) rồi chia cho 2

h là chiều cao, a và h cùng đơn vị đo)

h

- Tính độ dài cạnh đáy hình tam giác:

Quy tắc: Muốn tính độ dài cạnh đáy của hình tam giác ta lấy hai

lần diện tích chia cho chiều cao tương ứng

- Tính chiều cao hình tam giác:

Quy tắc: Muốn tính chiều cao của hình tam giác ta lấy hai lần diện tích chia cho độ dài cạnh đáy tương ứng)

3 Các nhận xét đƣợc rút ra từ quy tắc tính

diện tích tam giác:

(Thực chất là mối quan hệ tỉ lệ giữa diện tích, đáy,

chiều cao của hình tam giác)

* Vậy hai hình tam giác có chung cạnh đáy, chiều

cao tương ứng với cạnh đáy bằng nhau thì diện

Ví dụ 3: Hình chữ nhật ABCD, E là trung điểm của

DC Nối A với E, B với E So sánh SADE và SBCE

S ADE = ; S BCE =

Mà AD = BC; DE = CE

nên SADE = SBCE

* Vậy hai hình tam giác có độ dài cạnh đáy bằng nhau, chiều cao tương ứng với cạnh đáy bằng nhau thì diện tích bằng nhau

Qua 3 trường hợp vừa nêu, ta có:

có chiều cao bằng nhau (hoặc có chung

chiều cao), độ dài cạnh đáy tương ứng với đường cao bằng nhau (hoặc có chung đáy) thì diện tích hai (hay nhiều) hình tam giác

đó bằng nhau

Vậy S HDC = S ADE

Ví dụ 4: Hình chữ nhật ABCD E là trung điểm của DC, H

là trung điểm của BC So sánh SHDC và SADE

không đổi, độ dài cạnh đáy tăng (hoặc giảm) bao nhiêu lần thì chiều cao tương ứng giảm (hoặc tăng) bấy nhiêu lần

Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD vuông ở C và D, có AD = BC

Nối A với C, B với D Hãy so sánh diện tích tam giác ADC

và BDC

hình tam giác bằng nhau thì tỉ số diện tích

hai hình tam giác bằng tỉ số hai chiều cao

tương ứng với đáy

2 1

S ADC = ; S BDC =

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC, EC = BE

So sánh SACE và SABE

giác bằng nhau thì tỉ số diện tích hai hình

tam giác bằng tỉ số độ dài hai cạnh đáy

tương ứng

2 1

1) Khi h1 = h2 , a1 = a2 thì S1 = S2

2) Khi S1 = S2 thì

3) Khi a1 = a2 thì

4) Khi h1 = h2 thì

1

2 2

1

h

h a

a 

2

1 2

1

h

h S

S 

2

1 2

1

a

a S

S 

* Các nhận xét đƣợc rút ra từ mối quan hệ tỉ lệ giữa

diện tích, đáy, chiều cao của hình tam giác:

* Các quy tắc, công thức và những nhận xét trên là công cụ quan trọng để giải các bài toán về diện tích hình tam giác Nhƣng khi vào các bài toán cụ thể, phải biết

vận dụng linh hoạt các công thức tính, các nhận xét đó

và phải biết vẽ hình phụ trợ để giải đƣợc các bài toán từ đơn giản đến phức tạp

* Để học sinh nắm chắc quy tắc, công thức tính diện tích hình tam giác, cách tính các yếu tố (đáy, chiều cao) và các nhận xét đƣợc rút ra từ diện tích tam giác vô cùng đa dạng và phong phú, đòi hỏi học sinh phải sử dụng thành thạo và linh hoạt các kiến thức, các yếu tố có liên quan

đến tam giác, diện tích tam giác để giải các bài toán liên quan đến diện tích hình tam giác Giáo viên cần hệ thống hóa bài tập, rèn kĩ năng giải toán và phát triển tƣ duy cho học sinh

1 Khi dạy về các yếu tố trong tam giác, giáo viên truyền đạt khái niệm về đỉnh, cạnh đáy và đường cao, chiều cao chủ yếu qua việc giới thiệu cho học sinh dựa vào hình vẽ mà chưa nêu được bản chất của nó Đặc biệt chưa xác định rõ mối quan hệ ràng buộc giữa đáy và đỉnh trong tam giác nên việc xác định

đường cao, cách vẽ đường cao bằng việc dùng ê-ke học sinh

gặp nhiều lúng túng

Một số vướng mắc thường gặp:

Ví dụ: Học sinh đặt ê-ke để vẽ đường cao và đánh dấu

kí hiệu chân đường cao như sau:

