Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu có ràng buộc và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI ĐẶNG THỊ THANH HUYEN QUY TẮC NHÂN TỬ HĨA MỜ CỦA BÀI TỐN TỐI ƯU CĨ RÀNG BUỘC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học TS TRẦN VĂN BẰNG Lời cảm ơn Hà Nội - 2014 Trong trình học tập, nghiên cứu hoàn thành Luận văn, tác giả nhận động viên, giúp đỡ bạn bè, đồng nghiệp, người thân, thầy giáo, cô giáo Khoa Tốn, thầy, phịng Sau đại học thầy, cô trực tiếp giảng dạy Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tất người hỗ trợ tơi để hồn thành Luận văn Đặc biệt, xin cảm ơn TS Trần Văn Bằng, người thầy định hướng bảo tận tình để tơi hồn thành Luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, 20 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả Lời cam đoan Luận văn kết thân em đạt trình học tập nghiên cứu, hướng dẫn TS Trần Văn Bằng giúp đỡ Thầy, Cơ khoa Tốn Trường ĐHSP Hà Nội Thầy, Cô trực tiếp giảng dạy chúng em Trong nghiên cứu, hoàn thành Luận văn em tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài “Quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng” khơng có trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, 20 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả Mục lục Một số kiến thức chuẩn bị Chương Một số khái niệm không gian Banach 1.1 Hàm không gian Banach Dưới vi phân Préchet Quy tắc tổng mờ Quy tắc nhân tử hóa mờ ứng dụng Chương 5 Bài tốn tối ưu 2.1 Quy tắc nhân tử hóa mờ ứng dụng Bài toán cực tiểu với hữu hạn ràng buộc 2.2 ứng dụng Bài tốn cực tiểu với vơ hạn ràng buộc 2.2 ứng dụng 2 Tài liệu tham khảo Mở đầu Lí chọn đề tài Giải tích khơng trơn đời năm 70 kỷ 20 nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho tốn với kiện khơng trơn, với kiện Lipschitz hay với kiện nửa liên tục Cho tới có nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đưa thường gọi tên “dưới vi phân” như: vi phân suy rộng Clark, vi phân Préchet, vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy rộng đáp ứng phần yêu cầu đặt Tuy nhiên nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần tiếp tục tìm hiểu khai thác Đặc biệt việc mở rộng tiêu chuẩn, quy tắc biết đạo hàm cổ điển sang cho đạo hàm suy rộng Toán học tính tốn để tìm “tối ưu” nhằm phục vụ người Một toán tối ưu quan trọng tìm cực trị có điều kiện hàm vô hướng Đối với trường hợp hàm mục tiêu ràng buộc trơn, Lagrange cho quy tắc nhân tử hóa tuyệt vời để chuyển tốn cực trị có điều kiện toán cực trị tự Vấn đề đặt hàm mục tiêu kiện khơng trơn, nói cách khác sử dụng vi phân quy tắc nhân tử hóa nào? Được hướng dẫn TS Trần Văn