Số phức và ứng dụng vào giải toán phổ thông trung hoc

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG TRUNG HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ THỦY TIÊN SỐ PHỨC VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG TRUNG HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG ĐÀ NẴNG, 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn hoàn toàn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thủy Tiên MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn Cấu trúc luận văn CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC 1.1 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 1.2 KHÁI NIỆM SỐ PHỨC 1.2.1 Xây dựng trường số phức 1.3 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP CÁC SỐ PHỨC 1.3.1 Phép cộng 1.3.2 Phép trừ 1.3.3 Phép nhân 1.3.4 Phép chia 1.3.5 Lũy thừa bậc n số phức 1.3.6 Căn bậc hai số phức giải phương trình bậc hai 1.3.7 Căn bậc n 1.3.8 Định lí 1.3.9 Mô tả số kết hình học phẳng ngơn ngữ số phức 1.4 CÁC DẠNG BIỂU DIỄN SỐ PHỨC…………………………… 14 1.4.1 Biểu diễn số phức dạng cặp số thực 14 1.4.2 Biểu diễn số phức dạng đại số 15 1.4.3 Biểu diễn hình học số phức 15 1.4.4 Biểu diễn số phức dạng ma trận 16 1.4.5 Biểu diễn số phức dạng lượng giác dạng mũ 17 CHƯƠNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TỐN PHỔ THƠNG TRUNG HỌC 24 2.1 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 24 2.1.1 Các toán chứng minh tính chất hình học tính tốn 25 2.1.2 Các tốn tính chất thẳng hàng, đồng quy 33 2.1.3 Các tốn quan hệ song song, vng góc 36 2.1.4 Các toán đại lượng hình học 40 2.1.5 Các toán xác định tập hợp điểm 42 2.2 ỨNG DỤNG TRONG LƯỢNG GIÁC 49 2.2.1 Các tốn tính tốn 49 2.2.2 Các toán chứng minh đẳng thức, công thức lượng giác 51 2.2.3 Các tốn phương trình lượng giác 55 2.3 ỨNG DỤNG TRONG ĐẠI SỐ VÀ TOÁN TỔ HỢP 59 2.3.1 Các toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức 59 2.3.2 Các toán chứng minh công thức đại số, tổ hợp…………………62 2.3.3 Các tốn giải phương trình, hệ phương trình 66 KẾT LUẬN 81 TÀI LIỆU THAM KHẢO 82 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) DANH MỤC HÌNH VẼ Tên hình Trang 1.1 1.2 13 1.3 13 1.4 18 1.5 18 1.6 21 1.7 22 2.1 26 2.2 29 2.3 30 2.4 31 2.5 37 2.6 40 2.7 41 2.8 42 2.9 46 2.10 47 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Số phức xuất từ kỷ XIX nhu cầu phát triển Tốn học giải phương trình đại số Từ đời số phức thúc đẩy Toán học tiến lên mạnh mẽ, giải nhiều vấn đề khoa học kỹ thuật Trong chương trình đổi nội dung sách giáo khoa, số phức đưa vào chương trình Tốn học phổ thơng giảng dạy cuối lớp 12 Mục tiêu việc đưa nội dung số phức vào chương trình mơn tốn trường phổ thơng trung học hồn thiện hệ thống số khai thác số ứng dụng khác số phức Đại số, Hình học Lượng giác Một số toán xét tập số thực, việc tìm lời giải phức