Về điều kiện cần tối ưu cấp 2 cho bài toán tối ưu có các ràng buộc đẳng thức và bất đẳng thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TÔ VIỆT HƯNG VỀ ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU CẤP CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ CÁC RÀNG BUỘC ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐỖ VĂN LƯU THÁI NGUYÊN - 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Người hướng dẫn khoa học: PGS TS ĐỖ VĂN LƯU Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Ngày tháng năm 2010 Có thể tìm hiểu THƯ VIỆN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC THÁI NGUYÊN TRUNG TÂM HỌC LIỆU ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mục lục Mở đầu Chương Điều kiện cần tối ưu cấp cho toán có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức 1.1 Phát biểu toán kết bổ trợ 1.1.1 Bài toán (P1 ) điều kiện quy 1.1.2 Mở rộng kết Hestenes 1.1.3 Mở rộng bổ đề Yuan 12 1.2 Điều kiện cần tối ưu cấp 13 1.3 Các điều kiện quy (MMF) (GSCS) điều kiện tối ưu cấp 19 Chương Điều kiện cần tối ưu cấp cho toán có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập 25 2.1 Các khái niệm kết có liên quan 25 2.2 Nguyên lí cực trị 29 2.3 Bài toán có ràng buộc F (x) ∈ C 39 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý thuyết điều kiện tối ưu phận quan trọng lý thuyết tối ưu hóa Người ta thường quan tâm nghiên cứu điều kiện tối ưu cấp 1, cấp cấp cao Các điều kiện tối ưu cấp tỏ hiệu việc tìm nghiệm tối ưu tập điểm dừng A Baccari A Trad [4] dẫn điều kiện cần tối ưu cấp cho toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức không gian hữu hạn chiều với giả thiết tập nhân tử Lagrange đoạn thẳng bị chặn với điều kiện đủ đảm bảo giả thiết Một điều kiện cần tối ưu cấp với điều kiện cần quy Mangasarian-Fromovitz tăng cường (MMF) điều kiện bù chặt suy rộng (GSCS) thiết lập A Arutyunov F L Pereira [3] nghiên cứu điều kiện cần tối ưu cấp cho cực tiểu địa phương theo tôpô hữu hạn toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập không gian véc tơ, áp dụng cho toán tối ưu với ràng buộc bao hàm thức F (x) ∈ C Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cho toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức với giả thiết tập nhân tử Lagrange đoạn thẳng bị chặn điều kiện cần tối ưu cấp cho cực tiểu địa phương theo tôpô hữu hạn toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc tập không gian véc tơ toán tối ưu với ràng buộc bao hàm thức F (x) ∈ C Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp Baccari - Trad [4] cho toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức với giả thiết tập nhân Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tử Lagrange đoạn thẳng bị chặn Kết điều kiện quy Mangasarian - Fromovitz điều kiện số ràng buộc tích cực nhiều là điều kiện đủ để tập nhân tử Lagrange đoạn thẳng bị chặn Điều kiện cần tối ưu cấp với điều kiện quy (MMF) điều kiện bù chặt suy rộng (GSCS) trình bày chương Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp Arutyunov - Pereira [3] cho cực tiểu địa phương theo tôpô hữu hạn toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức, bất đẳng thức ràng buộc không gian véc tơ Nguyên lí cực trị cấp áp dụng để dẫn nguyên lí cực trị cấp cho toán tối ưu với ràng buộc bao hàm thức F (x) ∈ C Nhân dịp này, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TS Đỗ Văn Lưu Viện Toán học giao đề tài tận tình hướng dẫn em suốt trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn Cũng em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học, Khoa Công