Bằng, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng” Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu vi phân Préchet, quy tắc nhân tử hóa mờ tốn tối ưu có ràng buộc ứng dụng chúng Nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống, tổng hợp kiến thức vi phân Fréchet số ứng dụng vào lý thuyết tối ưu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Dưới vi phân Fréchet ứng dụng Phạm vi: Nghiên cứu lớp hàm nửa liên tục Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu giải tích hàm lý thuyết Những đóng góp Luận văn Trình bày hệ thống số kết vi phân Fréchet, quy tắc nhân tử hóa mờ ứng dụng Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương ta trình bày khái niệm không gian Banach, hàm không gian Banach, vi phân Fréchet quy tắc tổng mờ 1.1 Một số khái niệm không gian Banach Trong luận văn này, nói tới khơng gian Banach ln hiểu khơng gian Banach thực, thường kí hiệu X, với chuẩn 11-11^ hay đơn giản ||.|| Cho X khơng gian Banach Kí hiệu HÌNH CẦU ĐƠN VỊ (đóng) MẶT CẦU ĐƠN VỊ X tập hợp BỴ £ X : ||a;|| < 1}, SX ■— {X & X : ||a;|| = 1} Ví dụ 1.1 (P3,L3J,L8J)- Ta có: Khơng gian tuyến tính với chuẩn ||zỊỊ = X)*=1 IX I\ không gian Banach Cho Q c tập đo Lebesgue Khi khơng gian tuyến tính L P (ÍÌ) (1 < P < 00 ) tất hàm số thực đo X = X(T ) íĩ cho F Q \X(T)\ P DT < oo với chuẩn II2 ;II = (F Q \X(T)\ P DT) ^ khơng gian Banach Khơng gian tuyến tính L°° (ri) tất hàm số thực đo X — X(T ) cho esssupn |a:(í)| < +00 với chuẩn ||a;|| = supn | rc (í) Ị khơng gian Banach Khơng gian tuyến tính l p (1 < p < 00 ) tất dãy số thực X = 00 \ /p (X(I)) cho chuỗi Ỵ2 hội tụ với chuẩn ||:c|| = |:c(ỉ)|p i= ] không gian Banach Không gian tuyến tính L°° tất dãy số thực X = (X(Ỉ )) cho supj |a;(i)| < +00 với chuẩn ||a;|| = supj |rc(z)I không gian Banach Không gian tuyến tính CỊA , ] hàm thực liên tục đoạn [A, B] với chuẩn ||x|| = max |a:(í)| khơng gian Banach Với khơng gian định chuẩn X, kí hiệu X* tập hợp tất phiếm hàm tuyến tính liên tục X gọi KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU X Nếu X* £ X* X G X giá trị X* X kí hiệu (X*,X) Định lý 1.2 (ỊJ|, Định lý 2.6, trang 78 ) Không gian đối ngẫu X* không gian định chuẩn X với chuẩn xác định X r ~ 7o x II \\ khơng gian Banach Ví dụ 1.3 (P, trang 108, 110) Không gian đối ngẫu L P (ÍÌ), Ỉ P (1 < P < 00 ) khơng gian L Q ( íỉ), L Q với Q số mũ liên hợp p, tức l l / p + l / ợ = l Đặc biệt không gian đối ngẫu L (ri), L tương ứng L°° (íỉ), z°° Định nghĩa 1.4 Không gian liên hợp không gian X* gọi KHÔNG GIAN LIÊN HỢP THỨ HAI khơng gian định chuẩn X kí hiệu X** Như X** = (X*)* Định nghĩa 1.5 Không gian định chuẩn X gọi KHÔNG GIAN PHẢN XẠ, X = X** Ví dụ 1.6 (IU [8 ]) Các khơng gian L P (1 < P < 00 ) không