tạp, khó khăn Sử dụng tính chất riêng biệt số phức giúp ta tìm cách giải hiệu cho số dạng tốn thường gặp bậc phổ thơng trung học đồng thời giúp học sinh khắc sâu, tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức bản, dạng tốn quen thuộc, giải số tốn khó, phức tạp chưa có thuật tốn Tuy nhiên, học sinh bậc phổ thơng trung học số phức nội dung cịn mẻ Với thời lượng khơng nhiều, học sinh biết kiến thức số phức Vì vậy, việc khai thác ứng dụng số phức phương tiện để giải tốn cịn hạn chế Với mong muốn tổng quan số kiến thức số phức, tìm hiểu sâu ứng dụng số phức vào giải toán chương trình tốn bậc phổ thơng trung học nhằm đưa số phức trở thành cơng cụ giải tốn định hướng PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Số phức ứng dụng vào giải tốn phổ thơng trung học” làm đề tài luận văn thạc sĩ 2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, dạng biểu diễn số phức - Ứng dụng vào việc giải số tốn chương trình phổ thơng trung học, từ giúp HS thấy ý nghĩa quan trọng số phức Tốn học nói chung giải tốn nói riêng Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sở lý luận thực tiễn việc sử dụng số phức công cụ để giải tốn, phân loại dạng tốn sử dụng số phức để giải đưa phương pháp giải cho dạng cụ thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu đề tài số phức, dạng biểu diễn số phức, số toán chương trình phổ thơng trung học sử dụng số phức để giải - Phạm vi nghiên cứu đề tài ứng dụng số phức việc giải số tốn chương trình phổ thơng trung học Phương pháp nghiên cứu - Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến số phức ứng dụng - Trao đổi tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn luận văn Ý nghĩa khoa học thực tiễn - Nâng cao kiến thức, kĩ sử dụng công cụ số phức nhằm đưa cách giải hiệu cho số dạng tốn thường gặp trường phổ thơng trung học - Góp phần phát huy tính tư tự học học sinh Cấu trúc luận văn Luận văn phần mở đầu, kết luận gồm chương: Chương Giới thiệu số phức Chương Ứng dụng số phức vào giải tốn phổ thơng trung học CHƯƠNG GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC Trong chương này, giới thiệu số kiến thức liên quan số phức, lịch sử hình thành khái niệm số phức, phép toán tập hợp số phức, dạng biểu diễn số phức… Các kiến thức trình bày chủ yếu tham khảo tài liệu [1], [4], [6], [9] 1.1 LỊCH SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM SỐ PHỨC Lịch sử số phức kỉ thứ XVI Đó thời kì Phục hưng tốn học châu Âu sau đêm trường trung cổ Các đại lượng ảo -1, b -1 , a + b -1 xuất từ kỉ XVI cơng trình của nhà toán học Italy “Nghệ thuật vĩ đại quy tắc đại số” (1545) G Cardano (1501 – 1576) “Đại số” (1572) R Bombelli (1530 – 1572) Khi giải phương trình bậc hai Cardano Bombelli đưa vào xét kí hiệu -1 lời giải hình thức phương trình x + = Xét biểu thức b -1 nghiệm hình thức phương