2 Việc giải các bài toán tính diện tích hình tam giác (bài toán tính xuôi theo quy tắc) thì học sinh áp dụng quy tắc và thực

hiện được như mẫu Song với những bài toán tính độ dài cạnh đáy hoặc chiều cao (bài toán tính ngược), học sinh thường

lúng túng và không giải được (đặc biệt đối với những học sinh tiếp thu bài chậm)

3 Thời lượng dành cho mảng kiến thức về hình tam giác và diện tích tam giác là rất ít (chỉ có 3 tiết), các bài tập luyện tập

trong sách giáo khoa đều chỉ áp dụng quy tắc, công thức tính

là giải được Điều đó rất khó khăn trong việc bồi dưỡng tổng

hợp kiến thức sao cho vừa sức học sinh, đảm bảo chuẩn kiến thức kĩ năng mà lại phân hóa được đối tượng học sinh

4 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, nếu không sử

dụng và không nhớ các tính chất và định lí hình học đã học

phổ thông thì việc truyền đạt kiến thức cho học sinh không

chính xác Hơn nữa, nếu áp đặt các định lí, kiến thức ở Trung học cơ sở để dạy học sinh tiểu học thì không phù hợp

5 Nếu như áp đặt kiến thức sách giáo khoa là có sẵn và gần như hoàn toàn tuân thủ sách hướng dẫn giáo viên thì chưa diễn giải cho học sinh hiểu nguồn gốc kiến thức đó là thế nào? Và tại sao lại như vậy? Chúng ta chưa có phương pháp rèn kĩ năng tư duy cho học sinh, chưa nắm chắc mối quan hệ tỉ lệ giữa đáy,

chiều cao, diện tích hình tam giác dẫn đến học sinh gặp khó

khăn khi giải các bài toán nâng cao Chúng ta cần đặc biệt chú ý đến phương pháp rèn kĩ năng tư duy cho học sinh trong giai

đoạn cuối cấp khi mà tư duy trừu tượng của các em mới dần

hình thành và phát triển

6 Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, có khi chúng ta

lại áp đặt các định lí, kiến thức ở Trung học cơ sở để dạy

học sinh tiểu học

Ví dụ: Cho tam giác ABC Trên

AB lấy trung điểm M, trên AC

lấy trung điểm N Nối BN, CM

cắt nhau tại I (hình vẽ bên) Hãy

so sánh diện tích hình tam giác

BIM và CIN

Với các dữ kiện M là trung điểm của AB, N là trung điểm của AC, áp đặt Định lí về

đường trung bình trong tam giác (Chương trình Toán Trung học cơ sở) nên khi nối

M với N, giáo viên khẳng định hiển nhiên MN song song với BC và kết luận tứ giác

MNCB là hình thang

Một số vướng mắc thường gặp:

Vì vậy, học sinh thường giải bài toán như sau:

SMBC = SNBC(Vì chung đáy BC và chiều cao đều là chiều cao hình thang MNCB) Hai tam giác MBC và NBC có phần chung BIC nên SBIM = SCIN

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán:

Bài toán cho biết gì? (Giả thiết),

Bài toán hỏi gì? (Kết luận)

Vẽ hình minh họa và quan sát hình vẽ

Bước 2: Lập kế hoạch giải bài toán

(Dựa vào công thức, các nhận xét được rút ra từ quy tắc tính diện tích hình tam giác để phân tích bài toàn và tìm

hướng giải bài toán)

Bước 3: Thực hiện kế hoạch giải bài toán

(Trình bày bài giải)

Bước 4: Tự kiểm tra đánh giá kết quả

Khi hướng dẫn học sinh giải bài tập cần thực hiện

các bước như sau:

PhÇn thø hai: néi dung

I- THỰC TRẠNG VỀ VIỆC DẠY GIẢI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC

II- NỘI DUNG LÝ LUẬN LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN HÌNH TAM GIÁC VÀ DIỆN TÍCH HÌNH TAM GIÁC:

III- CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN

1 Nhận diện các yếu tố của hình tam giác

và vẽ hình

Hình tam giác

1) Hình tam giác có 3 cạnh, 3 đỉnh, 3 góc

C B

2.1 Hình tam giác có ba góc nhọn:

Hình tam giác ABC:

AH là đường cao ứng với đáy BC

BI là đường cao ứng với đáy AC

CK là đường cao ứng với đáy AB

2.2 Hình tam giác có một góc tù và hai góc nhọn:

Hình tam giác MNP:

ME là đường cao ứng với đáy PN

NH là đường cao ứng với đáy MP

PG là đường cao ứng với đáy MN

2. 3 Hình tam giác có một góc vuông và hai góc nhọn:

Hình tam giác EGH:

