Tam thức bậc hai ứng dụng trong giải bài toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp

Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI CẢM ƠN Trong trình nghiên cứu đề tài: “Tam thức bậc hai-ứng dụng giải toán sáng tạo toán sơ cấp” nhận nhiều giúp đỡ thầy, cô giáo, gia đình bạn bè Trước hết, với lòng kính trọng biết ơn chân thành, em xin gửi lời cảm ơn tới ThS Phạm Lương Bằng tận tình quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn, bảo em suôt trình nghiên cứu đề tài Em xin trân trọng cảm ơn lãnh đạo trường Đại hoc Sư Phạm Hà Nội 2, đặc biệt tập thể giảng viên khoa toán, quan tâm giúp đỡ em trình hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Tôi xin cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên tôi, tạo điều kiện cho hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Trong trình nghiên cứu đề tài cố gắng, không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong nhận góp ý thầy cô bạn sinh viên để đề tài hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2013 Sinh viên Đinh Thị Minh Đinh Thị Minh K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài: “Tam thức bậc hai-ứng dụng giải toán sáng tạo toán sơ cấp” hướng dẫn ThS Phạm Lương Bằng công trình nghiên cứu riêng Các kết không trùng với kết công bố Nếu có không trung thực xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Sinh viên Đinh Thị Minh Đinh Thị Minh K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1 Kiến thức 1.2 Bất phương trình bậc hai 1.3 Định lý đảo dấu tam thức bậc hai 1.4 Dấu tam thức bậc hai miền 16 1.5 Định lý Vi - ét 20 1.6 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 23 1.7.Ứng dụng tìm GTLN-GTNN hàm số 26 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH- BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 31 2.1 Phương trình bậc 31 2.2 Phương trình bậc 34 2.3 Phương trình - bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 44 2.4 Phương trình - bất phương trình vô tỷ 47 2.6 Phương trình - bất phương trình lượng giác 54 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 57 3.1 Hệ phương trình bậc hai 57 3.2 Một số hệ phương trình đưa hệ phương trình bậc hai 61 CHƯƠNG 4: SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN SƠ CẤP 76 KẾT LUẬN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 Đinh Thị Minh K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình toán sơ cấp, tam thức bậc xương sống, phần quan trọng chương trình Khi giải toán lựa chọn phương pháp giải bước quan trọng.Tam thức bậc phương pháp giải hay có ứng dụng nhiều giải toán sơ cấp Với lý với lòng say mê tìm tòi nghiên cứu giúp đỡ nhiệt tình ThS Phạm Lương Bằng chọn đề tài: “Tam thức bậc hai- ứng dụng giải toán sáng tạo toán sơ cấp”,để đề tài khóa luận tốt nghiệp Với mong muốn giúp học sinh có nhìn toàn diện phương pháp giải cho toán Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học thấy vị trí quan trọng tam thức bậc chương trình toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Ứng dụng tam thức bậc giải toán sáng tạo toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu  Đối tượng nghiên cứu - Phương trình bậc 2, phương trình bậc cao, phương trình mũ, phương trình logarit, phương trình lượng giác, … - Bất phương trình bậc 2, bất phương trình mũ, logarit, … - Hệ phương trình bậc hai  Phạm vi nghiên cứu Các toán chương trình toán sơ cấp Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, so sánh phân tích tổng hợp Đinh Thị Minh K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng CHƯƠNG TAM THỨC BẬC HAI VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1.1 Kiến thức 1.1.1 Phương trình bậc hai thực sự: ax  bx  c   a  0, a, b, c    b  4ac      0: (  '  b '2  ac , b '  (1) b ) (1) có nghiệm phân biệt : x1,2 =   : (1) có nghiệm kép x   b   2a b 2a   : (1) vô nghiệm 1.1.2 Dấu tam thức bậc hai A Định lý: Cho tam thức bậc hai f  x   ax  bx  c  Nếu   af  x   , x  R  Nếu   af  x   , x   Nếu   f  x  có nghiệm x1 x2 + af  x   , x   x1 , x2  + af  x   , x   x1 , x2   a  0 b 2a  x1  x2  B Ý nghĩa hình học  0 Đinh Thị Minh K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng y y x1 O x1 O x2 x2 x x a0 a0  x  x2 + f  x     x  x1 + f  x    x1  x  x2 + f  x    x1  x  x2  x  x2 + f  x     x  x1  0 y y x0 O O x0 x a  : f  x   , x  x0  x a  : f  x   , x  x0 0 y y O O x a  : f  x   , x  Đinh Thị Minh x a  : f  x   , x  K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng C Thí dụ minh họa Ví dụ : Xét dấu biểu thức sau: a) f  x   2 x  x  b) g  x   x  12 x  c) h  x   x  x  Giải a) f  x  tam thức bậc hai x có a  2    81  f  x  >0 1  x  7  x  f  x  [...]