gian phản xạ Theo Định lý L2, X phản xạ X khơng gian Banach Định nghĩa 1.7 Không gian Banach X gọi tách có tập đếm trù mật Ví dụ 1.8 ([8 ], trang 103) Các khơng gian ƯI) (1 < P < oo),C[a,6 ] không gian tách được; không gian L°°(rỉ), L°° không tách 1.2 Hàm không gian Banach Cho X, Y không gian Banach, F : X ^ Y ánh xạ Định nghĩa 1.9 Ánh xạ / gọi KHẢ VI FRÉCHET (hay đơn giản KHẢ VI) t i X £ X n ế u t n phiếm h m tuyến t í n h l i ê n tục A : X* Y* cho r Sỉ ||fc|| \\f{x + h)-f{x)-Ah\\ = Khi A gọi ĐẠO HÀM FRÉCHET / X kí hiệu DF(X ) hay v/(x) Khi Y = R đạo hàm (nếu tồn tại) hàm / xác định phần tử X* € X* biểu thức định nghĩa thường viết là: 1- II f(x + h)-f(x) - (x*,h) II = \\h\\ Í-S Định nghĩa 1.10 Q9J, trang 2) Ta nói chuẩn ||.|| X KHẢ VI FRÉCHET CHUẨN TRƠN FRÉCHET ||.|| hàm khả vi Préchet X G SX (nhờ tính chuẩn ta suy chuẩn trơn Fréchet khả vi Préchet x ^ o ) Ví dụ 1.11 Chuẩn Euclide không gian Hilbert H chuẩn trơn Fréchet Thật vậy, lim /ỉ- > = lim \\h\\ и! /ỉ- > \\h\\ = nên ||.|| hàm khả vi Fréchet X £ H Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp ta có ||.|| khả vi X ф D ||ж|| = -—-, ĩ / o \\x\\ Định lý (Smulyan, [9J, Định lý 1.4, trang 3) Cho (X, ||.||) ỉà không gian Banach với không gian đối ngẫu X* Khi chuẩn ||.|| khả vi Fréchet X G Sx với dẫy fn,g n £ Sx-, fn {x) g n (x )->• ta có II f n - g nII ->• Ví dụ 1.13 Chuẩn ỊỊ ỉ|| =l Ỉ W I khơng gian Banach L không trơn Préchet Thật vậy, với X = (X(I )) e SI Ta định nghĩa FN,G N £ SI°° bởi: {sign(a:(ỉ)), I ^ N 1, Ỉ = N, i sign(:r(i)), ỉ ^ n * — , Khi F N (X) I = N ,G N (X) -» ||/n -0 n|lỉ» = Theo Định lý 1.12 chuẩn L không khả vi Frechet X Từ ta có điều phải chứng minh Định lý 1.14 ( p j , Hệ 3.3, trang ) Cho X không gian Banach tách Khi X có chuẩn tương đương trơn Frechet X* tách Ví dụ 1.15 Các không gian L P (Q) (1 < P < 00 ) khơng gian có chuẩn tương đương trơn Préchet khơng gian đối ngẫu tách đưỢc.Tổng qt hơn, khơng gian Banach phản xạ tách có chuẩn tương đương trơn Préchet 1.3 Dưới vi phân Eréchet Từ sau ta ln giả thiết X khơng gian Banach có chuẩn tương đươngtrơn Frechet chuẩn trơn X ta ln giả thiết chuẩn Préchet Do vậy, ta nói X khơng gian có nói đến chuẩn trơn Eréchet Hơn xét hàm với giá trị thực mở rộng, tức có giá trị M : = l u {+oo} Cho hàm / : X —»■ M Ta gọi dom/ := {a? € X : F(X ) G M}, epi/ := {(x, Ằ) Gi X E : ĩ Ẽ I, Ằ > F{ X )} tương ứng MIỀN HỮU HIỆU TRÊN ĐỒ THỊ / Hàm / gọi CHÍNH THƯỜNG (proper) dom/ Ỷ 0Định nghĩa 1.16 ([8 j, trang 10) Hàm / : X —»■ R gọi NỬA LIÊN TỤC DƯỚI (l.s.c.) với A g M , tập {X € X : FIX ) < Л} tập đóng Định lý 1.17 (Ị8 j, trang 10) Cho X khơng gian Banach, f hàm thường X Khi ta có khẳng định a) - d) sau