trình x + b = Khi biểu thức tổng quát có dạng a + b -1, b ¹ xem nghiệm hình thức phương trình ( x - a) + b = Về sau biểu thức dạng a + b -1, b ¹ xuất trình giải phương trình bậc hai, bậc ba (cơng thức Cardano) gọi đại lượng “ảo” sau Gauss gọi số phức thường kí hiệu a + ib , kí hiệu i = -1 L.Euler đưa vào (năm 1777) gọi đơn vị “ảo” Ta có hệ thức i = -1 định nghĩa số i cho phép ta đưa vào xét số phức Người nhìn thấy lợi ích đưa số phức vào tốn học mang lại nhà tốn học Italy R Bombelli Trong “Đại số” (1572) ông định nghĩa phép tính số học đại lượng ảo ơng sáng tạo nên lí thuyết số “ảo” Thuật ngữ số phức dùng K Gauss (năm 1831) Vào kỉ XVII – XVIII nhiều nhà toán học khác nghiên cứu tính chất đại lượng ảo (số phức) khảo sát ứng dụng chúng Chẳng hạn L Euler (1777 – 1855) nhà toán học Đức mở rộng khái niệm logarit cho số phức (1738), cịn A Moivre (1667 – 1754) nhà tốn học Anh nghiên cứu giải toán bậc tự nhiên số phức (1736) Lý thuyết túy số học số phức với tư cách cặp số thực có thứ tự (a,b), a Î ¡, b Î ¡ xây dựng nhà toán học Ailen W.Hamilton (1837) Ở đơn vị “ảo” i đơn giản cặp số thực có thứ tự - cặp (0;1), tức đơn vị “ảo” lí giải cách thực Cho đến kỉ thứ XIX, Gauss thành công việc luận chứng cách vững khái niệm số phức Tên tuổi Gauss gắn liền với phép chứng minh xác định lí Đại số khẳng định trường số phức £ phương trình đa thức có nghiệm Bản chất đại số số phức thể chỗ số phức phần tử trường mở rộng (đại số) £ trường số thực ¡ thu phép ghép đại số cho ¡ nghiệm i phương trình x + = Với định lí Đại số, Gauss chứng minh trường số phức £ trường đóng đại số Điều có nghĩa xét nghiệm phương trình đại số trường ta khơng thu thêm số Nhìn lại 2500 năm từ thời Pythagor tới giờ, đường phát triển khái niệm số tóm tắt ¥ đ  đ Ô đ Ă đ Ê vi cỏc bao hm thc: Ơ đ đÔđ Ă đÊ 68 Vậy ( y - y1)( y - y2 )( y - y3 ) = y3 - y2 ( y1 + y2 + y3 ) + y( y1 y2 + y2 y3 + y1 y3 ) - y1 y2 y3 = y3 + py + q Đa thức y + py + q phân tích thành nhân tử tuyến tính, ta nghiệm y1 , y2, y3 Người ta thường viết dạng: q q p3 q q p3 y= - + + - + + 27 27 (*) gọi công thức Cadano ( Girolamo Cadano, Ý, tìm năm 1545) Chú ý: Trường hợp p q phương trình y + py + q = số thực ta có nhận xét sau: q p3 + < : phương trình có ba nghiệm thực phân biệt - Nếu 27 q p3 + = : phương trình có hai nghiệm thực - Nếu 27 q p3 + > : phương trình có nghiệm thực hai nghiệm - Nếu 27 phức liên hợp Bài toán 38 Giải phương trình x + 3x - 3x - 14 = Lời giải: Đặt x = y + Phương trình cho trở thành : y - y - = 69 q p 49 + = > phương trình có nghiệm thực hai Xét 27 nghiệm phức liên hợp Đặt y = u + v y3 - y - = Û (u + v )3 - 6(u + v ) - = Û u + v + 3uv(u + v ) - 6(u + v) - = Û u + v + 3(u + v)(uv - 2) - = ìu + v = ìu = Þ í (vì vai trị u, v nhau) Chọn í ỵv = ỵuv = 3 Theo cơng thức Cácđanơ y = u + v = + = ì y1 = u1 + v1 ï í y2 = u1e + v1e ï ỵ y3 = u1e + v1e ì ï y1 = ï ï Þ í y2 = - + i ï ï ï y3 = - - i ỵ ì ï x1 = ï Vậy nghiệm phương trình là: ïí x2 = - + i ï ï ï x3 = - - i ỵ 3 3 Bài toán 39 Giải phương trình x + x + 24 x + 19 = 70 Lời giải: Đặt x = y - Phương trình cho trở thành : y - y + = q p -3 + = > phương trình có nghiệm thực phân biệt Xét 27 Đặt y = u + v y3 - y + = Û (u + v)3 + 3(u + v ) + = Û u + v + 3uv(u + v) + 3(u + v ) + = Û u + v + 3(u + v )(uv + 1) + = ìu + v = -1 Chọn í uv = ỵ u , v3 nghiệm phương trình bậc hai : t + t + = có D = -3 < Suy u = - + i 3 ;v = - - i 2 Chuyển sang dạng lượng giác để khai uv =1 ta tìm (u,v) thỏa mãn là: 2p 2p + i cos 9 2p 2p v = cos - i cos 9 u = cos Vậy nghiệm phương trình là: 71 2p 2p ì ì ï y1 = 2cos ï x1 = 2cos - ï ï 4p 4p ï ï Þ í y2 = 2cos Þ í x2 = 2cos - 9 ï ï 8p 8p ï ï ï y3 = 2cos ï x3 = 2cos - ỵ ỵ ì y1 = u1 + v1 ï í y2 = u1e + v1e ï ỵ y3 = u1e + v1e Một phương trình với ẩn phức f ( z ) = với nghiệm z = x + yi ( x, y Ỵ R ) , giải cách tách phần thực phần ảo ta ln đưa dạng hệ phương trình ì h( x, y ) = h( x; y ) + ig ( x; y ) = Û í g ( x , y ) = ỵ Chúng ta hồn tồn sáng tạo hệ phương trình cách sử dụng bậc n số phức cho trước nhờ ta dùng số phức để giải hệ phương trình Sau cách sáng tạo hệ phương trình cách lũy thừa ba số phức cho trước: Tổng quát: Cho z = ax + byi với a, b Ỵ  Với số phức tùy ý a + b i ta xác định x, y nghiệm hệ phương trình sáng tác cho z = a + b i Khi ta có: z = ( ax + byi ) = a x3 + 3a x 2byi + 3axb y 2i + b3 y 3i 3 ( ) ( ) = a x3 - 3axb y + 3a x 2by - b3 y i = a + b i Tách phần thực phần ảo ta có hệ phương trình: ìï a x - 3axb y = a í 2 3 a x by b y = b ïỵ Để tìm nghiệm (x,y) hệ phương trình dạng ta cần xác định số phức z = ax + byi tìm bậc ba số phức a + b i 72 - Với toán này, ta cho z = a + b i ta hệ phương trình: ìa x - b y = a í abxy = b ỵ Để tìm nghiệm (x,y) hệ phương trình dạng ta cần xác định số phức z = ax + byi tìm bậc hai số phức a + b i - Và với toán này, ta dùng z n ( n ³ ) ta hệ phương trình phức tạp nhiều Để tìm nghiệm (x,y) hệ phương trình dạng ta cần xác định số phức z = ax + byi tìm bậc n số phức a + bi Ví dụ 1: Xét số phức z = -1+ i Giả sử x + iy số phức thỏa mãn điều kiện: (x + iy ) = -1 + 3i Û x3 + x 2iy + xi y + i y = -1 + 3i ( ) ( ) Û x - xy + x y - y i = -1 + 3i ìï x - xy = -1 Ûí ïỵ3 x y - y = Ta toán sau: ïì x - 3xy = -1 Bài tốn 40 Giải hệ phương trình : í ïỵ3 x y - y = Lời giải: Nhân hai vế phương trình thứ hai với i cộng với phương trình thứ ta được: ( ) x - xy + i x y - y = -1 + i Û x + x yi + xy 2i + i y = -1 + 3i Û ( x + iy ) = -1 + i 73 æ Vậy z = x + iy bậc ba số phức : -1 + 3i = ỗ cos ố 2p 2p + i sin 3 ÷ ø Ta tìm giá trị z là: ỉ 2p 2p ỉ 8p 8p ỉ 14p 14p ỗ cos + i sin + isin + i sin ữ ; ỗ cos ữ ; ỗ cos ữ 9 ứ 9 ø 9 ø è è è Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) : ì 