...  S2 X n2    1 Sn  0 1.6 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 1.6.1 Phương pháp: Để chứng minh A  B (1) ta đi thiết lập một tam thức bậc hai đặc trưng cho (1) là f  x  f  x  cần thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau:   f  0  A B    f  0  a f  0  f  x   0 , x   f  0  a f  0  f  x   0 , x   f  0 Đinh Thị Minh 23 K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD:... GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng Nếu   0 thì f  x   0 vô nghiệm Nếu   0 thì f  x   0 có 2 nghiệm và  S b  2  2a      x1  x2   S  b    x  x   1 2  2 2a 1.3.2 Các ứng dụng 1.3.2a So sánh 2 nghiệm của phương trình bậc hai với 1 số thực  cho trước a) Phương Pháp Cho tam thức bậc hai f  x   ax 2  bx  c ,  a  0  , số thực  , f  x  có 2 nghiệm thỏa mãn: 1) x1    x2 ... GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng f  x  hoặc  f phải thỏa mãn C  D mà từ các phương pháp  khác ta chứng minh được A  B Tương tự chứng minh các bất đẳng thức sau: A  B; A B; A B 1.6.2 Thí dụ minh họa Ví dụ 1: Cho n số ai   0,1 , i  1, n CMR: 1  a1  a2   an  2  4  a12  a 2 2   an 2  (1) Giải Xét tam thức bậc hai: f  x   x 2  1  a1  a2   an  x   a12  a2 2   an 2...  2  x2 + 1 x    2 6 Phương trình vô nghiệm  1.4 Dấu của tam thức bậc hai trên một miền 1.4.1 Cho tam thức bậc hai: f  x   ax 2  bx  c , a  0 a) b) +) f  x   0 x  a  0     0 +) f  x   0 x  a  0     0  a  0    0 1) f  x   0 x      a  0    x1  x2   Đinh Thị Minh 16 K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng  a  0 ... K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức sau: 3x 2  5 y 2  4 xy  8 x  2 y  9  0 (1), x, y  Giải Coi VT(1) là tam thức bậc hai của x Ta có VT(1)= 3x 2  4  y  2  x  5 y 2  2 y  9 Có a  3 2 2  '  4  y  2   3 5 y 2  2 y  9   11 y  1  0 , y   VT (1)  0 , x, y   (đpcm)  '  0 y 1  Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi... 2sin 2 C A B C 1  2cos  sin   0 (2) 2 2 2 2 Đinh Thị Minh 25 K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp Do  '  cos 2 GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng AB 1 0 2  (2) luôn đúng A, B, C là các góc trong tam giác Vậy (1) đúng  (đpcm) 1.6.3 Bài tập Bài 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: b2 x2   b2  c2  a 2  x  c2  0 , x  (1) Trong đó, a,b,c là độ dài 3 cạnh của ABC Gợi ý: Ta có: 2  '   b 2  c... Th.S Phạm Lương Bằng Nếu y là 1 giá trị của hàm số thì phương trình f  x   y có nghiệm x  D Vậy {y} là miền giá trị của hàm số Chú ý: Chúng ta có thể sử dụng tính chất định tính và định hình của tam thức bậc hai để xác định được giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số Với hàm số: f  x   ax 2  bx  c, ( giả sử a  0 ) Xét trên đoạn  ;   + Trường hợp 1: nếu hoành độ đỉnh của parabol x0  ...  2   y  0  y  0 Bài 3: Tìm GTLN-GTNN của hàm số: a) y  2 x 4  4 x 2  1 trên đoạn 1;2 b) y  cos 4 x  sin 4 x  a sin x.cos x Đinh Thị Minh 30 K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S Phạm Lương Bằng CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC HAI 2.1 Phương trình bậc 3 Dạng phương trình: f  x   ax3  bx 2  cx  d  0  a  0 (1) 2.1.1 Cách giải: - Bước 1: Đoán nghiệm... 5) Tương tự với các trường hợp f  x   0 , x  D - Nếu f  x  có chứa tham số thì xét thêm trường hợp a  0 +) Lưu ý:  Nếu yêu cầu bài toán là tìm điều kiện để f  x   0 , không có nghiệm x  D thì ta đi xét bài toán ngược : f  x   0 , x  D 1.4.2 Thí dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm m để bất phương trình:  m  2  x 2  3  m  6  x  m  1  0 nghiệm đúng với mọi x   1,0  Giải Đặt f  x... x1 , x2 là nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn hệ:  x1  x2  x1 x2  0  ( x1  x2 )  mx1 x2  2m  1 (I) a) Hãy lập phương trình bậc hai đó b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trài dấu nhau Giải S   P S  P  0 a) Ta có: (I)      S  mP  2m  1  P  m  1  2m  1 S   P +) Nếu m  1 thì (I)   (vô nghiệm) 0  3 Đinh Thị Minh 21 K35G –Sp Toán Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Th.S ... ứng dụng nhiều giải toán sơ cấp Với lý với lòng say mê tìm tòi nghiên cứu giúp đỡ nhiệt tình ThS Phạm Lương Bằng chọn đề tài: Tam thức bậc hai- ứng dụng giải toán sáng tạo toán sơ cấp ,để đề tài... tài Trong chương trình toán sơ cấp, tam thức bậc xương sống, phần quan trọng chương trình Khi giải toán lựa chọn phương pháp giải bước quan trọng .Tam thức bậc phương pháp giải hay có ứng dụng. .. trình bậc hai 1.3 Định lý đảo dấu tam thức bậc hai 1.4 Dấu tam thức bậc hai miền 16 1.5 Định lý Vi - ét 20 1.6 Ứng dụng chứng minh bất đẳng thức 23 1.7 .Ứng dụng