tương đương a) Hàm f nửa liên tục b) Trên đồ thị epi/ tập đóng XxR c) Với X G X, với £ > tồn cận cho f(y ) > f(x ) — d) Với dẫy (x n) > V £ với y & V hội tụ tới X X ta lăn X có lim infjj^oo f(x n) fi x )Hơn ta có: e) Nếu fi , / nửa liên tục / + / nửa liên tục f) Nếu (fi)iei họ hàm l.s.c fix) = sup i € j fi{x) củng Ỉ.S.C g) Nếu f l.s.c E с X tập compact f đạt giá trị lớn E Ví dụ 1.18 i) Mọi hàm liên tục nửa liên tục X Ф X = ii) Hàm nửa liên tục A < Định nghĩa 1.19 (Ịl6 j, Định nghĩa 1.3) Cho / : X —► R hàm I S C , S c X tập đóng Ta nói, / DƯỚI KHẢ VI FRÉCHET với DƯỚI ĐẠO h m F r é c h e t X * X tồn c - hàm, lõm g cho Vg ( x ) = X * / — G đạt cực tiểu địa phương X Tập đạo hàm Préchet gọi DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET / X ký hiệu D~ F(X) N ó n p h p F r é c h e t s X tập hợp N{S,x) :=D-ơs(x), ỖS HÀM CHỈ tập S , xác định {0, X e S , +oo, X Ệ S Định lý ([ÕJ, trang ) Cho X ỉà không gian Banach với chuẩn trơn Fréchet, f hàm l.s.c X Khi X* ẽ D~ f(x) II /i II —0 H Nhận xét 1.21 Khái niệm d i vi phân Định nghĩa | | gọi định nghĩa theo nghĩa nhớt Định lý |l.20|cho thấy, lớp không gian Banach với chuẩn trơn Eréchet định nghĩa tương đương với định nghĩa d i vi phân theo giới hạn Ị[TQj Do theo ỊỊTÕ] có nhiều tính chất vi phân Préchet, mối liên hệ vi phân Fréchet loại vi phân khác vi phân Gâteaux, d i vi phân Clarke, Chẳng hạn i) Nếu / khả vi Préchet X D~ F{X) = {DF(X)}; ii) Nếu / lồi X D~F(X ) = {ж* G X* : F(Y) - F(X ) - (X*,Y - x) > 0,Vy G X} Ví dụ 1.22 i) Cho hàm f ( x ) = |ж|,ж ẽ M Khi đó, X > / khả vi n ê n D ~ f ( x ) — { D f ( x ) } = {1}; X < / khả vi nên D ~ f ( x ) = { D f ( x ) } = {—1} Tại X = hàm / không khả vi Do / lồi nên ta sử dụng Nhận xét 1.21 ii) để tính d i vi phân Cụ thể D /(°) = {p £ M : M — py > 0, Vy G R} Chọn Y = —1 Y = ta suy — < P < Với p G [—1,1] ta ln có py < ы < M nên D~F( 0) = [-1,1] ii) Tương tự ta có X khơng gian Hilbert F(X ) = |[жII ta có {{ĨPĨĨ-Ị , X ^ Ii-Ư- " B ỵ , X = Định lý 1.23 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein Preiss,[fíJ, Định lý 1.6) CHO F : X —¥ R L.S.C, E > VÀ X > GIẢ SỬ И £ X THOẢ MÃN: F(U ) < E + inf / X Khi tồn c - hàm lồi g X V G X cho: ( ỉ ) Hàm X I — ^ f ( x ) + g ( x ) đạt cực tiểu toàn cục X = V ( ii ) \\u — v\\ < a ( iii )f(v) < £ + inf / (ỉv)\\Vg{v)\\ lim inf * r)-¥0 o > < 00 thiếu quy tắc tổng mờ không địa phương Điều thơng qua hàm M Hai hàm FI(X ) = X F (X ) = không thỏa mãn quy tắc tổng mờ khơng địa phương /i không bị chặn Hai hàm FI(X ) = 77 Kết (1.3) quy tắc tổng mờ không địa phương tương tự quy tắc tổng mờ địa phương Tuy nhiên, kết (1.1) cho biết điểm X N gần nhau, điều khác với quy tắc tổng mờ địa