2p ïï x = 2cos ; í p ï y = sin ïỵ ì 8p ïï x = 2cos ; í p ï y = sin ïỵ ì 14p ïï x = 2cos í 14 p ï y = sin ïỵ ìï2 x - xy = Bài toán 41 Giải hệ phương trình : í ïỵ6 x y - y = Lời giải: Nhân hai vế phương trình thứ hai với i cộng với phương trình thứ ta ( ) x - xy + i x y - y = + 3i 5 3i + 2 5 3i Û x + x yi + xy 2i + i3 y = + 2 Û ( x + iy ) = 25 + 23i ( ) Û x - xy + i x y - y = Vậy z = x + iy bậc ba số phức 5 3i ổ p pử + =5 ỗ cos + i sin ÷ 3ø 2 è Ta tìm giá trị z : æ ổ p pử 7p 7p ỗ cos + i sin ữ ; ỗ cos + i sin 9ø 9 è è ỉ 13p 13p + i sin ữ ; ỗ cos 9 ø è ÷ ø 74 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x, y) : ì p ïï x = 5cos ; í ï y = sin p ỵï ì 7p ïï x = 5cos ; í ï y = sin 7p ỵï ì 13p ïï x = 5cos í ï y = sin 13p ỵï Ngồi ra, ta cịn sáng tạo hệ phương trình từ hai số phức cho trước sau: Tổng quát, gọi z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2 i số phức cho trước, cho z = x + yi ta xác định x, y nghiệm hệ phương trình ta sáng tạo cho: ( z - z1 )( z - z2 ) = Û z - ( z1 + z2 ) z + z1.z2 = z1 z2 z z z = z1 + z2 Þ z + = z1 + z2 z z z z z z Þ z + 22 = z1 + z2 z Þ z+ Thay z = x + yi , z1z2 = ( a1a2 - bb ) + ( a1b2 + a2b1 ) i, z1 + z2 = ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) i vào ta phương trình: é( a1a2 -bb ) + ( ab + a2b1 ) iù û.( x - yi) = a + a + b + b i x + yi + ë ( 2) ( 2) 2 x +y Û x + yi + Ûx+ ( aa -bb ) x -( ab + a2b1 ) y + é + a2b1 ) x -( aa -bb ) yù ë( ab ûi x2 + y2 = ( a1 + a2 ) +( b1 +b2 ) i ( a1a2 -bb ( ab + a b ) x -( a1a2 -bb ) x -( ab + a2b1 ) y é ) yù + y+ 2 i= x2 + y2 ê ë x2 + y2 ú û Tách phần thực phần ảo ta hệ phương trình: ( a1 + a2 ) +(b1 +b2 ) i 75 ì ( a1a2 - b1b2 ) x + ( a1b2 + a2b1 ) y = ( a1 + a2 ) ïx + x2 + y ï í + a b a b x a a b b y ( ) ( ) 2 ïy + 2 = ( b1 + b2 ) 2 ï x y + î Từ cách sáng tạo hệ phương trình từ hai số phức ta suy ngược lại để tìm cách giải hệ phương trình dạng Vậy nghiệm (x,y) hệ phương trình dạng ta cần xác định số phức z1 , z2 Ví dụ 2: Cho số phức z1 z sau: ì z1 = - 3i ì z1 + z2 = - i Þ í í = + = z i z z 16 11 i ỵ ỵ Vậy z1 z2 nghiệm phương trình: z - ( - i ) z + 16 - 11i = Û z - ( - i ) + Û z+ 16 - 11i =0 z (16 - 11i ) z = - i 16 - 11i = 7-i Û z + z zz Giả sử z = x + iy với x, y Ỵ ¡ Khi phương trình viết lại : x - iy x - iy - 11i = 7-i 2 x +y x + y2 16 x - 11y 11x + 16 y Û x + iy + -i = 7-i x + y2 x + y2 x + iy + 16 Û x+ 16 x - 11 y ỉ 11x + 16 y +ỗ y- ữi = - i 2 x +y x + y2 ø è ì 16 x - 11y ï x + x2 + y = ï Ûí 11 x + 16 y ïy = -1 ïỵ x2 + y 76 Ta tốn sau: ì 16 x - 11y =7 ïx + 2 x y + ï Bài toán 42 Giải hệ phương trình í 11x + 16 y ïy = -1 ïỵ x + y2 Lời giải: Điều kiện x + y ¹ 2 Đặt z = x + yi ( x , y Ỵ R ) Þ x - iy = z x + y2 Nhân hai vế phương trình thứ hai với i cộng với phương trình thứ ta được: 16 x - 11y 16 x - 11y -i = 7-i x + y2 x + y2 x - iy x - iy