nghệ Thông tin - Đại học Thái Nguyên, thầy giáo công tác Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin tận tình tham gia giảng dạy Lớp Cao học Toán K2 - Trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, giúp em hoàn thành chương trình học tập trường Đồng thời, xin cảm ơn tới tất bạn học viên Lớp Cao học Toán K2 nhiệt tình động viên, giúp đỡ trình học tập Tôi xin cảm ơn lãnh đạo Trường THPT Chu Văn An - TP Móng Cái, lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Ninh tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành khóa học Thái Nguyên, ngày 20 tháng năm 2010 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Điều kiện cần tối ưu cấp cho toán có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức Chương trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cho điểm cực tiểu địa phương x∗ toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức với giả thiết tập nhân tử Lagrange Λ(x∗ ) đoạn thẳng bị chặn với điều kiện đủ để Λ(x∗ ) đoạn thẳng bị chặn Điều kiện cần tối ưu cấp với điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz tăng cường (MMF) điều kiện bù chặt suy rộng (GSCS) trình bày chương Các kết trình bày chương Baccari - Trad [4] 1.1 Phát biểu toán kết bổ trợ 1.1.1 Bài toán (P1 ) điều kiện quy Xét toán tối ưu không lồi: (P1 ) min{f (x) | g(x) ≤ 0, h(x) = 0} f : Rn → R; g : Rn → Rp ; h : Rn → Rq hai lần khả vi liên tục Bài toán (P1 ) ràng buộc đẳng thức hay bất đẳng thức Sau ta nhắc lại ký hiệu, định nghĩa kết dùng chương q Hàm Lagrange tổng quát toán (P1 ) xác định Rn × Rp+1 + × R Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn định nghĩa p L(x, λ0 , λ, µ) = λ0 f (x) + q λi gi (x) + i=1 µj hj (x) j=1 Hàm Lagrange toán (P1 ) xác định Rn × Rp+ × Rq định nghĩa L(x, λ, µ) = L(x, 1, λ, µ) Gradient mà trận Hessian L theo x, ký hiệu ∇x L(x, λ, µ) ∇2xx L(x, λ, µ) Gradient f theo x véctơ cột ∇f (x), ∇f (x)t véc tơ chuyển vị Tập chấp nhận F = {x | g(x) ≤ 0, h(x) = 0} Với x ∈ F , tập số tích cực I(x), nón tới hạn C(x), tập nhân tử Lagrange tổng quát Λ0 (x) tập nhân tử Lagrange Λ(x) định nghĩa tương ứng sau: I(x) = {i | gi (x) = 0}, C(x) = {d | ∇f (x)t d ≤ 0, ∇gi (x)t d ≤ 0, i ∈ I(x), ∇hj (x)t d = 0, j = 1, 2, , q}, Λ0 (x) = {(λ0 , λ, µ) = | ∇x L(x, λ0 , λ, µ) = 0, (λ0 , λ) ∈ Rp+1 + , λi gi (x) = 0, ∀i}, Λ(x) = {(λ, µ) | λ0 = 1, (λ0 , λ, µ) ∈ Λ0 (x)} Dạng toàn phương Q Rn định nghĩa Q(x) = B(x, x), B dạng song tuyến tính đối xứng Rn Định nghĩa 1.1 Cho Q dạng toàn phương Rn , S tập Rn Q gọi bán xác định dương S Q(s) ≥ 0, ∀s ∈ S Ký hiệu Q S Định nghĩa 1.2 Một tập khác rỗng L ⊂ Rm đoạn thẳng tồn X ∈ Rm , Y ∈ Rm khoảng J ⊂ R cho L = X + J.Y = {l = X + θY | θ ∈ J} Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.1 Nếu Y = L đóng bị chặn, J đóng bị chặn Khi ta viết L = X + [a, b]Y với số thực a ≤ b Hơn nữa, L không tập điểm L có điểm cực biên X + aY X + bY Định nghĩa 1.3 Nón cấp K nón có dạng K = E + R+ d0 , E không gian véc tơ Rn d0 ∈ Rn Chú ý rằng, không gian véc tơ E ⊂ Rn nón cấp Sau đây, ta nhắc lại điều kiện quy cổ điển mà ta sử dụng Định nghĩa 1.4 Điểm chấp nhận x∗ ∈ F gọi thỏa mãn điều kiện bù chặt (SCS) Λ(x∗ ) khác rỗng với i ∈ I(x∗ ), tồn (λ, µ) ∈ Λ(x∗ ) cho λi > Nhận xét 1.2 Nếu x∗ ∈ F , điều kiện (SCS) p∗ số ràng buộc bất đẳng thức tích cực, khẳng định sau đúng: (i) Với i ∈ I(x∗ ), tồn (λi , µi ) ∈ Λ(x∗ ) cho λii > 0, (λ∗ , µ∗ ) = p∗ (λi , µi ) ∈ Λ(x∗ ) i∈I(x∗ ) thỏa mãn λ∗i > với i ∈ I(x∗ ) (ii) Nón tới hạn C(x∗ ) không gian véc tơ Để thấy điều này, cho d ∈ C(x∗ ) J = {1, 2, , q}; Khi đó, (a) ∇x L(x∗ , λ∗ , µ∗ ) = =⇒ ∇x L(x∗ , λ∗ , µ∗ )t d = 0, (b) ∇gi (x∗ )t d ≤ 0, λ∗i > 0, ∀i ∈ I(x∗ ), ∇hj (x∗ )t d = 0, ∀j ∈ J, (c) ∇f (x∗ )t d ≤ =⇒ ∇gi (x∗ )t d = 0, ∀i ∈ I(x∗ ) Vì vậy, C(x∗ ) = {d | ∇gi (x∗ )t d = 0, i ∈ I(x∗ ), ∇hj (x∗ )t = 0, j ∈ J} Định nghĩa 1.5 Điểm chấp nhận x∗ ∈ F gọi thỏa mãn điều kiện quy độc lập tuyến tính (LICQ) véc tơ ∇gi (x∗ ), ∀i ∈ I(x∗ ), ∇hj (x∗ ), j = 1, 2, , q, độc lập tuyến tính Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Điều kiện quy Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) định nghĩa sau: Định nghĩa 1.6 Ta nói điều kiện quy (MFCQ) điểm chấp nhận x∗ ∈ F , hai điều kiện sau đúng: (i) q véc tơ ∇hj (x∗ ) độc lập tuyến tính, (ii) tồn véc tơ d∗ cho ∇gi (x∗ )t d∗ < 0, ∀i ∈ I(x∗ ); ∇hj (x∗ )t d∗ = 0, j = 1, 2, q Bổ đề 1.1 ([8]) Điều kiện (MFCQ) không tồn (λ, µ) = cho λi ≥ 0, ∀i ∈ I(x∗ ), (1.1) q λi ∇gi (x∗ ) + i∈I(x∗ ) µj ∇hj (x∗ ) = (1.2) j=1 Nhận xét 1.3 Cho x∗ ∈ F thỏa mãn điều kiện sau: (a) Không có ràng buộc bất đẳng thức tích cực (b) Chỉ có ràng buộc bất đẳng thức tích cực Khi đó, sử dụng (1.2), từ điều kiện (MFCQ) kéo theo điều kiện (LICQ) Định nghĩa 1.7 Một điểm chấp nhận x∗ ∈ F thỏa mãn điều kiện đủ tối ưu cấp (SC2) Λ(x∗ ) khác rỗng sup (d)t ∇2xx L(x∗ , λ, µ)d > 0, ∀d ∈ C(x∗ ), d = (1.3) (λ,µ)∈Λ(x∗ ) Kết sau biết đến điều kiện cần tối ưu Karush-Kuhn-Tucker: Giả thiết x∗ nghiệm tối ưu địa phương toán (P1 ) thỏa mãn điều kiện (LICQ) Khi đó, Λ(x∗ ) tập điểm (tức là, Λ(x∗ ) = {(λ, µ)}) thỏa mãn điều kiện cần tối ưu cấp hai cổ điển: (CN 2) (d)t ∇2xx L(x∗ , λ, µ)d ≥ 0, Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên ∀d ∈ C(x∗ ) http://www.lrc-tnu.edu.vn (CN 2) có tính chất quan trọng nhân tử Lagrange (λ, µ) cho véc tơ d ∈ C(x∗ ) Nếu điều kiện (LICQ) không đúng, Λ(x∗ ) không tập điểm điều kiện (CN 2) không thỏa mãn (xem [1]) Tuy nhiên, điều kiện (CN 2) điều kiện sau thỏa mãn (xem [5]): (i) Các hàm ràng buộc g h affine (ii) Các hàm f g lồi, h affine x∗ thỏa mãn điều kiện Slater (iii) Tồn (λ, µ) ∈ Rp+ × Rq cho (x∗ , λ, µ) điểm yên ngựa hàm Lagrange toán (P1 ) Không có điều kiện quy mà nghiệm tối ưu địa phương toán (P1 ) thỏa mãn điều kiện cần tối ưu cấp cấp Fritz John sau (xem [5]): Λ0 (x∗ ) = ∅, (1.4) ∀d ∈ C(x∗ ) ∃(λ0 , λ, µ) ∈ Λ0 (x∗ ) : (d)t ∇2xx L(x∗ , λ0 , λ, µ)d ≥ (1.5) Điều kiện cần tối ưu cấp (1.5) có hai mặt hạn chế: Thành phần thứ λ0 λ, (1.5), triệt tiêu nhân tử (λ0 , λ, µ) (1.5) không thiết cho tất véc tơ tới hạn Giả thiết nghiệm tối ưu địa phương x∗ toán (P1 ) thỏa mãn điều kiện (MFCQ) Khi đó, theo [6] Λ(x∗ ) khác rỗng bị chặn, lồi compact Mọi (λ0 , λ, µ) ∈ Λ0 (x∗ ) thỏa mãn λ0 > Điều kiện (1.5) viết (GN 2) max (d)t ∇2xx L(x∗ , λ, µ)d ≥ ∀d ∈ C(x∗ ), (λ,µ)∈Λ(x∗ ) điều kiện (GN 2) khắc phục mặt hạn chế thứ Mặt hạn chế thứ hai, ví dụ đưa [1], điều kiện (MFCQ) không kéo theo điều kiện (CN 2) Tuy nhiên, trường hợp sau, điều kiện (MFCQ) kéo theo điều kiện (CN 2): (i) n ≤ (ii) Có nhiều hai ràng buộc bất đẳng thức tích cực Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... 12 1 .2 Điều kiện cần tối ưu cấp 13 1.3 Các điều kiện quy (MMF) (GSCS) điều kiện tối ưu cấp 19 Chương Điều kiện cần tối ưu cấp cho toán có ràng buộc đẳng thức, bất đẳng. .. Luận văn trình bày điều kiện cần tối ưu cấp cho toán tối ưu với ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức với giả thiết tập nhân tử Lagrange đoạn thẳng bị chặn điều kiện cần tối ưu cấp cho cực tiểu địa... đầu Chương Điều kiện cần tối ưu cấp cho toán có ràng buộc đẳng thức bất đẳng thức 1.1 Phát biểu toán kết bổ trợ 1.1.1 Bài toán (P1 ) điều kiện quy 1.1 .2 Mở rộng