phương, khẳng định rằng, điểm gần với điểm cực tiểu tổng (với số giả thiết bổ sung) Lưu ý rằng, kết (1.1) cho phép ta kiểm soát “cỡ” đạo hàm tham gia tổng Điều hữu ích ứng dụng Kết luận (1.2) cho ta điểm tựa vào giá trị hàm nửa liên tục Trong ứng dụng, điều thường mang lại thơng tin gián tiếp việc xác định vị trí điểm X N Ta minh họa điều qua ví dụ sau Ví dụ 1.27 (Tính trù mật điểm khả vi) Cho / : X —> M hàm nửa liên tục dưới, X £ dom/ £ £ (0,1) Áp dụng Định lýđối với /1 = / + ÕX+B /2 = ta có: tồn Xị x2 cho X Iki - x \\ < £, e D + D ồ{ x }{x ) +sB x* fi(xì) + ỗ{x}M < f(x) + e Bất đẳng thức cuối suy x = X X i phải thuộc phần X + B x nên D ~ fi(xi) = D~ f ( x 1) Chứng tỏ, dom( D ~ f ) trù mật dom/ Đây kết mạnh Cụ thể đạo hàm hàm lõm tự động đạo hàm nên từ suy hàm lõm liên tục không gian trơn Fréchet khả vi Fréchet trù mật Tiếp theo ta đề cập tới QUY TẮC TỔNG MỜ ĐỊA PHƯƠNG , kết quan trọng lý thuyết toán tối ưu hóa sở để xây dựng quy tắc tính vi phân Như đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địa phương cần phải có giả thiết bổ sung Định nghĩa 1.28 (Nửa liên tục đều, [i J, Định nghĩa 2.4) Cho /i) Ỉ N ' ■ X —■► hàm nửa liên tục d i E tập đóng X Ta nói (/1 , NỬA LIÊN TỤC DƯỚI ĐỀU TRÊN E N inf yZfni x ) < n= N £/»(*») : IIx n - x m \\ < rì,x n ,x m G E,n,m = 1, ,N lim inf Chúng ta nói (/1 , /iv) NỬA LIÊN TỤC DƯỚI ĐỀU ĐỊA PHƯƠNG N xen dom/n (/1 , ỈN) nửa liên tục hình cầu 71—1 đóng tâm lân cận X Nhận xét 1.29 Có hai trường hợp đơn giản đảm bảo hệ (/i, /jv) nửa liên tục địa phương X (a) Tất cả, trừ hàm f n liên tục lân cận X ] (b) Có hàm F N có tập mức compact lân cận X Định lý 1.30 (Quy tắc tổng mờ địa phương mạnh, [6 J, Định lý 2.6) CHO /i, F N : X —> M LÀ CÁC HÀM NỨA LIÊN TỤC DƯỚI GIẢ SỨ (/i, /jv) NỨA LIÊN N tục địa phương X fn đạt cực tiểu địa phương X Khi n= đ ó , v i m ọ i £ > 0, t n t i x n e X + e B v x * n e D ~ f n ( x n ) , n = 1, N cho I f n { x ) - f n { x )I < £ , diam(^i,Ỉjv)-niax(||ỉ*|| , \ \ x * \ \ ) < £ , n N n = 1, 2,N N í n =1 x < Kết quy tắc “mạnh” khẳng định d i đạo hàm gần theo chuẩn Quy tắc tổng mờ yếu sau yêu cầu hàm thành phần nửa liên tục kết luận liên quan đến tơpơ yếu* giả thiết tính cực tiểu nới lỏng Định lý 1.31 (Quy tắc tổng mờ địa phương yếu, [ÕJ, Định lý 2.7) CHO : X —>■ M LÀ CÁC HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI GIẢ SỬ X* € U-(EỈLi fn){x) Khi với E > lân cận yếu * V X *, tồn x n € X + sB, x * n € D fn(x n ),n = CHO IFN{X N ) - FN{X )I < e, IKIIdiamda:!, ,^}) < £, N = 1,2, ,7V VÀ * N eE< + K 71= Định nghĩa 1.32 (Tính nửa liên tục theo dãy, [6], Định nghĩa 2.9) Cho /i, '■ X —V M hàm nửa liên tục Ta nói hệ (/ij •••) ỉ n ) n a l i ê n t ụ c d i