Û x + iy + 16 = 7-i 11 i x + y2 x + y2 16 - 11i Û z+ = - i Û z2 - ( - i ) z + 16 - 11i = z é z = - 3i Ûê ë z = + 2i x + iy + Hệ phương trình có hai nghiệm (x,y) (2, -3) (5, 2) 3x - y ì x + =3 2 ï x y + ï Bài toán 43 Giải hệ phương trình í x y + ïy =0 ïỵ x2 + y Lời giải: Nhân hai vế phương trình thứ hai với i cộng với phương trình thứ ta 77 x + yi + x - y - xi - yi =3 x2 + y2 Û x + yi + 3( x - yi ) - i ( x - yi ) = x2 + y2 2 Giả sử z = x + yi Þ z = x - yi;| z | = x + y x + yi + (3 - i ) z - iz 3( x - yi ) - i ( x - yi ) Û z + = z = Û + = x2 + y2 | z |2 z Û z - 3z + - i = , D = -3 + 4i = (1 + 2i ) ; z - z + - i = Û z1 = + + 2i - - 2i = + i; z = = 1- i 2 Từ suy nghiệm hệ ban đầu ( x; y ) Ỵ {(2;1); (1; -1)} ì ỉ = ï x ỗ1 + 2 ữ ù ố x +y ø Bài tốn 44 Giải hệ phương trình: í ï y ổ1 - = ù ỗ x2 + y2 ữ ứ ợ ố Lời giải: Nhân vế phương trình thứ hai với i cộng vế với phương trình đầu Đặt z = x + yi ta phương trình ẩn z: z + z = + i z Û z - az + = z+ ư ỉ2 ổ z=ỗ + ỗ ữữ i ữ 21 ứ ỗố ố ứ z = + i z 78 ỡ ùx = ù ịớ ùy = ùợ ì x= + 21 ïï ;í 2 + ïy = ïỵ 21 2 - Thử lại ta thấy hai nghiệm thỏa mãn hệ Ngoài ra, ta sáng tạo hệ phương trình phức tạp từ số phức cho z = u + iv với u, v hàm biểu diễn theo x, y Bài toán 45 Giải hệ phương trình sau: ì ỉ ï x ỗ1 + ữ=2 ù ố x+ yứ ổ ù y 1ỗ ữ=4 ù x y è ø ỵ Lời giải: Điều kiện x > 0; y > đặt u = x ; v = y (u > 0; v > 0) Hệ đưa về: ì ỉ u + = ỗ ù 2 ữ u v + ø ï è í ỉ ùv = ùợ ốỗ u + v ÷ø Vì u + v bình phương modun số phức z = u + iv , cách 2 cộng phương trình thứ với phương trình thứ hai (sau nhân với i) ta u + iv + Mà u - iv = +i 2 u +v u - iv z z = = = nên: u + v z z z z 79 u + iv + Û z+ u - iv = +i 2 u +v = +i z ổ 2ử z - ỗỗ +i ÷÷ z + = è ø 2 ỉ 2 38 ổ D ' = ỗỗ + i ữữ - = - + i=ỗ +i 2ữ 21 7 21 è ø è ø Hay z = ổ2 + i ỗỗ ± ÷÷ 21 è ø ỉ 2 + ; + ÷÷ Do đó, nghiệm hệ Từ suy (u , v) = ỗỗ 21 ố ứ phương trình cho là: 2 ỉỉ ỉ2 ư ỉ 11 + 22 + ö ö ( x, y ) = ç ç ; + + ÷÷ ÷ = çç ữữ ữ ; ỗỗ ỗố ữ 21 21 ø è ø ø è ø è ì ổ ù 10 x ỗ + ữ=3 ï è 5x + y ø Bài toán 46 Giải hệ phương trình í ï y ỉ - = -1 ù ỗố x + y ữứ ỵ ( x, y Ỵ R ) Lời giải: Điều kiện x> 0, y> ì ỉ u ỗ1 + 2 ữ = ù ỡu = x u +v ø Đặt ïí ( u, v > ) ta có hệ phương trình ïí ỉè v = y ïỵ ïv = -1 ù ỗố u2 + v ữứ î 80 Đặt z = u + iv Þ u - iv = z u2 - v Từ hệ phương trình ta có : ỉ u ç1 + 2 è u +v ( ỉ ữ + iv ỗ - 2 ứ è u +v ) -i ÷= ø Û z - - 2i z + = é z = - 2i ê Ûê +i êz = ë Do u, v > nên u = ; v = ỉ Vậy hệ phương trình cú nghim (x, y) l ỗ ;1ữ ố 10 ø Nhận xét: Như vậy, số hệ phương trình có ‘‘xuất xứ” từ phương trình nghiệm phức Bằng cách ngược lại trình từ phương trình nghiệm phức hệ phương trình, từ hệ phương trình cho ta thu phương trình nghiệm phức gốc Giải phương trình nghiệm phức này, so sánh phần thực phần ảo, ta nghiệm hệ phương trình 81 KẾT LUẬN Luận văn “Số phức ứng dụng vào giải tốn phổ thơng