HE là đường cao ứng với đáy EG

GE là đường cao ứng với đáy EH

EB là đường cao ứng với đáy HG

2) Xác định đường cao và đáy của hình tam giác

B

G E

B

G E

vuông góc với cạnh đối diện (cạnh

đối diện gọi là cạnh đáy) Độ dài

đường cao là chiều cao của hình tam giác

Chú ý:

- Cả ba cạnh của hình tam giác đều có thể chọn làm cạnh đáy của hình tam giác đó

- Như vậy, trong mỗi hình tam giác có 3 cạnh đáy, 3 chiều cao, mỗi cạnh đáy có một chiều cao tương ứng, không thể chọn cạnh đáy và chiều cao tùy ý

•Mở rộng: Đường cao của nhiều hình tam giác có chung

một đỉnh

* Hình (1) gồm 3 tam giác chung đỉnh A: ABC, ACD và

ABD đều có chung đường cao AH

* Hình (2) gồm 6 tam giác chung đỉnh A: ABM, AMN, ANC,

ABN, AMC và ABC đều có chung đường cao AH

* Hình (3) gồm 2 tam giác vuông chung đỉnh A: ABC,

ABD và 1 tam giác có một góc tù ADC có chung đường

cao AB (là một cạnh của góc vuông đỉnh B)

* Hình (4) gồm 3 tam giác có một góc tù chung đỉnh

A: ABD, ADC và ABC có chung đường cao AH (nằm ngoài

C

* Đường cao của nhiều hình tam giác

HS cần chỉ ra được đường cao

và dùng ê-ke vẽ được đường cao hình tam giác

AH là đường cao

ứng với đáy BC

AH là đường cao ứng với đáy BC

AB là đường cao ứng với đáy BC

Thực tế trong quá trình hướng dẫn học sinh vẽ đường cao trong tam giác, học sinh rất lúng túng khi đặt thước ê-ke để vẽ đường cao

Chúng ta cần mô tả ê-ke, chỉ rõ cho học sinh đâu là góc vuông của ê-ke, đâu là cạnh góc vuông của ê-ke Khi vẽ đường cao trong tam giác cần đặt ê ke vào hình vẽ sao cho một cạnh góc vuông của ê-ke trùng với

cạnh đáy của tam giác, cạnh góc vuông còn lại đi qua đỉnh của tam giác Vừa mô tả bằng hình vẽ trực quan, vừa mô tả bằng đồ dùng dạy học:

Cần tránh để HS đặt thước ê-ke để vẽ đường cao như các

trường hợp sau:

Bài 2: Cho hình vẽ sau:

a Nêu tên những tam giác có chung

2 Hình thành quy tắc, công thức tính

diện tích hình tam giác:

Bước 1: Dựa vào cách tính diện tích của các hình đã học

(hình vuông, hình chữ nhật, hình bình hành, hình thoi), kết

hợp sử dụng đồ dùng trực quan hoặc suy luận tư duy qua cắt ghép trên giấy nháp, học sinh tự tìm cách tính diện tích hình tam giác

Ở bước này, đối với học sinh khá giỏi, giáo viên nên để tự học sinh khám phá và tìm ra kiến thức; đối với học sinh trung bình và yếu, giáo viên nên gợi ý, hướng dẫn học sinh học

sinh để tất cả học sinh đều tự mình tìm ra kiến thức và chiếm lĩnh được kiến thức

2.1 Quy tắc, công thức tính diện tích

hình tam giác:

Cách 2: Từ một hình tam giác, cắt và ghép lại được một hình chữ nhật:

Cách 3: Ghép hai hình tam giác bằng nhau thành một hình bình hành, cạnh đáy của hình tam giác là cạnh đáy của hình bình hành thì chiều cao tương ứng của hình tam giác cũng là chiều cao của hình bình hành

Cách 1: Thực hiện như sách giáo khoa Toán 5 trang 87

- Cắt lấy 2 hình tam giác bằng nhau, dùng ê ke vẽ đường cao của

mỗi hình tam giác (như hình vẽ)

Bước 2: Giáo viên thực hiện lại thao tác một cách làm

dễ hiểu và nhanh nhất để tìm ra quy tắc tính diện tích hình tam giác

* Với hình tam giác vuông:

Diện tích hình tam giác vuông bằng

tích của hai cạnh góc vuông (cùng đơn vị

đo) chia cho 2

Xuất phát từ công thức tính diện tích hình tam giác HS đã học:

(Trong đó S là diện tích hình tam giác, a là độ dài cạnh đáy, h là

chiều cao tương ứng với đáy; a, h cùng đơn vị đo)

GV hướng dẫn HS cách tính độ dài cạnh đáy và chiều cao của hình tam giác như sau:

2.2 Cách tính độ dài cạnh đáy và chiều cao

của hình tam giác