đ ề u t h e o d ã y X tồn hình cầu đóng X + Ĩ ] B với tâm X cho với N , dãy { x nr}, n = 1, ,N,R = ,2 , thuộc X + R]B X ||a;nr — X M R \\ —> R —> oo, tồn dãy {U R } phần tử thuộc hình cầu cho \\X N R — U R \\ —>• N lim inf Ỵ]1 {FN{X N R ) - FN(U r)) > T —^ 00 ^ 71=1 Để ý rằng, điều kiện Định nghĩa|l.28|mà sử dụng mang tính tơ pơ điều kiện tính nửa liên tục theo dãy Định nghĩa 1.32, Khơng khó để nhận rằng: tính nửa liên tục theo dãy suy tính nửa liên tục địa phương Hơn nữa, tính nửa liên tục địa phương thực yếu tính nửa liên tục theo dãy Điều khẳng định qua ví dụ Ví dụ 1.33 Cho X khơng gian Banach vô hạn chiều lấy dãy EỴ X cho ỊỊe^ỊỊ = IIe* — EI\\ > 1/2 K ^ L Đặt A:= {E K /L:K,L= , , } u {0 }, B := {{e k + e i /k)/l : k,l — 1,2, } u {0} Khi A B tập đóng A n B = {0} Đặt /i := ỎA /2 := Ỗ B ■ Ta chứng tỏ rằng, với 77 > 0, (/1 , /2) không nửa liên tục địa phương Ĩ ) B Thật vậy, L số nguyên cho 2/7 < 77 cho X Ị R = E R / L ] X R = (er + ei/ R ) / L ||a:lr — £27-11 —>• F I ( X I R ) = /2(^2R ) = OVr Nếu U R dãy cho \ \ X N R — U R \ \ , N = 1,2 ta phải có U R Ỷ v Thật vậy, gọi GI hàm tươn g ứng với Xị, Ỉ = 1,2 tron g định nghĩ a đạo hàm Fréc het Để ý D~ F 1( 0) = n Tươ ng tự D /2 (0 ) = Do ta viết Xị = — e3m_i + YI X2 = n < —0= ựn —\fn NE3 N-I + V 2, tron g YI = £ AKE 3K e FM Y2 = Ễ BKE 3K e FN k=m Ta ng h k=n IIX* + £2 II > tron g trườ ng hợp M < N (chứ ng h cho trườ ng hợp M > N tươn g tự) Đặt BỴ Ữ = maX fc>n {ịfc } < BKO < 2\\X \\ < 2, Y2 + TE Ĩ K O e FN với < T < l|y + 3fcoll oc = íe \\y\\ oc + *• Do đó, (x g + te k o ) g (x 2) < / 2(^ 2+ te f c0) f {x ) = t Do m< n, nên yi+ te3k e Fm, vàdo a3fc0 > nên t IIy + te3k o II^ > II2/1 II«, Hệ g i { x + t e k ữ ) - g i i x x ) < / i Q c ị + t e k o ) / i ( x i ) < ị ị C h ứ n g t ỏ { x * , e k o ) < - v ( x l , e l f c ) < V ậ y ị ị x Ị + x * \ \ > V í dụ sau cho thấy, điều kiện tính nửa liên tục chưa chặt Ví dụ 1.35 Cho X khô ng gian Ban ach vô hạn chiề u EỊ € X,I = 1, , thỏa mãn ỊỊeịỊ Ị=1 ỊỊeị — 6j II >1/2 với Г Ф J Đặt X= 0, ỉl( x ) = -J ĩíếu x=f, : +00 trái lại X= 0, f2{x):=ị-l n ế u x = ^±^, +00 trái lại, tron g L = 1,2, K hi (/b/2 ) khô ng nửa liên tục địa phư ơng Thật vậy, với H > 0, gọi L số ngu yên dươ ng nhỏ cho J < H Ta có = i n fx eh B (/ i + / ) ( ж ) > l i -2 m i n f ị f i ( x i ) + f { x ) : 1 ^ - x \ \ < ĩ ] , x u x G h B } = — í Dễ thấy D~F I(EI /L) = D~F {(E Ị + ei/Ỉ) /L) = X* nên quy tắc tổng mờ địa phư ơng thỏa mãn X = Chương Quy tắc nhân tử hóa mờ ứng dụng 2.1 Bài toán tối ưu Bài toán tối ưu thường phát biểu dạng: Tìm nghiệm tối ưu toán F(X), (2 ) IẼD D tập không gian định chuẩn X, F hàm xác định D Nếu tìm điểm X e D cho f{x o) < f(x ), Vx