trung học” hoàn thành mục tiêu đề thể qua nội dung sau: Nhắc lại, hệ thống bổ sung kiến thức cần thiết số phức, kiến thức mẻ quan trọng chương trình phổ thơng Giới thiệu phương pháp giải tốn hình học phẳng, lượng giác, đại số ngôn ngữ số phức nhằm khai thác tối ưu ứng dụng số phức - phương pháp tỏ có nhiều ưu điểm riêng so với phương pháp khác Hệ thống phân loại số lớp tốn hình học phẳng, lượng giác, đại số giải phương pháp số phức để đưa phương pháp giải chi tiết, lời giải ngắn gọn, cụ thể nhằm minh họa rõ ứng dụng thể qua hệ thống toán chọn lọc đề thi quốc gia quốc tế, định lý tiếng hình học Đặc biệt, số tốn tìm tập hợp điểm, ứng dụng phép biến hình hình học phẳng, tốn chứng minh bất đẳng thức tương đối khó học sinh giải chi tiết theo phương pháp Trong trình làm luận văn, có nhiều cố gắng song điều kiện khách quan lực có hạn thân nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận góp ý chân thành quý thầy bạn để tiếp tục tìm hiểu, nghiên cứu phát triển luận văn sau 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Điển (2000), Phương pháp số phức hình học phẳng, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [2] Nguyễn Phụ Hy - Nguyễn Quốc Bảo (1996), Ứng dụng số phức để giải toán sơ cấp, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Hàm số biến số phức, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội [4] Nguyễn Văn Lộc, Toán tổ hợp - Thống kê xác xuất – Số phức (2011), NXB ĐH Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [5] Phạm Thành Luân (2005), Số phức ứng dụng, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (chủ biên) (2009), Chuyên đề chọn lọc số phức áp dụng, NXB ĐH Quốc Gia Hà Nội [7] Lê Hồnh Phị (2008), Phân dạng phương pháp tốn giải số phức, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [8] Đồn Quỳnh (1997), Số phức với hình học phẳng, NXB Giáo Dục [9] Phạm Xuân Thám, Luận văn: Bồi dưỡng lực ứng dụng số phức vào giải tốn hình học phẳng lượng giác cho học sinh giỏi trung h học phổ thông (2008), ĐH Thái Nguyên [10] Võ Thanh Vân (chủ biên), Lê Hiên Dương, Nguyễn Ngọc Giang (2009), Chuyên đề ứng dụng số phức giải tốn phổ thơng trung học, NXB ĐH Sư Phạm ... đề tài ? ?Số phức ứng dụng vào giải tốn phổ thơng trung học” làm đề tài luận văn thạc sĩ 2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu số phức, dạng biểu diễn số phức - Ứng dụng vào việc giải số toán chương... Với mong muốn tổng quan số kiến thức số phức, tìm hiểu sâu ứng dụng số phức vào giải tốn chương trình tốn bậc phổ thông trung học nhằm đưa số phức trở thành công cụ giải toán định hướng PGS TS... 1.4.5 Biểu diễn số phức dạng lượng giác dạng mũ 17 CHƯƠNG ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN PHỔ THÔNG TRUNG HỌC 24 2.1 ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 24 2.1.1 Các tốn chứng minh tính